Olaylı TBMM Yemini ve Sonrası

Edson e Teresa estão ambos na faixa dos 18 anos, mostram-se bastante interessados no curso que escolheram, participam de atividades extraclasse sempre que possível, embora sejam mais reservados do que a dupla Pedro e Talita. Em termos de fluência na comunicação oral, também se mostraram menos exuberantes do que a dupla anterior. Estritamente sob o ponto de vista de notas nas avaliações formais da disciplina, Edson e Teresa estão ambos situados na faixa mediana da turma, o que os posicionariam entre os 40 % detentores de melhores notas em sua turma.

O questionário abaixo foi respondido no início das prospecções para a seleção dos participantes da pesquisa.

A Matemática que você estudou no ensino médio (2º grau):

Edson: Bastante defasada, pelo fato de eu ter feito todo o ensino médio, inclusive o ensino fundamental e primário, em escolas pertencentes ao Estado (escolas públicas). Mas consegui aprimorar muito meu conhecimento em Matemática, devido o curso pré-vestibular que tive oportunidade de fazer e de ter me empenhado muito.

Teresa: Penso que a matemática que estudei no ensino médio, é inferior à matemática de muitos alunos que conheci aqui. Pois venho de escola pública, onde a matemática estudada é bem superficial, para que dê tempo de dar todo o conteúdo do ano.

Facilidades e dificuldades que você sentiu e/ou sente em relação à Matemática.

Edson: Tenho um pouco de dificuldade em interpretar instantaneamente enunciados mais elaborados (“difíceis”) de exercícios de matemática.

Porém, tenho um pouco mais de facilidade no desenvolvimento de cálculos algébricos.

Teresa: São raras as dificuldades, pois tudo que me proponho à fazer direito, não encontro obstáculos. Na verdade, acho que tenho uma certa facilidade para o aprendizado de matemática. Porque em comparação aos meus antigos colegas de classe, percebia muitas dificuldades da parte deles e eu já não tinha nenhum problema. Aprendo (matemática) muitas vezes sozinha com auxílio de livros, no caso de dúvidas, uma explicação me basta.

Facilidades e dificuldades que você sentiu e/ou sente em relação à escrita (cartas, redações, etc.)

Edson: No início do curso de redação que realizei no “curso pré- vestibular” sentia dificuldade em desenvolver um tema de redação. Mas com o passar do tempo, consegui assimilar algumas técnicas de escrita e hoje consigo escrever com mais facilidade.

Teresa: Em relação à escrita, tenho dificuldade para expor minha opinião, por isso não gosto de redações dissertativas. Já narrações, tenho mais facilidade, porque gosto de inventar historias e usar a imaginação. Na matéria de redação, sempre fui uma aluna mediana, nunca abaixo da média, nem à cima!

Facilidades e dificuldades que você sentiu e/ou sente em relação à informática:

Edson: Meu contato com o computador começou há 3 anos aproximadamente. Confesso que, antes desse período, não sabia ao menos ligá-lo! Antes de ingressar na universidade (2003) fiz um curso técnico “Processamento de Dados”. No início do curso sentia uma grande

dificuldade é claro, mas no decorrer fui me habituando e passei a gostar muito dos softwares os quais trabalhei.

Teresa: As minhas dificuldades em relação à informática se baseiam no fato de que eu não consigo memorizar muito bem as coisas, assim acabo esquecendo alguns comandos de determinados programas. Tenho facilidade em programação, que é o que mais gosto. Quando fiz um curso técnico, foi com esta matéria (linguagem e programação) que me identifiquei.

Razões para a participação na pesquisa:

Edson: Tenho grande interesse em participar desse projeto de pesquisa, principalmente depois de saber que, a computação tem uma relação muito íntima com a matemática. Pelo fato de gostar muito de matemática e até agora só trabalhei com ela na teoria, tenho uma enorme curiosidade em saber como e onde poderei usá-la, afim de começar a pensar em que área de trabalho me identifico mais, seja no bacharelado, licenciatura e outros. Teresa: [não respondeu]

5.4.2 Construindo o Episódio

A questão geradora do episódio foi proposta no experimento com duplas na fase de investigação de compreensões do conceito de derivada. Vamos reenunciá-la:

A derivada de uma função f : Df → Cf , num ponto x do intervalo aberto Df¸

é dada por h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + →

, se este limite existir. Suponhamos, então, que este limite exista e seja igual a L. Em outras palavras, L é o limite de alguma função g(h) quando h → 0. Neste caso, pergunta-se:

i) Qual é essa função g?

ii) g é uma função contínua? Expliquem.

iii) g tem alguma relação com a função derivada de f ? Expliquem. Legenda:

Função Continuidade

Limite Derivada

Oralidade:

FnEDS, LnESD, CnEDS, DnEDS: n-ésima unidade de análise da fala de Edson

associada à Função, Limite, Continuidade e Derivada, respectivamente.

FnTER, LnTER, CnTER, DnTER: n-ésima unidade de análise da fala de Teresa

associada à Função, Limite, Continuidade e Derivada, respectivamente. Escrita:

FEnEDS, LEnEDS, CEnEDS, DEnEDS: n-ésima unidade de análise da escrita de Edson associada à Função, Limite, Continuidade e Derivada, respectivamente. FEnTER, LEnTER, CEnTER, DEnTER: n-ésima unidade de análise da escrita de Teresa associada à Função, Limite, Continuidade e Derivada, respectivamente.

Sugestão analítica categorizando uma ou mais unidades de análise da escrita como compreensão compatível com a discussão emergente e com

o(s) objetivo(s) da questão em pauta. A cor de fundo do ícone é associada à

Sugestão analítica categorizando uma ou mais unidades de análise da escrita como compreensão parcialmente compatível com a discussão

emergente e com o(s) objetivo(s) da questão em pauta. A cor de fundo do

ícone é associada à cor (segundo o padrão já estabelecido) do conceito respectivo.

Sugestão analítica categorizando uma ou mais unidades de análise da escrita como compreensão incompatível com a discussão emergente e/ou

com o(s) objetivo(s) da questão em pauta. A cor de fundo do ícone é

associada à cor (segundo o padrão já estabelecido) do conceito respectivo.

9 '

/$ 9 '

3 2 '

1 N 2 & 1 , 2 &

! & [risos]

A insegurança de Edson (F1EDS e F2EDS) e a relativa falta de convicção de Teresa são procedentes. Afinal, a “forma” da possível candidata à função g parece “estranha”. Seus escritos (abaixo) sobre o conceito de função, em especial os de Edson, sinalizam uma visão apenas parcialmente compatível com os objetivos da questão:

(FE1EDS) Uma função é uma expressão que consta duas variáveis, x e y, por

exemplo, que o valor de uma delas depende do valor da outra, ou seja, o valor de uma variável está em função da outra.

E para duas funções serem iguais:

(FE2EDS) Deverão ter a mesma lei de formação, logo, mesma imagem.

Enquanto que, para Teresa:

(FE1TER) Uma função é uma relação entre dois conjuntos, dada por uma lei que

associa um elemento do primeiro conjunto a um elemento do segundo conjunto. E para duas funções serem iguais:

(FE2TER) Deverão ter regra e domínio iguais.

B$

)

E ) 2 &, 1 $

3

; 2 $

As compreensões sobre continuidade foram anotadas por Edson e Teresa em suas respectivas atividades escritas da seguinte maneira:

(CE1EDS) Uma função é dita contínua, se conseguimos fixar um intervalo qualquer em torno de um ponto pertencente a imagem e que posteriormente seja possível encontrar um intervalo em torno do ponto do domínio (correspondente a essa imagem) tal que todos as imagens pertencentes aos pontos desse intervalo (do domínio) esteja contida no intervalo fixado na imagem.

(CE1TER) Continuidade: análise de um ponto dado ou genérico e o comportamento deste ponto e os que estão ao seu redor. Continuidade diferencia de limite, pois em continuidade é interessante o ponto, já em limite este não faz diferença.

Apesar de CE1EDS estar muito próxima da definição formal de continuidade de uma função em um ponto, isto não parece render a seu autor uma maior segurança na abordagem à questão. Por outro lado, Teresa para a qual continuidade é algo associado a um processo de análise do comportamento local de uma função parece segura ao afirmar a descontinuidade de g. Por quê? Talvez porque ela tenha incorporado uma idéia comum e que freqüentemente aparece em livros de Cálculo, segundo a qual é descontínua no ponto a qualquer função f que não esteja definida em a. Ora, mas se a não pertence ao domínio de f, investigar a continuidade ou a descontinuidade de f neste ponto a parece um exercício, no mínimo, discutível.

É claro que o(a) leitor(a) poderia argumentar que essa discussão pode não ser relevante, já que se trata de mera conseqüência da definição escolhida para a continuidade. Poderia também lembrar que um número razoável de exercícios

propostos nesses livros é desenhado com o propósito de que o(a) estudante faça exatamente o que Teresa fez: tomar o quociente ( )

( ) g x

h x que estaria definindo a regra de uma função f, fixar a condição h(x) = 0 e estabelecer a solução desta equação como o conjunto de pontos onde, sumariamente, “f é descontínua”. No entanto, o que pretendo com essas observações é reforçar uma das sugestões que tenho defendido desde a análise do episódio anterior: O aluno ou aluna de primeiro ano de Matemática precisar ser estimulado a romper com eventuais “condicionamentos” e a explorar a liberdade implícita aos novos conceitos matemáticos que começam a ser experimentados.

Continuemos com a discussão da dupla:

B$ ( & 1 K = &,'&

[Acena positivamente com a cabeça]

Edson parece continuar desconfortável com a questão. Teresa, que até este ponto vinha demonstrando uma relativa segurança, parece vacilar quando é questionada sobre a continuidade em x = 0. O aceno positivo com a cabeça parece mais mecânico do que convicto. A entrada em cena de x parece tê-la perturbado, já que, até este momento, a variável independente em pauta era h. Note-se que apesar da questão solicitar explicitamente uma função g, nenhum dos dois levantou ainda a questão de possíveis candidatos a domínios e contradomínios que, necessariamente, deveriam participar da composição da referida função. O foco permanece numa possível regra para g. Mesmo aparentando insegurança, eles passam ao item seguinte da questão:

9 9 & /$ & /$

E /$

[pausa]

9 [pausa] B$ ) [ pausa] B$ $ & 1 -# % ' [risos] # , & ! 9 2 & 9 $ &

& ; 1 K =% ' 9 B$ D ! & & ! 9 '

[pausa]

É perceptível o desconforto de ambos com a questão proposta. A sucessão de pausas contribui para sinalizar este desconforto. Mas, antes de continuarmos, vejamos o que eles escreveram sobre derivada e função derivada:

(DE1EDS) Derivada é o coeficiente angular de uma reta tangente a um ponto

dado em uma função.

(DE1TER)Derivada é o coeficiente angular da reta tangente à curva, no ponto

escolhido.

(DE2EDS) Entendo que função derivada é um valor que é calculado envolvendo

limite, reta e coeficiente angular. Mas onde é que iremos utilizar, para que serve realmente, ainda não sei.

(DE2TER) Função derivada: derivada de uma determinada função transformada

em função. Ex. f(x) = x2_{, f ’(x) = 2x g(x) = 2x, g ’(x) = 2}

Ambas as compreensões sobre o conceito de função derivada, embora compatíveis com o desenvolvimento da dupla até aqui demonstrado, não parecem compatíveis com os objetivos da questão proposta. DE2EDS sugere uma rede semântica envolvendo os conceitos mencionados ainda frágil, ao passo que

DE2TER alude a algum “automatismo procedural”, talvez um dos mais comuns no trato com o referido conceito, mas restrito em termos de significado.

Para ilustrar uma comparação, o(a)s demais participantes anotaram as seguintes compreensões sobre esses conceitos:

Derivada:

(DE1DAN) O conceito de derivada nos mostra a possibilidade de achar o

coeficiente angular da reta tangente em um ponto de uma função.

(DE1GIS)Derivada é o coeficiente angular de uma reta que tangencia o gráfico de

uma certa função em um ponto p da abcissa.

(DE1JUL)Entendo que derivada nada mais é do que um processo de limite, ou

seja, é um caso particular de limite. Em geral o objetivo é achar retas tangentes a outros gráficos.

(DE3PED)Derivada é uma maneira de se comparar a taxa de variação entre 2

grandezas em uma função, quando a diferença entre essas grandezas se aproxima de zero.

(DE2TAL)Derivada é o coeficiente de inclinação da reta tangente.

(DE1VER)Quando calculamos a derivada de uma função estamos encontrando o

coeficiente angular da reta que tangencia o gráfico da função em um determinado ponto.

Função Derivada:

(DE2DAN)O conceito de função derivada é aquela função onde se pode calcular o

( ) ( ) lim f x h f x h + − a lim f x( ) f p( ) x p − − .

(DE2GIS)Função derivada não consigo definir.

(DE2JUL)É uma função que é derivável ou seja apresenta retas tangentes em

todos os pontos de um domínio.

(DE4PED)Nos é útil conhecer uma fórmula que nos dê a derivada de qualquer

(DE3TAL) A função derivada é a função que me resta depois de eu fazer a

derivação de uma outra função. Na verdade, para mim, derivada e função derivada se confundem e eu não consigo distingui-las ainda...

(DE2VER) Função derivada é a função em que é só substituirmos o ponto

desejado e calculamos a derivada. Já está calculado o lim f x( ) f p( ) x p

−

− em

função de p.

Continuemos com a discussão:

! ! ' & & /$ 9% & /$ & /$ 9 ' & & % + ! O% #

& & /$ ' % /$ &

1 % # & $ & 1 % &

% ' & 9 & /$ 9

Em L1EDS, Edson invoca o limite da função f quando, provavelmente, parece interessado em invocar o limite de f x( h) f x( )

h

+ −

quando h tende a zero,

pois é h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + →

que é igual a L. Note-se que, em L2EDS, ele reafirma que o limite de f é L. Esta insistência em se referir ao limite de f quando, na verdade, pretende falar do limite de f x( h) f x( )

h

+ −

pode ser mera desatenção, mas o mais

provável é que se trate de uma dificuldade real em se lidar com uma função cuja regra seja dada por f x( h) f x( )

h

+ −

.

2

2 ; 2 % &,'&D B % 9 @

9 & 9 & /$ & ! &D 2 % 2 % & ' & & ) D

[Teresa aparenta estar em dúvida, mas acaba concordando, com um aceno de cabeça.]

Em L3EDS, Edson pergunta se g tem alguma relação com f, quando, na verdade, a questão em pauta é se há alguma relação entre g e a função derivada de

f. Novamente, este detalhe pode significar um mero descuido. Porém, o mais provável é que ele esteja com dificuldades para transitar entre as funções envolvidas. Neste sentido, não é surpresa sua conclusão de que os limites de f e g, para h tendendo a zero, são iguais.

Em relação ao conceito de limite, vejamos o que escreveram quando solicitados à responderem à seguinte questão (as compreensões sobre continuidade já foram citadas acima):

Explique o que você entende sobre os conceitos de Limite e Continuidade.

(LE1EDS) É um valor que a função tende a assumir a medida que aproximamos de um único valor (um ponto) que pertence ao domínio dessa função.

(LE1TER) Este conceito serve para analisar gráficos. Limite: análise do gráfico, tendo em vista um ponto e o comportamento de pontos ao redor deste.

LE1EDS sugere que, para Edson, a idéia imediata de limite é a de um objeto bem definido, ou seja, um valor, ao passo que, para Teresa, limite evoca, primeiramente, um processo de análise de comportamentos.

2% & ( &( ' & & % & 9 &

' & & 1% 2 ' 9

A derradeira fala de Edson (F1EDS) sugere que ele, finalmente, se dá conta da necessidade de explicitar outros elementos componentes da definição de uma função. No entanto, embora domínio e imagem sejam citados, estes elementos parecem ter emergido de maneira pouco significativa. Além disso, como tem se tornado padrão, o contradomínio sequer foi mencionado.

Assim, parece natural que respostas para os itens abaixo tenham permanecido em suspensão:

A definição de g;

A relação entre g e a função derivada de f.

Em relação ao simbolismo normalmente utilizado no tratamento desses conceitos, vale a pena apresentar as respostas escritas apresentadas para a seguinte questão:

Considere uma função derivável f : A → B, definida por y = f(x). Explique os significados que você atribui aos seguintes símbolos: f ’ e f ’(x).

(DE3EDS) f ‘ → Derivada da função em um “x” qualquer pertencente ao domínio

da f.

f ‘(x) → Derivada da função num ponto dado.

(DE3TER) Significam a mesma coisa: derivada. São maneiras diferentes de

escrever.

Para fins de comparação:

(DE3DAN) F ‘ e F ‘(x) são derivadas da função em relação a x.

(DE3GIS) f ‘ : função derivada.

f ‘(x) : função derivada de f(x)

(DE3JUL) f ‘ (notação para derivada de f, sendo f uma função).

f ‘(x) (notação para derivada de f em x) (DE6PED) f ‘ → derivada

f ‘(x) → função derivada

(DE8TAL) f ’ derivada de f (função)

f ‘(x) derivada de fx)

(DEVER) f ’(x) → derivada de f no ponto x. O outro símbolo não sei o significado.

Em relação ao conceito de derivada, a idéia absolutamente prevalecente e que será objeto de uma seção no final dessa série de episódios é a que emerge da interpretação geométrica, ou seja, a de derivada como

para mim é a mesma coisa ...

coeficiente angular de uma reta tangente num ponto do gráfico de uma função. Já em relação à função derivada, a situação não parece tão clara, particularmente para Edson (DE2EDS). Mesmo no caso de Teresa, é difícil asseverar que o conceito tenha sido abordado com segurança, até porque os exemplos dados por ela poderiam refletir apenas uma mera mecânica de derivação, largamente utilizada por qualquer pessoa minimamente iniciada no conceito.

5.4.3 Uma Análise Inicial do Episódio

Uma análise inicial do episódio permite sugerir que os estudantes transitaram com algum desconforto entre os conceitos envolvidos na questão. É natural, portanto, que respostas para os itens solicitados permanecessem em suspensão. Em outras palavras, por que

A definição de g;

A definição da função derivada de f;

A relação entre g e a função derivada de f.

não ficaram esclarecidas? E, por fim, o que sugerem tais compreensões sob o ponto de vista da Educação Matemática no Ensino Superior?

Em relação ao papel das definições em Matemática, ele não parece gerar grandes controvérsias no meio matemático. Como diz Bicudo (2002, p. 80):

De fato, parece um fato notório que o matemático, quando expõe uma teoria, em sua área de interesse, a seus pares, preocupa-se, formalmente, com duas operações fundamentais: DEFINIR seus conceitos e DEMONSTRAR as propriedades desses conceitos.

Em Educação Matemática, no entanto, seu papel está longe de ser tão claro. Por se ocupar menos com os aspectos formais da Matemática, e mais com elementos como compreensão, significado ou imagens dos conceitos, na Educação

Matemática as perspectivas sobre as definições matemáticas mudam de foco. Um dos estudos mais tradicionais sobre o papel das definições em Educação Matemática pode ser encontrado num artigo de Vinner (1991, p. 65, tradução nossa). Segundo este autor, a apresentação e a organização da Matemática em livros-texto ou salas de aula são parcialmente baseadas nos seguintes pressupostos:

Conceitos são adquiridos principalmente por meio de suas definições; Estudantes usarão as definições para resolver problemas e provar

teoremas quando necessário segundo o ponto de vista matemático; Definições devem ser minimalistas;

É desejável que as definições sejam elegantes;. Definições são arbitrárias.

A proposta de Vinner, em termos de definição do conceito e imagem do conceito, embora tenha o mérito de “provocar” e induzir uma mudança de perspectiva em relação ao formalismo da visão tradicional, não leva em conta a crescente influência das novas mídias no processo de construção conceitual. Embora o presente episódio não tenha explorado as influências do CAS neste processo (o(a) leitor(a) poderá recorrer aos três outros episódios para isto), eu gostaria de destacar que, segundo este autor (VINNER, 1991, p. 68):

“A imagem do conceito é algo não-verbal associado em nossa mente com o nome do conceito.”

Ocorre que com os recursos dos novos sistemas computacionais simbólicos, a rapidez e a volatilidade com que imagens, resultados de cálculos, gráficos, etc. surgem na tela de um computador tende a desestabilizar quaisquer eventuais “imagens bem definidas” sobre um dado conceito que eventualmente já tenhamos construído em nossas mentes. As conseqüências dessas interações podem ser, por assim dizer, brutais em termos de “interferências” nas imagens do conceito.

Outros pontos também merecem ser destacados em relação à posição de Vinner. O autor fala explicitamente em adquirir um conceito, conforme apresentado, neste mesmo artigo, na seção sobre Formação de Conceito (p. 69):

“Nós assumimos que adquirir um conceito significa formar uma imagem do conceito para ele”.

Neste contexto, adquirir me parece muito menos apropriado do que construir. A construção de um conceito é um processo complexo e, como tal, dificilmente ocorre num ato único, como sugere o verbo adquirir. Além disso, nesta mesma citação, o autor reduz ainda mais a “aquisição” de um conceito à formação de “uma” imagem deste conceito. Na verdade, as imagens que o(a)s estudantes constroem sobre conceitos matemáticos são inúmeras não raramente gerando conflitos entre si e, apesar disso, tais “configurações” de imagens não parecem, em geral, garantir segurança na “lida” com os conceitos, o que seria de se esperar de alguém que os tivessem “adquirido”.

Um outro ponto importante e que fundamentou a construção do episódio acima, refere-se à dependência entre os conceitos. O conceito de derivada ou de função derivada no contexto de um curso padrão de Cálculo dependem direta e intimamente dos conceitos de função e de limite. Neste sentido, quaisquer imagens, construídas ou “adquiridas”, sobre o conceito de derivada ou de função derivada serão dependentes daquelas construídas sobre os outros conceitos supra-

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