Birim Kök Testleri ile Durağanlığın Test Edilmesi

Bir zaman serisinin istatistiksel analizi yapılmadan serinin durağanlığının araştırılması gerekmektedir. Bir serinin durağan olup olmaması, kullanılan zaman serisi ile ilgili doğru modelin geliştirilerek tahmin yapılabilmesi ve değişkenler arasındaki ilişkinin daha gerçekçi tanımlanabilmesi bakımından önem arz etmektedir. Durağanlık belli bir zaman aralığında verilerin istatistiksel özelliklerinin değişmemesi olarak ifade edilmektedir (Gujarati, 1999: 713). Bu kapsamda bir serinin durağan olabilmesinin şartları aşağıdaki gibi ifade edilmektedir:

 Ortalama : E (Yt) = μ

 Varyans : Var (Yt) = E (Yt - μ)2 = σ2  Kovaryans : γk = E [(Yt - μ)(Yt+k - μ)]

Burada γk; aralarında k dönem fark olan iki Y değeri (Yt ve Yt+k ) arasındaki kovaryanstır. Eğer k = 0 ise γ0 bulunur ve bu değer Y’nin varyansına eşittir, k = 1 ise γ1, Y’nin ardışık iki değeri arasındaki kovaryansıdır. Belli bir zaman serisinin ortalamasının, varyansının ve kovaryansının zaman içerisinde sabit olması “zayıf durağanlık” olarak adlandırılmaktadır (Kirchgässner ve Wolters, 2007: 14). Durağanlık için zayıf durağanlık koşulunun sağlanması ekonometrik analizler için yeterlidir (Shumway ve Stoffer, 2006: 24).

Zaman serisi analizlerinde serinin durağan olup olmaması uygulanacak yöntem ve elde edilecek sonuçlar için önemli bir kriterdir. Bir zaman serisinin eldeki verilerle geleceğe yönelik gerçekçi öngörüler sağlayabilmesi için, serinin ortalamasının, varyansının, kovaryansının sabit olması yani durağan olması öncelikli şartlardan biridir. Bu nedenle, zaman serileri ile ilgili stokastik sürecin incelenmesi gerekmektedir. Bu kapsamda, serilerin durağan olup olmadığı birim kök testleri kullanılarak incelenmektedir. Bir zaman serisinin “birim kök” taşıması o serinin durağan olmadığını ifade etmektedir. Bu özelliğe sahip değişkenler ile yapılan çalışmalarda kullanılan ekonometrik yöntemlerin sonuçları da anlamsız olmaktadır. Serilerde birim kök olması durumda serinin durağan hale gelmesi için seriye fark alma işlemi uygulanır. Ancak, birim kök sorunun ortadan kaldırılması yani serilerin durağan hale getirilmesi için uygulanan fark alma işlemi bilgi kaybına neden olmaktadır. Uygulamada zaman serilerinin durağanlık özelliklerinin test edilmesinde kullanılan bazı yöntemler Dickey ve Fuller (1979), Genişletilmiş Dickey ve Fuller (ADF) (1981) ve Philips ve Perron (PP) (1988) testleridir. Ancak bu birim kök testleri yapısal kırılmayı dikkate almamaktadır.

Nelson ve Plosser (1982), incelenen iktisadi zaman serilerinin bazılarının durağan olmadığına ve muhtemel bir yapısal kırılma durumunda standart birim kök testlerinin yanıltıcı sonuçlar verebileceğini öne sürmektedir. Perron (1989) ise incelenen dönemde seride meydana gelen olası yapısal kırılmaların dikkate alınması durumunda söz konusu serilerin durağan olabileceğini ifade etmektedir. Perron (1989,1990), seride tek bir yapısal kırılma noktası olduğu ve bu kırılma tarihinin dışsal olarak bilindiği varsayımı altında bir birim kök testi geliştirmiştir. Ancak Perron (1989)’nun geliştirdiği birim kök testi, Banerjee, Lumisdaine ve Stock (1992), Christiano (1992) ve Zivot ve Andrews (1992) tarafından yapısal kırılma tarihinin dışsal olarak belirlenmesinin sıfır hipotezinin reddi yönünde bir

eğilim oluşturacağı gerekçesi ile eleştirilmektedir. Zivot ve Andrews (1992), Perron (1990)’nun çalışmasında kullandığı verilerle yapısal kırılmanın tek bir noktada olduğu ve kırılma tarihinin içsel olarak tahmin edildiği bir test geliştirmiştir. Yapısal kırılmanın içsel olarak tahmin edilmesi sıfır hipotezini reddetme eğilimini azaltacağı için daha uygun görülmektedir. Bu nedende çalışmada yapısal kırılmaların içsel olarak tespitine olanak sağlayan Zivot-Andrews (1992) birim kök testi kullanılmaktadır.

Çalışmada, 2008 yılında gerçekleşen küresel kriz ve bankacılık düzenlemelerinde yapılan değişikliklerin bankacılık sektörünü etkilediği düşüncesiyle yapısal kırılmayı dikkate alan Zivot- Andrews (1992) birim kök testi kullanılmıştır.

Zivot-Andrews (1992) birim kök testinde kırılma noktasının belirlenmesi için ardışık ADF test yaklaşımı ile mümkün olan her kırılma noktası için bir kukla değişkene sahip regresyon denklemi tahmin edilmekte ve tahmin edilen değişkenlerin katsayıları için t- istatistiği hesaplanmaktadır. Değişkenin katsayısını ifade eden  katsayısının en küçük t değerine sahip olduğu regresyon modelindeki tarih kırılma tarihi olarak belirlenmektedir. H0 hipotezi yapısal kırılma olmadan birim kökün varlığını gösterirken, alternatif hipotez H1 ise bilinmeyen bir kırılma zamanıyla trend durağandır sürecini ifade etmektedir.

Zivot ve Andrews (1992) birim kök testi için aşağıda yer alan üç regresyon model kullanılmaktadır. Model A y = μ + βt + αy + ϴ DU (λ) + ∑ c ∆y + e (3.1) Model B y = μ + βt + αy + ϴ DT (λ) + ∑ c ∆y + e (3.2) Model C y = μ + βt + αy + ϴ DU (λ) + ϴ DT (λ) + ∑ c ∆y + e (3.3) Model A ortalamadaki, Model B ise eğimdeki kırılmayı ifade etmektedir. Model C ise yapısal bir değişimin hem ortalama hem de eğimi değiştirdiğini göstermektedir. Çalışmada hem ortalamada hem de eğimde değişimi birlikte alan Model C kullanılarak durağanlık incelemesi yapılmaktadır. Modellerde, otokorelasyonsuz ve normal dağılan hata terimini, t zamanı (t = 1,...T) göstermektedir. ∆ terimi, hata teriminin otokorelasyonsuz olmasını sağlamak amacıyla modele dahil edilmektedir. ise T/TB olarak ifade edilmekte ve TB kırılma zamanını göstermektedir. Kırılma zamanın olduğu noktada temel hipotez testinin t-istatistiği minimum değere sahiptir. Bu değer en küçük kareler yöntemiyle T-2 sayıda regresyon tahmin edilerek hesaplanmaktadır. Eğer regresyon modelindeki değişkenine ait katsayı için

hesaplanan test istatistiği kritik değerinden (mutlak değer) daha büyük ise yapısal kırılma olmadan değişkenin durağan olmadığı sıfır hipotezi reddedilir (Zivot ve Andrews, 1992: 253- 254).

DU düzeyde meydana gelen yapısal kırılmayı ve eğimde meydana gelen yapısal kırılmayı gösteren kukla değişkenler olmak üzere aşağıda ifade edilmiştir.

DU = 1 t > TB_{0 t ≤ TB ve DT =} t − TB t > TB_{0 t ≤ TB (3.4)} Bu sonuçların elde edilmesi için her bir gözlem dönemi kırılmanın olduğu muhtemel bir dönem olarak kabul edilerek bu yıla ait kukla değişken oluşturulmakta ve bu kuklalara ilişkin t istatistiği elde edilmektedir. Elde edilen sonuçlarda t istatistiğinin minimuma ulaştığı dönem, yapısal kırılmanın olabileceği zamanı vermektedir. Serilerin yapısal kırılmanın dikkate alındığı durumlarda dahi durağan olabilmesi için hesaplanan minimum t istatistiklerinin mutlak değer olarak kritik değerden daha büyük olması gerekmektedir. Perron (1989)’da belirtildiği gibi, iktisadi zaman serilerinin büyük çoğunluğu Model A ve Model C ile modellenebilmektedir. Burada üzerinde durulması gereken bir nokta, birim kök analizinde kullanılan bu modellerin farklı sonuçlar vermesi halinde hangi modelin kullanılması gerektiğidir. Sen (2003), yapısal değişmenin tarihinin bilinmediği durumlarda Model C’nin diğer modellere göre tercih edilebilir olduğunu öne sürmüştür.