Ata Peygamberler

Existem poucos trabalhos disponíveis sobre otimização topológica de sistemas térmicos, mas um número considerável de artigos sobre métodos de análise de sensibilidade de projeto (DSA), do ingles design sensitivity analysis, está disponível. Neste sentido, Tortorelli et al. (1989a) derivaram o modelo de sensibilidade de projeto para problemas de condução de calor transiente não linear usando o método dos multiplicadores de Lagrange e em seguida Tortorelli & Haber (1989b) abordaram o mesmo problema utilizando o método adjunto. Yang (1993) derivou a forma das expressões de sensibilidade de projeto para problemas termomecânicos aplicando uma abordagem material derivada dos campos de temperatura e deslocamento. Michaleris et al. (1995) desenvolveram uma análise de sensibilidade para os processos termo- elasto-plástico em estruturas de referência Lagrangiana. No entanto, eles utilizaram um algoritmo de atualização de tensão (totalmente implícito na forma inversa do tensor de Euler) que é computacionalmente menos eficiente do que o algoritmo de retorno radial e, assim, o algoritmo de sensibilidade desenvolvido foi aplicado apenas para o caso bidimensional. Sluzalec et al. (1996) empregaram uma transformação de Kirchhoff para derivar expressões de sensibilidade de projeto para problemas de condução do calor não linear, usando o método da variável adjunta e Jog (1996) desenvolveu uma técnica de otimização topológica para problemas de termo- elasticidade também não linear com o método do perímetro.

Utilizando uma abordagem evolucionária, Li et al. (1999) realizaram um método de otimização topológica discreto usando o método ESO. Lewis & Ransing (2000) analisaram a influência dos valores dos coeficientes de transferencia de calor interfacial e, utilizando o conhecimento de que muitas decisões sobre projeto de alimentação, tais como isolamento, refrigeração, espessura de revestimento etc, influenciam diretamente nos valores dos coeficientes de transferencia de calor interfacial, utilizaram a correlação Lewis-Ransing para vincular o modelo de tensão com um modelo de otimização para o projeto de alimentação ótima. Bobaru & Mukherjee (2002) utilizaram o método do elemento livre de Galerkin na formulação DSA para sólidos termo-elásticos e o aplicaram a problemas de otimização de forma em análise térmica.

Já em 2004, Song et al. estenderam o trabalho de Michaleris et al. (1995) através de um esquema computacional para otimizar processos termo-elasto-plástico fracamente acoplados quasi-estáticos de estruturas Lagrangianas tridimensionais. Formulações de sensibilidade foram desenvolvidas a partir do algoritmo de retorno radial, baseadas em equações de elementos finitos para problemas termo-elasto- plástico utilizando o método de diferenciação direta. Os resultados foram validados por comparação com os cálculos de sensibilidade por diferença finita. Para realizar a otimização, Song et al. (2004) utilizaram o método line search BFGS.

Em seguida, Chen & Tong (2005) aplicaram técnicas de otimização estrutural para realizar a análise de sensibilidade em problemas termomecânicos acoplados em materiais funcionalmente graduados. Eles empregaram o método de elementos finitos proposto por Kim & Paulino (2002) para estudar a transferência de calor e a análise estrutural. Ainda no mesmo ano, Cho & Choi (2005) desenvolveram um método adjunto unificado de análise de sensibilidade de projeto (DSA), para problemas termo-mecânico fracamente acoplados. Expressões de sensibilidade de projeto em relação à condutividade térmica e módulo de Young foram derivadas. Eles conseguiram uma redução significativa no custo computacional utilizando uma equação adjunta de campo acoplado, definida sobre o campo de deslocamento e obtida como um campo adjunto de carga e temperatura. No ano seguinte, Gersborg- Hansen & Bendsøe (2006) compararam os resultados da otimização de dois problemas de condução de calor que foram resolvidos pelo método dos elementos finitos e pelo método de volumes finitos, respectivamente.

Mais recentemente, Bruns (2007) avaliou um problema de otimização topológica de trensferência de calor não-linear em estado estacionário, sem contabilização explicita do movimento de fluido. Neste trabalho, Bruns (2007) leva em conta os fenomenos da condução, convecção e radiação, discute a origem do problema de instabilidade numérica provocado pela convecção e apresenta um método para evitá-lo. Ainda em no mesmo ano, Silva (2007) abordou o problema de otimização topológica de estruturas 2D empregando um processo de refino h- adaptativo.

Nos anos seguintes, Gao et al. (2008) formularam um procedimento de otimização topológica para lidar com problemas de condução de calor em regime estacionário sob condição de carga fixa (ou projeto-independente) e carga projeto- dependente. Na fase de análise de sensibilidade, tanto a matriz de condutividade térmica quanto a carga de geração de calor projeto-dependente, associadas com o elementos vazios são penalizados da mesma maneira. Além disso, como a sensibilidade da função objetivo muda seu sinal durante a iteração, um procedimento BESO modificado foi apresentado por Gao et al. (2008) para lidar com a não- monotonicidade da função objectivo. Giusti et al. (2009) apresentou uma fórmula fechada para a sensibilidade do tensor de condutividade térmica efetiva em problemas bidimensionais. A fórmula é obtida aplicando-se o conceito de derivada topológica, utilizando, para tanto, principios variacionais multi-escala para a condução de calor em estado estacionário.

Como mencionado no final do subitem 2.2.4.2, atualmente há uma crescente utilização de abordagens em otimização via level set method, em um esforço para solucionar problemas que não são eficazmente resolvidos pelos métodos convencionais de otimização. Assim, nessa direção, Zhuang et al. (2007) apresentaram uma abordagem numérica de otimização topologica para problemas de condução de calor sujeitos a múltiplos carregamentos térmicos. A abordagem empregada se baseou no método conjunto-nível, (level set method) nos quais os processos de otimização são atualizados com a então chamada derivada topologica, utilizando para tanto o método das diferenças finitas.

Capítulo 3

Otimização Topológica de Estruturas Termoelásticas 3D

3.1

Introdução

Neste capítulo, as equações e as correspondentes expressões de sensibilidade dos campos térmico e mecânico de sistemas termoelásticos fracamente acoplados são derivadas. A abordagem de otimização topológica aqui apresentada é aplicada a estruturas 3D submetidas a carregamento térmico em regime estacionário, isto é, sem variação no tempo, e leva em conta os efeitos da condução e da convecção do calor. A carga mecânica é suposta distribuída.

O problema de otimização é resolvido aplicando-se o Método do Lagrangiano Aumentado, que consiste na solução de uma sequência de problemas de mínimo com restrições do tipo caixa e é resolvido por um método de projeção de segunda ordem que utiliza o método quase-Newton sem memoria durante o processo de solução do problema, ver apêndice A.