Birim Kök Test

Zaman serisi verilerinin durağan hale getirilmesi için kullanılan en önemli durağanlık testi birim kök testidir. Birim kök testi uygulamasını tanımlamak için kullanılan model,

Yt=Yt-1+ut (1) şeklindedir.

Burada kullanılan ut notasyonu oluşturulan modeldeki hata terimini ifade

etmektedir. Bu hata terimi beyaz gürültü hata terimi (White-Noise) olarak adlandırılır. 1 nolu denklemde ifade edilen model, t dönemdeki Y’nin (t-1) dönemindeki kendi değerine göre oluşturulan regresyon modelidir. Yt-1’in katsayısı

1’e eşitse birim kök sorunuyla yani durağan olmama durumuyla karşı karşıya kalmaktadır. Buna göre yukarıda 1 nolu denklem;

Yt=αYt-1+ut (2)

şeklinde ifade edilirse, α=1 olursa, Yt olasılıklı değişkenin bi birim kökü

vardır. Birim kökü olan bir zaman serisi, (zaman serileri) ekonometrisinde bir assal yürüyüş (zaman serisi) olarak adlandırılmaktadır (Gujarati, 2001:718). Rassal bir yürüyüş ise, durağan olmayan bir zaman serisi örneğidir. 2 nolu denklemi genelde aşağıda verilen şeklinde görürüz.

∆Y=(1-α)Yt-1+ut (3)

= δ Yt-1+ut

Burada δ =(1-

α

), ∆ ise, birinci fark işlemini göstermektedir (∆Yt=Yt- Yt-1 ).

Eğer bir zaman serisinin birinci dereceden farkları alınarak durağan hale getirildiyse, seri birinci dereceden durağan yani bütünleşik I(1) seri olarak ifade edilir. Aynı şekilde durağan bir seriye ulaşmadan önce ilk serinin iki kez farkının alınması sonucunda ( yani birinci dereceden farklarının birinci farkları) seri durağan hale geliyorsa seri ikinci dereceden I(2) durağan hale gelmiş olur. Genel olarak bir zaman serisinin d kez farkının alınması durumunda o seri d’inci dereceden durağan I(d) yani bütünşeliktir. Bütün bu ifadelerden anlaşılacağı üzere, 1 yada daha yukarı dereceden bütünleşik bir ser ivarsa durağan hale gelmemiş bir seri var demektir ( Kennedy, 1994: 253). Buna göre, durağan hale getirilmiş bir seri ile I(0) süreci aynı anlamda kullanılmaktadır. bir serinin durağan olup olmadığını anlamak için 2 nolu denklemin hesaplanmasından sonra

α

katsayısının 1 olup olmadığına bakılır yada buna eşdeğer olarak 3 nolu denklemdeki δ katsayısının aşağıdaki kurulan hipotezler yardımı ile sıfır olup olmadığına bakılır. Buna göre esas hipotez olan H0 hipotezi, t değerine

bakılarak kabul edilirse seride birim kök vardır denir. H0: δ =0 Yt serisi durağan değildir.

H1: δ ≠0 Yt serisi durağandır.

δ =0 esas hipoteziyle, geleneksel yolla hesaplanan t istatistiği

τ

(tau) istatistiği yani Dickey Fuller (DF) sınaması olarak bilinir. Bu istatistiğin eşik değerleri Dickey ile

Fuller tarafından Monte Carlo benzetmesiyle gösterilmiştir (Dickey and Fuller, 1979: 427).

Zaman serileri verilerinin durağanlığı için en basit şekilde kurulacak 2 nolu regresyon denklem sonucunda, Dickey –Fuller istatistiğini hesaplamak için tahmin edilecek

α

katsayısının kendi standart hatasına bölünmesi sonucu elde edilecek olan değerin t istatistiği sonucunda

α

=1 esas hipotezin reddedilip reddedilmediğini görmek amacıyla Dickey-Fuller Çizelgesine başvurulur. Ancak, bu çizelgeler yeterli düzeyde olmaması sonucu MacKinnon tarafından genişletilmiştir (MacKinnon, 1991: 85).

Dickey-Fuller Sınamasının mutlak değeri (│

τ

│) MacKinnon kritik değerinden büyükse serinin birim kök ihtiva ettiği hipotezi reddedemeyiz. Fakat bu değer MacKinnon kritik değerinden küçükse seri durağan değildir yani birim kök ihtiva etmektedir.

Dickey-Fuller (1979) Monte Carlo simülasyonu ile aşağıdaki üç denklem oluşturulabilir.

∆yt= γ yt-1+ut

∆yt=m0+γ yt-1+ ut

∆yt= m0+γ yt-1+ m1t+ ut

Bu üç denklem arasındaki fark son denklemde deterministik trendin olmasıdır. İlk iki denklem sabiti içerip içermediğine göre oluşturulmuş iken son denklemde hem sabit sayı içermesi hem de deterministik trend yer almaktadır. Bütün denklemlerde yer alan γ , değeri sıfıra eşit olduğu durumda (γ =0) yt serisi birim kök ihtiva

etmektedir (Kutlar, 2000: 159). 4.1.2. Koentegrasyon Testi

Koentegrasyon, uzun dönemde ekonomik notasyonlar da değişkenler arasında ilişkiyi kavramsal olarak ifade eden bir istatistik modeldir. Zaman serisi araştırmalarında, verilen özellikleri Johansen (1991) ve Johansen ve Jeselius (1990) tarafından tasarlanmıştır.

Johansen Metot, aşağıdaki gösterilen VAR (p) ifade edilir.

∆Z=

π

Zt-1+Π1∆Zt-1+……….+Πp-1∆Z(p-1)+µ+ψ Dt+ut (5)

Bu modelde, µ sabit vektör, D merkezi mevsimsel değişkenler matrisi, Z ise Nx1’lik değişkenler vektörü, Π1………..Πp-1 NxN’ lik bilinmeyen parametreler

matrisi,

π

katsayıların uzun dönem matrisi ve ut ise çok değişkenli dağılım

dönemlerini ifade eder.

Yukarda ki eşitlik, 0<r<N örneği ile r ile gösterilmesine karşılık

π

rankına rağmen dengede değildir.

π

rankı 0<r<N için

π

=αβ 1şeklinde ifade edilir (

α

ve β Nxr’lik matrisin sütun derecesini gösterir). Bu yolla ifade edilen model, sırasıyla Πi

ve

π

tahminleri ile Zt içerisinde uzun ve kısa dönem düzeltilmiş bilgi içerir. Uzun

dönem katsayısı matrisiβ iken dengede olmayan düzeltilmiş uzun dönem ilişki

π

=αβ 1 matrisi olarak bilinir. Ayrıca, burada verilmiş olanβ, r≤N-1 koentegrasyon vektörü olarak da ifade edilir. Bu yüzden,

α

katsayısının önemsizleştiği en son (N-r) sütunun eşdeğerliğindeki

π

matrisi içerisinde sütundan bağımsız olarak bulunan r sayısı koentegrasyon için test edilir.

r rankı değişkenler arasındaki sabit düzey ilişkisini ifade eden liner bağımsızlığı gösteren ve uzun dönem ekonomik ilişki dönemlerinde açıklama olarak ifade edilen ilişki kointegrasyondur ( Johansen 1991, Johansen ve Juselius, 1990). Eğer

π

rankı sıfır ise burada veriler arasındaki ilişki liner sabit durum ve uzun dönemde ilişki olmaması durumu şeklinde olmaktadır. Özetle, rank (

π

)=N durağan proses şeklinde tanımlanan ve rank (

π

) =0 tanımının rank (

π

)<N tanımına karşılık durağan olmaması ve her iki duruma karşılık r komutunun ve (N-r) komutu içerisindeki durağansızlık durumu Juselius ve Hargreves (1992) ifade etmiştir. Eğer en azından bir tane koentegrasyon vektörü varsa, 4 nolu denklem uzun dönem içsel değişkenler için aşağıda belirtilen hata düzeltme mekanizması (VECM) uygulanır (Haugh A. Vd, 2000:149). ∆Zt=

π

Zt-1 +

∑

− = 1 1 p i Πi∆Zt-i + µ0 + µ1t + ut ∆Zt=

α

β1Zt-1 +

∑

− = 1 1 p i Πi∆Zt-i + µ0 + µ1t + ut (6)

Yukarıdaki modelde,

π

ve Πi değerleri matris katsayılarını, µ0 ve µ1 ise sırasıyla

sabit ve trend katsayı vektörü ifade etmektedir. Hata vektörü ut ise, ortalama sıfır

vektörü ve kovaryans matris (Ω) ile çok değişkenli normal px1’lik matrisi gösterir. Johansen (1988) tarafından kullanılan maksimum olabilirli yöntemi eş- bütünlenen vektörler için kullanılmaktadır. test kullanımında sorun, β1i Zt-i,

durağanlığına uygun yeterli büyüklükteki, λ, i= 1,2,3,……..r, şeklindeki öz-kökler ile, λ, i=1+r…….p, şeklinde durağan olmayan öz vektörlere uygun yeterince küçük öz-kökler ayrımı yapan, r rankı iki hipotez arasındaki yapılan olabilirlik oranı testi belirlenir (Kutlar, 2002: 30);

Hp: rank= p, yani tam rank vardır ve Zt durağandır

Hr: rank=r<p, r ise eş-bütünleşme ilişkisi bulunmaktadır.

Koentegrasyon vektörü ve (n-r) birim kökler Johansen yöntemine göre iz istatistiği kullanarak hesaplanır. Trace (λtrace)= -T

∑

+ = p r i 1 ln(1-λi ), r= 0,1,2,3…….p-1 (7)

λ: koentegrasyon ilişkisinde tahmini eşik değer.

Johansen yöntemine göre hesaplanan bir başka koentegrayon testi ise, λmax

‘ın maksimum eşik-değer istatistiğidir.

λmax= -Tln(1-λr+1) r= 0,1,2,3…….p-1, (8)

Bu testler r-koentegrasyon vektörüne karşı var olan r+1 vektörü ile oluşur.

λtrace ve λmax istatistiklerinin her ikisi de standart olmayan dağılıma sahiptir ve

Osterwlzd-Lenum’un (1992) ifade ettiği gibi asemptotik kritik değerler ve tahmini modelin deterministik unsurlarının değişimlerini gösterir. λtrace λmax istatistikleri ile

elde edilen değerler kritik değerleri aşıyorsa kointegre vektörlerinin sayısı belirlenmiş olur.

Belgede Enerji tüketimi-ekonomik büyüme ilişkisi: Türkiye örneği (1980-2008) (sayfa 89-93)