Nessa seção investigamos a estrutura das Equações de Laço Dirigidas (ELD), 3.63 e 3.66. Vamos considerar apenas o caso no qual existam leis de conservação (na qual a mudança na perna de saída é unicamente ditada pela mudança na perna de entrada ).
Figura 3.11: Exemplo de um vértice onde a perna de entrada é a perna esquerda inferior. O números dentro do círculo indicam o estado do spin
Para descrever a forma geral das ELD para interações gerais com Npernas é conveni- ente abreviar a nomenclatura em relação à utilizada na última seção. Para definir essa nova nomenclatura definimos um vértice de referência (que pode ser qualque um dos vér- tices permitidos). Consideremos, por exemplo, um vertice no qual as quatro pernas têm o estado de spin igual a 1 e definimos seu peso correspondente como W1. Também esco- lhemos uma perna de entrada definida como perna 1, e numeramos as pernas restantes como 2,3··· ,n = Npernas, veja Fig 3.11.
Também é necessário decidir como o estado na perna de entrada será alterado (au- mentar ou reduzir a componente de spin, por exemplo). Desta forma, as equações são aplicadas ao vértice com peso W1 e com uma mudança específica na perna de entrada 1. Ao mudar o estado nas pernas de entrada e saída (de acordo com a lei de conservação) chegamos em um novo vértice. Na Fig 3.12 podem ser vistos os quatro processos possíveis aplicados ao vértice W1 na perna de entrada 1 e pernas de saida 2, 3 e 4. O resultado do processo é observado na segunda linha da figura.
Distribuindo o peso sobre todas pernas de saída possíveis de acordo com Eq. 3.66 temos
W1= a11+ a11+ a12+ ···+ a1n, (3.67) na qual nomeamos os pesos aij pela sua perna de entrada (i) e saída (j). Nomeamos como
Figura 3.12: Os vértices na segunda linha são obtidos a partir da perna de entrada 1 e da seleção de pernas de saída diferentes (2, 3 e 4) como definidas na figura 3.11. A lei de conservação é tal que a soma dos estados abaixo de cada vértice é igual à soma acima (a magnetização se conserva durante o processo). O sinal + na perna de entrada indica que seu estado deve ser aumentado em uma unidade.
Wj o peso do vértice produzido ao sair pela perna j. Logo, se a saída fosse na perna 2, nomearíamos com W2.
Começamos no vértice W2 e mudamos o estado na perna 2 na direção oposta àquela feita quando a perna 2 era uma perna de saída. Considerando a saída em qualquer uma dessas pernas, obtemos para W2 uma decomposição similar a de W1:
W2= a21+ a21+ a22+ ···+ a2n, (3.68) na qual a entrada é na perna 2 do vértice, com peso W2 que difere do vértice 1 pela mudança nos estado da perna 1 e 2. O peso a21 correponde ao processo no qual a entrada é na perna 2 e a saida é na perna 1. Os estados são mudados na direção oposta em relação a quando se chega em W2 a partir de W1. Desta forma, o processo desfaz as mudanças e retorna ao vértice W1. Na Fig 3.13 observamos o processo no sentido inverso ao da Fig 3.12.
Figura 3.13: Os vértices (segunda linha) são produzidos por pernas de saídas diferentes ao representados na Fig 3.12 (segundo da esquerda) quando a perna de entrada é a perna 2 e o estado muda na direção oposta da indicada na Fig 3.12.
Da Eq. 3.63 segue que a21= a12. Podemos ver que saindo na perna 3 ou maior, resulta- se no mesmo vértice que quando começando de W2 ou W1. Isso se deve pois começando de W1 mudamos os estados nas pernas 1 e 3 equanto comecando de W2 mudamos os
estados nas pernas 2 e 3. Porém W2 difere de W1 apenas pelos estados nas pernas 1 e 2. Logo, o estado na perna 2 é alterado duas vezes em direções opostas, resultando na mesma configuração W3. Um exemplo ilustrando isso pode ser visto na Fig. 3.14.
Figura 3.14: Dois modos diferentes de chegar ao vértice 3 na Fig. 3.12. Na linha de cima o processo vai do vértice 1 ao 3 através do vértice 2. Enquanto na linha de baixo vai diretamente de 1 para 3.
Os pesos são unicamente definidos por esse procedimento, e é garantido que apenas vértices relacionados pelas equações de balanço detalhado podem ser produzidos pela mudança dos estados na perna de entrada juntamente com qualuer perna de saída do vértice de referencia. As ELD pode então ser escritas como
a11 a12 ··· a1n a12 a22 ··· a2n ... ... ... ... an1 an2 ··· ann 1 1 1 1 W1 W2 W3 W4 , (3.69)
na qual a matriz do lado esquerdo é uma matriz (n × n) real e simétrica com todos elementos não-negativos para evitar probabilidades negativas. As soluções anteriories das seções 3.6.1 e 3.5.2 podem ser representadas como soluções particulares dessa matrix esto- cática a. Os elementos diagonais determinam as probabilidades do processo de "Quicar", no qual a perna de saída é a mesma que a perna de entrada. Como dito anteriormente na seção 3.5.2 esse processo é indesejado e várias soluções consistem na minimização desse processo porque configuram desperdício de esforço computacional já que não geram novas configurações.
3.6.4
Quicagem Mínima
Essa é a solução intuitiva utilizada na seção 3.5.2, que foi obtida para um caso parti- cular sem analisar as equações de laço dirigidas diretamente. A solução equivalente para outros sistemas consiste na minimização dos termos da diagonal min(Pn
observado pelos autores em [41], em alguns sistemas isso foi insuficiente para chegar em uma solução ótima, na qual diversas outras restrições suplementares foram realizadas para obter um ganho significativo de eficiência. Entretanto, mesmo com apenas a minimização das "quicagens", uma eficiência maior do que a solução de banho térmico[39] foi observada. Em [37] observou-se que, quando o sistema não apresenta solução livre de "quicagens", manter apenas o maior peso da diagonal se mostra mais eficiente que a simples minimi- zação global dos elementos diagonais. Essa solução tem uma característica próxima da "Solução ótima local".