Königsberg Köprüsü Problemi

Bu bölümde önce bir gerçek hayat problemi olan Königsberg Köprüsü Problemi üzerinde durulacaktır. Daha sonra bu problemin doğuşu, çözüme matematiksel bakış açısı ve PDÖ’ye uygun yaklaşımla bu problemin işlendiği bir ders tasarımına yer verilmiştir.

Matematik dersinde Probleme Dayalı Öğrenme problemi olarak kullanabileceğimiz birçok sayıda günlük hayat problemi vardır. Bunlardan biri de; Königsberg Köprüsü problemidir.

Bu problem Königsberg'de yaşanmış gerçek bir olaydır. Königsberg Rusya'da küçük bir kasaba, Pregel nehri boyunca yerleşmiş ve merkezinde bir ada vardır. Kniephof, adayı geçtikten sonra nehir iki parçaya ayrılıyor. Đnsanların bir bölgeden diğerine geçmesi için yedi köprü yapılmış (Harrary,1972; Grimaldi,1985).

Şekil 9- Königsberg Köprülerinin Görünüşü

Burada yaşayan insanlar şehri dolaşmak istediklerinde her seferinde bir köprüden iki defa geçmekteydiler. Her köprüden yalnız bir defa geçmek suretiyle bütün şehri dolaşmak mümkün olmamaktaydı. Đnsanlar yıllarca bu problem ile uğraştılar fakat çözüm bulamadılar (Robinson,2006).

Şekil 10 - Königsberg Köprüsü Problemi

Şekil 9'da görüldüğü gibi Königsberg birbirine 7 köprü ile bağlanmış ve 4 bölümden oluşuyordu. Bu problem Euler'in de dikkatini çeker ve 1736'da Euler "Königsberg Köprüsü Problemi" olarak bilinen problemi çözer. Matematiksel olarak

yedi köprüden her birini yalnız bir kere geçmek kaydıyla yürümenin mümkün olmadığını ispat eder (Harrary,1972).

Bu problem matematiğin bir alt dalı olan grafik kuramının doğmasına neden olurken kristal yüzeylerin, kimyasal bağların, elektrik ve ulaşım ağlarının çalışmasına katkıda bulunmuştur (D’Angelo&West,1997). Königsberg köprüsü probleminin çözümünde başarısızlıkla sonuçlanan birkaç deneme aşağıda verilmiştir.

Şekil 11- Başarısızlıkla Sonuçlanan Denemeler

*Königsberg'de aşağıdaki şekilde olduğu gibi bir tane köprünün eksik olduğunu varsayalım.

Şekil 12- Bir Köprünün Eksik Olma Durumu

Bu problem çözülebilir. Çözümlerden biri aşağıdaki gibidir.

* Gerçek Königsberg probleminden bunun farkı nedir? Her bir kara parçasına giden kaç köprü vardır? Bir tek parça kara parçasına tek sayıda köprünün olması neden problem olmaktadır?

*Hangi köprüyü eksik almamız durumu farklı yapar ? Eğer köprü sayısını arttırırsak ne olur?

Königsberg'deki kara parçalarını noktalarla ve köprüleri eğri parçaları ile gösterirsek aşağıdaki şekli elde ederiz.

Şekil 14- Königsberg Köprüsü Probleminin Grafiği (Harrary, 1972)

Euler’in Çözümü

Euler'e göre Königsberg'de başarılı bir gezi yapabilmek için bir noktanın bağlandığı çizgilerin sayısının bir çift sayı olması gerektiğini ileri sürdü. Çünkü gezinti sırasında herhangi bir kara parçasından geçmek isteyen yolcunun oraya bir köprüden geçerek girmesi, sonrada başka bir köprüden çıkması gerekiyordu. Bunun sadece iki istisnası vardır: gezinin başladığı ve bittiği yer. Başlangıç durumunda yolcu bulunduğu kara parçasından ayrılmak için sadece bir köprüye ihtiyaç duyar, bitişte de yine tek bir köprüden geçerek son kara parçasına ayak basar. Eğer gezi farklı iki yerde başlayıp bitiyorsa, bu iki kara parçasına bağlanan köprü sayısı tek olmak zorundadır. Buna karşılık başlangıç ve bitiş yeri aynıysa, diğer bütün noktalar gibi bu noktanın da çift sayıda köprüye sahip olması gerekir.

Bu şekilde düşünen Euler, şu genel sonuca vardı: köprü ağı ne şekilde olursa olsun, her köprüden sadece bir kez geçerek geziyi tamamlayabilmek için ya her kara parçasının köprü sayısı çift ya da tamı tamına iki kara parçasının köprü sayısı tek olmak zorundaydı.

Königsberg toplam dört kara parçasına yayılmıştır ve bunların her biri komşu yerlere tek sayıda köprü parçasıyla bağlanmıştır. Üç noktadan üçer köprü, birinden de beş köprü çıkmaktadır. Böylece Euler hem Königsberg'i her köprüden sadece ve sadece bir kez geçerek dolaşmanın neden imkansız olduğunu göstermiş hem de dünyanın herhangi bir yerindeki herhangi bir şehrin köprü ağına uygulanabilecek bir kural ortaya koymuştur (D’Angelo&Douglas,1997; Harrary,1972).

Königsberg Köprüsü Problemine Matematiksel Bakış

Tanım: Birbirine bağlı eğriler veya doğrular ile noktalardan oluşan şekle bir

grafik denir.

* Şimdi problem, bir çizgiden bir daha geçmeksizin ve kalemi kaldırmaksızın bu şekli çizme problemine dönüşmüş olur.

Tanım: Eğer bir grafikte bir noktaya tek sayıda eğri bağlı ise bu noktaya tek

mertebeden bir nokta denir, aksi takdirde çift mertebeden nokta denir.

Euler'in Königsberg Köprüsü probleminin çözümünde, grafiği çizerken işlemin ortasında bir noktaya geldiğinde bu noktaya bir tane gelen bir tane de bu noktadan giden eğri olmalı böylece noktanın mertebesi çift olmalıdır. Bu bütün noktalar için doğru olmalı fakat biri çizime başladığımız diğeri de çizimi bitirdiğimiz nokta olmak üzere iki nokta dışında her noktanın mertebesi çift olmalıdır ve böylece ilgili grafiğin çizilebilir olması için gerek ve yeter koşul en fazla iki tane tek mertebeden noktanın olmasıdır.

Königsberg problemi grafiğinde ikiden fazla tek mertebeden nokta olduğunu Şekil 15'de görüyoruz ve böylece grafik çizilemez yani Königsber'deki yürüyüş turu imkansızdır. Buradan çizimden kastımız bir çizgi ya da kenardan (veya eğri parçasından) bir daha geçmeksizin çizimin yapılması anlamındadır. Euler'in düşüncesi çözülebilir olan problemlerde başlangıç noktası tek ve bitiş noktasının tek mertebeden olması gerektiğini vermektedir (D’Angelo&West,1997).

Aşağıdaki grafda her noktanın mertebesi yanında yazılı bulunmaktadır.

Şekil 15- Königsberg Köprüsü Probleminde Her Bir Noktanın Mertebesi

Königsberg'de aşağıdaki şekilde olduğu gibi bir tane fazla köprü yapıldığını yani 8 tane köprü kurulduğunu varsayalım. Bu durumda bir köprüden (çizgiden) bir daha geçmeden bütün köprüler geçilebilir mi? Evet geçilebilir.

Şekil 16- 8 Köprülü Königsberg Problemi

Königsberg problemi, uygulamalı matematikte ağ problemi diye anılan türün bir örneğidir. Ancak Euler'e daha soyut ağları ele alma konusunda ilham vermiştir. Euler bütün ağ sisteminin temelini oluşturan bir doğruyu bulmaya girişti ve sadece birkaç mantıksal adımdan yararlanarak ağ formülünü geliştirdi. Bu formül herhangi bir ağı betimleyen üç özellik arasındaki ilişkiyi dile getirir.

V+R-L=1

V= Ağdaki köşelerin (kesişme noktaları) sayısı; L= Ağdaki çizgilerin sayısı

Şekil 17- Euler'in Ağ Formülü

Euler'in iddiasına göre, herhangi bir ağ sisteminde köşelerin ve alanların sayıları toplanıp bundan çizgilerin sayısı çıkarıldığında sonuç her zaman 1'dir. Örneğin Şekil 17’deki bütün ağlar bu kurala uymaktadır.

Königsberg Köprüsü Probleminin Graph Teorisine Genelleştirilmesi

Tanım: Birbiriyle kesişmeyen eğriler (yaylarla) ile birbirine bağlı noktalardan

(köşelerden)oluşan bir şekle ağ(network) denir.

* Aşağıdaki ağda her bir noktaya gelen eğri sayısını görmekteyiz.

Şekil 18- Ağda Bir Noktaya Gelen Eğri sayısı

Tanım: Her bir eğri parçasından yalnız bir defa geçen sürekli yola (eğriye) Euler

yolu denir.

Teorem: Eğer bir ağ ikiden fazla tek mertebeden noktaya sahipse Euler yoluna

* Euler karşıtını da ispatlamıştır.

Teorem: Eğer bir ağ iki ya da ikiden az sayıda tek mertebeden noktaya sahip ise

bir Euler yoludur.

Probleme Dayalı Öğrenme yaklaşımına uygun yöntemle öğrencilerin Graph Teorisini öğrenmelerinde kullanılabilecek örnek ders tasarımı aşağıdaki şekilde verilebilir.

1.6.5. Matematik Dersinde PDÖ Kullanılarak Yapılan Örnek Ders Tasarımı