Bu bölümde, araştırmanın kuramsal çerçevesini oluşturan Harel’in tasarım prensiplerine, Sierpinska’nın düşünme biçimlerine ve Hillel’in lineer cebir öğretiminde kullanılan temsil dillerine yer verilmiştir.
2.1.1. Harel Tasarım Prensipleri
Harel (1989b), tam deneysel olarak yürüttüğü çalışmasında mühendislik fakültesinde öğrenim gören 72 üniversite ikinci sınıf öğrencisinin lineer cebir dersindeki başarılarını karşılaştırmıştır. A grubu olarak adlandırılan grupta yalnızca kavramlara ilişkin soyut tanımlamalara ve bunlar üzerinden yürütülen cebirsel işlemlere yer verilmiştir. Buna bir bakıma geleneksel cebir öğretimi de denilebilir. B grubunda ise kavramlara ilişkin soyut tanımlama ve işlemlerin yanı sıra bu kavramların geometrik yorumlarına da yer verilmiştir. Dört haftanın sonunda iki gruba vektör uzay kavramı üzerine bir test uygulanmıştır. Harel, uygulamadan elde ettiği öğrenci cevaplarını sınıflandırırken altı değişkeni göz önünde bulundurmuştur. Bunlar; geometrik tanım (GT), cebirsel tanım (CT), doğru cevap (DC), yanlış cevap (YC), doğru gerekçelendirme (DG) ve yanlış gerekçelendirme (YG) şeklinde belirtilmiştir. GT ve CT kategorileri arasında karşılaştırma yapıldığında, beklenildiği gibi B grubunda GT kategorisindeki cevaplar A grubuna göre daha sık görülmüş, A grubunda ise CT kategorisindeki cevaplar B grubuna oranla daha sık kullanılmıştır. DC ve YC kategorilerinde yapılan karşılaştırma sonucunda B grubundaki öğrencilerin daha çok “doğru cevap” verdiklerini göstermiştir. Son olarak doğru ve yanlış gerekçelendirme açısından yapılan kıyasta A grubunun nerdeyse yarısı YG kategorisinde cevap verirken B grubundaki öğrencilerin dörtte birinden daha azı YG kategorisinde cevap vermiştir. Sonuç olarak iki grup başarıları açısından karşılaştırıldığında, B grubundaki öğrenciler lineer cebir kavramları ile ilgili testteki sorulara daha fazla doğru cevap vermiştir. Ayrıca açıklamalarını desteklemede daha fazla geometrik yorum kullanmıştır. B grubunda A grubundan daha çok geometrik tanımın ortaya çıkması, A grubunda is B grubundan daha çok cebirsel tanımlamaların ortaya çıkması gerçeği, öğrenciler tarafından seçilen tanımlama türünün ve eğitim yaklaşımının birbirinden bağımsız olmadığını
doğrulamaktadır. Diğer taraftan geometrik yaklaşımlarla yapılan somutlaştırmaların öğrencilerin anlamasına katkı sağladığı ortaya çıkmaktadır.
Bu sonuçlardan hareketle Harel (2000), lineer cebir öğretimine yönelik üç temel pedagojik prensip önermiştir. Bu prensipler;
1. Somutluk 2. Gereklilik
3. Genellenebilirlik
şeklinde ifade edilebilir. Şimdi bu pedagojik prensiplerin kapsamı açıklanacaktır.
Somutluk Prensibi:
Somutluk prensibinin temel ilkesi şu şekilde özetlenebilir;
Öğrenciler verilen bir modelden belli bir matematiksel yapıya (modelin ilişkili olduğu) soyutlama yapabilmesi için modelin bileşenlerinin öğrencilerin gözünde kavramsal bir nesne olması gerekir. Bir başka deyişle modelin bileşenleri öğrenciler için üzerinde zihinsel prosedürlerin yürütülebileceği bir girdi olarak görülmelidir (Harel, 2000, s.180).
Soyut matematiksel bir kavramı, somut bir kavram üzerinden öğretebilmek için bu somut kavram, öğrencilerin soyut kavramın doğasını anlamalarına olanak verecek düzeyde olmalıdır (Harel, 2000’den akt. Aydın, 2007, s. 217). Somutluk prensibi, öğrencilerin kendileri için somut olan bir içerikte belli bir kavramla ilgili anlamaları inşa edebileceği fikrine dayanmaktadır. Örneğin, analizde türev kavramından bahsedebilmek
için öğrencinin fonksiyon kavramını bir matematiksel nesne olarak algılaması, P4(R)
üzerinde lineer birleşim kavramından bahsedebilmek için öğrencilerin bu kümenin elemanı olan her bir polinomu bir nesne-vektör olarak görmesi gerekmektedir. Genel vektör uzayı kavramının daha az soyut olduğu düşünülen yapılar üzerinden genelleme yoluyla öğretilmeye çalışıldığı birçok durumda bu ilke dikkate alınmamaktadır. Çünkü birçok durumda öğrenciler daha az soyut olduğu düşünülen yapının bileşenlerini, üzerinde işlem yapabilecekleri zihinsel bir kavram olarak henüz yapılandırmamıştır.
Vektörlerin lineer bağımsızlığının daha az soyut olduğu düşünülen bir durumda ele
alındığını düşünelim: P4(R) de A = {x, x2, x3, x4} kümesinin lineer bağımsızlığını incelendiği
durumda öğrenciler ilk olarak;
ax + bx2 + cx3 + dx4 = 0 eşitliğini yazarlar. Ancak;
1. Fonksiyon kavramı bir vektör olarak görülmediği
2. Eşitliğin sağ tarafındaki sıfır vektörü reel sıfır olarak düşünüldüğü
3. Yukarıdaki eşitlik iki polinomun eşitliği olarak algılanmadığı
Sonuç olarak bu bağlam öğrencilerin için somut bir bağlam değildir. Başka bir deyişle bir vektör olarak fonksiyon kavramı öğrenciler için somut değildir. Çünkü öğrenci modelin bileşenlerini tam olarak kavramsallaştıramamıştır. Somutluk prensibinin temel dayanağı öğrenciler somutlaştırdıkları içerikteki bir kavramı anlamalarını kendileri inşa eder. Böyle bir içerik hem yeterli kavram imajlarını oluşturmak için bir dayanak hem de ileride soyutlama yapmak için bir kaynak olarak hizmet eder.
Öğrencilerin somutlaştırdıkları içerikteki bir kavramla ilgili anlamalarını inşa edilebilmeleri öğrenme-öğretme ortamı tasarlamada temel kriter olmalıdır. Bu noktadan
hareketle Harel (2000), soyut lineer cebir kavramlarının geometrik biçimlerine vurgunun
öğrencilerin kavramlarla ilgili sağlam temel oluşturmalarına katkı sağlayacağı sonucuna ulaşmıştır. Ancak Harel bu noktada lineer cebir derslerinin geometri ile başlaması gerektiği ve cebir kavramlarının geometri üzerinden genellemelerle inşa edilebileceği şeklinde bir çıkarımın ise doğru olmayacağı konusunda ısrarcıdır. Örneğin, lineer
bağımlılık kavramını R2 veya R3 deki uygulamalardan hareketle aynı doğru veya düzlem
üzerinde bulunma şeklinde genel vektör uzaylarına genellemesi mümkün değildir. Cebir kavramlarını biçimlendirmeden önce geometri ile giriş yapıldığında birçok öğrencinin kavrama ilişkin anlamaları geometrik vektörler dünyasında sınırlı kalacak ve genel duruma taşınamayacaktır. Sonuç itibari ile Harel’in (2000) bahsettiği somutluk sadece geometrik temsillerle sınırlı değildir. Önemli olan öğrencinin kavramsallaştırdığı dolayısıyla onun için somut olan bir model üzerinden anlamlandırma yapmaktır.
Gereklilik Prensibi:
Gereklilik prensibinin temel ilkesi şu şekilde özetlenebilir;
Öğrenciler için öğrenme, öğretilecek şeyin öğrenciler tarafından bir ihtiyaç olarak görülmesidir. Burada ‘ihtiyaç’ kelimesiyle kastedilen sosyal veya ekonomik olmaktan ziyade entelektüel bir ihtiyaçtır. (Harel, 2000, s.185)
Gereklilik ilkesi Piaget’in varsayım ilkesine dayanmaktadır. Bu varsayım aynı zamanda Brousseau (1997) tarafından ayrıntılarıyla açıklanmış “Öğretici Durumlar Teorisince” benimsenmiştir (Soylu, 2005). Var olan kavramları düzenlemek için temel araç doğru problem çözme aktiviteleridir. Bu aktiviteler öğrencinin problem çözmek için var olan kavramları uygulaması ve bilişsel bir çatışmayla karşılaştığı zaman bu kavramları düzenlemesidir. Böyle bir çatışma veya Piaget’in dediği gibi dengesizlik öğrenciyi sorgulamaya itebilir ve problemi çözmek için yeni çözüm yolları arayabilir. Bu bilişsel çatışmalar ve öğrenciler tarafından keşfedilen çözümler ileri düzeyde kavramlara yönelik aşamalı bir geçiş oluşturur. Böylece bu prensibin arkasındaki fikir şöyle ifade edilebilir;
eğitimsel ortamlar öğrencilerin matematiksel kavramları soyutlaştırabilmesine neden olacak uygun kısıtlamaları(çatışmaları) içermelidir.
Gereklilik prensibi, öğrencilerin lineer cebir dersine aktif olarak katılmalarını ifade eder (Aydın, 2007) ve eğitimsel aktiviteler bu prensibin hayata geçirilmesinde önemli yer almaktadır. Eğitimsel aktivitelerin öğrenciler tarafından gerçekçi ve kabul görülmüş problem durumlarını sunması gerekmektedir. Aktiviteler boyunca öğrencilerin bir problemin çözümünde veya bir bilişsel çatışmanın çözümlenmesinde nasıl sonuca gideceklerini hissetmeleri gerekmektedir. Ders içerisinde yer verilen problemler öğrencilerin kavramları kolayca kavramalarına yardımcı olabilir ancak kavramlar arasındaki ilişkileri görmelerine yardımcı olmayabilir. Özel bir örnekle veya etkinliklerle öğrencilerin kavramlar arasındaki bağlantıları hissetmeleri ve görmelerini sağlamak kavramsal bir anlamanın oluşmasına zemin hazırlar ve böylece gereklilik prensibi uygulanmış olur. Benzer durumları lineer cebir dersinden de vermek mümkündür.
Örneğin, vektör uzayı olma aksiyomlarının sadece Rn nin özellikleriyle gösterilmesi vektör
uzayı tanımını farklılaştırarak gereklilik prensibine aykırı bir örnek oluşturur. Rn nin
özellikleri ile vektör uzayı aksiyomlarının gösterimi öğrenciler için son derece anlaşılırdır ancak bu durum matematikteki varsayımsal yaklaşımı benimseyen ileri düzey öğrencilerin ilgisini çekmenin garantisini vermeyebilir. Bu bakımdan vektör uzayları aksiyomları gösterirken belli özelliklere sahip çember, düzlem, doğrular ve soyut matematiksel nesnelerden oluşan örneklere bir arada yer verilerek dikkat çekme ve öğrencilerin öğretilmek istenen şeyi bir ihtiyaç olarak görmeleri sağlanabilir. Bu nedenle vektör uzayları ile ilgili verilecek örneklerin birçok farklı durumu kapsayacak, öğrencilerin ilgisini çekecek ve kavramlar arasındaki ilişkilerin anlaşılmasına olanak sağlayacak şekilde düzenlenmesi gerekecektir. Bununla birlikte, gereklilik ilkesinin belirtilmesi sadece o konunun günlük hayatla ilişkisinin kurulması ile değil aynı zamanda anlatılan konunun diğer matematiksel kavramlardaki yerinin ve öneminin vurgulanması şeklinde de olabilir (Soylu, 2005)
Genellenebilirlik Prensibi
Somutluk ve gereklilik prensipleri üçüncü prensip olan Genellenebilirlik prensibi ile tamamlanır. Gereklilik prensibinin temel ilkesi şu şekilde özetlenebilir;
Öğretim soyut bir model ile ilgili olduğunda, yani somutluk prensibini sağlayan bir model, bu modeldeki eğitimsel aktiviteler kavramların genellenebilirliğine olanak sağlaması ve teşvik etmesi gerekmektedir. (Harel, 2000, s. 187)
Bu prensip öğrenme sürecinden çok öğretim materyallerinin seçimine ilişkin didaktik kararlarla ilişkilidir. Öğretim somut bir modelle ilişkilendirildiğinde bir somutluk prensibini destekleyici bir durum olur, bu model üzerinden yürütülen öğretimsel aktiviteler kavramın
genellenebilirliğini sağlayabilir. Bu süreçte somutluk ilkesini karşılamak amacıyla yapılan etkinlikler önemlidir. Kullanılan somut modeller, soyut kavramların öğrenciler tarafından anlaşılmasına ve özümsenmesine olanak verecek şekilde düzenlenmelidir (Turğut, 2010). Model üzerinden yürütülen çalışmalar ile genel kavrama ulaşılabilmelidir. Modelin çok spesifik olduğu ve genel kavramla ortak noktasının çok sınırlı olduğu durumlarda genelleme gerçekleşmeyebilir. Geometrik içerikte aynı doğru ve düzlem üzerinde olma şeklinde tanımlanan lineer bağımlılık fikri genel vektör uzaylarına kolaylıkla genellenebilir
bir durum değildir. Ancak boyut kavramı ile ilgili olarak R de iki vektörün, R2 de üç
vektörün lineer bağımlı olduğunun gösterilmesinin ardından n boyutlu bir vektör uzayında n+1 tane vektörün daima lineer bağımlı olduğu fikri geometrik içerikten başlanarak genel vektör uzaylarına genellenebilir bir durum olarak karşımıza çıkmaktadır.
Harel ‘in (2000) önermiş olduğu pedagojik prensiplerden, bu çalışma kapsamında tasarlanan öğrenme ortamının temel bileşenlerinin (çalışma yaprakları, GeoGebra şablonları, ödevler) hazırlanmasında ve uygulanmasında yararlanılmıştır. Türkiye’de yapılan çalışmalar incelendiğinde Harel’in (2000) prensiplerine yer veren çalışmalar mevcuttur (Aydın, 2007; Turğut, 2010). Turğut (2010), teknoloji destekli lineer cebir öğretiminin öğrencilerin uzamsal yeteneklerini incelediği çalışmasının öğretim sürecinde Harel (2000)’in öğretim ilkelerini baz almış ve öğrencilerin düşünme biçimlerinin gelişimini amaçlamış ve teknoloji destekli öğrenme ortamının öğrencilerin uzamsal yeteneklerine etkisini incelemiştir. Bu araştırmada farklı olarak kuramsal çatıda Hillel’in (2000) temsil dillerine yer verilerek öğrenme ortamı tasarımı yapılmış ve öğrencilerin düşünme biçimlerine etkisi incelenmiştir. Aydın (2007), bazı özel öğretim yöntemlerinin lineer cebir dersinin öğrenilmesine etkisini belirlemek amacıyla Harel’in (2000) pedagojik prensiplerini öğretim dizaynı ile birleştirmiştir. Bu çalışmada da yalnızca çalışma yaprakları, şablonlar ve ödevler hazırlanırken değil aynı zamanda öğrenme ortamı tasarım ilkeleri belirlenirken de bu prensiplerden yararlanılmıştır.
Harel’in (2000) prensiplerinin karşılanması bakımından bu çalışmada hazırlanan çalışma yapraklarında yer verilen örneklerin öğrencilerin kavramların doğasını anlayabilecekleri, birçok farklı durumu bir arada bulunduracak şekilde kapsamlı ve somuttan soyuta doğru bir yaklaşıma sahip olmasına dikkat edilmiştir. Ancak somutluk prensibinin tam olarak karşılanması uygun somut modellere yer verilmesine ve bu modellerin öğrencilerin genelleme yapmasına olanak sağlamasına bağlıdır. Bu bakımdan çalışma yapraklarıyla etkileşimli olarak teknolojiden yararlanılarak geometrik temsillere yer verilmesi görsel olarak zengin bir içerik sunarak öğrencilerin ilgisini çekebileceği ve ihtiyaçlarının karşılanmasında onlara yardımcı olabileceği düşünülmüştür. Ayrıca
yapılacak bir öğrenmenin öğrencilerin aktif olarak dersi takip etmesine olanak sağlayarak kavramlara yönelik birçok farklı problem durumunun incelenmesine yardımcı olacağı düşünülmektedir. Bu bakımdan ele alındığında öğrenme ortamı aynı zamanda problem çözme aktivitesi olarak görülebilir ve bu nedenle gereklilik prensibinin karşılanmasında önemli bir etken olarak düşünülmektedir.
Genellenebilirlik prensibinin karşılanmasının ilk iki prensibin başarılı bir şekilde uygulanmasıyla gerçekleşeceğini söylemek mümkündür. Özellikle soyutlama yapmaya olanak veren somut örneklere iyi bir şekilde araştırma sonrasında yer vermek ve genelleme yapmaya imkân vermeyen örneklerin neler olduğunu net bir şekilde ortaya koyarak ayırımı yapmak önemlidir. Bu nedenle hem ders içi etkinlik ve ödevlerde hem de ders sonrası için verilen görevlerde bu önem göz önünde bulundurularak öğrencilerden genelleme yapmalarına imkân verecek eğitimsel aktivitelerin yapılmasına karar verilmiştir.