Soyutlamanın teorik temelleri oldukça eskiye dayanır. Soyutlama, Aristotle zamanında çalışılmaya başlanmış ve çeşitli filozoflar tarafından ele alınmıştır. Ancak soyutlamanın birçok yönü olduğu için soyutlamanın tek bir anlamı üzerinde fikir birliği sağlanamamıştır (Hazan, 1999; Tsamir ve Dreyfus, 2002). Yani, soyutlama matematik eğitiminde önemli bir konu olmakla birlikte, eğiticiler arasında tam bir fikir birliği bulunmamaktadır (Ohlsson ve Regan, 2001). Soyutlama fikri üzerinde yapılan tartışmalar, yapılandırmacı kuram üzerindeki tartışmalara paralel olarak gerçekleşmiş ve bilişsel yapılandırmacılar ile sosyokültürel yapılandırmacıların soyutlamayı açıklama şeklinde farklılıklar ortaya çıkmıştır. Bunun sonucunda da, yüzyıllardan beri üzerinde çalışılmaya devam eden soyutlama fikrinin günümüzde iki değişik bakış açısıyla yorumlandığı görülmektedir. Bunlar; bilişsel ve sosyokültürel bakış açılarıdır.
Soyutlama fikrini anlamlandırmada öne çıkan bu iki bakış açısına ait temel ilkeler incelendiğinde, bilişsel ve sosyokültürel bakış açılarının soyutlamayı bir süreç olarak kabul etmeleri bakımından benzeşmekte oldukları, yani yeni zihinsel durumların/objelerin soyutlama sürecinin sonucunda meydana geldiği (Hassan ve Mitchelmore, 2006) düşüncesine dayandıkları anlaşılmaktadır. Bununla birlikte, ilerleyen aşamalarda görüşler birbirinden ayrılmaktadırlar. Örneğin, soyutlamanın gerçekleşmesinde bağlamın rolü her iki bakış açısına uygun olarak gerçekleştirilen soyutlamalarda farklı şekilde algılanmaktadır.
4.1. Bilişsel Bakış Açısı ile Soyutlama
Soyutlamayı bilişsel bakış açısı ile ele alan araştırmacılardan biri Piaget’dir. Piaget kişinin dikkatini nereye verdiğine önem verir ve soyutlamanın üç farklı çeşidinden bahseder. Bunlar; nesnelerde deneysel soyutlama, özellikler üzerinde sözde- deneysel soyutlama ve eylemler arasında karşılıklı ilişkiler üzerinde yansıtıcı
soyutlama. Piaget deneysel, sözde-deneysel ve yansıtıcı soyutlama arasındaki farklılıkları “Studies in Reflecting Abstraction” adlı kitabında belirtmiştir. Ona göre, deneysel soyutlama nesnelerin özelliklerini genelleme anlamına gelmektedir. Çünkü deneysel soyutlama matematiksel kavramların gelişimiyle dolaylı olarak ilgilenmektedir (Özmantar ve Monaghan, 2007). Kavramlar arasındaki yüzeysel benzerliklere dayanmaktadır ve günlük yaşamdaki kavramları oluşturmaya yönelik bir soyutlama tipidir (Mitchelmore, 2002). Yani, deneysel soyutlamada öğrenenler sadece nesnelerin özelliklerini kullanarak soyutlama yaparlar. Sözde-deneysel soyutlama, deneysel soyutlamada olduğu gibi yine kavramların ortak özellikleri dikkate alır (Mitchelmore ve White, 2004), fakat bunun yanında eylemler arasındaki çok yönlü ilişkiyi de göz önünde bulundurur (Tall, 1991). Yansıtıcı soyutlama ise, öğrenenin herhangi bir konu üzerinde çalışırken yaptığı eylemler üzerine eğilip onlar üzerine düşünerek, çalıştığı konuya yönelik yeni çıkarımlarda bulunmasını kapsar (Zembat, 2007) ve eylemlerin ve işlemlerin nasıl düşünülmüş ve özümsenmiş nesneler haline gelmeye başladıkları üzerinde odaklanır (Tall, 2004). Piaget çeşitli yansıtıcı soyutlama yapılarından bahsetmiştir. Bunlar; içsel süreçlerin bir yapılanması olarak içselleştirme, yeni bir yapı oluşturmak için iki ya da daha fazla işlemin/sürecin birleşimi ya da koordinasyonu, bir dinamik sürecin/işlemin sabit bir nesneye dönüşümünde muhafaza etme, genellemedir (Paschos ve Farmaki, 2006). Bu tür soyutlama, yapılandırmacı ve “belirli kuralların yeni anlamlar kazanmalarının tam ortasındaki yeni sentezler” ile sonuçlanan bir genellemeye izin verir (Piaget ve Garcia, 1989: 299; Akt. Paschos ve Farmaki, 2006).
Piaget’in yansıtıcı soyutlama fikri daha sonra yapılacak soyutlama araştırmalarına temel oluşturmuş (Tall, 1991), zihinsel işlemlerin sınıflandırmasına ve zihinsel nesnelerin soyutlanmasında yol gösterici olmuştur. Bu süreç, mantıklı ve tutarlı teorik modellerin yapılanmasını sağlar (Hershkowitz, Schwarz ve Dreyfus, 2001). Bununla birlikte, birçok yazar deneysel soyutlamanın matematiksel olmadığını iddia etmektedir. Bütün temel matematiksel fikirler deneysel soyutlamanın genel bir süreci vasıtasıyla öğrenilir ve sonraki öğrenme matematiksel soyutlama diye adlandırılan farklı bir süreç tarafından bu deneysel kavramlara dayandırılır (Mitchelmore ve White, 2004). Matematik eğitimcilerinin istediği deneysel soyutlamadan çok yansıtıcı soyutlama
olmalıdır. Ancak bu sayede öğrenciler uğraştıkları problemin yüzeysel özelliklerini ezberlemekten öteye geçer ve problemin çözümünde altyapıyı oluşturan matematiksel ilişkileri soyutlarlar. Buna ek olarak, öğreniciler ayrıca yeni soyutlamaları kendi bilişsel mekanizmalarına ekler ve başka benzer ortamlara (problem, soru, matematiksel kavram vb.) da aktarabilirler (Zembat, 2007).
Soyutlamayı bilişsel bakış açısı ile değerlendiren önemli isimlerden biri de Dienes’tir. Dienes (1961: 281), soyutlamayı “bir grup farklı durumdan ortak özellik
çıkarma süreci” olarak tanımlamakta ve bir ürün olarak değil, bir süreç olarak ele
almaktadır (Akt. Yeşildere, 2006: 25). Ona göre, soyutlama aynı kavramı şekillendiren farklı durumlar arasındaki aynı tür örüntüleri keşfetme sürecidir. Bu nedenle, matematik bağlamında somut bir deneyim fiziksel veya gerçek-dünya özellikleriyle değil, daha çok diğer matematiksel fikirler ve durumlarla nasıl anlamlı bağlantılar kurduğuyla tanımlanır. Örneğin bir öğrenci, sayının bir sunumunu oluşturarak ve onu ya gerçek ya da resimlendirilmiş bloklarla bağlayarak “dört” kavramının anlamını oluşturabilir (1963: 57-59; Akt. Durmuş, 2006).
Skemp ise, soyutlamayı “deneyimlerimizin arasındaki benzerliklerin farkına varma aktivitesi” olarak tanımlamıştır. Skemp (1986: 21) bu süreci şöyle açıklamıştır:
“Soyutlama, deneyimlerimizin arasında benzerliklerin… farkına vardığımız bir etkinliktir. Sınıflama, bu benzerliklere dayanarak deneyimlerimizi bir araya toplamak anlamına gelir. Bir soyutlama bir çeşit devam eden değişim, soyutlamanın zaten biçimlendirilmiş bir sınıfın
benzerliklerini görme gibi yeni deneyimleri fark etmemizi sağlayan sonucudur. Bir aktivite olarak soyutlama ve onun son-ürünü olarak soyutlama arasındaki farkı ayırt etmek, sonrakini bir
kavram olarak adlandırabiliriz.”
Mitchelmore ve White (2004), Skemp’in tanımından yola çıkarak soyutlamayı iki evrede ele almışlardır. Onlara göre, bu sürecin ilk evresi birçok farklı durumda genel özellikleri tanımadır. Günlük yaşam deneyimlerinde bu özellikler yüzeysel olabilir (renk gibi), fakat matematikte daima yapısaldır (sayı gibi). İkinci evrede fark edilen ya da tanınan benzerlik soyutlanır ve bu benzerliği bir anlamda temsil eden bir kavramda şekillendirilir. Bu durum Piaget’in literatüre kattığı örnekle açıklanabilir:
“Elindeki belli miktarda taşı değişik şekillerde (yuvarlak, kare, tek sıra vb.) yan yana dizen bir çocuğun her seferinde yaptığı taş dizme eylemi üzerine eğilip, sonuçlar üzerinde düşünmesiyle daha önceden farkına varmadığı taşları nasıl dizersem dizeyim sonuçta elimde hep aynı sayıda taş var.” çıkarımını yapmasıdır.”
Çocuğun yaptığı taş dizme eylemi, bu eylemin ürettiği sonuç ve çocuğun kendi bilişsel yapısıyla bu mekanizma üzerine düşünmesi ön plandadır. Bu tarz soyutlamaya sahip çocuk için, birçokluğun nicel olarak büyüklüğünün (grubun kaç tane taştan meydana geldiği) o çokluğu oluşturan elemanlara bağlı olduğu gerçeğini özümseyip sayma eylemine ihtiyaç duymayacağı söylenebilir. Eğer çocuk yaptığı eylem ve bu eylemden doğan sonuçları dikkate alarak uğraştığı mekanizma üzerine düşünmezse, sadece elinde bulunan taşların fiziksel özellikleriyle (renk, büyüklük vb.) ilgilenmiş olur. Bu durum çocuğun deneysel soyutlama yapması demektir (Hassan ve Mitchelmore, 2006).
Bilişsel kuramcıların düşünceleri özetlenecek olursa, Piaget ve onu izleyen diğer bilişsel yaklaşım kuramcıları soyutlamanın bir dizi matematiksel süreç ve nesneden oluştuğunu, öğrencilerin zihinlerindeki bu nesneleri ortak özelliklerine göre
ilişkilendirmek suretiyle daha ileri bir matematiksel nesneye ulaştıklarını belirtmişlerdir
(Herskhowitz, Schwarz ve Dreyfus, 2001). Soyutlamanın öğretim sırasında örneklerin incelenmesi ve onlardaki ortak özelliklerin yakalanması ile gerçekleştiğini açıklamışlardır (Özmantar, 2004; Yeşildere ve Türnüklü, 2008a). Piaget’inde içinde bulunduğu bu psikologlar soyutlamanın ardışık olduğunu ve sıralı eylemler sonucunda elde edildiğini savunmuştur.
Sonuç olarak, soyutlamayı bilişsel yaklaşımla ele alan araştırmacılar üç önemli ortak ifade üzerinde durmaktadırlar (Özmantar, 2005a; Özmantar ve Monaghan, 2007). Bunlar;
a. Çok sayıdaki spesifik durumlar içerisinde yalnız bırakılmış benzerliklerin tanınmasından ortaya çıkan genelleştirme (belli örneklerin ortak noktalarını tanıma),
b. Düşük somut seviyelerden soyut düşünmenin yüksek seviyelerine doğru bir tırmanış (somuttan soyuta yükseliş),
c. Kendi bağlamının dışında düşünme süreci, ortamı çevreleyen koşullardan bağımsız olarak gerçekleşen bir süreç (zaman ve yer gibi ortam koşullarından bağımsız bir süreç).
4.2. Sosyokültürel Bakış Açısı ile Soyutlama
Soyutlama ile ilgili ikinci görüş, sosyokültürel bakış açısı ile değerlendirilen soyutlama görüşüdür. Sosyokültürel bir bakış açısıyla ele alınan soyutlama fikri öğrenmenin çevreden, öğrenme ortamını çevreleyen koşullardan, kullanılan araçlardan ve sosyal etkileşimden ayrı bir şekilde gerçekleşemeyeceği düşüncesine dayanır. Bu durum ise, soyutlamayı sosyokültürel bakış açısı ile ele alınan soyutlamanın oluşumu için öncelikle uygun çevresel koşulların sağlanması gerektiğini göstermektedir. Çünkü bu bakış açısına göre ancak uygun çevre şartlarının düzenlenmesi halinde bilgi öğrenci için anlamlı olur ve öğrencinin edindiği yeni bilgileri soyutlaması kolaylaşır.
Sosyokültürel yaklaşımın benimsediği açıklamalar özellikle de Davydov’un etkinlik kuramı ile ilgili düşüncelerinden beslenir (Hershkowitz, Schwarz ve Dreyfus, 2001; Özmantar ve Monaghan, 2007). Davydov (1990) soyutlamayı “bir niteliği diğer
niteliklerden genelden birkaç objeye/duruma ayırma” olarak tanımlamıştır (Akt. Hassan
ve Mitchelmore, 2006). Ona göre, kavramanın deneysel düşünme seviyesi ve kuramsal düşünme seviyesi olmak üzere iki şekli vardır. Bu düşünceye göre günlük kavramlar deneysel düşünme ile kazanılır, fakat deneysel düşünme ile soyut bilimsel kavramlara ulaşılamaz. Bilimsel kavramlar soyutturlar ve soyut bilimsel bilginin kazandırılmasının tek yolu “düşüncenin, durmayan bir devinim ve değişim içinde bulunması ve
düşüncedeki evrimin iç çelişmelerinin yaşanması sonucunda ortaya çıkması” anlamına
gelen diyalektik mantıktır (Akt. Hershkowitz, Schwarz ve Dreyfus, 2001). Öğrenciler yeni matematiksel bilgi ile öncekiler arasında muhtemel çelişkileri ve uygunlukları tartışır, bunların arasında bir bağ kurmaya ihtiyaç duyarlar. Özellikle kanıtlama suretiyle ulaşılan bilgilerde bu durum açıkça görülür. Davydov’un yaklaşımı bilişsel yaklaşımı reddetmekten ziyade, onu kapsamakta ve soyutlama için daha geniş bir çerçeve sunmaktadır. Davydov’un (1990) açıklamalarına göre, bilişsel psikologların
yaklaşımı deneysel düşünce düzeyi için uygun fakat kuramsal düşünce düzeyi için uygun değildir veya yetersizdir (Akt. Özmantar, 2004).
Soyutlamayı sosyokültürel bakış açısı ile ele alan araştırmacılardan biri olan Leont’ev (1981) tarafından Vygotsky’nin görüşüne uygun olarak geliştirilen “aktivite
teorisi” de soyutlama sürecinde oldukça büyük bir öneme sahiptir. Bu teoriye göre,
etkinlikler davranışlar zincirinin oluşmasını sağlarlar. Bağlam bir etkinliğin vazgeçilmez bileşenidir, çünkü katılımcılar etkinlikte bağlam ile ilgili davranışları gerçekleştirirler. Bağlam, yapıyı ve insanoğlunun davranışlarının anlamını çerçeveleyen birbirine bağlı faktörlerin bir araya gelmesidir. Bu teoriye göre, etkinlikler verilen içeriğin anlamlandırılması, yeni bilgi edinilmesi, öğrenilen yeni bilgilerin kalıcı olması ve soyutlanması için çevresel düzenlemenin temelini oluşturur. Bu nedenle, etkinlikler çeşitli el becerilerini içerecek şekilde olmalıdırlar. Bir etkinliğin gerçekleştirilmesi aşamasında; el becerileri yaratıcı, işlemsel ve dönüştürülebilir olmalıdır. Çeşitli el becerisi içeren bir etkinlik (araç, fikirler, işaretler) aracılığıyla davranışlar dolaylı olarak elde edilirler. Bununla birlikte; etkinlikler sadece dış çevreyi düzenleyen fiziksel bir faktör olmak yerine, katılımcının duyuşsal özelliklerine de cevap verip katkıda bulunacak şekilde tasarlanmış olmalıdır. Hazırlanan etkinlikler katılımcıların kişisel geçmişleri, hazır bulunuşlukları, sosyal çevreleri, öğrenme biyografileri, iletişim becerileri, ... gibi öznel faktörlere de yer vermelidir (Hershkowitz, Schwarz ve Dreyfus, 2001).
Soyutlamayı sosyokültürel bakış açısı ile ele alan araştırmacılardan bir diğeri olan Sfard (1991) ise, soyut matematiksel fikirler iki şekilde kavranabileceğini ele almıştır: Süreçler olarak işlevsel bir şekilde ve nesneler olarak yapısal bir şekilde. Öğrenciler ilk olarak, süreçleri ya da işlevleri, bizim durumumuzda manipülatifleri kullanarak matematiksel kavramlara aşina duruma gelir ve daha sonra onların kavrayışı süreçten ayrılır ve bu eylemler üzerinde yansımalar vasıtasıyla kavramların belli bir kategorisine ait olan yeni bir nesne olarak görülür. Bu yüzden, matematiksel süreçleri nesneler olarak algılayabilmek için öğrencileri yaptıkları eylemler üzerinde iyice düşünmeleri için cesaretlendirmek çok önemlidir.
Soyutlamayı sosyokültürel bakış açısı ile ele alan araştırmacılar arasında bulunan Noss ve Hoyles (1996), bağlamın kişinin kavrayışını çeşitli düzeylerde ve birçok şekilde etkileyebileceğini ileri sürmüş, soyutlamayı öğrencilerin sahip oldukları kavramsal bilgileri ilişkilendirmeleri boyutunda ele almış ve durumsal soyutlama fikrini üretmişlerdir. Durumsal soyutlamanın öğrencilerin kullandıkları materyallerden ve bir ortamdaki farklı bileşenlerinden sonuç çıkararak, matematiksel fikirleri nasıl oluşturduklarını anlamaya yardım eden bir araç olduğunu açıklamış ve öğrencilerin etkinlikleri başarılı bir şekilde gerçekleştirerek ilerlemeleri halinde bir önceki etkinliklerle yenilerini birleştirmeyi öğrendiklerini belirtmişlerdir. Onlara göre, durumsal soyutlama, öğrencilerin yaptıkları önceki yapılandırmalardan yararlanmalarını sağlar. Bununla birlikte, bilgi ağı kurma sürecinde yeni bir matematiksel bilginin oluşturulmasında uygun olan araçlar amaca hizmet edecek ölçüde öğrencilerin yararlarına kullanılmaktadır ve böylelikle önceden edinilmiş olan bilgilerle ilişkilendirme kurulur.
Soyutlamayı sosyokültürel bakış açısı ile değerlendiren diğer önemli isimler olan Hershkowitz, Schwarz ve Dreyfus (2001) ise, soyutlama sürecinin soyut düşünceden hareketle meydana geldiğini fakat bilimsel kavramlar için düşünmenin soyut bilginin oluşmasına neden olmadığını (bilginin bütün bir sistemden oluşması nedeniyle) ve bu nedenle de bilimsel kavramların soyutlanması sürecinde diyalektik mantığın gerekli olduğunu açıklamışlardır. Leont’ev in aktivite teorisinden yola çıkarak, matematiksel soyutlama sürecinin gelişiminde fiziksel, sembolik, dilsel ve işaretsel araçların matematiksel bilginin oluşumuna olan etkilerini de özellikle vurgulamışlardır (Yeşildere, 2006: 27; Dreyfus, 2007; Özmantar ve Monaghan, 2007). Yaptıkları çalışmalarda, soyutlama sürecinde etkinliklere katılanların geçmiş yaşantılarının, etkinliğin gerçekleşmiş olduğu sosyokültürel ve fiziksel koşulların gelişim sürecini etkilediğini ve çoğu zamanda belirlediğini örneklerle açıklamaya çalışmışlardır.
Soyutlama için diyalektik yaklaşımı benimseyen bu araştırmacılar, kendi deneyimlerini somut ve soyut arasında diyalektik bir bağlantı olarak ele alan (Özmantar, 2004) Davydov’un kuramı ile birleştirerek soyutlamayı “önceden edinilmiş
yeniden organizasyonu aktivitesi” şeklinde tanımlamışlardır (Hershkowitz, Schwarz ve
Dreyfus, 2001; Dreyfus, Hershkowitz ve Schwarz, 2001a ve 2001b; Dreyfus, 2007). Bu tanımda geçen “aktivite” sözcüğü ile bireysel veya grup çalışmalarında, tasarlanmış öğrenme ortamlarında öğrencilerin yürüttükleri eylemler; “yeni bir matematiksel yapı” ile soyutlama sonucunda oluşan matematiksel düşünce (kavram, bağıntı veya genelleme), “dikey organizasyon” ile de Gerçekçi Matematik Eğitimi kuramında matematikleştirme sürecinin ikinci safhası olan dikey matematikleştirme (Hershkowitz, Schwarz ve Dreyfus, 2001) yani sembollerle çalışma, kavramlar arasında ilişkiler kurmak suretiyle mevcut matematiksel nesnelerden daha formal bir matematiksel nesneye ulaşma (De Lange, 1996; van den Heuvel-Panhuizen, 1996) kastedilmektedir. Dikey matematikleştirme yeni bir matematiksel yapının, matematiksel kavramlarla ve matematiğin kendi içinde yapılandırılması sürecidir ve yeni bir matematiksel yapıya ulaşmak amacıyla eski yapıların yeniden düzenlenmesi, bunlar arasında bağlantı ve ilişki kurulması ve bunların tek bir matematiksel düşünce süreci içinde birleştirilmesini gerektirir. RBC+C soyutlama süreci de, esasta yeni matematiksel yapıların ortaya çıkışlarıyla gerçekleşen dikey matematikleşme sürecidir (Dreyfus, 2007).
Kısacası, bu araştırmacılara göre soyutlamanın gerçekleşmesi için yeni bir matematiksel yapıya ulaşmak için eski yapıların yeniden düzenlenmesi, bunlar arasında bağlantı ve ilişki kurulması ve bunların tek bir matematiksel düşünce süreci içinde birleştirilmesi gerekmektedir (Dreyfus, 2007). Bu araştırmacılar yaptıkları çalışmalarda öğrenen için yeni yapıların ortaya çıkması ile ilgilenmiş, Freudenthal Okulu’nun dikey matematikleştirme fikrini benimsemiş ve birey için önceki yapıların dikey olarak yeniden organize edilmesiyle yeni matematiksel yapıların nasıl ortaya çıkabileceğini ve bunlar arasında kurulan ilişkileri tartışmışlardır.