Sabit Etkiler Yöntemi (Fixed Effects Model-FEM)

Sabit etkiler yönteminde, havuzlanmış EKK yöntemindeki homojenlik varsayımı reddedilir. Buna göre, modelde yer alan gözlenemeyen birim etkiler sabit kalmayıp, kesit ve zaman boyutunda değişim gösterebilir. Yöntemin en önemli avantajı, elde edilen tahmincilerin birim ya da sabit etkilerle korelasyona sahip olması durumunda dahi,

yapılan dönüşüm işlemleri neticesinde tutarlı bir tahminci özelliğine sahip olmasıdır (Tarı, 2015: 480). Sabit etkiler yönteminde sabit, her bir birim ya da yatay kesite özgü olarak ele alınır. Sabit etkiler yönteminde kullanılan model, doğrusal panel veri regresyonundan hareketle şu şekilde gösterilmektedir (Asteriou ve Hall, 2016: 443): 𝑌_𝑖𝑡 = 𝛼_𝑖 + 𝛽₁𝑋_1𝑖𝑡+ 𝛽₂𝑋_2𝑖𝑡+ ⋯ + 𝛽_𝑘𝑋_𝑘𝑖𝑡+ 𝑢_𝑖𝑡 (𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, … , 𝑇) [3.3]

Burada 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖𝑡’dir. Bu modelde, verilerde meydana gelen değişimden etkilenen

yalnızca sabit katsayısı olup, eğim katsayısı etkilenmemektedir (Güriş, 2018: 16). Eşitlik [3.3]’te görüldüğü üzere, sabit katsayısı birimden birime değişmekte (𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, … , 𝑇) ve model her bir birim için farklı sabitlere izin vermektedir. Modelde, sabit etkilerin ölçümü genellikle tek yönlü (one way) olarak yatay kesite kukla değişken konması yoluyla uygulanır. Ancak firmaların ya da ülkelerin bazen zaman boyutunda da sabit terimlerinin değişmesi mümkün olabilir. Sabit etkiler modelinde, değişkenlik gösterebilen söz konusu etkileri ölçebilmek için, farklı tahmin yöntemleri geliştirilmiştir. Bu yöntemlerden birisi grup içi tahmin (within estimator) yöntemi, diğeri ise kukla değişkenli en küçük kareler (least squares dummy variable) yöntemidir (Asteriou ve Hall, 2016: 443).

Grup içi tahmin yöntemi, havuzlanmış EKK yöntemine benzer şekilde, gözlemlenemeyen sabit etkilerin parametrelerde meydana getirdiği sorunları ortadan kaldırmak için, bu etkilerin sabit olduğunu varsaymaktadır. Bu amaçla, açıklayıcı değişkenlerin grup içi (kesit) ortalamalarından sapmaları dikkate alınarak bir takım dönüşüm işlemi uygulanmakta ve böylelikle parametrelerde ortaya çıkan farklılıklar ortadan kaldırılmaktadır (Tarı, 2015: 488). Transforme edilmiş yeni değişkenlerle yapılan havuzlanmış EKK tahmincisinin adı “grup içi tahminci”dir. Söz konusu değişim işlemi için her bir kesit, kendi ortalamasından arındırılır. Yapılan dönüşüm işlemleri neticesinde 𝛼 ve 𝜇𝑖 eşitlikten çıkarılmış olur, yeni serilerle havuzlanmış EKK uygulanarak FEM

model sonuçlarına ulaşılır.

Bu yöntemde, bağımlı değişkendeki grup içi değişmeler, açıklayıcı değişkenlerdeki grup içi değişmelerle açıklanmaktadır (Güriş, 2018: 31). Eşitlik [3.2]’yi tekrar ele aldığımızda, buradaki parametreleri tahmin edebilmek için yapılacak dönüşüm işlemi sıralamasına göre öncelikle, değişkenlerin grup içi aritmetik ortalamaları hesaplanır ve böylelikle panel veri modelinin ortalamaları alınmış olur. Ortalaması alınan model şu şekilde gösterilebilir;

𝑌̅_𝑖𝑡 = 𝛼 + 𝜇_𝑖 + 𝜆_𝑖+ 𝛽𝑋̅_𝑖𝑡+ 𝑢̅_𝑖𝑡 [3.4] Burada ortalamalar 𝑌̅_𝑖𝑡 =1 𝑇∑ 𝑌𝑖𝑡 𝑇 𝑡=1 , 𝑋̅𝑖𝑡 = 1 𝑇∑ 𝑋𝑖𝑡 𝑇 𝑡=1 ve 𝑢̅𝑖𝑡 = 1 𝑇∑ 𝑢𝑖𝑡 𝑇 𝑡=1 şeklinde

hesaplanmaktadır. Bir sonraki aşamada, panel veri modeli olan Eşitlik [3.2] ile ortalamaları alınmış model olan Eşitlik [3.4] arasındaki fark alınarak, panel veri modeli ortalamalarından şu şekilde arındırılır (Tarı, 2015: 488, Güriş, 2018: 31);

(𝑌𝑖𝑡− 𝑌̅) = 𝛼 + 𝜇𝚤 𝑖 + 𝜆𝑖 + 𝛽𝑋𝑖𝑡+ 𝑢𝑖𝑡− (𝛼 + 𝜇𝑖 + 𝜆𝑖+ 𝛽𝑋̅𝑖𝑡+ 𝑢̅𝑖𝑡) [3.5]

Bu işlem neticesinde Eşitlik [3.6] elde edilir:

(𝑌𝑖𝑡− 𝑌̅) = 𝛽(𝑋𝚤 𝑖𝑡− 𝑋̅ ) + (𝑢𝚤 𝑖𝑡 − 𝑢̅𝑖𝑡) (𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, … , 𝑇) [3.6]

Yeni model, 𝑌_𝑖𝑡∗ = 𝛽𝑋_𝑖𝑡∗ + 𝑢_𝑖𝑡∗ şeklinde düşünülürse, bu modelde yer alan 𝛽, en küçük kareler (EKK) yöntemi ile tahmin edilmektedir.

Yapılan bu dönüşüm işlemleri sonucunda, modelde yer alan sabit terim (𝛼) ve sabit etkiler (𝜇_𝑖, 𝜆_𝑖) model dışında bırakılmıştır. Dolayısıyla, gözlemlenemeyen sabit etkilerin parametrelerde meydana getirdiği sorunları ortadan kaldırmak için yapılan bu işlemler, sabit etkileri model dışında bırakarak parametrelerde ortaya çıkan farklılıkları ortadan kaldırmıştır. Burada fark dönüşümü kullanılarak serilerin uzun dönem bilgileri ortadan kaldırılmış olsa da açıklayıcı değişkenlerin dışsal olması halinde sapmasız tahminciler elde edebilmek mümkün olmaktadır (Tarı, 2015: 488-489).

Sabit etkiler (FEM) yönteminde kullanılan bir diğer tahminleme yöntemine göre, her birime özgü farklı bir sabit terim elde edebilmek için modele kukla değişken koyma yoluyla da tahminleme yapılabilir. Bu nedenle bu yönteme “kukla değişkenli en küçük kareler yöntemi (least squares dummy variable-LSDV)” yöntemi denilmektedir (Hsiao, 2004: 32). Kukla değişkenler 0 ve 1’den oluşan bir matris olup, her birim ya da sabit için bir kukla değişken eklendiğini düşündüğümüzde “tek yönlü sabit etkiler modeli” Eşitlik [3.7]’de görüldüğü gibi oluşturulur (Baltagi, 2013: 15, Tarı, 2015: 480);

𝑌_𝑖𝑡 = 𝛼₁+ 𝛼₂𝐷_2𝑖+ 𝛼₃𝐷_3𝑖+ ⋯ + 𝛼_𝑘𝐷_𝑘𝑖+ 𝛽₁𝑋_1𝑖𝑡+ 𝛽₂𝑋_2𝑖𝑡+ ⋯ + 𝛽_𝑘𝑋_𝑘𝑖𝑡+ 𝑢_𝑖𝑡 [3.7] Burada, her bir yatay kesit için modele kukla değişken (𝐷) eklenmiştir. Kukla değişkenler, her bir kesit için farklı sabit tahminlenmesini sağlamaktadır. Bu durum, modelde kesit etkisini gözlemlemeyi mümkün kılmaktadır. Modele sahip olunan 𝑁 adet yatay kesit kadar kukla (dummy) değişken eklenmesi gerekir. Ancak, kukla değişken

tuzağına düşmemek için modele, yatay kesit sayısından bir eksik olacak şekilde 𝑁 − 1 adet kukla değişken eklenir. Kukla değişken tuzağını önlemek için kullanılan bir diğer yöntem ise 𝑁 adet kukla değişken eklenip, modele sabit terimin alınmaması yöntemidir (Baltagi, 2013: 15).

Eşitlik [3.4] kesit etkisini ölçmektedir. Zamana göre değişen etkiyi ölçmek için “tek yönlü sabit etkiler modeli” şu şekilde olmalıdır:

𝑌_𝑖𝑡 = 𝛼₁+ 𝛼₂𝑇_2𝑡 + 𝛼₃𝑇_3𝑡+ ⋯ + 𝛼_𝑘𝑇_𝑘𝑡 + 𝛽₁𝑋_1𝑖𝑡+ 𝛽₂𝑋_2𝑖𝑡+ ⋯ + 𝛽_𝑘𝑋_𝑘𝑖𝑡+ 𝑢_𝑖𝑡 [3.8] Bu modelde, zaman etkisini gözlemlemek için modele zaman boyutundaki her bir yıl için kukla değişken (𝑇) eklenmelidir. Burada da kukla değişken tuzağına düşmemek için bir eksik olacak şekilde kukla değişken eklenir ya da tüm yıllar için kukla değişken eklenirken modelin sabit terimi model dışında bırakılır. Eğer hem kesit hem de zaman etkisi gözlemlenmek isteniyorsa, modele hem kesit etkisi için hem de zaman etkisi için kukla değişken eklenir. Bu durumda model, “iki-yönlü (two-way) sabit etkiler modeli” olarak isimlendirilir.

Modeller bu şekilde tahminlendikten sonra, sabit etkiler modelinin geçerliliğini değerlendirmeden önce, sabit etkilerin gerçekten modele dahil edilip edilmeyeceğinin kontrol edilmesi gerekmektedir. Tüm sabitlerin aynı olduğu (homojenlik varsayımı) ve bu yöntem için geçerli olduğu yönündeki boş hipotezin (𝐻₀ = 𝛼₁ = 𝛼₂ = ⋯ = 𝛼_𝑁) geçerliliği, aşağıdaki F-test istatistiği yardımıyla test edilir (Asteriou ve Hall, 2016: 444): 𝐹_𝑖𝑠𝑡 = (𝑅𝑅𝑆𝑆−𝑈𝑅𝑆𝑆)/(𝑁−1)

𝑈𝑅𝑆𝑆/(𝑁𝑇−𝑁−𝑘) ~𝐹(𝑁−1,𝑁(𝑇−1)−𝑘) [3.9]

Hesaplamada yer alan 𝑅𝑅𝑆𝑆; kısıtlı modelin (havuzlanmış EKK modeli) hata kareleri toplamını, 𝑈𝑅𝑆𝑆; kısıtsız modelin (kukla değişkenler ile etkilerin dahil edildiği model) hata kareleri toplamını, 𝑁 ve 𝑇 sırasıyla kesit ve zaman boyutunu, 𝑘 ise açıklayıcı değişken sayısını ifade eder. Hesaplanan F-test istatistiği, 𝑁 − 1, 𝑁(𝑇 − 1) − 𝑘 serbestlik derecesine göre bulunacak F-kritik değerleri ile karşılaştırıldığında, hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyükse 𝐻₀ reddedilir, sabit etkilerin varlığı kabul edilir ve sabit etkiler modelinden devam edilir. Eğer reddedilemezse, modele sabit etkilerin dahil edilmesinin gerek olmadığı, havuzlanmış EKK modelinin kullanılması gerektiği görülür.