Türkiye Örneğinde Medya Okuryazarlığı

Da mesma maneira 3ue em 7;<=> ?amos analisar o caso em 3ue M

4 _{é uma}

@ipersuperBCcie e B

n _{= R}

D Com esse …m> usaremos técnicas da teoria de sistemas

dinGmicos H ?er ApIndice I). Jspeci…camente estamos a considerar nessa seção 3ueM está munida do seKuinte elemento de lin@a

ds2 = e2fh dx dx dl2; H;DMQR

onde f = f (l) e h = h (x)D Sara esta métrica éBácil

?er3ue U (5) 44= 0 H;DMMR (5) 4 = 1 2g g ;4 = df dl = f 0 D H;DM<R

Vssim a eWpressão da força extra emH;DXR se reduYa

= 2f0dx

d dl

d H;DM;R

VKora as e3uaçZes H;DXR tornam\se

d2_x d 2 + (4) dx d dx d = 2f 0dx d dl d : H;DMXR É e?idente 3ue se tomarmos 3ue l = l0 =constante> o lado direito …ca

identicamente nuloD

Com isso> não é diBCcil mostrar 3ueH;D*R conduY^ eWpressãoU

d2_l d 2 + f 0_e2f_h dx d dx d = 0: H;DM*R Jm conse3üencia> as e3uaçZesH;D_R resduYem\se a e3uaçãoU

d2_l d 2 + f 0 _{K +} dl d 2! = 0: H;DM`R

Movimento no Hiperespaço ac

deeuação ijklmndiorespeito pparte pentadimensional do morimentoseot

désicok Como

uá ewpostoyos

ralores deK de…nemeue tipo deseodésicas estaremos a

estudark Decertoy nos interessamos por part{culas cuuo morimento satis|aoo }rinc{t

pio da Causalidadek dssim osralores de K dererão ser ou0 ou 1k deeuação ijklmn

é uma eeuação di|erencial de sesunda ordemy eue em princ{pioy pode ser resolrida

se admitirmos con~ecida a |unção f

0 _{= f}0_(l)

k

eciprocamentey se l = l( ) é então

con~ecidoyconsee€entementef = f (l) será determinadoia menos de uma constante

de intesraçãoncontanto eue possamos escrerer = (l)k



.

‚

An

ƒ

lise qualitativa do movimento na quinta

dimensão

ecordemos eue a~ipersuper|{cie …wa as condiç„es de limite para o|ator de

distorçãok …e o|ator de distorção f = f (l) não é con~ecidoa prioriy não disporemos

de uma maneira eue nos lere a o†ter in

|ormaç„es conclusi

ras so†re o morimento

na euinta dimensãok Contudoy aeui mostraremos eue uma análise eualitatira ria

sistemas din‡micos nos

|ornecerá in|ormaç„es rele

rantes so†re tal morimentok }ara e|etuar a análise de…nimos a rariárel q =

dl

d ey assimy passamos a

considerar ij klmncomo o sesuinte sistema din‡mico autônomoirideApˆndice I)k

dl d = q; ijkl‰n dq d = P (q; l); com P (q; l) = f0(K + q2): ijklŠn

‹a inrestisação de sistemas din‡micosy um papel preponderante é desemt

pen~ado pelos pontos de equilíbrio, eue neste caso particular do sistema ijkjŒn é

Movimento no Hiperespaço Ž

q = 0 ‘’“”

P (q; l) = 0‘ ‘’•”

–con—ecimento desses pontos˜™untamente com as propriedades de estašil›

idade˜permite auœerir importantes inœormaçes relatižas aos tipos de comportamen›

tos permitidos ao sistema‘ Ÿssim˜ se para uma  eodésica particular con—ecemos t

como uma œunção do par¡metro ˜ isto é˜ t = t( )˜ então como

dt

d 6= 0 e sašendo

a priori o comportamento de l = l( ) a análise ¢ualitatiža nos permitirá dedu£ir

a ežolução temporal do možimento de uma part¤cula ou œei¥es de lu£” na ¢uinta

dimensão‘

¦

.

§

.

¨

Movimento geod

©

sico pentadimensional de partículas

maciças nas imediaç

ª

es de uma hipersuper

«

ície tetradi-

mensional

¬niciemos por considerar o caso das part¤culas de massa de repouso não›nulas K = 1”˜ cu™o možimento na¢uinta dimensão é  ožernado pelo sistema din¡mico‘

dl d = q ‘’Ž” dq d = f 0_{(1 + q}2₎ ‘ ‘’’”

– ponto de e¢uil¤ šrio é determinado por q = 0 e os £eros da œunção f

0_(l)

se e¥istem”˜ denotamos  enericamente por l0‘ ­stas soluçes são interpretadas

como pontos cr¤ticos no plano de œase˜ e correspondem a curžas ¢ue se mantém

completamente em uma—ipersuperœ¤cieouœol—a” 0de umaœol—eaçãol = constante

deM‘

Ÿ e¥ist®ncia de pontos de e¢uil¤ šrio do sistema din¡mico ‘’Ž” tem a im›

portante conse¢u®ncia de ¢ue as  eodésicas do —iperespaço e as da —ipersuperœ¤cie l = l0 =contante”coincidem‘ ¯ote¢ue para a métrica‘Ž•”a curžatura e¥tr¤nseca

da—ipersuperœ¤cie 0 é dada por

Movimento no Hiperespaço °±

²ue é claramente nula para os pontos de e²uili³r´oµ ondef

0 _{= 0}

¶ ·ntãoµna aus¸ncia

de pontos de e²uili³r´oµ ¹i

¶e¶ f

0 _{6= 0}

ºa cur»atura e¼tr

´nseca não se anulaµe de acordo

oteorema ½µ com e¾eitoµa ¿ipersuper¾´cie não será totalmente Àeodésica¶ Áara o³ter in

¾ormaç

Âes so³re os poss´»eis modos de comportamento de

part´culas e raios de luÃem tais¿ipersuper¾´cies é importante estudar a natureÃa e esÄ

ta³ilidade dos correspondentes pontos de e²uil´³rio¶

Åsto pode ser¾eito lineariÃando

as e²uaçÂes¹Æ¶± Ǻ ¹»er ApÈndice I). Êemosµ entãoµ as e²uaçÂesË

dl d = qµ ¹Æ¶±Ìº dq d = f 00_(l 0)l(1 + q2)µ ¹Æ¶±°º

²ue podem ser representados pela e²uação matricial

_l _q = 0 @ 0 1 f00_(l 0)(1 + q2) 0 1 A l q cuÍo polinÎmio caracter´stico éË

2_{+ f}00_(l

0)l(1 + q2) = 0

·studando os auto»alores da correspondente matrià Íaco³iana nos pontos

de e²uil´³rio e supondo²ue a ¾unção f

0_{(l) se anula em pelo menos al}

Àum pontol0µ

podemos prontamente mostrar²ue os correspondentes auto»alores são determinados

pelo sinal da seÀunda deri»ada f

00_(l

0)µ as seÀuintes possi³ilidades emerÀem para os

pontos de e²uil´³rio do sistema dinÏmico Ë

Caso

ж Ñe f

00_(l

0) > 0µ então o ponto de e²uil´³rio ¹q = 0; l = l0º é um

vórtice ou centro¹»er …ÀuraƶҺ¶ ·ste representa o caso no²ual as soluçÂes prÓ¼imas

ao ponto de e²uil´³rio tem a topoloÀia de um c´rculo¶ Ôeste casoµ o retrato de ¾ase

consiste em cur»as ¾ec¿adas ²ue descre»em o mo»imento da part´cula oscilando em

torno da¿ipersuper¾´cie 0¹l = l0ºinde…nidamente ¹»er …Àura ƶ Ǻ¶

Õs amplitudes das oscilaçÂes dependerão somente das condiçÂes iniciais¶ Ôotemos ²ue a e¼ist¸ncia de tais mo»imentos c´clicos é independente do espaçoÄ

tempo tetradimensionalµ e¼ceto pelas condiçÂes f

0_(l

Movimento no Hiperespaço Ö×

ØiÙura×ÚÛÜ Ý ponto de eÞuilßãrioE no caso onde f (l0) > 0Ú

distorçãof (l) continuando completamente arãitrárioÚ ä presença de tais pontos de

eÞuilßãrio tem como conseÞåæncia oÞuaseçcon…namento de partßculasè Þue pode ser

entendido como um eëemplo de hipersuperfícies quase totalmente geodésicas ì îer

ilustração ì…Ùura× ÚÛïïÚ

Caso

ðð Ú ñe f

00_(l

0) < 0è então o ponto ìq = 0; l = l0ï é um ponto de selaÚ òeste casoè a solução correspondente ao ponto de eÞuilßãrioE é altamente instáöelÚ ÷sto Þuer diøer Þue a menor perturãação leöa a uma diöerÙæncia eëponencial das

soluçùesÚìöer …Ùura×ÚûïÚ

ým eëemplo deste con…namento altamente instáöel é dado pelo þator de

distorçãoÿ×5]Ú

f (l) = bln cosh(cl); ì×Úû7ï

onde b e c são constantes positiöasÚ äÞui temos um único ponto de eÞuilßãrioè

em l = 0Ú Tamãém podemos öeri…car Þue f

00_{(0) < 0 neste caso}

Ú äproöeitando

Movimento no Hiperespaço 6

Figura 4.3: As partículas entram e saem inde…nidamente da
ipersuperfície (l =

l0). Isto dá origem a um mecanismo dequasi-con…namento.

aproxima-se daquele presente na métrica de Randall- Sundrum[1 6,[1

ds2 = e 2kjlj dx dx dl2 (4. 38)

onde k é uma constante. Neste casof

0_{(l) = k}

, conforme ovalor del seja positivo

ou negativo. Então, para l 6= 0 não existem pontos de equilíbrio e, portanto, não
á con…namento de partículas devido puramente a efeitosgeometricos. No entanto,

neste limite de …na espessura,se assumirmos nulo ovalor da curvatura extrínseca da branal = 0,então(4. 32)implica em con…namento. odavia,como apontado em[46

este é um con…namento altamente instável no sentido dequequalquer perturbação

transversal no movimento das partículas maciças ao longo dabrana acarretará uma fuga para a dimensão extra. Porém, este caso está fora do elenco das métricas que estamos considerando aqui, pois, o fator de distorção não é suave (a primeira

devivada def (l) com respeito à coordenada extra não é contínua eml = 0).

Caso

. Se f

00_(l

0) = 0, então ambos os autovalores são nulos, o que

corresponde a um caso degenerado. Para continuar analisandoqualitativamente as

soluções próximas do ponto de equilí brio, neste caso, necessitaríamos con
ecer a

derivada terceira (ou de ordem superior) dafunção f (l). Não desejamos considerar

este caso em sua generalidade. No entanto, se f (l) é constante (caso IV), então

podemosfacilmente desen
ar um retrato defaseglobal do sistema.

Caso

.Se f (l) =contante, entãof

0_{(l) se anula para todos os}

Movimento no Hiperespaço 

i ura Quandof

00_(l

0) < 0 o ponto de e uilrio é um ponto de sela este caso

o con…namento é altamente instáel nica eceção correspondendes linasAE

eBEao lon o das uais partculas são atradas de

olta para a ol

a 

l o ue implica ueá uma in…nidade de pontos de e uilrio nãoisolados ou sea

temos uma lina contnua de pontos de e uil rio q = 0 erturaçes ao lon o

desta lina são neutramente estáeis o ue implica ue partculas colocadas em ual uer uma das ipersupercies da oleação l = l0 =constante irão permanecer

lá até receerem uma elocidade tranersal ipersupercie

Caso

 e não temos pontos de e uilrioou sease noator de distorção

f (l) não eiste ponto de retorno para nenum alor de l então não podemos ter

con…namento de partculas clássicas nas ipersupercies deido somente a eeitos eométricos Um eemplo desta situação é ilustrado peloator de distorção

f (l) = 1 2ln ( l

2₌₃₎

!9

considerado na reerência "9#

otamos ue mesmo uando nãoá pontos de e uilrioa representação da

dinâmica ainda pode ser o

tida sef (l) é con ecido

otendo

se a primeira inte

ral do

Movimento no Hiperespaço &' de primeira ordem dl dq = q f02_{(K + q}2₎; *+/+0;

a<ual pode ser prontamente inte=rada> le?ando a

f (l) = ln pK + q2_{+ B}

> *+/+@;

onde B é uma constante de inte=ração /

Movimento no Hiperespaço BC

D

.

G

O movimento de

H

ótons nas proximidades de

uma hipersuper

H

ície do tipo tempo

JKaminemos aLora asLeodésicas nulasMmoOimento deWXtonsYno intuito de

saZer\uando são elas con…nadas na^ipersuperW_cie ou`pelo menos numaOizin^ança

destaa ceste caso` o sistema dindmico MeaiCY tornaksel

dl d = q MeaeiY dq d = f 02_q2 MeaemY

ns pontos de e\uil_Zrio são dados` aLora` por q = 0` \ue consiste em uma

lin^a de pontos de e\uil_Zrio ao lonLo de eiKo l` com amZos os autoOalores iLuais

a zeroa Como resultado` eKistem Leodésicas nulas 5D em \ual\uer ^ipersuperW_cie

l =constantea osto demonstra \ue o con…namento de WXtons na ^ipersuperW_cie não

depende doWator de distorçãoa pá` tamZém` reLires de estaZilidade e instaZilidade

com respeito spe

\uenas perturZaçres ao lonLo do eiKo l a

Como Woi apontado na seção anterior` podemosWacilmente oZter uma intek Lral primeira do sistema MeaeiY \ue é dado por MeaetYa co caso do moOimento dos WXtons` MK = 0Y isto dá

q = Ae f(l)

MeaeeY

onde A é uma constante de inteLraçãoa uortanto` podemos oZter uma dindmica LloZal das soluçresMeaeiYa partir de certo con^ecimento\ualitatiOo daWunçãof (l)a

Muitos casos diWerentes podem surLir` dependendo da natureza de f (l)a w\ui` por simplicidade` Oamos impor a simetria Z2

y

soZre a Leometria do bulka n \ue se seLue são alLuns eKemplos poss_Oeisl

ta f (l) é umaWunção monotonicamente crescente paral 0\ue se aproKima

do limite f (l) ! 1 \uando l ! 1M isto pode ser perWeitamente Oisto em Mea{YYa osto inclui o caso do Wator distorção considerada em|e}~a

ia f (l) é uma Wunção monotonicamente decrescente para l 0 \ue se

aproKima do limite f (l) ! 1 \uando l ! 1` \ue é o caso do Wator distorção

Movimento no Hiperespaço €

‚iƒura„…†‡ ˆetrato de‰ase do moŠimento de‰‹tons em presença de simetriaZ2 com

uma ‰unção f (l) monotônica crescente para l 0 e f (l) ! 1 Œuando l ! 1…

con…nados‡ se os colocamos em moŠimento em direção

 Žipersuper ‰cie

l = 0‘’

então ap‹s alcançar uma dist“ncia mnima de ; são lançados de Šolta ao in…nito’

mostrando claramente Œue são repelidos por ”

•… f (l) é constante’e neste caso temos o mesmo diaƒrama de‰aseŒue temos

no caso de partculas maciças …

‚inalmente é releŠante notarŒue no caso deƒeodésicas nulas’ os pontos de

eŒuil–rio da eŒuação„… „—‘não e˜iƒemŒuef

0 _{= 0}

’Œue é uma conseŒu™ncia da apliš

cação dolema›aocorolárioœ’isso é’ como as‰olŽas espaçoštempo são um–licas’

então’ as ƒeodésicas do tipo lu da ‰olŽa tam–ém são ƒeodésicas do bulk… žutra

conclusão importante éŒue’nos casos emŒue asŽipersuper‰cies são localiadas nos

pontos de retorno l = l0 das ‰unç

Ÿes f’ H = f

0_e2f_{h (x) satis}

‰a a simetria Z2

Movimento no Hiperespaço  ¡

¢i£ura ¤¥¦§ ¨etrato de ©ase correspondente ao caso onde f (l) é um ©unção

monotªnica decrescente para l 0¥ «essa con¬untura f (l) ! 1 ­uando l ! 1¥

®

.

¯

Movimento de partículas nas proximidades da

subvariedade M

4

_{com M = R}

n

F

M

4

°or simplicidade± consideraremos o caso em ­ue a métrica kab± de ²¤¥³´± é

euclidiana± isto é± kab = diag(+:::+)¥ µsto irá nos permitir ¶eri…car ©acilmente a

e·ist¸ncia de pontos de e­uil¹ºrio» ¤ ¼¥ ½e de…nirmos

dya

d = z

a _podemos

± então± e·pressar as e­uaç¾es ²¤¥¿´ como

um sistema dinÀmico autªnomo dado por

dya d = z a ± ²¤¥ ¤Á´ dza d = P a_{(z; y)} ± com Pa(z; y) = f;a(K + kbczbzc) abcz b zc; ²¤¥ ¤¦´ e za _{= (z}1_{; :::z}n_{); y}a _{= (y}1_{; :::; y}n_): ²¤¥ ¤ ´

Movimento no Hiperespaço ÂÃ

ÄoÅamente K = 1 para partÆculas de maciças eK = 0 para partÆculas com massa

de repouso nula Çcaso dos ÈÉtonsÊË ÌamÍém temos Îue

za = 0 e Pa(z; y) = 0Ï ÇÐËÐÑÊ

determinam os pontos de eÎuilÆÍrio de ÇÐËÐÒÊ ÇÅer ApÓndice IÊË

ÔconÕecimento destes pontosÖunto com as suas propriedades de estaÍili×

dade nos permitiráØanÕar muitas inÈormaçÙes relatiÅas aos tipos de compotamento

permitido ao sistemaË Úe as e ÎuaçÙes f;a = 0 possu Ærem raÆÛes reais Ç Îue denotamos por yo = (y1

o; :::; yno)ÊÏos pontos de eÎuilÆÍrio estarão determinados por (z

a_{= 0; y = y} o)Ë Ìanto a natureÛaÏcomo tamÍém a estaÍilidade destes pontos de eÎuilÆÍrioÏ

podem ser oÍtidos atraÅés de lineariÛação das eÎuaçÙesÇÐËÐÒÊÏestudando×se os auto× Åalores da matriÛÖacoÍiana correspondente calculada nos pontos de eÎuilÆÍrioË Äeste

casoÏ esta é uma matriÛ 2n 2n dada por

J = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 ::: 0 1 0 ::: 0 0 ::: 0 0 ::: 1 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: 1 f11 f12 ::: f1n 0 ::: 0 f21 f22 ::: f2n 0 ::: 0 ::: 0 ::: 0 fn1 fn2 ::: fnn 0 ::: 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 ÇÐËÐÜÊ onde f;ab = @ 2_f @ya_@yb: Äão é diÈÆcilÅer

Îue o determinante det J e o traço I de J são

determinadosÏ respectiÅamente por

det J = (1)n+1det f;ab ÇÐËÒÝÊ

eI = 0Ë

Þara Èormas Øerais do Èator de distorção f os auto×Åalores do sistema são

raÆÛes de um polinßmio de ordem2nÏÎue seria diÈÆcil analisar analiticamenteË ÞorémÏ

aÎui nosso propÉsito primário

Ï é desco

Írir se o sistema é

Ï em princÆpioÏ capaÛ de

Movimento no Hiperespaço äå

M4

æ çssim em luèar de procurar o caso èeralé aëuié nos perèuntaremos se eìistem

classes deîatores de distorção especiaisf para os

ëuais tal o con…namento é poss ïðel

æ

Como eìemploé consideremos os casos em ëue onde fij possua pontos de

eëuilïñrio nulos para todo o i 6= jé e nòmeros reais positi

ðos caso i = j

æ öm tal

circunst÷ncia a matriø J simpli…caùse e os autoùðalores podem ser encontrados

prontamenteû

= ipf;aa; a = 1::::2n üýæþÿ)

onde f;aa não suñtende nenhuma somaæ östa condição seria satisîeita para îunções

do tipo

f =X

a

ca(ya)né üýæþå)

para n 2 Z+

éisto éé ðalores inteiros e positiðos næ

Isto nos permiteðer o sistema como um conjunto de osciladoresharmônicos

acopladosû d2_yi dt2 = ! 2 iy i

onde noðamente nenhuma adição é suñtendida em !i = fiiæ çssimé no caso de

codimensão né o moðimento está con…nado a um nùtoroæ Istoèeneraliøa o caso do

ponto de eëuilïñrio deðórticeëueîoi encontrado para codimensão umé a um caso de

con…namento toroidal de partïculas nas proìimidades da suñðariedade espaçoùtempo

M4

Conclusões 73

Capítulo

Belgede Akdeniz İletişim Akdeniz Üniversitesi İletişim Fakültesi Dergisi (sayfa 182-185)