Soru 4: “Eğim kavramı gerçek hayatta nerelerde kullanılır?” sorusuna nasıl bir cevap
4.2.5. Tülay’ın Durumu
4.2.5.2. Tülay’ın İşlemsel Anlamaya Yönelik Durumu
Tülay‟ın, eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasında bağlantı kurmayı gerektiren 5 numaralı ve 6 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. Tülay‟ın iki durumda da bu temsiller arasındaki ilişkiyi yüksek seviyede kurduğu görülmüştür.
Tülay, 5 numaralı sorunun dört şıkkındaki matematiksel işlemleri başarıyla gerçekleştirmiştir ve eğim kavramının geometrik, cebirsel ve geometrik temsilleri arasındaki ilişkiyi kurmuştur. (d) şıkkında ulaştığı sonuçtan sonra ise yorumlarına aşağıdaki şekilde devam etmiştir.
“Burada bize çaktırmadan eğimi hesaplattı. Aslında eğimden bulduk ama nereden bulduğumuzu şu anda sanki fark etmeden yapmış gibi oldu. Yani direk eğimini şey yapsaydık artış oranını da bulurduk yani.”
Araştırmacının değerler değiştikçe eğimde bir değişiklik olup olmayacağını sorması üzerine ise Tülay şöyle cevap vermiştir.
“Eğimde bir değişiklik olmayacak. Çünkü sabit bir değerimiz çıktı. Yani değişken bir şey çıksaydı mesela 3h çıksaydı, yani bir değişkene bağlı olsaydı, o zaman eğim de değişebilirdi bu değere göre.”
Araştırmacı Tülay‟dan bir de grafiği kullanarak (d) şıkkını yorumlamasını istemesi üzerine Tülay grafik üzerinde x ve y eksenlerine çeşitli değerler vererek bazı açıklamalar yapmıştır. Eğimin sabit olduğunu bir kez daha vurgulamıştır.
Şekil–39, Tülay’ın 5 numaralı soruya ait çizimi
“Yani a değeri için 3a-1‟e gitti. a+h değeri için de 3a+3h-1‟e gitti. Bize x değerleri arasındaki değişimi sormuştu. Bir de y değerleri arasındaki değişimi sormuştu. Eğim de zaten şu noktaya α dersek y‟nin değişiminin x‟in değişimine oranıdır. Aslında bunu buradaki herhangi bir değer için de yapsak yine aynı 3‟ü bulacaktık. Yani artış oranını 3 bulmuş olduk eğimden.”
Tülay, 6 numaralı soruda disklerin çap ve çevrelerini birden fazla durumda düşünerek grafiğe dökmüş ve eğim yorumlamalarına gitmiştir. Tülay da diğer adayların düştüğü hataya düşmüş ve çap yerine yarıçap düşünüp eğimi yerine 2 bulmuştur. Tülay‟ın eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi başarıyla kurduğu söylenebilir.
“Çevremiz, metal diskin çevresi her zaman sabit bir sayı olduğu için r‟ye (çapa) göre değişecek. r‟yi aslında kat olarak alalım. r, 2r, 3r olarak alalım. r için çevresi 2πr, 2r için 4πr, 3r için de 6πr olacak. Şöyle bir doğru olacak yani (çizer). Bu doğrunun eğimine bakarsak, şuradan bakalım.
2 çıktı. Yani çevresi 2 ‟nin katları şeklinde değişiyor diyebiliriz. Yani 2 sabitine bağlı olarak değişiyor.”
Araştırmacı: “2 sabit öyle mi?”
Tülay: “Evet mesela şu 2 bütün çevre hesaplamalarımızda olacak. .2r, 2 4r, 2 .6r… Bu 2 her zaman eğim olduğu için, grafiğimizin eğimi olduğu için her zaman aynı kalacak.”
Tülay sayısının bulunması ile ilgili yorumları ile soruya farklı bir bakış açısı getirmiştir.
“Şimdi sayısının bulunmasında da hep çevreyi hesaplamışlar. Böyle katları, katları, katları… hep aynı sayıyı vermiş de sayısını bulmuşlar. Yani sayısını bulmada da eğimin bir yardımı olmuş.”
Tülay‟ın eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasında bağlantı kurmayı gerektiren 7 numaralı ve 11 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. İki durumda da Tülay‟ın, bu temsiller arasındaki ilişkiyi yüksek seviyede kurduğu görülmüştür.
Tülay, 7 numaralı soruda bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirttikten sonra değişim oranlarından da faydalanarak eğimi 1,08 olarak bulmuştur. Grafiği de elde ettiği veriler eşliğinde eksiksiz tamamlamıştır. Sorudaki y değişkeninin hep bir sabite göre değiştiğini söylemiş ve eğimin tarife hakkında bilgi vereceğini eklemiştir. Tülay sorunun (a) şıkkındaki denklemi bulmak için çeşitli işlemler yapmış ve denklemin grafiği y ekseninde kestiği nokta hakkında yorumlar yapmıştır.
Şekil–41, Tülay’ın 7 numaralı soruya ait çizimi
“t=0 anında 0,20 liramız gidiyor. t=1 anına kadar da aslında azalarak devam ediyormuş gibi. Bir anda mesela şu anda ücretimiz sıfır oluyor, bedava konuşuyoruz o dakika içinde. Sonra tekrar tarifemiz eğim kadar yani 1,08 kadar artmaya devam ediyor, her dakika için o kadar artıyor.”
Araştırmacı: “O zaman nasıl konuşmak en mantıklı oluyor, hangi periyotlarla?” Tülay: “Şu aralıkta mesela (grafiğin altta kalan kısmını gösterir) o t anına gelene kadar konuşup kapatmak, sonra tekrar aramak daha mantıklı.”
Araştırmacının “O süre çok kısa değil mi? Diğer alternatif olarak nereyi düşünebiliriz?” sorusu üzerine bence bu tarifeyi kullanmayalım şeklinde cevap veren Tülay, 5er dakikalık periyotları değerlendirmemiştir.
Tülay eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi kurmuştur.
Tülay, 11 numaralı soruda x eksenine çeşitli değerler yerleştirerek soruyu yorumlamaya başlamıştır.
Şekil–42, Tülay’ın 11 numaralı soruya ait çizimi
“Yolun zamana göre değişimine bakacağız, hızı verecek. Şimdi buradan baktığımızda ‟nin gittiği yol şu kadar değişmiş. Şuraya a dersek, 2 saniyede a kadar gitmiş. Eğimi de oluyor. Buna da b dersek b-40 kadar yol gitmiş oluyor. Yine 2 saniyede bunun da eğimi oluyor. Şimdi zaten bunlar sabit hızlarla gidiyor.”
Araştırmacı: “Sabit ya da değişken olduğuna nasıl karar veriyorsun?”
Tülay: “Doğrusal olduğu için grafik sonuçta sabit hızları. Değişken olsaydı parabolik olacaktı. Baktığımızda şu
ve hiç değişmeyecek ama bir süre sonra yolları eşitlenmiş. , ‟den daha hızlı. Çünkü daha önce başladı yola ‟den. Demek ki daha hızlı diyebiliriz burada.”
Araştırmacı: “Peki bunu direk grafiğe bakarak söyleyebilir misin, böyle işlemler yapmadan?”
Tülay: “ ‟in eğimi ‟nin eğiminden daha büyük olduğu için daha hızlı diyebilirim.”
“Hızları sabit dedik, hızları sabit olduğundan eşit olduğu bir an da yoktur. Çünkü eğimi de sabit demiştik. Zaten hızları eşit olacak olsa şunun biraz daha yavaşlaması, yani aldığı yolun azalması gerekir.”
Tülay‟ın bu soru hakkındaki yorumlarına baktığımızda diğer tüm adaylar gibi eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi başarıyla kuruduğunu görebiliriz.
Tülay, eğim kavramının cebirsel temsilini gerektiren 8 numaralı soruda grafik çizmeden denklemi yorumlamaya çalışmıştır. y=mx+n denklemini baz alarak, soruda verilen denklemin sol tarafındaki iki terimi de a ile genişletmiştir. Elde ettiği denklemi y=mx+n denklemine uyarlayamayan Tülay, grafik çizmeye karar vermiştir. Adım adım açıklamaları eşliğinde grafiği çizen Tülay,
‟ın yani eksenlerdeki
değişim oranının eğimi verdiğini, bunun da a ‟a eşit olduğunu söylemiştir. Bulduğu eğimin, y=mx tarzında n sabiti olmayan bir denklemi ifade ettiğini belirtmiştir.
Şekil–43, Tülay’ın 8 numaralı soruya ait çizimi
Eğimin değişken olabileceğini ise şu şekilde ifade etmiştir.
“a aslında farklı çubuğa göre değişebilecek bir şey oluyor. Farklı sıcaklığa göre de ilk boyu değişebilir. Yani eğim de değişir.”
İki farklı cinste madde düşündükten sonra birbirinden farklı eğimlere sahip iki grafik çizen Tülay eğimin nasıl değişkenlik gösterebileceğini söylemiştir.
“İkisi için a sabiti değişeceği için metalin cinsine göre, eğimimiz de değişecek. Yani aslında metal için şu şöyleyken diyelim, çinko için böyle olacak belki (iki grafik çizer). Burada metalin cinsi hakkında yorum yapabilirim. Metalin cinsine göre eğim artacak ya ada azalacak yani.”
Araştırmacı: “Yani eğim nelere bağlı diyorsun?”
Tülay: “a ‟a göre buradaki değişkenler değiştiğinde yine eğimi değişecek. Farklı metallerde bu eğim değişebilir ya da farklı boydakiler için.”
Soruda verilen denklemi genleşmeye bağlı olarak yorumlayan ve eğimi de bulan Tülay, eğim kavramının cebirsel temsilini ifade edebilmiştir.
Tülay‟ın eğim kavramının trigonometrik temsilini gerektiren 9 numaralı ve 10 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. Tülay‟ın iki durumda da orta seviyede trigonometrik temsile sahip olduğu görülmüştür.
Tülay, 9 numaralı soruda herhangi bir doğrunun tüm noktalarında eğim aynı olacağı için tan ‟u bulmasının doğrunun eğimini bulma konusunda yeterli olacağını söylemiştir. Bu şekilde doğrunun eğiminin
olduğunu göstermiştir. P(3,2) noktası
dışında başka bir nokta daha verilmesi halinde iki noktası bilinen doğrunun denklemini de bulabileceğini eklemiştir. Ancak hiç düşünmeden çizdiği grafikte, doğruyu orijinden geçirerek düştüğü hatanın farkına varamamıştır.
Soruyu ilk okumasından itibaren doğrunun x ekseni ile pozitif yönlü açı yaptığını düşünen Tülay, araştırmacının “Peki negatif yönlü açı yapmış olaydı nasıl düşünürdün?” sorusuna aşağıdaki gibi cevap vermiştir.
“Yine eğimi hakkında bir şey değişmezdi. Negatif yapması şurası olurdu (oluşturduğu grafiğin altına bir başka doğru çizer). Yine
muydu? O zaman nokta
değişirdi.”
Tülay da ikinci durumda çizdiği doğrunun yanlışlığından kaynaklanan hatalı bir yorum yapmıştır. Bu şartlarda doğrunun (3,2) noktası yerine (3,-2) noktasından geçeceğini savunmuştur.
Biraz daha düşünme fırsatı isteyen Tülay, çizdiği doğrunun doğruluğundan emin olamamıştır. Heyecandan kafası karıştığını belirten Tülay‟ın son yorumları aşağıdaki gibidir.
“Negatif yönde - ‟lik. Şu tarafını mı kastediyor acaba? Ama tan(180+30) yine + olur yani… Bilemiyorum.”
Sorudaki doğrunun eğimini matematiksel olarak doğru bulan Tülay, çizdiği doğrunun ekseni kestiği noktayı doğru bir şekilde tespit edemediği için çelişkilere düşmüştür. Negatif yönü düşünmede de problemler yaşayan öğretmen adayı eğim kavramının trigonometrik temsili konusunda eksikliklere sahiptir.
Tülay, 10 numaralı soruda trigonometrik olarak k doğrusunun eğiminin daha büyük olduğunu söylemiştir fakat grafiğe bakınca k doğrusunun dik bir doğruya daha yakın olduğunu ifade ederek bu iki durumun birbiri ile çeliştiğini söylemiştir. Tülay‟ın her bir adımdaki açıklaması bir öncekinden farklılık gösterdiği için kesin bir sonuca ulaşamamıştır.
“Açı büyüdükçe tan da büyüyor. Yani büyüklük olarak tan2 daha büyük diyebiliriz.”
Tülay: “k doğrusu. Ama şu l‟nin eğimi daha çok tabi.” Araştırmacı: “O zaman hangisinin eğimi daha çok?”
Tülay: “l‟ninki daha çok gibi geldi. Ama baktığımızda tan2 daha büyük. Ben yine tan2 daha büyük diyeyim.”
Araştırmacı: “Açıları kıyasladın, eğimleri de kıyaslar mısın? k‟nın ve l‟nin eğimlerini.”
Tülay: “Şimdi bunun eğimi daha çokmuş gibi geliyor, l‟nin eğimine baktığımızda.”
Araştırmacı: “Neden?”
Tülay: “Çünkü mesela k‟nınki dikliğe daha yakın. Şöyle olsa (x eksenine dik bir doğru çizer) eğimi sıfır diyeceğiz. Ama l x eksenine daha yakın, eğimi daha büyük. Aslında idi sanırsam. tan ‟nın eğimi m olsun. Buradan
oluyor. Bunun m ile arasında nasıl bir ilişki var. Bakıyorum… Karşılaştırmadım.” Araştırmacı: “Az önce söylediklerini düşünebilirsin.”
Tülay: “Şuradaki y değişimi ile buradaki x değişiminin oranı olacağı için eğim bu daha küçüktür (l doğrusunu gösterir). tan yani bunun eğimi dersek gibi geliyor ama öyle gözükmüyor.”
Bu soruda verilen doğruların kıyaslamasını, doğruların x ekseni ile yaptıkları açıların tanjantına bakarak başarıyla yapan Tülay‟ın dik bir doğrunun eğiminin sıfır olduğunu hatırladığı için çelişkiye düşmüştür. Tülay, her ne kadar eğim kavramının trigonometrik temsilini düzgün bir şekilde ifade etse de doğruların eğimini çeşitli işlemler yapmadan sadece görsel olarak değerlendirmesi sonucu hata yapmıştır.
BÖLÜM V