1990 yılında 16 matematik eğitimcisinin katılımıyla oluşturulan LACSG çalışma grubu, lineer cebir öğrenimi ve öğretimine yönelik çalışmaları ve bu çalışmalar doğrultusunda birtakım tavsiyeleri olmuştur (Carlson vd. 1993). David Carlson, Charles Johnson, David Lay ve Duane Porter kuruculuğunda oluşturulan grubun amacı lisansüstü lineer cebir öğretim programının geliştirilmesine sağlam ve sürdürülebilir bir ilgi başlatmaktır.
LACSG çalışma grubunun tavsiyelerinin dayandığı üç ana kaynak vardır. Birinci kaynak araştırmaya dayalı bilgidir. Öğrencilerin nasıl öğrendiği, matematiğin nasıl öğretilmesi gerektiği ve lineer cebiri öğretme ve öğrenmeyi kapsayan epistemolojik ve pedagojik düşüncelerin neler olduğu bilgisidir. Örneğin geometrik yorumlara güçlü bir vurgu yapan LACSG tavsiyesi, geometrik düşünmenin öğrencilerin anlamalarına önemli bir katkı sağlayacağıdır. İkinci kaynak LACSG üyelerinin lineer cebir öğretiminde sahip oldukları bireysel tecrübeleridir. Bu tecrübeler müfredatla ilgili önerilerin uygulanabilirliği ve pedagojik yaklaşımların yararını ölçmede son derece değerlidir. Üçüncü kaynak ise lineer cebirin kendi disiplinlerindeki rolü hakkında araştırma yapan danışmanlar ve onların öğretim programının nasıl geliştirilebileceği hakkındaki görüşleridir. Böylelikle lineer cebir içeriğinin farklı disiplinlerin ihtiyacına cevap verecek şekilde düzenlenmesi sağlanabilir.
LACSG tarafından yapılan diğer öneriler lineer cebir dersi en az iki dönemlik bir ders olarak yürütülmesi, ilk dönem lineer cebir derslerinde ispata vurgu çok fazla yapılmaması ve lineer cebir dersinde teknolojiden yararlanılmasıdır. Öğrencilerin matrisleri ve çok boyutu somutlaştırmasında yardımcı olacak şekilde bazı yazılımlar tavsiye edilmiştir. Son olarak grup lineer cebir dersi için aşağıdaki çekirdek öğretim programının önermektedir.
1. Matrislerde toplama ve çarpma 2. Lineer denklemler sistemi 3. Determinantlar
4. Rn nin özellikleri
a. Lineer birleşim, lineer bağımlılık ve bağımsızlık
b. Rn nin tabanları
c. Rn alt vektör uzayları
5. Lineer dönüşümler olarak matrisler
7. Lineer denklem sistemleri
8. İç çarpım
9. Özdeğer ve Özvektörler
Literatür incelendiğine matematiğin diğer dallarıyla kıyaslandığında lineer cebir ile ilgili sınırlı sayıda çalışma yapıldığı görülmektedir. Ayrıca lineer cebir öğretimi ile ilgili araştırmalara daha çok yabancı araştırmacıların liderlik ettikleri görülmüştür. Uluslararası araştırmalar, lineer cebir dersinde öğrencilerin çoğunlukla analitik aritmetik düşünme biçimini geliştirdiklerini göstermektedir ki bu durum da prosedürel bilginin gelişmesine yol açmaktadır (Alves Dias ve Artigue 1995; Hillel ve Sierpinska 1994; Stewart 2008). Yapılan bazı araştırmalar öğrencilerin büyük bir çoğunluğunun lineer cebir kavramlarıyla ilgili kavramsal bir anlama oluşturmada zorluklar yaşadıklarını ve anlamalarının daha çok işlemsel olduğunu göstermektedir (Bogomolny, 2006; Çelik, 2015; Doğan-Dunlap, 2010; Hristovich, 2001; Medina 2000). Bogomonly (2006), Medina (2000) ve Hristovitch (2001) lineer bağımsızlık kavram ile ilgili öğrenci zorluklarını tanımlamıştır. Bogomonly ve Medina germe kavramı ile ilgili benzer zorlukları rapor etmiştir. İki araştırmacıda öğrencilerin Sierpinska’nın (2000) tanımladığı pratik düşünmeye benzer nitelikte düşündüklerini ortaya çıkarmıştır. Medina (2000), öğrencilerin lineer bağımsızlık, germe ve taban kavramları hakkında kavram imajlarının gelişimini incelediği araştırmasında öğrencilerin formal tanımlardan hareketle anlamalarını oluşturmaktansa sezgisel anlamalarına güvenmeyi tercih ettiklerini ve bu durumun kavramların birbiriyle karışmasına neden olduğunu ortaya koymuştur. Medina aynı zamanda öğrencilerin lineer birleşim kavramıyla ilgili zayıf anlamalarının olduğunu ve bunun germe kavramıyla ilgili zayıf kavram imajlarına sahip olmalarının nedeni olabileceğini ifade etmiştir.
Hristovitch (2001) öğrencilerin seçmiş olduğu metafor ve analojilerin onları lineer bağımsızlık ile ilgili kavram yanılgılarına götürdüğünü belirtmiştir ki burada sezgisel çıkarımlar etkili olmuştur. Bogomolny (2006) ve Hristovitch (2001) az sayıda öğrencinin kavramsal anlamayı nasıl geliştirdiklerini tartışmıştır. Çelik (2015) ve Doğan-Dunlap (2010) lineer bağımsızlık kavramı ile ilgili öğrencilerin düşünme biçimlerini araştırmayı amaçlamıştır. Çelik (2015), lisans öğrencilerinin lineer bağımlılık/bağımsızlık kavramlarını anlamaları ve bu kavramlarla ilgili öğrencilerin düşünme biçimlerini araştırdığı çalışmasında öğrencilerin verilen problemlerin çözümünde daha çok aritmetik veya cebirsel işlemleri kullandıklarını tespit etmiştir. Çelik (2015), soyutlama seviyesini artırarak kavramların tanımlandığı ve uygulandığı somuttan soyuta (iki ve boyutun koordinat
geometrisi, Rn, genel vektör uzayları) doğru uygun öğrenme ortamlarının tasarlanmasını
önermiştir. Araştırmalar lineer cebir kavramlarıyla ilgili kavramsal bir anlama oluşturmada zorluklar yaşadıklarını ve anlamalarının daha çok işlemsel olduğunu göstermiştir.
Nardi (1997) ve Stewart ve Thomas (2010) öğrencilerin taban kavramı ile ilgili bilişsel gelişimini, özellikle germe ve lineer bağımsızlık kavramlarından sonra taban kavramının verildiği formal yapıyı dikkate alarak, incelemişlerdir. Stewart ve Thomas (2010) lineer birleşim kavramının önemine vurgu yaparak hem germe hem de lineer bağımsızlık kavramları ile yakın ilişkisinden dolayı lineer cebir derslerinde lineer birleşim kavramının öğretimine daha fazla zaman ayrılması gerektiğini ifade etmişlerdir. Ayrıca araştırmalarında öğrencilerin kavramsal anlamadan çok işlemsel anlamaya güvenme eğilimde olduklarını bu nedenle öğrencilerin kavramsal anlamalarının gelişmesi için daha fazla görsel örneklerin kullanılması gerektiğini belirtmişlerdir. Nardi (1997) çalışmasında
öğrencilerin R2’deki görsel imajlara aşırı derecede güvendiklerini ve bu sınırlı imajların
öğrencilerin anlamalarını engelleyebileceği varsayımında bulunmuştur. Ayrıca taban, germe ve geren küme kavramları için görselleştirmeye destek olası açısından tek bir
görsel modelin (R2 de düzlemler) kullanımını eleştirmiştir. Nardi (1997) ile Stewart ve
Thomas (2010)’ın öğrencilerin bazen bu kavramları karıştırdığı yönündeki bulguları, lineer cebir kavramlarının formal sunumunun öğrencilerin uygun kavram imajları oluşturmaları için her zaman yeterli olmadığını ortaya koymuştur. Literatür incelendiğinde geometrik temsillerin kullanımının lineer cebir öğretiminde önemli bir yeri olduğu görülmektedir (Dorier ve Sierpinska 2001; Harel 1989a; Harel 2000; Konyalıoğlu 2003; Robert, Robinet ve Tenaud, 1987; Soylu 2005). Literatürden anlaşıldığı üzere lineer cebir derslerinde geometriye yer verilmesi gerektiği ancak kısıtlı ve aşırı vurgunun öğrencilerin lineer cebir kavramlarını anlamalarında uygunsuz çıkarımlarda bulunmalarına neden olacaktır.
Bazı araştırmalar lineer cebir öğretiminde teknolojinin ve görselleştirme yaklaşımlarının etkisini incelemişlerdir (Doğan, 2018; Donevska-Todorova, 2018; Konyalıoğlu, 2005; Pecuch-Herrero, 2000; Tabaghi ve Sinclair, 2013;). Doğan (2018) dinamik görsel yaklaşımların öğrencilerin zihinsel yapılarına etkisini araştırmıştır. Lineer bağımsızlık, germe ve geren küme kavramları üzerinde çalışarak öğrencilerin daha çok geometrik/cebirsel nitelikte cevaplar verdiğini ortaya koymuştur. Konyalıoğlu (2003) çalışmasında vektör uzayı kavramıyla ilgili görselleştirme yaklaşımlarının öğrencilerin kavramsal öğrenmeleri üzerine etkisi araştırmıştır. Araştırmacı görselleştirme yaklaşımlarının öğrencilerin kavramsal öğrenmelerine katkı sağladığı sonucuna ulaşmıştır. Tabaghi ve Sinclair (2013) ile Pecuch-Herrero (2000) özdeğer ve özvektör kavramları üzerine teknoloji destekli araştırmalar yürütmüşlerdir. Tabaghi ve Sinclair (2013) literatürde baskın olarak rapor edilen analitik-aritmetik düşünme tarzının aksine, araştırmaya katılan öğrencilerin sentetik-geometrik bir düşünce biçimi geliştirdiklerini
ortaya koymuştur. Pecuch-Herrero (2000) teknolojiyi öğretime dâhil etmek öğrencilerin başarılarını artırdığını ortaya koymuştur.
Yapılan çalışmalar incelendiğinde özellikle lineer bağımsızlık kavramı olmak üzere belirli kavramlar üzerinde öğrencilerin anlamaları ve sahip oldukları zorluklar üzerine çalışılmıştır. Çalışmalardan çıkan sonuçlar öğrencilerin kavramsal anlamalar oluşturmakta zorluklar yaşadıklarını çoğunlukla işlemsel bilgilerini geliştirdiklerini ve sezgisel anlamalarına güvenmeyi tercih ettiklerini ortaya koymuştur. Çalışmalar bir taraftan öğrencilerin lineer cebir öğretiminde yaşadıkları zorlukları ortaya koyarken bir taraftan da bazı önerilerde bulunmuştur. Şekil 4’te literatür taraması sonucu lineer cebir öğretiminde öğrencilerin karşılaştığı zorluklara ve bu zorluklara karşın verilen önerileri göstermektedir.
Şekil 4. Lineer cebir öğretiminde öğrenci zorlukları ve öneriler
Şekil 4’den de görüldüğü üzere öğrencilerin sahip oldukları zorluklar ve lineer cebir öğretimine yönelik olarak yapılan öneriler dikkate alındığında vektör uzayları teorisinin öğretimine yönelik olarak bir öğrenme ortamı tasarımı düşünülmüştür.
Son dönemde yapılan çalışmalarda teknolojinin öğrencilerin anlamalarını veya zihinsel yapılarını nasıl etkilediği incelenmiş ve ortaya olumlu sonuçlar çıkmıştır. Birçok araştırma lineer cebir öğretiminde teknolojiden yararlanılması konusunda ortak görüş bildirmişlerdir. Bununla birlikte kavramların geometrik temsillerine vurgunun öğrencilerin kavramlarla ilgili sağlam anlamalar oluşturmasına katkı sağlayacağı belirtilmiştir (Harel 2000). Ancak geometrik vurguyla ilgili gerek yurt içi gerekse yurt dışı çalışmalardan çıkan sonuçlar geometriye aşırı vurgunun öğrencileri daha çok sezgisel anlamalara güvenmeye ittiğini ve bu nedenle belli bir plan doğrultusunda geometriye yer verilmesi gerektiğini ortaya koymuştur (Harel, 2000; Medina, 2000; Nardi, 1997; Soylu, 2005). Geometrik
temsillerin kullanımına benzer bir şekilde, Harel (2000) teknoloji kullanımın özensiz olmaması gerektiğini ifade etmiştir. Bu konuda literatürden elde sonuçlar doğrultusunda teknolojinin ve kavramlara ilişkin geometrik yaklaşımın belli bir kuramsal çerçeve ve sistematikle öğrenme ortamının bir parçası olmasına karar verilmiştir. Bu nedenle Harel’in (2000) lineer cebir öğretimine yönelik önerdiği pedagojik prensiler doğrultusunda ve literatürde ortaya çıkan diğer önerilerde göz önünde bulundurularak teknolojiye ve kavramların geometrik temsillerine yer verilmesinin uygun olacağı düşünülmüştür.
Hillel (2000) lineer cebir öğrenmedeki temel zorluklardan biri tarafından derslerde ve kitaplarda kullanılan dillerin çeşitliliği olarak ifade etmiştir. Sınıf içi öğretim yapılırken veya ders kitaplarında sürekli olarak bir dilden diğerine geçiş yapılır. Bu temsil dilleri ve tanımlamalar arasındaki ayırımı yapamayan bir öğrenci için birinden diğerine geçişi anlamak ve takip etmek temel zorluk nedenleri arasında yer almaktadır (Britton ve Henderson, 2009; Hillel, 2000; Medina, 2000). Bu nedenle gerek ders içi sunumlar yapılırken gerekse kavramların öğretimine yönelik etkinlikler hazırlanırken temsil dillerinin kullanıma özen göstererek farklı dillere yer vermek ve öğrencileri bu dilleri öğrenmeye ve etkili bir şekilde kullanmaya teşvik etmek önemlidir. Sierpinska (2000) lineer cebirde öğrencilerin farklı tanımlama ve temsil dilleri ile ilgili anlamalarının gelişimi için üç temel düşünme biçiminin gelişimine ihtiyaç olduğunu dile getirmiştir. Buradan hareketle vektör uzayları öğretimine yönelik olarak tasarlanacak bir öğrenme ortamının öğrencilerin yalnızca temsil dillerini kullanması ve geliştirmesi açısından değil aynı zamanda farklı düşünme biçimlerini sergilemelerine olanak sağlayacak şekilde olması gerektiği düşünülmüştür. Bu bakımdan tasarlanan öğrenme ortamında kavramların farklı gösterimlerine, farklı temsil dillerinin kullanıldığı sorulara yer vermek ve ayrıca farklı düşünme biçimlerinin sergilenebileceği problemler üzerinde çalışacak şekilde etkinlikler ve ödevler hazırlamak öğrencilerin anlamalarının gelişimi açısından önemlidir.
Diğer taraftan literatürde daha önce lineer cebir öğretimine yönelik olarak verilen önerilerin dışında tasarlanacak öğrenme ortamına yönelikte tavsiyelerde bulunulmuştur. Çelik (2015) çalışmasında öğretmen adaylarının lineer bağımlılık/bağımsızlık kavramına yönelik düşünme biçimlerini araştırmayı amaçladığı araştırmasında öğretmen adaylarının literatüre benzer bir şekilde problemlerin çözümünde çoğunlukla aritmetik ve cebirsel işlemleri kullandıklarını bulmuştur. Çelik (2015), öğrencilerin soyutlama süreçlerinin gelişimine yardımcı olması için uygun öğrenme ortamlarının tasarlanmasını ve bu ortamların öğrencilerin akıl yürütme ve düşünme biçimlerine etkisinin araştırılmasın önermiştir. Benzer bir şekilde Parker’da (2010) germe ve lineer bağımsızlık hakkında öğrencilerin sezgileri, kullanılan dil ve öğrenim kalitesi arasındaki olası ilişkileri ortaya çıkarmayı amaçladığı çalışmasının bulguları doğrultusunda ileri düzeyde matematik
derslerinde öğrenci öğrenimini geliştirmek için öğrencilerin sezgilerinin iyileştirecek ve dil becerilerinin gelişiminde onları cesaretlendirecek eğitim uygulamalarının kullanılması yaklaşımı önermiştir. Donevska-Todorova (2018), teknoloji ile geliştirilmiş bir öğrenme ortamının öğrencilerin yeterliliklerinin gelişimine nasıl katkı sağlayabileceğini araştırmış ve tanımla ve düşünme biçimlerinin iç içe olduğu bir modelin öğrenme ve öğretme ortamları tasarımı için uygun olduğunu önermiştir. Donevska-Todorova’nın (2018) çalışmasından farklı olarak bu çalışma da etkinlikler ve ödevler hazırlanırken Harel’in (2000) somutluk, gereklilik ve genellenebilirlik prensiplerinin karşılanması hedeflenmiştir.
Literatürde incelendiğine özellikle vektör uzaylarının öğretimine yönelik olarak teknoloji destekli bir öğrenme ortamının tasarlanmasına ihtiyaç olduğu düşünülmüş ve bu amaca hizmet etmek için bir öğrenme ortamı tasarlanmıştır. Öğrenme ortamı tasarlanırken öncelikli olarak literatürde yer alan öğrenci zorlukları ve öneriler göz önüne bulundurulmuştur ve ardından araştırmanın kuramsal çerçevesi oluşturulmuştur. Bu araştırmada, Hillel’in temsil dilleri ve Sierpinska’nın düşünme biçimleri teorilerinin iç içe olduğu ve Harel’in prensipleriyle desteklenen bir öğrenme ortamı tasarımı lineer cebir öğretiminde kullanılmıştır. Böylelikle hem literatürde bu yönde yapılan öneriler karşılanması hem de ortaya atılan öğrenme ve öğretme modellerinin gelişimine katkı sağlanması düşünülmüştür. Ayrıca öğrenme ortamı literatürdeki birçok araştırmadan farklı olarak yalnızca vektör uzaylarının birkaç kavramına yönelik olarak değil daha kapsamlı olacak şekilde vektör uzayları, alt uzay, lineer birleşim, germe, lineer bağımlılık/bağımsızlık, taban ve boyut kavramları içermektedir.
Bu bölümde araştırmanın tasarımı, araştırmanın yürütülmesinde kullanılan yöntem, katılımcılar, veri toplama araçları, veri toplama süreci ve veri analizi ile ilgili açıklamalar yer almaktadır.