Rassal Etkiler Yöntemi (Random Effects Model-REM)

Sabit etkiler yönteminde, açıklayıcı değişkenlerle sabit etkiler arasında korelasyon olması halinde dahi parametreler tutarlı olarak hesaplanabilmektedir. Bu yönüyle bakıldığında, sabit etkiler tahmincisi rassal etkiler tahmincisine göre daha çok tercih edilebilir bir yöntemdir. Ancak, çok geniş bir popülasyon çalışılıyorsa, örneklemde yer alan verilerin popülasyonun tümüne ilişkin olmaması ve popülasyonu temsil eden sadece belli bir kısıma ilişkin veri mevcut olması halinde rassal etkiler yöntemi kullanılır. Yöntem, gözlenemeyen etkilerin hata teriminin içerisinde yer aldığını varsayar (Baltagi, 2013: 20, Tarı, 2015: 492-493). Öte yandan, modeldeki zaman serisi boyutu kesit sayısından küçükse (𝑇 < 𝑁 ise), iki her iki yöntemle elde edilen tahmin sonuçlarına göre tahmin edilen parametreler arasında önemli ölçüde bir farklılık beklenmekte ve bu durumda örneklemin geniş popülasyondan rasgele çekildiğine kuvvetle inanılıyorsa istatistiksel çıkarım yapabilmek için rassal etkiler yöntemi tercih edilmelidir. Eğer rasgele çekilmemişse sabit etkiler yöntemi daha uygundur. Tam tersi, 𝑇 > 𝑁 durumunda ise, her iki tahmin sonucuna göre tahmin edilen parametreler arasında çok az bir farklılık beklenmekte ve sabit etkiler yöntemi rassal etkiler yöntemine göre daha tercih edilebilir bir yöntem olmaktadır (Gujarati, 2004: 650).

Klasik doğrusal bir panel veri regresyonu olan Eşitlik [3.1] tekrar ele alındığında, bu modeldeki hata terimi aşağıdaki süreçten gelmekte olup, rassal etkiler yönteminde birime ait etkilerin modelin hata terimlerinde gözlemlenebilmesi mümkün olmaktadır. 𝑢_𝑖𝑡 = 𝜇_𝑖 + 𝑣_𝑖𝑡 [3.10]

O halde rassal etkiler modeli şöyle gösterilebilir;

𝑌_𝑖𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋_𝑖𝑡′ + 𝜇_𝑖+ 𝑣_𝑖𝑡 (𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, … , 𝑇) [3.11] Eşitliklerde yer alan 𝜇_𝑖 gözlemlenemeyen birim etkiyi, 𝑣_𝑖𝑡 ise geriye kalan hata terimini gösterir. Bu modelde 𝜇_𝑖’lerin rassal olduğu varsayılır. Burada belirtilen 𝜇_𝑖’ler sabit kalmamakta ve bunlar sabit etkiler modelindeki gibi sabit terim içerisinde değil, rassal olması nedeniyle hata payı içerisinde yer almaktadır (Baltagi, 2013: 20). Bu durumda modelin sabit terimi tüm kesitler için ortalama bir sabit terimi göstermekte, hata terimi ise kesite özgü gözlemlenemeyen etkileri içermektedir (Gujarati, 2004: 647). Özetle, rassal etkiler (REM) modellerinde birim ve zaman etkileri, rassal değişken olarak modelde hata teriminin bileşeni olarak yer alır. Dolayısıyla model, 𝜇𝑖 ve 𝑣𝑖𝑡

bileşenlerinden oluşan bir hata bileşenleri modelidir. Ayrıca, bu bileşene 𝜆_𝑖 şeklinde bir parametre daha eklenirse, model “iki-yönlü (two-way) REM” model haline dönüşür ve böylelikle zaman etkileri de incelenebilir. REM modellerde 𝜇𝑖’nin rassal kabul edilmesi

nedeniyle, modeldeki serbestlik derecesi kaybının önüne geçilmekte, ancak modele eklenen bileşenlerin ortalama ve varyanslarının belirlenmesi önemli hale gelmektedir (Güriş, 2018: 24-25). Modele eklenen bileşenler ve modelin hata terimlerine ilişkin varsayımları şöyle sıralanabilir:

 𝐸(𝑣_𝑖𝑡) = 𝐸(𝜇_𝑖) = 0 ∀ 𝑖, 𝑡,  𝐸(𝑣_𝑖𝑡, 𝑣_𝑗𝑠) = 𝜎_𝑣2, ∀ 𝑖, 𝑡 𝑖 = 𝑗 𝑣𝑒 𝑡 = 𝑠 𝑖𝑠𝑒,  𝐸(𝜇𝑖, 𝜇𝑖) = 𝜎𝜇2, ∀ 𝑖, 𝑡 𝑖 = 𝑗 𝑖𝑠𝑒,  𝐸(𝑋_𝑖𝑡′_|𝑣 𝑖𝑡) = 0, ∀ 𝑖, 𝑡,  𝐸(𝑋_𝑖𝑡′_|𝜇 𝑖) = 0, ∀ 𝑖, 𝑡,  𝐸(𝑢_𝑖𝑡2_{) = 𝜎} 𝑣2+ 𝜎𝜇2, ∀ 𝑖, 𝑡,  𝐸(𝑢_𝑖𝑡, 𝑢_𝑗𝑠) = 𝜎_𝜇2, ∀ 𝑖, 𝑡 𝑖 = 𝑗 𝑣𝑒 𝑡 ≠ 𝑠,

Modelin hata terimine ilişkin diğer varsayımlar, havuzlanmış EKK modeli varsayımları ile aynıdır. Burada sıralanan varsayımlardan hata terimi (𝑢𝑖𝑡) ile ilgili

𝐸(𝑢_𝑖𝑡, 𝑢_𝑗𝑠)’nin 𝜎_𝜇2’ye eşit olması varsayımı, kesit içi otokorelasyon sorununa neden olmaktadır. Ayrıca, 𝑢𝑖𝑡 ve 𝑢𝑗𝑠 bileşik hata terimlerinin ikisi de 𝜇𝑖 bileşenini içerdiği için

bu iki terim birbiri ile ilişkilidir. Bu durum, EKK tahmincilerinin etkin olmayacağı anlamına gelmekte ve EKK tahmincisi değil, kesit içi otokorelasyonu dikkate alan düzenlemeleri içeren tahminciler kullanılmalıdır (Baltagi, 2013: 21, Güriş, 2018: 24).

Rassal etkiler yönteminin en önemli dezavantajı, rassal bileşenlerle ilgili yukarıda bahsedilen özel varsayımlar gerektirmesidir. Ayrıca, birim etkiler ile açıklayıcı değişkenler arasında ilişki varsa, bu yönteme göre yapılan tahminler sapmalı ve tutarsız olacaktır. Bunlara karşın, modelde tahmin edilen etkilerin sabit etkiler yönteminden az olması yöntemin bir avantajıdır. Diğer bir avantajı ise, kesit içindeki tüm gözlemler için ek açıklayıcı değişkenlere yani kukla değişkenlere izin vermesidir (Asteriou ve Hall, 2016: 446).

REM model hata terimlerinde rassal etkiler dikkate alındığı için modeldeki hata bileşenleri arasındaki otokorelasyon, EKK tahmincisini tutarsız halde getirmektedir. Bu durumda, modelde yapılan bir takım dönüştürme işlemlerinden sonra yeni tahminci EKK tahmincisi değil, genelleştirilmiş EKK (GEKK-FGLS) haline dönüşmektedir. Burada

modeli dönüştürmek için 𝑁𝑇𝑥𝑁𝑇 boyutlu bir matrise (Ω−1_{) ihtiyaç duyulmaktadır.}

Klasik doğrusal panel veri modeline bu matris ile dönüştürme işlemi uygulandığında, modelin hata teriminin (𝑢𝑖𝑡) beklenen değeri sıfır ve varyansı sabit hale gelmektedir.

Dönüştürülen yeni değişkenlerle tahminlenen modelden elde edilen 𝑢𝑖𝑡’ler ile 𝜎12 ve 𝜎𝑢2

değerleri hesaplanır. Burada 𝑢_𝑖𝑡’lerin elde edilmesi ile ilgili farklı yaklaşımlar geliştirilmiştir. Bunlardan birisi, Wansbeek ve Kapteyn (1982b, 1983) tarafından önerilen grup içi tahminci ile tahminlenen FEM modelden elde edilen 𝑢_𝑖𝑡’lerin kullanılması şeklindedir. Elde edilen 𝑢_𝑖𝑡’ler kullanılarak 𝜎₁2 _{ve 𝜎}

𝑢2 değerleri şu şekilde hesaplanır:

𝜎₁2 = 𝑇 ∑𝑁𝑖=1𝐸(𝑢𝑖 2)

𝑁 , 𝜎𝑢

2 ₌∑𝑁𝑖=1∑𝑇𝑡=1𝐸(𝑢𝑖𝑡−𝑢𝑖)2

𝑁(𝑇−1) [3.12]

Yapılan bu hesaplamalar ve uygulanan dönüşüm aşamaları sonucu elde edilen GEKK tahmincisi Eşitlik [3.13]’te görüldüğü şekilde ifade edilir:

𝛽̂_{𝐺𝐸𝐾𝐾} = [∑ 1 𝜎12 𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ′ 𝑃𝑋_𝑖 + 1 𝜎𝑢2𝑋𝑖 ′ 𝑄𝑋_𝑖]−1[∑ 1 𝜎12 𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ′ 𝑃𝑌_𝑖 + 1 𝜎𝑢2𝑋𝑖 ′ 𝑄𝑌_𝑖] [3.13] Eşitlikte yer alan 𝑃 ve 𝑄 matrisleri, simetrik denk güçlü (idempotent) ve ortogonal matrisleri ifade etmektedir. Bu iki matrisin toplamı birim matrisi vermektedir (Baltagi, 2013: 21-23). Yapılan bu dönüşümler sonucunda elde edilen 𝛽̂_{𝐺𝐸𝐾𝐾} tahmincisi, EKK tahmincisine göre etkindir (Johnston ve Dinardo, 1996: 391).

Şunu da belirtmek gerekir ki, rassal etkiler modelinde sabit etkiler ile açıklayıcı değişkenler arasında bir korelasyon olmadığı şeklindeki varsayım, bu modeli kullanmadan önce Hausman testine başvurulmasını gerekli kılmaktadır. Bu test, REM modelde kullanılacak tahminciye karar vermek için uygulanan bir testtir. Sabit etkiler tahmincisi olan grup içi tahminci, sabit etkiler ile açıklayıcı değişkenler arasında korelasyon olması halinde dahi tutarlıdır. Bu nedenle, grup içi tahminci REM modelde kullanılsa dahi tutarlı bir tahmincidir. Hausman testi panel veri modellerinde FEM model tahmincisinin tutarlı olduğu durumda, REM model tahmincisinin tutarlı olup olmadığını test etmektedir (Asteriou ve Hall, 2016: 446-447). Dolayısıyla modelde, yapılan bu test sonucuna göre seçilecek tahminci kullanılır. Modelde rassal etkilerin varlığı LM testi ile test edilir ve test sonucunda rassal etkilerin varlığı tespit edilirse REM model kullanılarak tahminleme yapılır.