Akıllı Bina Nesneleri – BiliĢsel Model

O trabalho com a demonstração da redução ao absurdo foi realizado na turma da Pedagogia no dia 04/08/2012 e na turma de Matemática em 24/08/2012. Neste estudo, tivemos o intuito de abordar técnica da demonstração matemática da redução ao absurdo; para isso, fizemos algumas considerações sobre redução ao absurdo: definimos argumento, proposição e contradição. O encontro foi didaticamente realizado de acordo com a pauta

 leitura compartilhada da letra da música Como 2 e 2, de Caetano Veloso;  exposição dialogada sobre demonstração de redução ao absurdo;

 elaboração de atividades com o tema estudado.

Iniciamos o encontro com a leitura compartilhada e propusemos que os alunos identificassem, na letra da música, estrofes que os mesmos vissem como absurda. Para finalizar esse momento de sensibilização para o estudo, executamos a música Como 2 e 2 na interpretação de Roberto Carlos.

Dando prosseguimento à pauta, fizemos uma breve explanação sobre o tema. Com base na obra Introdução às técnicas de Demonstração na Matemática (FOSSA, 2009), explicamos a definição de conjectura, demonstração e proposição, além de argumento, bem como apresentamos o método da redução ao absurdo e o exemplo clássico da prova raiz quadrada de 2. A figura 47 permite-nos visualizar alunos de Matemática atentos à explanação do tema.

Figura 47 – Sessão sobre redução ao absurdo

Na resolução de alguns exemplos sobre o assunto abordado, nossa intenção era fazer com que os alunos entendessem que a ideia básica de redução ao absurdo é que uma premissa não pode ser verdadeira se não levar a uma contradição. Após demonstrarem por absurdos as

raízes quadradas irracionais √2, √5, √7, eles descobrissem os motivos de a técnica da redução por absurdo ser falha para a √4. Também propusemos que pesquisassem os conceitos de

contradição e argumento e construíssem exemplos de proposições contraditórias. As figuras 48 e 49 mostram os alunos desenvolvendo atividades práticas sobre técnica de redução por absurdo.

Figura 48 – Aluna em atividades de pesquisa Figura 49 – Alunos fazendo tarefas das demonstrações

Fonte: acervo da pesquisadora Fonte: acervo da pesquisadora

Finalizando o estudo sobre Demonstração da redução ao absurdo, os alunos realizaram a atividade 4 (Apêndice D). A primeira questão solicitava que os alunos dissessem o que entenderam sobre a redução ao absurdo e obtivemos as seguintes respostas dos alunos

de Pedagogia: “É um método de prova matemática indireta, não construtiva” (AP13); “É quando um argumento lógico possui várias hipóteses que se contradizem” (grupo Villa

Kennedy); “Fora do normal, algo que está fora do esperado” (AP7 e AP4); “É uma coisa

fora da regra do esperado” (AP3).

Os alunos de Matemática assim se expressaram: “Uma premissa não pode ser

verdadeira, se ela é contraditória” (AM15); “É quando uma premissa não é verdadeira se ela nos levar a uma contradição” (AM9); “Entendi que é quando em duas afirmações uma contradiz a outra” (AM6 e AM7). Dois alunos, que não se identificaram, disseram: “Entendemos que a redução por absurdo é uma forma criativa de provar que uma premissa

não pode ser verdadeira se não levar a uma contradição”; “A redução por absurdo é uma

forma matemática de comprovar a construção lógica dos números irracionais”.

Na questão 2, propomos que os alunos, a partir da definição de contradição, explicassem-nos se uma proposição que é verdadeira e falsa ao mesmo tempo pode ser um exemplo de contradição. Os alunos da Pedagogia, ao responderem sim, deram as seguintes

explicações: “É aceitar como verdade aquilo que queremos provar” (AP4); “É afirmar e negar algo ao mesmo tempo” (AP13); “Depende de como cada um entende por falsa ou verdadeira” (AP5). Um grupo da Pedagogia, identificado como Villa Kennedy respondeu: “Uma proposição é verdadeira ou falsa, não pode ser os dois ao mesmo tempo”.

Dos cinco grupos de alunos do curso de Matemática, dois deles responderam não e

argumentaram: “porque ela não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo”. Os demais

grupos, ao responderem sim, comentaram: “porque uma preposição afirma e outra

proposição nega”; “uma contradição é uma preposição que afirma e ao mesmo tempo nega”; “porque a preposição pode ser falsa para número irracional e verdadeira para número racional”.

A pergunta solicitada por nós na questão 3 foi: qual é a condição para que duas proposições sejam consideradas contraditórias? O quadro 14 evidencia as respostas dos alunos:

Quadro 14 - Síntese das respostas obtidas sobre a questão 3

PEDAGOGIA MATEMÁTICA

 Quando não existe nenhuma possibilidade (AP2);  Se ela está negando e afirmando em seguida ou vice-

versa (grupo Villa Kennedy);

 Quando afirmo uma sentença e a nego

imediatamente (AP3);

 Quando não há prova de nenhuma (AP5);  Uma afirma e a outra nega (AP4);

 Uma seja verdadeira e a outra seja falsa (Grupo Villa

Verde);

 Quando não existe um a terceira possibilidade

(AP12) e (AP13).

 Uma proposição nega a outra (AM9);

 Quando ambas afirmam algo diferente (AM15);  Que uma seja verdadeira e outra falsa (AM5) e

(AM6);

 A condição principal é que exista uma condição

lógica verdadeira, mais que não atenda a proposições pretendidas (AM3);

 É preciso que uma sentença afirme e outra negue

(Am12), (AM7);

 Quando uma nega a outra (AM8), (AM16), (AM14),

(AM4).

Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012

Na questão 4, foi proposto aos alunos a construção de proposições matemática

contraditória. Os estudantes de Pedagogia escreveram: “1 quilômetro é equivalente a 1000

pertence aos números naturais”; “2+2 X 2= 8 (falsa) 2 + 2 X 2= 6 (verdadeira)”; “2+2 é igual a 4, 2 + 2 não é igual a 4 ; “” A ordem dos fatores não alteram o produto. A ordem dos fatores alteram o produto”; “o numeral 8 é par. O numeral oito não é par”. Os alunos de Matemática deram como exemplos de proposições matemáticas: “2+2 = 4 e 2+2 diferente de quatro”; “A proposição da √2”.

Dando sequência, chegamos à questão 5; nela, solicitávamos que os alunos dessem exemplo de proposição contraditória do quotidiano: Os alunos da Pedagogia comunicaram:

“Eu vou ao teatro. Eu não vou ao teatro”; “Vai chover e não vai”; ”Gosto de você mas não gosto”; “É perto mas longe”; “Quero ir à praia, mas não quero”; “acho que sim, penso que

não”. Os investigados de Matemática disseram: “estou dentro e fora de sala de aula”;

“Amanhã vou e não vou ao Kennedy. Amanhã não vou ao Kennedy – Amanhã vou ao Kennedy”.

De acordo com Fossa (2009, p. 77):

Em geral, uma contradição é qualquer proposição que tem a seguinte forma: A e não

A. Isto é, uma contradição é uma proposição que afirma algo e ao mesmo tempo

nega a sua própria afirmação. Dizemos também que as duas proposições A Não – A são contraditórias, ou que uma é a contradição (ou a negação) da outra. As duas proposições (1) Matilde morreu. (2) Matilde não morreu. São contraditórias.

Pela explicação de Fossa (2009), os exemplos dos alunos se aproximaram dos conceitos lógicos do autor, o que para nós significa dizer que houve entendimento do assunto abordado, principalmente para os estudantes da Pedagogia.

Ao tratarmos da sexta questão, como já havíamos explicado a demonstração por absurdo sobre a raiz quadrada de dois, propomos que cada grupo escolhesse uma raiz quadrada não exata e demonstrasse, provando por absurdos que ela é irracional. Os investigados de Pedagogia, em grupo, individualmente ou em dupla, interagiram um com o outro, ora nos perguntando ora calculando com os colegas.

Na turma de Matemática, percebemos que os alunos tiveram dificuldades para realizarem suas demonstrações. Porém, logo após nossa explicação, um aluno sugeriu que um colega, com formação em Física, que estava entendendo, explicasse para eles novamente. Acatamos a sugestão e, mesmo com dificuldades, os alunos responderam a demonstração proposta.

Para encerrarmos o estudo, apresentamos a sétima questão que consistiu de: com base na demonstração anterior, provar que √4 é um número irracional. Após solução da

questão, dissessem a que conclusão eles chegaram. Na resolução dessa questão, percebemos que, nas duas turmas, a todo instante, surgiam discussões envolvendo conceitos como números primos, números racionais, números irracionais, linguagem que envolvia lógica matemática e diversas tentativas para chegar à resposta final.

No decorrer da aplicação, tanto na turma de Matemática como na de Pedagogia, íamos de grupo em grupo ver como eles estavam realizando suas demonstrações através do método da redução ao absurdo. Encontrávamos a cada instante particularidade própria de cada sala, seja de Matemática seja de Pedagogia, de responderem à questão solicitada. Por exemplo, deparamos com alunos utilizando-se de argumentos de forma condicional, montando seus esquemas usando premissas, suas proposições matemáticas que ora eram falsas, ora verdadeiras. Um grupo da turma de Matemática acirrava a discussão quando dizia

“Veja bem, então provei por absurdo que raiz de 6 é irracional, agora quero vê onde está o absurdo”. Uma aluna explicou, para as colegas de seu grupo, a falha do método da redução ao absurdo para a raiz quadrada de 4 da seguinte maneira: “quando eu coloco a ao quadrado e

digo que é igual a 4 b ao quadrado, e tomo verdade que essa igualdade é par, então a ao

quadrado também é par [...]”.

No tocante aos alunos da Pedagogia, a tentativa de provocação para que eles enveredassem para o uso de argumentações também foram válidas, embora tenhamos ouvido algumas alunas dizerem “esse é difícil”, “Ah, professora já estou com dor de cabeça”. Vimos alunos em grupo tentando fazer as demonstrações utilizando-se do método estudado e chegando às suas conclusões sobre a redução ao absurdo.

Para nós, a quarta sessão de estudo consistiu de uma série de diálogos que, embora fossem assuntos matemáticos desconhecidos para a maioria dos pesquisados, principalmente na turma de Pedagogia, provocou articulação de ideias positivas no pensamento matemático dos investigados. A nosso ver, foram discussões em pequenos e grandes grupos eficazes para o desenvolvimento de cada tarefa. Afinal, propiciou aos alunos defender opiniões e posicionamento de ideias matemáticas que se tornaram eficazes e necessárias na resolução das questões. As figuras 50 e 51 exemplificam algumas das demonstrações realizadas pelos participantes da pesquisa.

Figura 50 – Demonstração feita pela aluna de Pedagogia

Figura 51 – Demonstração feita pelas alunas de Matemática

Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora

Por fim, foram questões como essas que permitiram aos participantes do estudo explicar passo a passo como eles concluíram suas tarefas; falar e estar com uma matemática própria deles ao expressarem e questionarem junto aos seus colegas de grupo: “se a gente

pode representar uma fração em forma de fração e como ele chegou ao absurdo?” O colega

o chamou e disse, à sua maneira, como provou e onde falhava a raiz de 4 através da redução ao absurdo.