Risk Faktörlerine İlişkin Volatilite Tahmin Modelleri

VaR hesaplamasında çok önemli bir yeri olan volatilite ölçümü, farklı yaklaşımlar kullanılarak gerçekleştirilebilmektedir. Bunun bir sonucu olarak her bir yöntem diğerlerinden daha farklı sonuçlar verebilmekte ve dolayısıyla oldukça farklı VaR değerlerine ulaşılması söz konusu olabilmektedir. Dolayısıyla volatilite ölçüm modelinin doğru bir biçimde seçilmesi, VaR sonuçlarının güvenirliğini doğrudan etkilemektedir. Bu çalışmada volatilite modellemesine dönük olarak hareketli ortalama, üstel düzeltilmiş ağırlıklı hareketli ortalama ve genelleştirilmiş otoregresif koşullu değişken varyans modelleri kullanılmaktadır.

i) Hareketli Ortalama(Moving Average-MA): Oldukça yalın olmasına karşın kullanım alanı yaygın olmayan hareketli ortalama yöntemi, belli bir zaman aralığındaki verilerden elde edilen ortalamalardır287. Örneğin günlük döviz kuru getirilerinden oluşan bir seride baştan başlayarak, belirli bir zaman aralığındaki verilerin aritmetik ortalaması alınmakta, sonrasında bir gün ileri gidilerek yine aynı uzunluktaki yeni zaman aralığında aritmetik ortalama hesaplanmakta ve bu işlem serinin sonuna kadar sürdürülmektedir. Böylelikle ortaya çıkan ve görece daha durağan olan yeni seri, hareketli ortalamaları oluşturmaktadır. Volatilite hesaplaması da bu yeni zaman serisi üzerinden yapılmaktadır.

Belirli bir anda(T), belirli bir dönem(n) için hareketli ortalama hesaplaması şu şekilde gerçekleştirilir288: 2 1 2 t T t T t T n r n σ = − = − =

∑

2 σ = Varyans r = Varlığın getirisi 287 _{Penza, K.Bansal; a.g.e., s.131}

Modelde korelasyon hesaplaması ise, x ve y varlık getirilerine ilişkin zaman serilerini temsil etmek üzere;

1 , _{1 1} 2 2 T t t t T n x y _{t T t T} t t t T n t T n x y x y ρ − = − = − = − = − = − =

∑

∑

∑

şeklinde gerçekleştirilir289.

Ancak hesaplama kolaylığına karşın yöntemin önemli zayıflıkları vardır. Bunların en önemlisi, hesaplamalarda son verilerin(tahmin dönemine daha yakın verilerin) eski verilerle aynı ağırlığı taşımasıdır. Bunun yanı sıra, geçmişte yaşanmış büyük ölçekli değişimler, seçilen zaman aralığında kaldığı sürece volatiliteyi arttırıcı yönde etki yapmakta, sonrasında ise ani bir düşüş yaşanması sonucunu doğurmaktadır290.

ii) Üstel Düzeltilmiş Ağırlıklı Hareketli Ortalama(Exponentially Weighted Moving Average-EWMA): Araştırmacılar açısından en önemli gözlemler -gelecek hakkında daha iyi fikir vermeleri dolayısıyla- en yakın gözlemlerdir. Konuya bu açıdan yaklaşıldığında, son gözlemlere daha yüksek, önceki gözlemlere ise geriye doğru gittikçe küçülen katsayılar veren bir ağırlıklandırma yaklaşımı kullanılmalıdır291. Bu nedenle, volatilite tahminlerinde son gözlemlere(verilere) daha çok ağırlık veren modellere yöneliş söz konusudur292.

İlk olarak JP Morgan’s Riskmetrics tarafından 1994 yılında kullanılmaya başlanan EWMA, yakın gözlemlere daha yüksek ağırlık vermekte ve bu sayede piyasadaki krizleri ya da aşırı dalgalanmaları sonuçlara anında yansıtabilmektedir293.

289 _{Alexander, a.g.e., s.127.}

290 _{Jorion, Value At Risk: The New Benchmark For Managing Financial Risk, ss.186-187.} 291 _{Özdemir Akmut, Ramazan Aktaş, Soner Binay; Öngörü Teknikleri, Ankara Üniversitesi Siyasal}

Bilgiler Fakültesi Yayını, Yayın No:584, Ankara, 1999, s.36.

292 _{Jorion, a.g.e., s.187.}

293 _{Turhan Korkmaz, Kazım Aydın; ‘Using Ewma and Garch Methods in VaR Calculations:} Application On ISE-30 Index’, 6. ODTÜ Uluslararası Ekonomi Kongresi, Ankara, 11-14 Eylül 2002, s.6.

EWMA modelinde volatilite eşitliği(a) ve kovaryans eşitliği(b) şu şekilde gösterilebilir294:

(

)

2 2 1, 1 1, 1 0 1 i t t i r σ λ λ ∞ + − = = −

∑

(a)

(

)

(

)(

)

2 1 1,2 1, 1 2, 2 1 1 T j t t j r r σ λ λ − µ µ = = −

∑

− − (b)

λ = Üstel ağırlık faktörü, (0<λ<1) r = Varlığın getirisi

µ = Dağılımın ortalaması

Üstel ağırlıklandırma işlemi, aşırı hareketleri gideren(durağanlaştıran) bir işlevi olan λ(lamda) katsayısı ile gerçekleştirilmektedir. Lamda katsayısının büyük olması, ağırlığın geçmiş verilere daha çok dayanmasına neden olmaktadır295. Dolayısıyla bu durumda hesaplanan volatilitenin, güncel piyasa değişimlerini daha sınırlı bir biçimde içermesi beklenmelidir.

EWMA, varlık getirilerinin simetrik(normal) ve zamana bağlı olarak dağıldığı varsayımı üzerine kurulmuş olup zamana bağlı olarak değişiklik gösteren bir volatilite varsayımına dayanmaktadır. Ancak finansal piyasalardaki hareketlerin tamamen simetrik(normal dağılımlı) ve birbirinden bağımsız olmaması, özellikle yüksek frekanslarda(örneğin günlük getiri serilerinde) modellemede otokorelasyon(ardışık korelasyon) sorununu ortaya çıkarmaktadır296. Modellemede ayrıca portföydeki her bir varlığa eşit lamda değeri atanmaktadır. Bu ise sonuçların yüksek hata değerleri üretmesine neden olabilmektedir.

294 _{RiskMetrics Technical Document, Fourth Edition, New York, 1996, ss.82-83.}

(http://www.riskmetrics.com/rmcovv.html, 05.05.2006)

295 _{Alexander, a.g.e., s.129.} 296 _{Bolgün, Akçay, a.g.e., s.172.}

iii) Genelleştirilmiş Otoregresif Koşullu Değişken Varyans(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity-GARCH): 1982 yılında Robert F. Engel tarafından ortaya konulan Otoregresif Koşullu Değişken Varyans(ARCH)* modelinin geliştirilmiş bir biçimi olan GARCH modeli finansal araçların çeşitlenmesi ve piyasalardaki değişkenliğin artmasına koşut olarak yaygın bir biçimde kullanılmaya başlamıştır. Varyansın değişken(heteroscedasticity) olması zamana göre değişen volatiliteyi, koşullu(conditional) olması yakın geçmişteki gözlemlere bağlı olduğunu, otoregresif(autoregressive) olması ise geçmişte elde edilen verilerin bugüne uyarlandığını göstermektedir297.

GARCH modeline ilişkin eşitlik şu şekilde gösterilebilir298:

2 0 1 1 q o t i t i j t j i j p h α αe₋ α h₋ = = + = +

∑

+

∑

ht = Koşullu varyans e = Hata terimi α= Ağırlık faktörü

EWMA modeli de değişken varyans modelini içermektedir ancak, varlık getirilerinin normal ve birbirinden bağımsız olarak dağıldığı varsayımı modelin başarısını sınırlamaktadır. ARCH modeli uygulamalarında ise sık bir biçimde gecikme yapısının uzunluğu sorunuyla karşılaşılmaktadır299. GARCH modeli bu yönüyle daha esnek bir modeldir; yani, ortaya çıkan aşırı değişimlerin giderilmesi ya da bu değişimlere hızlı tepki verme konularında daha başarılı sonuçlar vermektedir300.

* _{Piyasalara ilişkin zaman serilerinin çoğunlukla sabit ortalama ve varyans değerlerine sahip}

olmadıkları bilinmektedir. ARCH modeli, zamana göre değişen varyansın modellemesine dönük olarak üretilen ilk yaklaşımdır.

297 _{Mehmet Uzunoğlu ve diğerleri, Matlab İle Risk Yönetimi, Türkmen Kitabevi, İstanbul, 2005,}

s.11-1.

298 _{Korkmaz, Aydın; a.g.e., s.8.} 299 _{Akmut, Aktaş, Binay; a.g.e., s.189.} 300 _{Butler, a.g.e., ss.205-206.}

ARCH modeli tahmin edilirken koşullu varyans denkleminde doğrusal gecikme yapısındaki bellek uzunluğunun keyfi olması ve görece uzun gecikmeler seçilmesi nedeniyle denklemdeki parametrelere konulan toplam olarak negatif olamama kısıtı göz ardı edilmektedir. Bu kısıtın sağlanmaması ve negatif varyanslı parametre tahminlerine ulaşılması sakıncasını gidermek amacıyla ARCH modeli genişletilerek hem daha fazla geçmiş bilgilere dayanan hem de daha esnek bir gecikme yapısına sahip olan genelleştirilmiş ARCH (yani GARCH) modeli geliştirilmiştir301. GARCH modelinin öne çıkan bir diğer yönü de, ARCH modelinin çok sayıda parametre kullanarak yaptığı modellemeleri daha az sayıda parametre kullanarak gerçekleştirmesi ve daha başarılı sonuçlar sunabilmesidir302.

Belgede Türkiye'de bankacılık risklerinin yönetiminde Basel-II uzlaşısı ve faiz ile kur risklerine ilişkin bir uygulama (sayfa 167-171)