Lineer cebir dersi genel olarak Matris Cebiri ve Vektör Uzayları Teorisi olmak üzere iki temel bölüme ayrılmaktadır. Matris Cebiri; matrisler, matrislerde işlemler ve özelliklerini,
determinantlar ve lineer denklem sistemleri ile çözüm yöntemlerini içermektedir. Vektör
Uzayları Teorisi; vektör uzayları, alt uzaylar, lineer birleşim, germe lineer bağımlılık/bağımsızlık, taban ve boyut gibi kavramları içermektedir. Çok daha soyut bir yapıya sahip olması sebebiyle vektör uzayları teorisi öğrencilerin daha fazla zorluk yaşadığı bölümdür.
Lineer cebir ders içeriğinin yapısına bakıldığı zaman iki çeşit yaklaşımın kullanıldığı görülmektedir. Bu yaklaşımlar Bourbaki stili ve yeni yaklaşım olarak isimlendirilmektedir. Bourbaki stiline sahip ders kitapları genelden özele gidiş takip edilerek hazırlanmıştır. Bu
yaklaşımda lineer cebir dersine ilk olarak vektör uzayları teorisi ile giriş yapılıp ardından Rn
deki daha spesifik teori ile devam edilmektedir. 1980’li yılların başından itibaren çoğu eğitimci ve ders kitabı yazarı bu yaklaşımdan vazgeçerek yeni yaklaşımı benimsemeye başlamıştır. Yeni yaklaşımda lineer cebir dersine geometrik bir formda başlangıç
yapılmakta, daha sonra R2, R3, Rn ve V’de kavramların cebirsel ve soyut temsillerine yer
somuta ve somuttan soyuta bir öğretim prensibi benimsediklerini söylemek mümkündür. Şekil 3’ te Bourbaki Stili ve Yeni Yaklaşıma göre lineer cebir öğretim süreci gösterilmiştir.
Şekil 3. Lineer cebir öğretiminde benimsenen yaklaşımlar
Bourbaki stili genellikle konuların yoğun olarak yalın ve kendine özgü gösterimlerini içeren, diyagramların ve dış motivasyonların harici tutulduğu bir yapıya sahiptir. Kavramlar ve teoremler ayrıntılı bir şekilde aksiyomatik bir yolla sunulur ve sistemli olarak daha genelden özele doğru gidecek şekilde ele alınır. Lineer cebir lisans programlarında genellikle ilk iki yılda verilen bir derstir ve formal anlamda matematik çalışma konusunda deneyimsiz öğrenciler için Bourbaki stilinin derse çok soyut bir giriş yapığını söylemek mümkündür.
Üniversite düzeyi öğretimde matematik derslerinde teknolojiden yararlanma gittikçe yaygınlaşmaktadır. Teknoloji kullanmaktaki asıl amaç, matematiksel yapıların çoklu temsiller yoluyla aktif olarak araştırılması için bir ortam sağlamak veya öğrencilere matematiğin kalem ve kâğıt ile mümkün olmayan bazı yönlerini göstermektir (Dikovic, 2007). Geleneksel bir yaklaşım olan düz anlatım yoluyla öğretimin artık lineer cebir öğretiminde özellikle vektör uzayları teorisinin anlatımında yeterli olmayacağı söylenebilir. Çünkü soyut kavramlar üzerine öğrenci anlamalarını inşa etme sürecinde çok daha işlevsel olabilecek yöntemlere ihtiyaç vardır. Lineer cebir gibi doğası gereği soyut bir derste konuşarak, göstererek anlatmak öğrencilerin soyut kavramları anlamalarının gelişimine önemli bir ölçüde katkı yapmayabilir. Bu nedenle lineer cebir öğretiminde özellikle görselleştirme tekniklerinin kullanılması ve öğrencilerin kavramsal anlamalarının gelişmesi için teknolojiden yararlanılmasına ihtiyaç olduğunu söylemek mümkündür.
Lineer cebir öğretiminde teknolojinin oynayacağı birkaç rol vardır. Bu roller; matematiksel yapıların özelliklerinin keşfedilmesine yönelik öğrenme ortamlarının sağlanması için hesaplama yükünün ortadan kaldırılması, görselleştirme sunulması ve çeşitli yazılım araçlarının kullanılarak tecrübe edinilmesidir (Dikovic, 2007). Literatür incelendiğinde lineer cebir öğretiminde bilgisayar destekli eğitimin web öğrenme-öğretme sistemleri ve matematik yazılım programları kullanılarak gerçekleştirildiği görülmüştür (Doğan, 2018; Hillel, 2001; Klasa, 2009; Pecuch-Herrero, 2000; Turğut, 2018). Matematik yazılım programların sağlayacağı avantajlar vardır. Bu avantajlar; anlık sayısal ve sembolik hesaplamalar, veri toplama, analiz, keşfetme ve görselleştirme, modelleme, iki ve üç boyutta grafik ile animasyon sunumu ve uygulama geliştirme olarak sıralanabilir.
Lineer cebirde özellikle cebirsel işlemlerin ağırlıklı olduğu matris cebiri bölümünde
bilgisayar cebir sistemleri yazılımları kullanılırken vektör uzayları teorisi bölümünde hem bilgisayar cebir sistemi yazılımları hem de dinamik geometri/matematik yazılımlarından yararlanılmıştır. Grafik hesap makineleri ve bilgisayar cebir sistemleri kavramların statik ve cebirsel temsillerini resmetmekte ve aynı zamanda hesaplamaları kolaylaştırmaktadır. Diğer taraftan dinamik geometri yazılımları öğrencilerin formalizmin zorluğundan kaçınmalarına olanak sağlamakla birlikte kendi matematiksel nesnelerini inşa etmelerine yardımcı olmaktadır (Tabaghi, 2012).
Birçok araştırmacı lineer cebir öğretiminde teknoloji kullanımının önemine vurgu yapmış (Aydın, 2007; Aydın, 2009a; Aydın, 2009b; Dikovic, 2007; Dorier, 2002; Harel 2000; Pecuch-Herrero, 2000; Wu, 2004) ve birçok farklı uygulama araştırmacılar tarafından önerilmiştir. Özellikle soyut lineer cebir kavramlarının öğretiminde kavramların geometrik temsillerine yer verilmesi, görselleştirme tekniklerinin kullanılması ve geometrik nesnelerin dinamik yapısının yazılımlar aracığıyla takip edilmesi öğrencilerin kavramlarla ilgili sağlam anlamalar oluşturmasına katkı sağlamaktadır. Ek olarak, lineer cebir öğretiminde bilgisayarlar, öğrencilerin geometrik sezgisini, iki ve üç boyutta görselleştirmeler yoluyla canlandırabilir veya bilgisayarlar, geleneksel şekilde aritmetik olarak çok karmaşık olan teorik konuları içeren soruları sormayı mümkün kılar. Lineer cebirin ustalığı, birçok aritmetik işlemi gerçekleştirebilmeyi gerektirir. Öğrenciler bu işlemleri yaparken sıklıkla hata yaparlar. Yazılımın kullanımı mantıklı bir şekilde bu sorunu önler ve öğrencinin temel kavramlar üzerine yoğunlaşmasını sağlar (Dikovic, 2007).
Hızla gelişen teknolojilerin ortaya çıkmasıyla birlikte, 90'lı yıllardan beri lineer cebir öğretiminde matematiksel kavramların görselleştirilmesine çok daha fazla önem veren bazı reform hareketleri gerçekleştirilmiştir. Bu reform hareketlerinden biri ATLAST projesi ve diğeri LACSG grubudur. ATLAST (Augmenting the Teaching of Linear Algebra through the use of Software Tools), 1992’de S. Leon tarafından organize edilmiş, LASCG D. Lay
önderliğinde 1992 yılında kurulmuş daha sonra D. Carlson (1993) ve birçok matematikçi
ile birlikte devam edilmiştir. ATLAST lineer cebir öğretiminde yazılım kullanılmasını
kolaylaştırmak ve teşvik etmek için yapılan bir projedir. ATLAST projesi LACSG grubunun lineer cebir öğretimi yapmış olduğu önerileri baz almış ve bu önerilerin uygulanmasına yönelik çalışmalar yapmıştır. Proje kapsamında lineer cebir dersi için bilgisayar uygulamaları ile uygun projeler geliştirilmiş ve yazılımların lineer cebir derslerinin nasıl bir parçası olacağı üzerinde çalışılmıştır. ATLAST projesinde MATLAB, Mathematica ve Maple yazılımları kullanılmıştır. Proje sonucunda ortaya çıkan bilgisayar uygulamaları, öğrencilerin önemli lineer cebir kavramlarını görselleştirmesi ve keşfetmesine yardımcı olmak üzere geliştirilen ders planları ATLAST kitabında yayınlanmıştır. LACSG grubunun çalışmalarına daha sonraki bölümlerde ayrıntılı bir şekilde yer verilecektir.
Dinamik geometri yazılımları (DGY) ifadesi, Cabri Geometri, Cinderella, Geometer’s Sketchpad gibi geometri için geliştirilmiş olan özel geometri yazılımlarının ortak adıdır. Matematik öğrenme-öğretme etkinlikleri için açık yapıda dinamik geometri yazılımları öğrencilere düzlemde ve uzayda geometrik nesnelerin özelliklerini, birtakım ilişkileri inceleme ve keşfetme fırsatı sunan eğitimsel araçlardır. DGY’lerin diğer geometri yazılımlarından farklı özellikleri, oluşturulan şekillerin farklı dönüşümlerle değiştirilebilmesi ve hareket ettirilebilmesidir (Goldenberg 1999; Hazzan ve Goldenberg, 1997). Oluşturulan şekillerin sürüklenebilmesi dinamik geometri yazılımlarının en önemli özelliğidir (Hoyles ve Noss, 1994). Şekilleri sürükleme yardımıyla, öğrenci şeklin birtakım özelliklerini değiştirirken değişmeyen özellikleri gözlemleyerek keşfedebilir. Böylece öğrenciye mantıksal çıkarımlarda bulunma fırsatı sunar. Böylece öğrenci bu çıkarımını birçok örnekle destekler ya da reddedebilir (Güven ve Karataş, 2004).
Bilgisayar Cebir Sistemleri (BCS) matematiksel nesnelerin gösteriminde kullanılan semboller üzerinde işlem yapmayı içeren bilgisayar sistemleridir. BCS işlevselliğinin özü sembolik biçimlerdeki matematiksel ifadeleri işleme koyabilmesidir. BCS hem sayı hem de grafik gösterimlerini kullanarak sembolik matematiksel özellikler ve arasındaki ilişkileri ele alır. Sayısal, cebirsel, grafiksel ve istatistiksel gösterimler gibi çeşitli temsil olanakları sunarak kullanıcıların matematik üzerine tartışmak ve çalışmak için önemli bir platform oluşturmaktadır (Pierce ve Stacey, 2002; Tuluk ve Kaçar, 2007). BCS adı altında gruplanan yazılımların bazıları Derive, Maple, Mathematica, Reduce, MatLab, MuMath ve Mathcad örnek olarak verilebilir. BCS yazılımları kullanıcıya cebirsel denklemleri, eşitsizlikleri çözme ve fonksiyonların grafiklerini oluşturma gibi olanaklar sunmaktadır. Bu yazılımların matematik eğitiminde kullanılmasının en yaygın gerekçesi olarak, zaman alıcı ve yorucu hesaplamaların bu yazılımlar sayesinde kolayca yapılabilmesi ve bunun sonucunda öğrencilerin işlemler yerine kavramlara yoğunlaşma imkânı bulması, bunun
yanında öğretmene öğrenci ile sınıf etkileşimini daha yoğun olarak gerçekleştirme fırsatı sunması olarak ileri sürülmektedir (Baki, 2001; Muhundan, 2005).
Hohenwarter ve Jones’a (2007) göre matematik öğrenimi ve öğretimini destekleyen yazılımlar içinde BCS (sembolik ifadelerin kullanımına dayanır) ve DGY (nokta, doğru ve daire gibi yapılar arası bağlantılar üzerine yoğunlaşır) en önemlileridir. BCS nümerik ve cebirsel hesaplama programıyken DGY’ler grafik ve dinamik gösterim programlarıdır (Lu, 2008). Dinamik öğrenme ortamları öğrencilerin keşfederek öğrenmelerini sağlarken BCS öğrencilerin düşünme süreçlerine odaklanır (Little, 2008). Bazı DGY yazılımları geometrik nesnelerin sembolik formda cebirsel özelliklerini içermesine rağmen BCS yazılımlarında olduğu kadar cebirsel ifadeler üzerinde işlem gerçekleştirememektedir. Diğer taraftan bazı BCS yazılımları program içerisinde sembolik olarak girilen matematiksel ifadelerin karşılık geldiği grafik gösterimlerini ekrana yansıtır. Ancak objenin cebirsel ifadesinde bir değişiklik meydana geldiğinde eş zamanlı olarak grafiksel gösterime bu değişiklikleri yansıtmamaktadır.
Son on yıl içinde hem BCS hem de DGY yazılımlarının özelliklerini barındıran yazılımlar ortaya çıkmıştır. Bu yazılımlar arasında en dikkat çekenlerden birisi GeoGebra’dır. GeoGebra her obje için iki bileşen oluşturmaktadır; cebirsel bileşen objenin açık, kapalı veya parametrik formda denklemini, geometrik bileşen ise objenin çözüm kümesinin grafiksel temsilini ekranda yansıtmaktadır. Geogebra yazılımı içerisinde bir objenin her iki temsiline de kullanıcı tarafından müdahalede bulunulabilmektedir (Çekmez, 2013). Lineer cebir dersinin içeriği matris cebiri ve vektör uzayları teorisi olmak üzere iki bölümden oluşmaktadır. Matris cebiri matrislerde işlemler, determinantlar ve lineer denklem sistemlerini ile bu sistemlerin çözümünü içermesi bakımından BCS yazılımlarının kullanılmasının uygun olduğu bölümdür. Vektör uzayları teorisi bölümü vektör uzayı, alt uzay, lineer birleşim, germe, lineer bağımsızlık, taban ve boyut kavramlarını içermektedir.
Bu kavramların öğretiminde R2 ve R3 deki vektörler ve geometrik nesnelerle birlikte matris,
polinom ve fonksiyonlara yer verilerek kavramların farklı temsilleri kullanılır. Vektör uzayları teorisinin içeriği göz önüne alındığında öğretiminde BCS yazılımlarının yanı sıra DGY’nın da kullanımına ihtiyaç vardır. Bu nedenle BCS ve DGY programlarının sahip olduğu karakteristik özellikleri ve dinamik matematik yazılımları (DMY) olarak adlandırılan programlarda biri olan Geogebra’nın araştırmada kullanılmasına karar verilmiştir.