Problemlerin Sınıflandırılması

Problem kavramıyla çoğunlukla akla ilköğretim ders kitaplarının bölüm sonlarında yer alan dört işlem problemleri gelmektedir. Problem çözme eskiden (özellikle ilköğretimde) matematiğin bir konusu olarak ele alınır, problem türlere ayrılır (havuz-işçi, faiz, hız problemleri, vb.) ve her türlü çözüm yolları öğretilirdi. Fakat

problemin tanımından da anlaşılacağı gibi, problemleri matematiğin ayrı bir konusu olarak düşünmek yanlıştır. Matematikte her konuya ait problemlere rastlanabilir. Bu yüzden problemler sınıflandırılırken eski yaklaşımdan farklı bir yol kullanılmalıdır (Kılıç, 2003).

Bu görüş altında problemlerin değişik yaklaşımlarla sınıflandırmaları yapılabilir. Altun (2002) öğretimdeki farklılıkları esas alarak problemleri, iki sınıfa ayırmıştır. Bunlar rutin (sıradan) problemler ve rutin olmayan (sıra dışı) problemler olmak üzere:

Rutin (sıradan) Problemler

Bunlar matematik ders kitaplarında yer alan ve dört işlem becerileri ile çözülebilen problemlerdir. Bütün problemler bir ya da çok işlemli olabilirler. Rutin problemlere aşağıdaki örneği vermek mümkündür.

Örnek: Ali 212 sayfalık bir kitabın birinci gün 30, ikinci günde 42 sayfasını

okudu. Üçüncü gün kitabın yarısına geldiğine göre üçüncü günde kaç sayfa okumuştur? Matematik ders kitaplarındaki problemlerin tamamına yakını bu tür problemlerden oluşmaktadır.

Rutin problemlerin öğretimi günlük hayatta çok gerekli olan işlem becerilerini geliştirmek, çocukların problem hikayesinde geçen bilgileri matematik eşitliklere aktarmayı öğrenmeleri, düşüncelerini şekillerle anlatmaları ve problem çözmenin gerektirdiği diğer becerileri kazanmaları bakımından önemlidir (Altun, 2002).

Gür’e (2006) göre rutin problemler daha önceden öğrenilmiş olan bilgi ve tekniklerin, sınırlı bir içerik içinde kullanıldığı sanılar/problemlerdir. Rutin problemlerin verilmesindeki amaç, yeni öğrenilen olgu ve tekniklerin pekiştirilmesiyle sınırlıdır. Bu problemlerin yeni bilgilerin geliştirilmesine ve matematik öğrenmeye katkısı çok azdır. Gerçek anlamda problem olarak düşünülemez.

Rutin Olmayan (Sıra Dışı) Problemler

Bu problemler rutin olanlara göre daha fazla düşünme gerektiren, çözmek için yöntemin açık olarak gözükmediği problemlerdir. Çözümleri işlem becerilerin ötesinde, verileri organize etme, sınıflandırma, ilişki görme gibi becerilere sahip olmayı ve bir takım eylemleri arka arkaya yapmayı gerektirir. Rutin olmayan problemler ile ilgili aşağıdaki örnekler incelenebilir.

Örnek: Bir çiftlikte bulunan 40 inekten birincisi 1 kg, ikincisi 2 kg, üçüncüsü 3

kg, …. kırkıncısı 40 kg süt vermektedir. Đnekleri 5 kardeş arasında öyle paylaştırınız ki, her kardeşe düşen inek sayısı ve süt miktarı aynı olsun.

Örnek: Bir ağaç türü ile ilgili belgesel hazırlamak isteyen bir araştırmacı ağacın

boyunu ölçmek istiyor. Elinde 1 metrelik cetveli varsa bu işi başarabilir mi? Ağacın gölgesinden nasıl yararlanılabilir?

Rutin olmayan problemlerde problemin konusu çoğunlukla çevresel veya çevrede rastlanabilecek bir olaydır. Bundan ötürü bunlara gerçek problem veya gerçek hayat problemi denmektedir. Çocuk bu problemleri kendi somut yaşantısına dayanarak

çözebilir ve bunları çözmekle çevredeki olayların bazı matematik kurallarına dayandığını anlar. Bu durum onların sadece problem çözme yeteneklerini geliştirmelerine yardım etmekte kalmayıp matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmelerine de katkı sağlar (Altun, 2002).

Alkan’da (1998) matematik problemlerini alışılmış problemler, sonuç problemleri (gerçek problemler) ve doğrulama problemleri diye üç sınıfa ayırmıştır.

a) Alışılmış problemler; işlem becerisine ve daha önce denenmiş yolların

tekrarına dayalı olarak çözülürler. *

(

)

b) Sonuç problemleri (gerçek problemler); ön bilgiler ve işlem becerilerine ek

olarak verilerin ve oranların düzenlenmesi, matematiksel model oluşturma ve bu modelin tartışılması ile çözülebilenlerdir.

* Toplamları 5 ve çarpımları 6 olan iki sayı neler olabilir?

c) Doğrulama problemleri; sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını

gerektirenlerdir.

* Bir üçgende iki kenar uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür.

Foong’un (1990) problemlerin kullanımı üzerine yaptığı sistematik sınıflandırma aşağıda şekildeki gibidir (Akt. Akay ve ark., 2006)

Şekil 2. Matematiksel Problemler Đçin Sınıflandırma Şeması

Açık Uçlu Problemler

Bu kategorideki problemlerde, doğru ve tam bir çözümü garantileyen sabit bir işlem, açık bir formülasyon olmadığından, eksik bilgi ile kabuller bulunduğundan bu tür problem çoğu zaman “iyi yapılandırılmamış (ill structured) problemler” olarakta adlandırılır. Đyi yapılandırılmamış problemler tek bir cevabı olmayan, günlük yaşantıdaki problemleri kapsayan türden problemlerdir (Akay ve ark., 2006). Örneğin;

a) Cevabı, standart olan kapalı tip matematik problem örneği; Problemler

Kapalı Tipler (Ders kitaplarındakiler,

alıştırmalar)

Açık – uçlu tipten olanlar Matematiksel alıştırmalar ve projeler Rutin problemler 1. Özel konular içerenler 2. Çok adımlı olanlar Rutin olmayan problemler (Heuristik adımlarla problem çözme stratejileri kullanılır) Kavramsal olma için açık – uçlu problem içeren ders kitapları Gerçek hayatı yansıtan uygulamalı problemler Eksik bilgili olanlar (Missing Data) Problem kurma (Problem Posing) Kavramları açıklayanlar; kural veya hatalar

* Bir kutup ayısı Ahmet’in 25 katı ağırdır. Ahmet 20 kg ise kutup ayısı kaç kg’dır?

b) Cevabı standart olmayan açık – uçlu matematik problem örneği

* Bir kutup ayısı 500 kg’dır. Kaç tane çocuğun ağırlıkları toplamı bir kutup ayısının ağırlığına eşittir?

Açık uçlu problemlerin temel özellikleri:

• Sabit metot yoktur

• Sabit bir cevap yoktur / birçok muhtemel cevap vardır. • Farklı yollarla ve değişik seviyelerde çözülebilir. • Çözüme karışık becerilerle ulaşılabilir.

• Öğrencilere kendi kararlarını verme ve matematiksel düşünme yolları imkan sağlar.

• Öğrencilere yaratıcı düşünme becerilerini ortaya koyma imkanı sağlar. • Öğrencilerin muhakeme etme ve iletişim kurma becerilerini geliştirir.

• Öğrencilerin gerçek hayat tecrübeleri ile ilişkilendirildiğinde yaratıcılıklarını geliştirir ve hayal güçlerini genişletir (Akay ve ark., 2006).

Matematikte kullanılan problemler gerçek hayatla ilgili olabildiği gibi matematikle de ilgili olabilirler. Gerçek hayattan kastedilen matematiğin dışındaki dünyadır. Yani okul ve üniversitelerin matematikten farklı konu alanları, günlük hayat ve çevremizdeki dünya gerçek hayatı oluşturur. Pür matematik problemi ile de matematik dünyası içindeki bir problem kastedilir.

Bu iki tür probleme şöyle örnekler verilebilir:

• “10 nesil geriden kaç kişiden gen almaktayım?” bir gerçek hayat problemidir.

• “Her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir mi?” bir pür matematik problemidir (Altun, 2002).