Nesta subsec~ao iremos estudar o principal modelo da Mec^anica Estatstica de Equilbrio, o modelo de Ising. Como descrito no Historico, este modelo foi de fato introduzido por Wilhelm Lenz, na tentativa de explicar as transic~oes de fase em sistemas magneticos. Curiosamente, apos Ernst Ising resolver o modelo em uma dimens~ao e veri car que ele n~ao apresentava transic~ao de fase paraT >0, ele err^oneamente conjecturou que o mesmo
seria valido para dimens~oes superiores, abandonando o modelo em seguida. Em 1944, em um verdadeirotour-de-forcematematico, Lars Onsager resolveu exatamente o modelo
para d=2, considerando apenas interac~oes entre primeiros vizinhos. Esta foi a primeira
vez que a soluc~ao exata de um modelo microscopico em um caso n~ao trivial descreveu um comportamento n~ao analtico dentro da Mec^anica Estatstica de Equilbrio. Para d= 3,
o problema ainda esta em aberto, n~ao havendo soluc~ao exata para o modelo, embora exista um argumento apresentado por Peierls demonstrando a exist^encia da magnetizac~ao espont^anea parad2 (vide [25]). Entretanto, diversas tecnicas de aproximac~ao (expans~ao
em series e o grupo de renormalizac~ao) fornecem valores extremamente precisos para os expoentes crticos, que s~ao con rmados tanto por simulac~oes quanto por experimentos em sistemas fsicos supostamente em tr^es dimens~oes (vide Tabela B.2).
Alem de sua import^ancia para o magnetismo, o modelo de Ising possui um carater universal - corroborado pela analogia deste com o modelo de um gas na rede, ligas binarias, etc. - que o torna de interesse crucial para a Fsica Estatstica. Desse modo, apresentaremos nesta sec~ao os principais resultados do modelo, para d= 1;2 e 3, a m de
comparar a previs~ao classica para os expoentes crticos com a classe de universalidade do modelo de Ising. A soluc~ao de Onsager em duas dimens~oes motivou ainda o desenvolvi- mento de hipoteses de escala e do grupo de renormalizac~ao, topicos a serem abordados na proxima sec~ao.
De um modo geral, a principal di culdade enfrentada pelos metodos de soluc~oes aproxi- madas, para d = 2 ou d = 3, e a n~ao analiticidade da energia livre no ponto crtico, o
que torna discutvel qualquer truncamento em expans~oes do tipo serie de pot^encias. As aproximac~oes do tipo campo medio conduzem inexoravelmente a express~oes para a energia livre que se encaixam na hipotese de Landau, e os expoentes classicos s~ao obtidos nestes casos. A n~ao analiticidade da energia livre foi explicada em termos gerais pelo teoria de Lee-Yang para as transic~oes de fase [101], onde o limite termodin^amico dos zeros da func~ao partic~ao e estudado.
O hamiltoniano do modelo e escrito como H= J X <i;j> i j H N X i=1 i ; (B.79)
onde a soma no primeiro termo do lado direito e feita sobre os pares de primeiros vizinhos,
representa o valor do spin na rede d dimensional, J e a constante de acoplamento
e H e o campo aplicado; se J > 0, o sistema e ferromagnetico, e a con gurac~ao de
menor energia ocorre quando os spins est~ao alinhados entre si. Ja para J <0, o sistema
e antiferromagnetico, e a con gurac~ao de menor energia ocorre para um alinhamento alternado, onde stios vizinhos s~ao ocupado por spins com valores opostos.
Solucionar o modelo de Ising em determinada dimens~ao consiste em escrever uma equac~ao para a func~ao partic~ao can^onica,
Z N = Z(T;H;N) = X f i g e 0 H ; (B.80)
e obter a energia livre por stio,
g =g(T;H) = lim N!1 1 0 N lnZ N : (B.81)
Pode-se utilizar o metodo da matriz transfer^encia [141] para demonstrar que o modelo de Ising em d= 1 n~ao apresenta transic~ao de fase paraT
c >0.
Parad= 2, a soluc~ao de Onsager prev^e uma temperatura crtica positiva, em contraposic~ao
ao caso d = 1. Alem disso, Onsager demonstrou a diverg^encia logaritmica do calor
espec co na criticalidade; este resultado e compatvel com o valor = 0, e permite
concluir que a energia livre n~ao e analtica emT
c, em contraste direto com a hipotese de
Landau. Essas conclus~oes foram obtidas por Onsager para o modelo de Ising em duas dimens~oes na rede quadrada, considerando apenas interac~oes entre primeiros vizinhos e campo externo nulo.
Uma analise completa da soluc~ao do modelo de Ising em duas dimens~oes escapa do escopo deste trabalho, e nos preocuparemos apenas em apresentar seus principais resultados. Um formalismo mais acessvel para se obter as relac~oes reproduzidas aqui e o introduzido por Schultz et al. [152], que tambem pode ser encontrado em varios textos modernos em
Mec^anica Estatstica [141, 150]. Nesse formalismo, o calculo dos autovalores da matriz transfer^encia e reduzido a diagonalizac~ao do hamiltoniano de um sistema de fermions interagentes. (A matriz transfer^encia e escrita na forma de matrizes de Pauli, nas quais se aplicam as transformac~oes de Jordan-Wigner para se obter o sistema de fermions.)
Os valores dos expoentes crticos s~ao mostrados na Tabela B.2, onde mostramos tambem a faixa dos resultados experimentais e as previs~oes para os expoentes em d = 3. Em
tr^es dimens~oes, ha varios metodos numericos para se obter uma estimativa precisa dos expoentes, que concordam tanto com os valores obtidos experimentalmente quanto com os resultados simulacionais. Os metodos de aproximac~oes sucessivas s~ao os mais utilizados, entre os quais as expans~oes em series de pot^encias e o grupo de renormalizac~aos~ao os mais frequentes.
Tabela B.2: Expoentes crticos do Modelo de Ising (retirada de [150])
Expoente Ising d= 2 Ising d= 3 Experimental
0(log) '1=8 '0
1/8 '5=16 0.3 < < 0.35
7/4 '5=4 1.2< <1.4
15 '5 4.2<< 4.8
No modelo de Ising generalizado, os spins possuem uma dimens~ao d
; desse modo, a
dimensionalidade dos spins no modelo de Ising e d
= 1; para d
= 2, temos o modelo
XY, e para d
= 3, o hamiltoniano se torna (para
H= 0), H= J X <ij> ( ix jx+ iy jy+ iz jz) :
que de ne o modelo de Heisenberg classico. Sed
!1, ent~ao obtemos o modelo esferico,
que possui soluc~ao exata parad3 [158]. Na Tabela B.3 mostramos os valores previstos
para os expoentes crticos nestes outros modelos.
Tabela B.3: Modelo de Ising generalizado, na rede cubica emd= 3 (retirada de [158]). d 1 '1=8) '5=16 '7=4 0:643 2 0:2 1=3 4=3 0:675 3 0:07 11=32 11=8 0:70 ... 1 -1 1/2 2 1
O modelo de Ising generalizado permite-nos ainda veri car a robustez das classes de universalidade para os expoentes crticos. De fato, pouqussimos fatores s~ao relevantes na determinac~ao destes expoentes, entre eles:
i - a dimensionalidade do sistema;
ii - a dimensionalidade do par^ametro de ordem; iii - o alcance das interac~oes microscopicas.
Cabe destacar tambem que, pela primeira vez na historia da ci^encia, a simulac~ao com- putacional ocupou um papel central na compreens~ao de fen^omenos e na quanti cac~ao de par^ametros fsicos. Desde ent~ao, a Simulac~ao passou a constituir uma das tr^es ^enfases fundamentais da Fsica, ao lado da Teoria e do Experimento.