2.1 HATLAR
2.1.2 Endüktans
Bu bölümde ilk önce endüktansın genel manası üzerinde duracağız. Bunun için paralel iki iletkenin etrafında yer alan akıları incelememiz gerekmektedir. Şekil 8 de bu akı dağılımı basit olarak
gösterilmektedir.
Şekil 8 Paralel iki iletken çevresinde yer alan akıların dağılımı.
Bu akı dağılımımdan dolayı oluşabilecek herhangi bir iletkenin endükansını hesaplayabilmek için iki temel denklemi kullanmamız gerekmektedir. Bunlardan birincisi endüklenen gerilim ile halkalanma akısındaki değişimi alakalandıran denklemdir. Faraday kanunlarına göre ve endüklenen gerilim e ile gösterilecek olursa,
e=dλ/dt
. 30 burada λ halkalanma akısını temsil etmektedir. Şayet iletkenden akan akım zamana bağlı olarak değişiyorsa bu akımın meydana getireceği manyetik alan da değişmektedir. Dolayısıyla halkalanma akısı zamana bağlı değişim gösteren bir karakter arz eder. İletkenin içinde bulunduğu ortamın geçirgenliği sabit ise halkalanma akısı devreden akan akım ile doğru orantılı olacaktır. Halkalanma akısının ani değeri ile akım arasındaki bu doğrusal ilişki bir değişimin sabiti, L ile gösterilecek olursa,
λ=Li
. 31 şeklinde yazılabilir. λ halkalanma akısının ani değeridir. Bu yeni oranı kullanarak endüklenen gerilim şu şekilde hesaplanabilir.
e=Ldi/ dt
. 32 L sabiti devrenin manyetik özellikleri ile alakalıdır ve genellikle devrenin self-endüktansını temsil etmektedir. Her iki denklem . 30 ve . 32 endüktans değeri için çözülecek olursa,
L=dλ/di
. 33 yazılabilir. Yukarıdaki denklem . 33 endüktansın genel tanımıdır. Akım sinüs biçimli bir değişim gösterdiği takdirde halkalanma akısı da sinus biçimli bir değişim gösterecektir. Halkalanma akısının fazör gösterimi Ψ sembolü ile yapılacak olursa.
Ψ=LI
. 34 şeklinde yazılabilir. Bu durumda self-endüktans sebebiyle meydana gelebilecek gerili düşümünün fazör ifadesi frekansa bağlı olarak,
V=jωLI
. 35 şeklinde verilir.
İki devreden akan akımların meydana getireceği akıların birbirleri üzerinde endükleyeceği gerilimler ve bunların sebep olacağı endüktans ise karşılıklı (mutual) endüktans olarak isimlendirilmektedir. Karşılıklı endüktans bir devreden akan akımın I2 karşı devrede meydana getireceği halkalanma akısının Ψ12 bir ürünüdür. İkinci devrenin birinci devrede meydana getireceği karşılıklı endüktans M12 şeklinde gösterilecek olursa
M12= Ψ12/I2
. 36 şeklinde yazılabilir. Karşılıklı endüktans paralel hatların ve özellikle iletim hatları ile haberleşme hatlarının birbirlerine etkisini incelemede önem arz etmektedir.
2.1.2.1 İletkenin içindeki akı dağılımı
Şekil 8 de sadece iletkenlerin dışında yer alan akılar verilmiştir. Bilinmektedir ki iletkenin içinde de akılar yer almakta ve bu iletkenin endüktansı üzerinde etkili olmaktadır. İletkenin içindeki akılar sebebiyle meydana gelecek olan endüktansı belirleyebilmek için ilk önce iletkenin içindeki halkalanma akısını bilmek gerekmektedir. İletkenin içindeki halkalanma akısı ile akımın oranı bize bu endüktans değerini verecektir. Fakat halkalanma akısı bu sefer iletkenden akan akımın tamamıyla değil küçük bir kısmıyla ilintilidir. Problemin daha iyi anlaşılması için Şekil 9 da verilen kalınca bir iletkenin kesitini inceleyelim.
Şekil 9 Bir iletkenin kesiti.
Şekil 9 a yakından bir bakış şu sonuca ulaştıracaktır. Herhangi bir kapalı akı hattının meydana getireceği amper-tur cinsiden magnetomotorkuvvet (mmk) bu akı tarafından halkalanan akıma eşittir. Bu iletkenden akan akımın dönüş yolunun manyetik akı dağılımını etkilemeyecek kadar uzakta olduğu kabul edilecek olursa ve mmk in akı yolundaki manyetik alan şiddetinin tanjentiel bileşeninin çizgisel entegraline eşit olduğu göz önüne alınırsa,
. 37 burada H manyetik alan şiddetini s, akı yolunun uzunluğunu, I ise halkalanan akımı temsil etmektedir nokta operatörü manyetik alan şiddetinin tanjentiel bileşen ile ds arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
İletkenin merkezinden x uzaklıktaki alan şiddeti Hx ile gösterilecek olur, alan şiddetinin simetrik ve her noktada aynı olduğu varsayılacak olursa. 37 da verilen integralin çözümü,
2πxHx=Ix
. 38 olur. Akım yoğunluğunun düzgün (uniform) olduğu kabul edilirse,
Ix=Iπx2/ πr2
. 39 yazılabilir. Denklem . 39 i . 38 de yerine koyacak olursak alan şiddetini bulabiliriz. Buradan akı yoğunluğu bulunabilir.
Bx=µHx=µxI/2πr2
. 40 Burada µ iletkenin manyetik geçirgenliğidir. dx kesitindeki iletkenin manyetik akısı dΦ ise birim uzunluk için akı bulunabilir. Birim uzunluk için bu akıya bağlı halkalanma akısı ise bu kesitten akan akım ile orantılıdır. Akımın dağılımı uniform ise bu kesitten akan akım bu kesit ile iletken kesitinin oranıyla bulunabilir.
. 41 İletkenin içindeki toplam halkalanma akısını bulmak için . 41 merkezden iletkenin dışına doğru entegre edilecek olursa,
birim uzunluk için bulunur. Buradan birim uzunluk için iç-endüktans, Liç=µ/8π
. 43 bulunur. Bu sonucun güvenilir olduğu çok farklı yöntemler kullanılarak da denenebilir mesela [14] e bakabilirsiniz.
Burada kullanılan yöntem ile bir iletkenin dışındaki alan sebebiyle oluşacak olan halkalanma akısı sebebiyle meydana gelecek olan endüktans da hesaplanabilir.
2.1.2.2 Tek fazlı iki damarlı hatların endüktansı
Üç fazlı ve değişik kombinasyonlu hatların endüktansının hesabından önce tek fazlı iki solid iletkenden oluşan hatların endüktansını incelemenin faydalı olacağı kanaatiyle Şekil 8 de verilen iletkenlerin durumunu inceleyelim. İletkenler arasındaki mesafe D ve kesitleri sırasıyla r1, r2 ile gösterilecek ve iletkenlerden birinin diğerinden akan akımın dönüş yolu olduğu kabul edilecek olursa. Birinci iletkenin meydana getireceği manyetik akının sadece ikinci iletkeni halkalayan kısmı kullanılarak hesaplanmak zorundadır. Açık ifade ile D-r2 ve D+r2 arasında kalan uzaklıktaki akılar bu hesaplamada söz konusu olacaktır. Bir önceki bölümdeki hesaplama hatırlanacak olursa bu aralıktaki her bir akı iletkenden akan tüm akımı değil ancak kestiği akım parçasını halkalayacaktır. Bu gerçeğin hesaplamayı hayli karmaşık hale getireceği açıktır. Şayet basitleştirme amacıyla iletkenler arasındaki mesafenin iletkenlerin yarı çapından çok büyük olacağı kabul edilecek olursa ki bu havai hatlar için hakikattir akının halkaladığı akım miktarını hesaplamaya dahil etmek yerine D mesafesindeki iletkenden akan tüm akımı bu mesafedeki akının halkaladığı kabul edilebilir. Bu yaklaşıklık hesaplamayı basitleştirmekle beraber D küçük olsa bile doğru sonuç vermektedir [8].
Bir iletkenin merkezinden x uzaklıktaki alan şiddeti Hx ise mmk ve akı yoğunluğu bu iletkenden akan akıma bağlı olarak,
2πxHx=I Bx=µI/2πx
. 44 yazılabilir. . 41 verilene benzer şekilde iletkenden D1, D2 uzaklıklarıyla sınırlanmış ve dx kesitindeki mıntıka için manyetik akısı dΦ ise
dΦ=µIdx/2πx
. 45 iletkenden akan akımın tamamı bu akı tarafından halkalanmakta olduğu kabulü ile bu diferansiyel ifade
D1, D2 sınırlarında entegre edilecek olursa,
. 46 bu aralıktaki toplam halkalanma akısı bulunabilir. D2 yerine D ve D1 yerinede r1 yazılacak olursa birinci iletkenin dış akısı ve bu akıdan dolayı oluşacak endüktans,
. 47
yazılabilir. Daha önce bir iletkenin iç akı dağılımından dolayı mümkün endüktansı . 43 de hesaplanmıştı.
Her iki denklem birleştirilecek olursa Birinci iletkenden akım sebebi ile oluşacak endüktans,
. 48 bulunur. Boşluğun geçirgenliği 4π.10-7 olarak verildiğinde,
. 49 olur. Diğer iletken için de aynı şekilde,
. 50 yazılabilir. Her iki endüktansın toplamı devrenin toplam endüktasını verir.
. 51 . 50 da verilen tek fazlı hatlar için bir iletkenin endüktansıdır. . 51 da verilen ise loop endüktansı olarak isimlendirilmektedir. Her iki değerde bir metre uzunluk için geçerlidir.
2.1.2.3 Bir gurup içindeki iletkenin durumu
Üç fazlı hatlara geçmeden önce daha genel bir durumu inceleyelim. Şekil 10 da verilen n taneden oluşan
bir gurup iletkenin ele alalım ve bu iletkenlerin taşıdıkları I1, I2, I3, I4, … In akımların toplamı sıfır olsun.
Şekil 10 Taşıdıkları akımların toplamı sıfır olan bir gurup iletken.
İletkenlerin merkezinden uzak bir P noktasına olan mesafeler de D1P, D2P, D3P, D4P,…. DnP ile gösterilmiş olsun. Şimdi birinci iletkenden akan akıma ait P noktasına göre iç ve dış halkalanma akılarını hesaplayalım. I1 akımı sebebi ile meydana gelebilecek halkalanma akısı için denklem . 42 ve . 48 nin toplamına bakalım.
1
. 52 Şimdi ikinci iletkenden akan akımın birinci iletkende halkaladığı akıya bakalım. Bunun için P noktası ile ikinci iletken arasındaki mesafe D2P ve her iki iletken arasındaki mesafe D12 ile sınırlanmış bir alana bakmamız gereklidir. Denklem . 48 yi bu mesafelere uygularsak,
. 53 olur. Bu formül ışığında her bir iletkenin birinci iletken üzerinde meydana getireceği halkalanma akısını P noktasına kadar dikkate alarak,
. 54 yazılabilir. Gurup içindeki iletkenlerden akan akımların toplamı sıfır olduğu verildiğine göre In akımı bu denklikten çözülecek ve . 54 de yerine yazılacak ve benzer terimler bir araya getirilecek olursa,
. 55 yazılabilir. P noktası sonsuz uzaklığa çekilecek olursa bu noktayla iletkenler arasındaki mesafenin oranına bağlı terimler 1 e yaklaşırken bu terimlerin logaritması sıfıra eşitlenir. Bu durumda bu terimleri ihmal ederek,
. 56 yazılır. Böylece bir gurup iletken içindeki tek bir iletkene ait toplam halkalanma akısı miktarı bulunmuş olur. Akım alternatif akım ise bu akımın ani değeri kullanılarak akının ani değeri ve buna bağlı rms değeri hesaplanabilir.
2.1.2.4 Çok telli tek fazlı iletkenler
Elektrik hatları genellikle büklümlenmiş çok telli iletkenlerden meydana gelirler. Bu iletkenler farklı elektriki ve manyetik özelliklere sahip olabilirleri. Bu kısımda bu tip iletkenlerin endüktansı incelenecek.
Bu durumla ilgili yapacağımız en önemli basitleştirme her bir telden akan akımın aynı olduğu yani akımın iletken teller arasında eşit dağıldığıdır. İletkenler Şekil 11 de verildiği gibi dizilmiş olsun.
i Mesela çelik katkılı alimunyum iletkenler.
1
Şekil 11 Büklümlü iletkenlerden oluşan tek fazlı hat.
Akım iletken telleri arasında eşit dağıldığına göre n tane büklümden meydana gelen X iletkeninin her bir telinden akan akım I/n, bu akımın dönüş yolunu teşkil eden ve m tane büklümden meydana gelen Y iletkenin her bir telinden akan akım -I/m olacaktır. İletkenler arasındaki mesafe D ile gösterilecek olur ve X iletkenin a telinin halkalanma akısı . 56 kullanılarak ve boşluğun geçirgenliğii yerine yazılarak,
. 57 sonucuna ulaşılır. Logaritmanın özellikleri dikkate alınarak ve ¼ ün ln(e1/4) e eşit olduğu göz önüne alınarak,
. 58 sonucuna ulaşılır. Buradan bu iletkene ait a telinin endüktansı,
. 59 şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde b için ve diğerleri içinde endüktans hesaplanabilir.
. 60 Kolaylık sağlaması için her bir telin endüktansı toplanarak tel sayısına bölünürse her bir telin ortalama endüktansı bulunur. Bu değer kullanılarak iletkenin toplam endüktansı paralel bağlı enüktanslardan yola çıkarak,
Lx=Lort/n=(La+ Lb+ Lc+…+Ln)/n2
. 61 yazılır. Her bir endüktans değeri . 61 de yerine yazılacak ve benzer terimler toplanacak olursa,
a
. 62 Daa, Dnn, gibi terimler e1/4ra, e1/4rn, gibi terimleri karşılamak için kullanılmıştır. e1/4 iç endüktans sebebi ile ortaya çıkan bir katsayıdır ve değeri yaklaşık olarak 0.7788 olduğundan yarıçapın bu değerle çarpılması ile eşdeğer yarıçap hesaplanabilir. Denklem . 62 incelenecek olursa logaritmik terimin iki parçası vardır bölen ve bölünen. Her ikisi de köksel ifadelerdir. Bölünen terime bakacak olursa bunun m tane tele sahip Y iletkeni ile n tane tele sahip X iletkeni arasındaki mesafelerin çarpımının kökü olduğu görülür. Bu şekildeki bir ortalamaya karşılıklı geometrik ortalama uzaklık denmektedir ve kısaca GMD (Geometric Mean Distance) ile gösterilir. Bölen terim de benzer tarzda X iletkenini oluşturan teller arasındaki mesafelerin geometrik ortalamasıdır. Buna da kısaca self-GMD veya geometrik ortalama yarıçap GMR (Geometric Mean Radius) denmektedir. Karşılıklı GMD terimi Dm ve self GMD terimi Ds
ile gösterilecek olursa,
. 63 halini alır. Dikkat edilecek olursa bu denklem . 51 da verilen ve solid iletken için çıkartılan denkleme benzemektedir.
2.1.2.5 Üç fazlı hatların endüktansı
İlk olarak birbirleriyle eşit mesafeye yerleştirilmiş üç faz iletkeninin durumunu inceleyelim. Bu durumda iletkenler eşkenar bir üçgenin üç köşesine yerleşmiş olacaktır.
Şekil 12 Eşit aralıklı yerleştirilmiş iletkenler.
Üç fazın dengeli yüklendiğini yani üç faz akımlarının toplamının sıfır olduğunu kabul edelim. . 56 kullanarak birinci faz iletkenine ait halkalanma akısı,
. 64 şeklinde yazılabilir. Boşluğun geçirgenliği yerine yazılarak ve ra terimi yerine iç akı sebebiyle oluşacak endüktansı hesaba katarak Dsi değeri kullanılır ve Dab= Dab=D eşitliği gözönüne alınırsa,
. 65 yazılır. Akımların toplamının sıfır olduğu bilindiğine göre,
. 66 ve buradan endüktans,
. 67 olarak hesaplanır.
Şayet iletkenler simetrik olarak yerleştirilmemişse her bir iletkenin endüktansı farklı olacaktır.
Dolayısıyla bu fazlar arasında endüktans bakımından dengesizliğe sebep olabilecektir. Bu problemin önüne geçmek için hatlar iletkenlerin Şekil 13 de gösterildiği gibi eşit aralıklarla yer değiştirilmesi
(Transposition) ile inşa edilirler. Böylece her bir fazın endüktansı diğer fazınkine eşit hale gelir.
Şekil 13 Transpoze edilmiş hatlar.
Fakat modern iletim hatları düzenli yer değiştirme yapılmadan inşa edilmektedir. Ekonomik sebeplerle ancak belirli merkezlerde mesela kesici ve ayırıcı bulunan noktalarda hat kendiliğinden durmuşsa yer değiştirme yapılmaktadır. Bu şekilde faz endüktansları arasında nispeten bir denge sağlanmaya çalışılmaktadır.
Düzenli olarak transpoze edilmiş bir hattın ortalama endüktansını bulmak için her bir yer değiştirme periyodunun endüktansı hesaplanarak bu değerin aritmetik ortalaması alınacaktır. Bu durumda her bir periyot için halkalanma akısı . 65 kullanılarak,
. 68 şeklinde yazılır. Bunun aritmetik ortalaması,
. 69 olur. Akımların toplamı sıfır kabul edilirse,
. 70 ve endüktans,
. 71 olur. Burada Deq üç iletken arasındaki geometrik ortalama mesafedir.
2.1.2.6 Toprağın etkisi
Üç fazlı güç iletim hatları o şekilde dizayn edilmişlerdir ki toprak bir dönüş hattı teşkil eder. Normal ve dengeliye yakın çalışma şartlarında akımın çok küçük bir kısmı toprak üzerinden dönüşünü tamamlayacaktır. Ancak özellikle normal olmayan koşullarda (mesela kısa devre) hatlar akımın büyük kısmı toprak üzerinden dönecek şekilde inşa edilirler. Arıza durumunda toprak üzerinden devresini tamamlayarak geri dönen akım (toprak akımı) iletim hattında bir gerilim endükler bu gerilim hattın performansını ve empedansını etkileyecektir. Bu etkileme özellikle toplam devre direnci (loop-resistance) üzerinde de belirgindir.
Bilinmektedir ki toprak akımı düzgün bir yol takip etmemektedir, ayrıca bu akımın toprak içindeki dağılımı son derece karmaşık ve çevre şartlarının etkisine açık bir karakter arz etmektedir. Dolayısıyla bu problemin analizi hayli karmaşıktır dolayısıyla basitleştirmelere ihtiyaç gösterir. Bu konuda değişik metotlar geliştirilmiş ve hazır formülasyonlar kullanıma açılmıştır [11, 15, 16]. Literatürde bu problemin çözümüne farklı yaklaşımlar da bulunmakla beraber bu farklı hesaplamalar üzerinde burada durulmayacaktır. Burada toprak dönüş yolunun hat parametrelerine etkisine yönelik olarak Carson [17]
ve Rudenberg’in [18] bulgularına dayalı normal toprak direnci sınırları arasında (50-500Ω-m), güç frekansında (50 veya 60Hz) ve normal havai hat konfigurasyonları için geçerli basitleştirilmiş yaklaşımlar kullanılacaktır. Diğer yaklaşımların geniş bir özeti ve mukayesesi literatürde [13, 16]
bulunabilir
Unutulmamalıdır ki toprağın etkisini dikkate alan hesaplama ve formülasyonlar sadece toprağın dönüş yolu olarak kullanıldığı durumlarda yani bir toprak arızası durumunda hattın endüktansını etkileyecektir (sıfır sıra endüktansı). İlerde simetrili bileşenler ve dengesiz arızalar incelenirken bu konu yeniden gündeme gelecektir.
İlk olarak basit bir hat düzenlemesi ele alalım, tek fazlı tek bir iletken Şekil 14 de gösterildiği gibi toprak üzerinde asılı olsun. Bu iletkenin uzak bir noktada topraklandığı ve taşıdığı I akımının tamamının toprak
üzerinden döndüğü kabul edelim.
Şekil 14 Toprak üzerinde asılı tek iletken.
s eq
a D
L =2.10−7lnD
s a
a D
D D I 3 D12 23 31
7 ln
10 .
2 −
λ =
Toprak İletken
İletkenin yansıması
Toprak İletken
İletkenin yansıması
Ön görünüş Yan görünüş
D D
I
I
Bu dönüşün tek ve bizim iletkenimizin yansımasından oluşan bir hayali iletken üzerinden yapıldığı kabul edilerek Carson [17] tarafından yapılan hesaplamalar sonucunda bir sonsuz seri verilmiştir. Bu sonsuz serinin çözümü yardımıyla toprak üzerinden geri dönen akım de yarıçapına sahip ve De derinliğe gömülmüş hayali bir geri dönüş iletkeninden devresini tamamladığı gösterilmektedir. Bu kabullere uygun olarak ve durumu Şekil 14 de iletkenin yansıması şeklinde gösterilen hayali iletkenin yarıçapı ve derinliği hesaplanabilmektedir. Hesaplamada kolaylık olması bakımından derinlik veya yarıçap rasgele kabul edilmekte ve buna bağlı olarak diğer büyüklük hesaplanmaktadır.
Bu hayali iletkenin derinliği De ise yine benzer şekilde hesaplanmaktadır. Carson’un hesaplamaları sonucunda hayali iletkenin derinliği toprak öz-direnci ve frekansın bir fonksiyonu olarak
De=658.8(ρ/f)0.5
. 72 şeklinde verilmiştir. Bu formülde sonuç metre cinsinden çıkmaktadır. Bu derinliğe bağlı olarak endüktans hesaplamasına esas olacak iletkenler arasındaki D mesafesi yarıçap rasgele seçilerek belirlenmektedir. Bu durumda yarıçap bir birim (burada metre) seçilirse iletkenler arasındaki mesafe buna bağlı olarak,
D=(De)0.5
. 73 şeklinde hesaplanabilir. Bu değerler kullanılarak iletkenin veya güç sistemini oluşturan iletkenlerin endüktansı toprağın ilave bir de yarıçap ve D mesafesinde iletken şeklinde modellenmesi ile daha önceki bölümlerde açıklandığı gibi hesaplanabilir.