Mecliste Olaylar ve Kürt Krizi

Connoly (1992, apud Sipka, 1990, p. 11, tradução nossa) é bastante otimista: “Os alunos tomam a posse conceitual de um tópico em sua própria língua através da articulação dos conceitos matemáticos nele contidos”.

2.2 A Escrita do(a)s Estudantes como benefício para o Professor

O potencial de representação de compreensões e de manipulação de significados (a ser detalhado na última seção deste capítulo) sobre conceitos matemáticos possibilitados pela escrita foi um dos elementos principais que permitiram que a presente pesquisa fosse concebida. Neste caso, a visão de Rose (1990), referida acima, foi explorada, embora com o mesmo objetivo, não no sentido de benefícios para o professor, mas sim de benefícios para o pesquisador em sua prática investigativa.

Pugalee (2004) vai mais longe ao analisar os benefícios da escrita, ao afirmar que esta, mais do que um instrumento de comunicação tem o potencial de promover a compreensão matemática, opinião esta que é avalizada, segundo Pugalee, por vários pesquisadores, dentre os quais Morgan (1998, apud Pugalee, 2004, p. 27, tradução nossa), que ressalta:

Apesar do interesse, o relacionamento entre escrita e Matemática tem sido largamente negligenciado na pesquisa educacional, com a maioria da literatura descrevendo a escrita em Matemática em termos gerais e com pouca análise dos textos em si.

Ainda que se restringisse ao papel de representar as compreensões do(a)s estudantes, permitindo que as materializem e as comuniquem ao professor ou professora, a escrita já poderia ocupar, portanto, um papel que postulo crucial para a Educação Matemática em cenários e contextos similares aos do ensino de Cálculo na primeira série de cursos de graduação em Matemática brasileiros, onde uma das características mais comuns é a grande quantidade de alunos em suas turmas. Afinal, uma tal característica certamente dificulta, e muito, a comunicação personalizada com base na oralidade, no sentido do aluno para o professor.

É óbvio que a implementação de um processo de escrita nas aulas de Cálculo, em especial nos cenários de turmas grandes, também não seria fácil e nem parece ser factível de forma generalizada. De todo modo, não há dúvidas de que as possibilidades de “ouvir” o(a) cada estudante pela sua escrita é bem maior do que fazê-lo pela oralidade. Este foi um dos motivos que me levou a procurar “ouvir” o(a) aluno(a) por meio desta tecnologia.

Por uma questão de foco na investigação, a presente pesquisa não teve a intenção de demonstrar eventuais virtudes ou fraquezas da escrita nos processos de aprendizagem dos conceitos discutidos, uma vez que se este fosse o objetivo, a metodologia da pesquisa teria que ser redesenhada. O que se buscou foi justamente “ouvir” o(a) estudante que segue seu curso normal assistindo às aulas regulares de Cálculo e que se dispôs a materializar nesta investigação suas compreensões sobre alguns dos conceitos tratados em sua sala de aula.

No contexto da investigação ora relatada, uma das principais razões que me motivou, desde os primeiros esboços de projeto de pesquisa, a incorporar esta “velha” tecnologia na investigação, foi a constatação, decorrente da minha prática educacional, de que, em geral, a mera manipulação algébrica e algorítmica dos exercícios clássicos da disciplina, além de ocupar a maior parte do tempo de trabalho em sala de aula, parece contribuir sistematicamente para deslocar a apreensão e a apreciação de seus significados conceituais para uma posição subalterna, ou mesmo, em casos extremos, para fora do escopo dos objetivos educacionais que deveriam ser perseguidos. Neste sentido, incorporar a escrita à investigação é sustentar, sob o ponto de vista dos objetivos aqui definidos, particularmente que:

Ela é o principal instrumento de comunicação, no sentido do(a) estudante para o professor, na sala de aula universitária típica de primeiro ano de Cálculo, onde as usuais turmas grandes e heterogêneas praticamente inviabilizam a interação individual generalizada com base na oralidade;

Ela é um meio não usual no ensino tradicional de representação de compreensões dos alunos sobre conceitos matemáticos;

Nas condições usuais de desenvolvimento tradicional do Cálculo, em apenas cinco ou seis momentos no ano o aluno tem a possibilidade de expressar na forma escrita (e, quase sempre, na escrita simbólica matemática) suas compreensões sobre os conceitos abordados no curso: estes momentos são os das provas, freqüentemente inadequados, dada a pressão emocional, à materialização de compreensões.

Ao longo da minha vivência no Ensino Superior tenho percebido que o caráter predominantemente simbólico da Matemática neste nível introduz nos processos de ensino e de aprendizagem, em primeira instância, obstáculos pedagógicos decorrentes deste simbolismo para, em seguida, induzir o(a)s estudantes a adotarem estratégias que privilegiam a mera manipulação mecânica dos símbolos e a abordagem estritamente algorítmica, minimizando, assim, o valor da compreensão dos conceitos envolvidos e dificultando a apreensão dos significados reconhecidos como válidos pela instituição acadêmica. Cabe aqui salientar que identificar e assumir os significados da comunidade acadêmica como sendo aqueles oriundos da comunidade matemática profissional é questão controversa, em especial para a formação de licenciandos. Por outro lado, não há, em geral, nos currículos atuais brasileiros, diferenças fundamentais entre Cálculo para licenciandos e Cálculo para bacharelandos em Matemática, até porque, como disciplina de primeiro ano, ela se localiza no estágio denominado de básico, previamente, portanto, à futura clivagem bacharelando / licenciando. Em razão disto, entendo que a convergência para o conteúdo clássico tem sido uma opção praticamente inevitável neste estágio de formação matemática, não só pelo fato de ser o Cálculo no primeiro ano tratado indistintamente, como também pelas restrições impostas pelo pragmatismo que emerge das atividades conexas à formação profissional desses graduandos desenvolvidas em outras disciplinas.

Especificamente sobre as dificuldades encontradas por professore(a)s de Cálculo em suas aulas, em particular no que tange às características freqüentemente detectadas em seus alunos e alunas, Beidleman et al (1995, p. 298, tradução nossa), destaca que:

Carecem de profundidade na compreensão da natureza e da substância do Cálculo, incluindo-se aí seus conceitos fundamentais. Usualmente privilegiam a manipulação de símbolos e a memorização

de fórmulas em detrimento da compreensão da linguagem e dos significados dos conceitos matemáticos, idéias e expressões.

São freqüentemente incapazes de comunicar suas idéias matemáticas pela escrita ou verbalmente. Em conseqüência, não desenvolvem fluência e compreensão da linguagem matemática.

Em geral, não apreciam o Cálculo como atividade humana que requer descoberta e pensamento criativo.

Lembrando que muito dos problemas acima apontados são reforçados pelas questões procedurais típicas (resolver, calcular, etc.), propostas nos exames, Beidleman et al (1995, p. 298, tradução nossa) complementa:

Embora tais questões requeiram que o estudante faça algo, elas, em geral, priorizam os procedimentos em detrimento dos aspectos conceituais e não induzem o estudante a colocar foco na comunicação das idéias matemáticas. Visando melhor desenvolver sua compreensão e apreciação da matéria, os estudantes devem ter a oportunidade de comunicar suas idéias verbalmente e pela escrita, obtendo “feedback” e refletindo sobre suas experiências.

Esta visão é reforçada por Hoffman, M e Powell, A. (1989, p. 55, tradução nossa) quando expõem sua visão sobre o papel da escrita em Matemática:

Escrita é uma externalização do pensamento, menos transiente que a memória e menos efêmera do que a fala. Devido a tais características, é um veículo visível para os estudantes examinarem suas conceituações e revisá-las à luz de evidências adicionais ou contraditórias.

Falar sobre o pensamento matemático implica em tratar de questões de abstração, ou seja, de lidar, no caso, com representações mentais sobre conceitos matemáticos. Estes conceitos podem ser considerados mais sofisticados e específicos no que tange ao grau de abstração e ao artificialismo de sua linguagem do que aqueles que naturalmente são considerados na relação ordinária do ser humano com o mundo. Reconheço, entretanto, a existência de

complicadores adicionais a essa sofisticação e que usualmente dificultam as compreensões pretendidas no cenário de ensino e aprendizagem em pauta. Refiro- me, em particular, a uma certa impermeabilidade do grupo social responsável pela fixação dos significados “válidos” da Matemática: a classe dos matemáticos e matemáticas profissionais. A princípio, tal impermeabilidade poderia ser passível de crítica e, talvez, o seja. No entanto, considerando-se como atenuante o contexto característico de uma ciência formal, constituída por uma linguagem artificial e cujas proposições são validadas por grupos especializados de matemático(a)s profissionais, a partir de noções de rigor estritamente particulares em cada uma de suas subáreas, esta impermeabilidade talvez seja compreensível.

De todo modo, a questão da compreensão nas práticas educacionais da Matemática é crucial, pois como consubstanciar esta negociação entre os três principais grupos atuantes no cenário educacional: matemáticos profissionais, estudantes de matemática e professore(a)s de matemática, com este(a)s justamente por estarem intermediando e filtrando as concepções que deslizam para a sala de aula ocupando um lugar de destaque no palco escolar tradicional de negociações? Nestas condições, portanto, as compreensões pretendidas dependerão de negociações que dificilmente poderão prescindir de uma linguagem compartilhada e comum aos grupos envolvidos, sob pena de tornar-se impraticável à medida que se restrinja aos procedimentos simbólicos formais.

Esta é mais uma das razões que me levaram a propor que uma das maneiras de se abordar as dificuldades da linguagem simbólica pode ser, num primeiro momento, tentar traduzi-la ainda que carregando todos os problemas típicos de qualquer tradução para uma linguagem mais amigável ou, idealmente, traduzi-la para a linguagem natural, mesmo que seja sem o otimismo de Paul Connoly, acima referido.

Obviamente, não se trata de abolir a linguagem simbólica matemática da prática educacional pretensão esta que tornaria inexeqüível o próprio exercício da Matemática atual , mas sim de estabelecer, durante o processo de aprendizagem, um movimento contínuo, bidirecional e consistente de tradução e de interpretação entre a linguagem simbólica formal e a linguagem escrita corrente, buscando, a partir desta tecnologia, facilitar a comunicação e, provavelmente, a compreensão de novos conceitos e permitir um trânsito menos acidentado pela primeira. É claro,

também, que não se pretende enfraquecer o valor do simbolismo em Matemática. Ainda que, curiosamente, esta ciência tenha se desenvolvido durante pelo menos três milênios com quase nenhum símbolo (KLEINER, 2001, p. 148), o simbolismo foi e é crucial, como, a propósito, destaca este mesmo autor ao citar o historiador K. Pederson:

Uma importante razão pela qual os matemáticos [do começo do século XVII] não tiveram sucesso em perceber as perspectivas gerais inerentes a seus vários métodos [para a resolução de problemas de cálculo], foi provavelmente que eles se expressavam, em grande medida, na linguagem ordinária, sem qualquer notação especial e, assim, achavam difícil formular as conexões entre os problemas com os quais lidavam. (KLEINER, 2001, p. 148, tradução nossa).

Um exemplo clássico do valor de um bom simbolismo está no próprio Cálculo de Leibniz, com sua sugestiva notação dy/dx. Neste sentido, observa Kleiner (2001, p. 147, tradução nossa) sobre Leibniz: “sua notação simbólica serviu não apenas para provar resultados; ela facilitou enormemente suas descobertas”. Não restam dúvidas, portanto, quanto à importância do simbolismo nos processos de criação e de justificação matemáticas. A questão em pauta, no entanto, é menos de Matemática e mais de Educação Matemática, isto é, menos de produzir Matemática e mais de produzir significados para uma simbologia já existente e que, para o(a) iniciante, em geral, se traduz em sérias dificuldades.

Embora as questões metodológicas da pesquisa sejam tratadas no capítulo respectivo, eu gostaria de salientar que a especificidade da forma de abordagem escolhida para iniciar a investigação das compreensões matemáticas do(a)s participantes, a saber, olhar primeiramente para a escrita produzida por este(a)s, implicou em alguns cuidados. Em primeiro lugar, em selecionar os momentos em que essas radiografias seriam tomadas e, em segundo, em definir, de acordo com as recomendações metodológicas, outras formas de coleta de dados que contribuíssem para a triangulação e, em conseqüência, com a profundidade da análise das informações coletadas.

Considerando que a informática está cada vez mais presente nos cenários educacionais, foi uma decisão natural trazer este elemento para o cenário de pesquisa. No caso específico do ensino e aprendizagem de Cálculo, a informática

tem sido, com bastante freqüência, representada pelos chamados CAS. Assim, esta tecnologia, juntamente com a oralidade, foram chamadas a participar do estudo de forma integrada, num processo que será fundamentado na seção 3 deste capítulo. Cabe aqui destacar que o papel da oralidade, ao longo do desenvolvimento dos experimentos, foi estimulado, desde que emergisse dos estudantes, mas propositalmente limitado no caso do pesquisador, sempre com o objetivo de que a investigação se mantivesse fiel a seu princípio básico: ouvir o(a) estudante em suas compreensões sobre conceitos fundamentais do Cálculo numa posição similar àquela que ele ou ela encontra em seu cotidiano como aluno(a) universitário(a) de primeiro ano.