Lineer cebir öğrenmedeki temel zorluklardan biri Hillel (2000) tarafından derslerde ve kitaplarda kullanılan dillerin çeşitliliği olarak ifade edilmiştir. Hillel (2000) lineer cebirde kullanılan dilleri üç temel bölüme ayırmıştır.
Genel soyut teorinin “Soyut dili”
Genel teorinin kavramlarını ve dilini kullanır (vektör uzayları, alt uzaylar, lineer bağımsızlık, germe, boyut, çekirdekleri içeren)
Rn teorisinin “Cebirsel dili”
Rn de daha spesifik bir teorinin kavramlarını ve dilini kullanır (sıralı n’liler,
matrisler, rank, denklem sistemlerinin çözümü, satır uzayları gibi) İki ve üç boyutlu uzayların “Geometrik dili”
R2 ve R3 uzaylarının kavram ve dilini kullanır (yönlü doğru parçası, noktalar,
düzlemler, geometrik dönüşümler gibi).
Bir arada bulunan bu diller bazen birbirinin yerine kullanılabilir, ancak kesinlikle birbirine eşdeğer nitelikte değillerdir. Her bir dilde vektörler, vektör işlemleri ve dönüşümler özel tasvirlere, terminolojiye ve gösterime sahiptir. Sınıf içi öğretim yapılırken veya ders kitaplarında, kavramlar ve ilişkili süreçler tanımlanırken bu üç temsil dili bir arada kullanılır. Sürekli olarak birinden diğerine geçiş yapılır. Bu tanımlama ve temsil dilleri arasındaki ayırımı yapamayan bir öğrenci için bir dilden diğerine geçişi anlamak ve takip etmek temel zorluk nedenleri arasında yer almaktadır (Britton ve Henderson, 2009; Hillel, 2000).
Geometrik dile ait olarak vektörler ile ilgili tasvirler; yönlü doğru parçaları, oklar ve düzlem veya uzayda noktalar olarak yapılabilir. Geometrik dil, sentetik (coordinate-free) ve
analitik (coordinate geometry) tanımları içerir. Sentetik dilde sıfırdan farklı vektörler yönlü doğru parçaları (oklar) ile temsil edilir. Bu yüzden büyüklüğe ve yöne sahiptirler. Bir vektör başlangıç ve bitiş noktası dikkate alınarak OP veya u notasyonu ile Şekil 1’deki gibi temsil edilir. Sıfır vektörü ise sıfır büyüklüğe ve yöne sahip olmayan O noktası ile temsil edilir. Toplama ve skalerle çarpma geometrik olarak sırasıyla “paralelkenara tamamlama” ve vektörün boyunu yönü aynı kalacak veya ters dönecek şekilde uzatma veya kısaltma olarak tanımlanmaktadır.
Şekil 1. Vektörlerin geometrik gösterimi
Analitik tanımlar hem geometrik hem de aritmetik özelliklere sahiptirler. Geometrik dilde vektörler iki veya üç boyutlu uzayda koordinat sisteminde oklar ile temsil edilir. Genellikle Şekil 1’deki gibi koordinat sistemlerindeki gösterimleri kullanılır. Bununla birlikte daha genel koordinat sistemleri de kullanılabilir (Şekil 2) ki bu taban fikrinin anlaşılmasına da yardımcı olabilir.
Şekil 2. Koordinat sistemlerinde vektörlerin gösterimi
Toplama ve skalerle çarpma geometrik dilde olduğu gibi geometrik olarak tanımlanabilir. Alternatif olarak bitiş noktalarının koordinatları dikkate alınarak işlemler
tanımlanabilir ve geometrik olarak iki vektörün toplamının bu vektörler yardımı ile oluşturulan paralelkenarın köşegeni olduğu gösterilebilir.
Rn nin cebirsel dilinde vektörler bileşenleri reel sayılar olan (x1, x2, x3,….., xn)
şeklindeki sıralı n’liler ile temsil edilir. Vektörel toplama ve skalerle çarpma vektörleri temsil eden bileşenler kullanılarak cebirsel biçimde tanımlanmıştır. Soyut dilde u, v gibi
harflerle temsil edilen vektörler vektör uzayının birer elemanıdır. Toplama ve skalerle
çarpma aksiyomları sağlayan ikili işlemler olarak tanımlanmıştır. Tablo 1’de vektörler ve vektörler işlemlerin farklı temsil dilleri ile kullanımları örneklendirilmiştir
Tablo 1. Hillel Temsil Dillerinde Vektörler ve Vektörel İşlemler
Vektörler Vektör işlemleri
G eo m e tr ik D
il 2 boyutlu düzlem veya
3 boyutlu uzayda vektörler yönlü doğru parçası olarak
tanımlanır ve oklar ile temsil edilir.
Toplama ve skalerle çarpma geometrik olarak tanımlanabilir. Örneğin;
Geometrik olarak iki vektörün toplamının bu vektörler yardımı ile oluşturulan paralelkenarın köşegenidir.
C eb ir sel D il Vektörler bileşenleri x1, x2, …., xn reel sayılar olmak üzere ( x1, x2,
.…xn ) gibi sıralı n’liler
ile temsil edilir.
Vektörel toplama ve skalerle çarpma vektörleri temsil eden bileşenler kullanılarak cebirsel biçimde
tanımlanmıştır. Örneğin; (x1, x2, .…, xn ) + (y1, y2, .…, yn) = (x1+ y1, ….., xn+ yn) S oyu t D
il Vektörler, bir vektör
uzayının elemanları olarak tanımlanır ve u, v,.. ile temsil edilir.
Toplama ve skalerle çarpma vektör uzayı olma şartlarını sağlayan ikili işlemler olarak tanımlanmıştır.
Hillel’in (2000) üç başlık altında ele aldığı diller incelendiğinde vektörlerin R2
veya R3
uzayında ifade edilmesi için düzlemlerin çizilerek gösterilmesi / temsil edilmesi geometrik dili, bu vektörlerin sıralı ikililer ya da üçlüler ile temsil edilmesi veya parametreye bağlı ifade edilmesi cebirsel dili, vektör uzaylarının bir parçası olarak u ve v vektörlerinin tanımlanması ise soyut dil olarak örneklendirilebilir.
Hillel’in (2000) tanımlamış olduğu diller ders içerisinde ve ders kitaplarında sürekli olarak kullanılır ve sürekli olarak birinden diğerine geçişler yapılmaktadır. Bu dilleri arasındaki ayırımı yapamayan bir öğrenci için birinden diğerine geçişi anlamak ve takip etmek temel zorluk nedenleri arasında yer almaktadır. Literatür incelendiğinde benzer olarak Medina (2000), öğrencilerin formal tanımlarda kullanılan dil veya sembolleri anlamada zorluklar yaşadığını ifade etmiş, Britton ve Henderson (2009) öğretmenlerin
belirli bir kavramın öğretiminde ayırımı net bir şekilde yapmaksızın diller arasında geçişler yapıyor olmasını öğrenciler açısından zorluk olduğunu belirtmiştir. Bu zorluklar göz önünde bulundurulduğunda lineer cebir öğretimine yönelik olarak hazırlanan eğitimsel faaliyetlerde dillerin kullanımına özen göstermenin son derece önemli olduğu anlaşılmaktadır. Bu araştırmada öğrencilerin farklı dilleri tanıması ve kullanması açısından ders içi sunumların, etkinliklerin ve ders sonrasında verilen ödevlerin farklı dilleri içermesine yönelik olarak ders içeriği hazırlanmıştır. Her bir kavrama yönelik geometrik, cebirsel ve soyut dili içerek şekilde hazırlanan etkinlikler ve ödevler teknoloji birlikte öğrencilere uygulanarak dillerin kullanımına ve diller arasında geçişlerin yapılmasına olanak sağlanması amaçlanmıştır.