Sierpinska (2000), öğrencilerin lineer cebir derslerinde sergiledikleri düşünme biçimlerini incelemiştir. Çalışma sonunda ortaya koyulan düşünme biçimleri Sentetik- Geometrik, Analitik-Aritmetik ve Analitik-Yapısal olmak üzere üç başlık altında ele alınmıştır. Sierpinska (2000), düşünme biçimlerini ilk olarak geometrik ve analitik olarak ikiye ayırmış, daha sonra ise analitik düşünme biçimi başlığı altında aritmetik ve yapısal düşünme arasındaki farklılıkları ifade etmiştir.
Sentetik-Geometrik düşünme biçiminin temel özellikleri geometrik temsillerin kullanımı ve kullanılan kavramlarla ilgili tanımlara yer verilmemesidir. Örnek olarak, sentetik geometrik düşünme biçimine sahip öğrenciler tarafından verilen bir doğru düzlemde belli bir şekli olan nesne olarak görülür ve bu doğrunun özelliklerinden bahsedilebilir. Ancak bu özellikler doğruyu tanımlamaktan ziyade yalnızca betimlemek olacaktır. Oysaki bir kavramla ilgili bir tanım yapmak için onun özellikleri hakkında çok daha fazla bilgiye ihtiyaç vardır ve bunun için farklı bir düşünme biçiminin kullanımına ihtiyaç vardır. Analitik düşünme biçiminde bir doğru belli bir özellikte noktalar kümesi veya boyutu verilen bir uzaydaki vektörler olarak tanımlanır. Matematiksel nesneler hakkında sentetik ve analitik düşünme biçimleri arasında temel farklılık; sentetik modda nesneler bir bakıma direk olarak zihne aktarılır ve daha sonra betimleye çalışılır, analitik modda ise nesneler dolaylı olarak verilir ve sadece kendi özelliklerinin tanımıyla inşa edilir. Bu nedenle sentetik düşünme biçimi öğrencilerin matematiksel kavramları anlamalarında sıklıkla kullandıkları pratik düşünme şekli, analitik düşünme biçimi de teorik düşünme şekli olarak düşünülebilir (Sierpinska, 2000).
Sentetik ve analitik düşünme biçimleri arasındaki bir diğer fark, her bir düşünme biçiminin kendine özel temsilleri kullanmasıdır. Genel olarak sentetik düşünme biçiminde geometrik temsiller kullanılırken analitik düşünme biçiminde ise sayısal ve cebirsel
temsiller kullanılır. Örneğin sentetik düşünme biçiminde öğrenciler R2 ve R3 teki vektörlerin
konumlarını göz önünde bulundurarak onların lineer bağımsız olup olmadıklarına karar verebilirler. Sentetik düşünme biçiminde öğrenciler vektörleri ve onların lineer bağımsızlıklarını betimler fakat tanımlayamazlar (Doğan-Dunlap, 2010). Bununla birlikte analitik düşünme biçiminde öğrenciler lineer bağımsızlığın formal tanımını kullanılırlar.
Sierpinska (2000) analitik düşünme biçimini analitik-aritmetik ve analitik-yapısal olmak üzere ikiye ayırır. Analitik-aritmetik düşünme biçimi hesaplamaları sadeleştirmek ve doğru yapmayı hedeflerken, analitik-yapısal düşünme biçimi kavramlar hakkındaki bilgimizi genişletmeyi hedefler. Eğer a’nın b ye eşit olduğunu biliyorsak, a ve b hakkında çok daha fazlasını bilmemiz gerekir. Analitik-aritmetik düşünme biçiminde matematiksel bir nesne hesaplamaya imkân tanıyan bir formül ile tanımlanır, analitik-yapısal düşünme biçiminde ise aksiyomlar kümesi tarafından en iyi şekilde tanımlanmıştır (Sierpinska 2000, s. 234). Örneğin, analitik-aritmetik düşünme biçimi bakış açısında önemli olan regüler matrislerin terslerinin hesaplanmasına imkân veren uygun formül ve teknikleri doğru bir şekilde kullanmaktır. Ancak, analitik-yapısal düşünme biçiminde bir matrisinin tersine sahip olma özelliğinin tanımlamasının önemi vardır. Analitik-yapısal düşünme biçiminde, akıl yürütme, bir sistem içindeki kavramlar arasındaki mantıksal ve anlamsal bağlantıya dayanır; kavramlar arasındaki ilişkiler, daha genel kavramlarla ilişkilerine dayanarak yapılır (Sierpinska 2000). Lineer bağımlılık/bağımsızlık açısından analitik-aritmetik düşünme biçiminde öğrenciler hesaplamaya dayalı olarak ya tanımı kullanarak veya vektörlerden bir matris oluşturarak vektörlerin lineer bağımsızlığını belirleyebilirler. Analitik-yapısal düşünme biçiminde öğrenciler vektörleri vektör uzayları ile bağlantılı olarak dikkate alabilir ve ilişki kavramları (lineer kombinasyon, boyut) veya teoremleri kullanarak vektörlerin lineer bağımsızlıklarını belirleyebilirler. Tablo 2’de Sierpinska’nın lineer cebire özgü düşünme biçimlerine yer verilmiştir.
Tablo 2. Sierpinska’nın Düşünme Biçimleri (Dogan’dan (2018) uyarlanmıştır.)
Düşünme Biçimleri Temsiller Öğrenci Yeterliği
Sentetik- Geometrik
Grafik temsiller Verilen şekle/duruma bağlı
çıkarımlar; mevcut yapıyı tanımlamaktan ziyade betimlemeye
yönelik açıklamalar içerir.
Öğrenciler R2 ve R3’te
grafikleriyle verilen vektörlerin lineer bağımlılık
ve bağımsızlıklarını belirleyebilirler.
Analitik Analitik-
Aritmetik
Sayısal Temsiller
Bir kavram, hesaplama yapmaya imkân veren bir formül ile
tanımlanır.
Öğrenciler vektörlerden matrisler oluşturabilirler, matrisleri eşolon forma çevirebilir ve burada lineer
bağımlılık/bağımsızlığa karar verebilirler.
Tablo 2’nin devamı
Düşünme Biçimleri Temsiller Öğrenci Yeterliği
Analitik- Yapısal
Nesneleri bir sistem içinde düşünme Tanımlar ve bunlara ait özellikler kullanılır. Bir nesne en iyi özellikler kümesi olarak tanımlanır.
Vektörlerin lineer bağımlılık ve bağımsızlıklarına karar vermede vektör uzaylarının boyutlarını kullanma
Sierpinska’nın (2000) düşünme biçimlerine ilişkin oluşturduğu kavramsal çatı incelendiğinde sentetik – geometrik düşünme biçimi, vektörlerin herhangi bir koordinat sistemine bağlı olmadan sentetik olarak ya da bir koordinat sistemi ile analitik olarak temsil edildiği basamaktır. Örneğin bu düşünme biçimine sahip kişiler vektörlerin lineer bağımsızlığına karar vermede analitik düzlemden faydalanabilir, görsel olarak vektörlerin birbiri cinsinden yazılıp yazılamayacağına karar verebilir.
Analitik-aritmetik düşünme biçiminde vektörlerin sayılarla veya değişkenlerle temsil edilmesi ve lineer birleşim veya tanım kullanarak lineer bağımlılık/bağımsızlığa karar verilmesi söz konusudur. Örneğin analitik düzlemde verilen vektörlerin genel olarak ifade
edilmesi (𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦) gibi) ve bu formlardan faydalanarak gerek lineer birleşim tanımı
gerekse elde edilecek matrisin eşelon forma dönüştürülerek lineer bağımlılık ya da bağımsızlığa karar verilmesi bu düşünme biçimi altında ele alınabilir. Analitik-yapısal düşünme biçiminde ise vektörlerin bulundukları düzlemden hareketle ya da baz-taban boyutlarını kullanarak lineer bağımlılık/bağımsızlığa ulaşma fikri vardır (Dorier, 1997; Hillel, 2000; Sierpinska, 2000).
Literatürde Sierpinska’nın düşünme biçimleri çatısını gerek lineer cebir öğretim sürecinde gerekse öğretimi değerlendirme boyutunda kullanan çalışmalar yer almaktadır (Çelik, 2015; Doğan-Dunlap, 2010; Doğan, 2018; Turğut, 2010). Turğut (2010) düşünme biçimlerini Harel (2010) ve Van Hiele (1986) öğretim ilkeleri ile birlikte baz alarak teknoloji destekli lineer cebir öğretiminin öğrencilerin uzamsal yetenekleri üzerindeki etkisini incelemiştir. Çelik (2015), öğrencilerin lineer bağımlılık/bağımsızlık kavramıyla ilgili öğrencilerin düşünme biçimlerini ortaya koymayı amaçlamıştır. Doğan-Dunlap (2010), çalışmasında öğrencilerin lineer bağımsızlık sorularına verdikleri cevaplarda sergiledikleri düşünme biçimlerindeki farklılıkları ortaya koymuştur. Doğan (2018) çalışmasında dinamik görsel yaklaşımların lineer bağımsızlık, germe ve geren küme kavramları üzerine düşünme biçimlerini araştırmıştır. Çelik (2015) ve Doğan (2018) çalışmalarının değerlendirme kısmında Sierpinska’nın (2000) düşünme biçimleri çatısından yararlanmış ve bu çalışmalarda lineer bağımsızlık ve germe kavramları ele alınmıştır. Çalışmalar özellikle lineer bağımsızlık ve germe kavramlarına yönelik öğrencilerin verdikleri
cevapların hangi düşünme biçimi ile ilişkili olduğu konusunda fikirler sunmuştur. Bu fikirlerden hareketle vektör uzayları teorisinin diğer temel kavramları olan vektör uzayı, alt uzay, lineer birleşim, taban ve boyut kavramları üzerine de öğrencilerin düşünme biçimlerini ortaya koymak mümkün olabilir.
Bu çalışmada teknoloji destekli tasarlanan bir öğrenme ortamının öğrencilerin düşünme biçimlerine etkisi incelenmekte olup gerek öğretim sürecinde gerekse değerlendirme sürecinde Sierpinska’nın çatısından yararlanılmıştır. Öğretim faaliyetleri tasarlanırken farklı düşünme biçimlerini harekete geçirecek şekilde etkinlikler, sorular ve görevlere yer verilmiştir. Her ne kadar analitik-yapısal düşünme biçimi en üst düzey düşünme biçimi olsa da öğrencilerin bütün düşünme biçimlerine sahip olması ve gerektiğinde uygun düşünme biçimi kullanması önemlidir. Bu nedenle analitik-yapısal düşünme biçiminin gelişiminin diğer düşünme biçimlerinin gelişimine ihtiyaç duyacağı söylenebilir. Ayrıca bu çalışma kapsamında lineer bağımsızlık ve germe dışında vektör uzayları teorisinin diğer temel kavramlarına da odaklanılmıştır. Böylece lineer cebir öğretiminde farklı kavramlar açısından düşünme biçimlerinin ortaya konması şeklinde bir ürün sunması amaçlanmıştır. Bunun dışında, Sierpinska’nın düşünme biçimleri çatısı sadece lineer cebire özgü olduğundan çalışma bu yönüyle genel düşünme biçimleri ile ilgili diğer çalışmalardan ayrılmaktadır.