ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON UZAYLARINDA EN İYİ YAKLAŞIM. Emrah KARAGÜLLÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FONKSİYON UZAYLARINDA EN İYİ YAKLAŞIM

Emrah KARAGÜLLÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2019

Her hakkı saklıdır

1.

Nümerik hesaplamalarda ihtiyaç duyulan kullan¬¸sl¬problemlerin çözümlerinde yak- la¸s¬mlar teorisi oldukça önemli bir yere sahiptir. Bu tip problemlere a¸sa¼g¬daki gibi somut örnekler verilebilir:

(i) [0; =2] aral¬¼g¬nda

jp(x) sin xj 10 ⁸

ko¸sulunu sa¼glayacak en küçük dereceli bir p polinomu belirlemek,

(ii) Kapal¬ ve s¬n¬rl¬ bir aral¬kta tan¬ml¬ bir f fonksiyonu için pozitif bir say¬s¬

verildi¼ginde

jp(x) f (x)j ko¸sulunu sa¼glayacak bir p polinomu belirlemek, (iii)

jp(x)=q(x) arctan(x)j < 10 ¹⁶; x2 [0; 1]

ko¸sulunu sa¼glayacak ¸sekilde derecelerinin toplam¬minimum olan p ve q polinomlar¬n¬

belirlemek,

(iv)Pozitif bir say¬s¬için [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬bir f fonksiyonu verildi¼ginde Zb

a

jp(x) f (x)j²dx

ko¸sulunu sa¼glayacak bir p polinomu belirlemek,

(v) x_j 2 [a; b] (j = 1; :::; m) noktalar¬nda tan¬ml¬bir f fonksiyonu verildi¼ginde n < m olacak ¸sekilde sabitlenmi¸s key… n say¬s¬için

Xm j=1

[f (x_j) p(x_j)]²

ko¸sulunu minimum yapacak ¸sekilde derecesi en fazla n olan bir p polinomu belir- lemek.

Yukar¬da bahsedilen bu problemlerden kaynakl¬ daha derin matematiksel bir çok soru ortaya ç¬kmaktad¬r. Örne¼gin,

(1) (i) probleminin çözümü olan bir p polinomu bulunabilir mi?

(2) (ii) probleminin her zaman çözülebildi¼gi f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬f¬ tam olarak nedir?

(3)(ii) probleminde sabitlenmi¸s bir f fonksiyonu için azalarak s¬f¬ra yakla¸smas¬ile polinomunun derecesi aras¬nda nas¬l bir ili¸ski vard¬r?

(4) (ii) ve (iv) problemlerinin çözümleri olan polinomlar aras¬ndaki ba¼glant¬nedir?

(5) E¼ger (ii) problemi hesaplama aç¬s¬ndan zahmetli ise daha kolay elde edilebilecek bir yakla¸s¬m metodu var m¬d¬r?

(6) (i), (ii), (iv) ve (v) problemlerini gerçekleyen p polinomu tek midir?

Bu konuya ait ilk çal¬¸sma Rus matematikçi Chebyshev taraf¬ndan incelenmi¸stir.

1853 y¬l¬nda Chebyshev, buhar makinas¬n¬n lineer hareketini tekerle¼gin dairesel hareketine dönü¸stürme mekanizmas¬üzerinde çal¬¸s¬rken a¸sa¼g¬daki

"[a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬sürekli bir f fonksiyonu için max

x2[a;b]jf(x) p(x)j ifadesini minimum yapacak ¸sekilde derecesi n olan bir

p(x) = a₀+ a₁x + a₂x²+ ::: + a_nxⁿ polinomu var m¬d¬r?"

problemi göz önüne alm¬¸st¬r. Alman matematikçi Weierstrass (1885) taraf¬ndan [a; b]

aral¬¼g¬nda tan¬ml¬bir f fonksiyonu ve > 0 say¬s¬verildi¼ginde max

x2[a;b]jf(x) p(x)j <

olacak ¸sekilde bir p polinomunun mevcut oldu¼gu ispatlanm¬¸st¬r. Bir çok önemli matematikçi bu teoremin ispat¬ ile ilgilenmi¸stir. Weierstrass teoreminin ispat¬ Pi- card (1891), Volterra (1897), Lebesgue (1898), Landau (1908), Bernstein (1912) taraf¬ndan birbirlerinden ba¼g¬ms¬z olarak verilmi¸stir. Bernstein taraf¬ndan incele- nen bu problem böyle bir p polinomunun aç¬k bir ¸sekilde ifade edilmesine olanak sa¼glam¬¸st¬r.

Chebyshev taraf¬ndan verilen yukar¬daki problem bugünkü anlam¬nda bir en iyi yakla¸s¬m problemidir.

Sonlu say¬da noktalara ba¼gl¬olan fonksiyonlar yard¬m¬yla sürekli fonksiyonlara yak- la¸s¬m yöntemleri, say¬sal hesaplamalar¬n gereklili¼gi aç¬s¬ndan oldukça önemli bir yere sahiptir. Bu tezde bu yöntemlerin baz¬lar¬incelenmi¸s olup s¬k kullan¬lan yakla¸s¬m algoritmalar¬n¬n temellerini olu¸sturan teorik bilgiler verilmi¸stir.

Bu tezin ikinci bölümünde yakla¸s¬m teorisi ile ilgili önemli olan a¸sa¼g¬daki (1) Hangi özelliklere sahip uzaylarda en iyi yakla¸s¬m mevcuttur?

(2) En iyi yakla¸s¬m hangi ¸sartlar alt¬nda tektir?

(3) En iyi yakla¸s¬mlardan olu¸san küme hangi özelliklere sahiptir?

sorular¬n cevaplar¬ ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Ayr¬ca tezin ilerleyen k¬s¬mlar¬nda kullan¬lacak olan süreklilik modülünün ve Lipschitz s¬n¬f¬n¬n önemli birkaç özelli¼gi incelenmi¸stir.

Üçüncü bölümde g 2 C [a; b] için

kgk = max

x2[a;b]jg(x)j

düzgün norm ile donat¬lan C [a; b] uzay¬ olmak üzere verilen bir g fonksiyonuna en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu incelenmi¸stir. Bu bölümde ilk olarak polinomlar yard¬m¬yla sürekli bir fonksiyona ne kadar iyi yakla¸s¬labilece¼gi verilmi¸stir. Bu amaçla yakla¸s¬mlar teorisinde çok önemli bir yere sahip olan Weierstrass yakla¸s¬m teoremi Bernstein polinomlar¬

B_n(h; t) = Xn k=0

h k n

n

k t^k(1 t)^{n k}; t2 [0; 1]

yard¬m¬yla ispatlanm¬¸st¬r. En iyi düzgün yakla¸s¬m polinomunun derecesi artt¬¼g¬nda E_n(g; [a; b]) ifadesinin davran¬¸s¬ Jackson teoremleri ile verilmi¸stir. Daha sonra al- terne kümenin tan¬m¬ verilerek alterne kümenin en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu ile olan ili¸skisi incelenmi¸s olup

T_k(x) = cos (k arccos x)

ile tan¬ml¬Chebyshev polinomlar¬n¬n en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomuyla olan ili¸s- kisi de elde edilmi¸stir. Ayr¬ca verilen bir g fonksiyonu için en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomunu bulmak genellikle mümkün olmad¬¼g¬ndan en iyi düzgün yakla¸s¬m poli- nomu bulmak için bir yakla¸s¬m yöntemi incelenmi¸stir. Bu amaçla noktalar¬n sonlu bir Xm kümesinde en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu olan p_n(X_m) polinomu ile bir

[a; b] aral¬¼g¬nda en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu olan p_n polinomunun ili¸skisi veril- mi¸stir. Lagrange interpolasyon polinomu ile noktalar¬n sonlu bir Xm kümesinde en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu olan p_n(X_m)polinomu aras¬ndaki ili¸ski elde edilmi¸stir.

Daha sonra Xm kümesinde elde edilen en iyi düzgün yakla¸s¬m¬n baz¬özellikleri in- celenmi¸stir.

Dördüncü bölümde C [ 1; 1] uzay¬nda

kgk2 = 2 4 Z1

1

g²(x)w(x)dx 3 5

1=2

¸seklinde tan¬mlanan norm göz önüne al¬narak en küçük kareler yakla¸s¬m polino- munun karakterizasyonu incelenmi¸s olup daha sonra ortogonal polinomlar ile en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu aras¬ndaki ili¸ski ifade edilmi¸stir. Bununla beraber yakla¸s¬mlar teorisinde s¬kça kullan¬lan Jacobi polinomlar¬incelenmi¸stir. Ayr¬ca nok- talar¬n sonlu bir Xm kümesinde en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu verilmi¸stir. Bu bölümde son olarak en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu ile en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu kar¸s¬la¸st¬r¬lm¬¸st¬r.

Be¸sinci bölümde C [ 1; 1] uzay¬nda

kgk1 = Z1

1

jg(x)j dx

¸seklinde tan¬mlanan norma göre en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu in- celenmi¸stir. En küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomunun karakterizasyonu ve tekli¼gini verilmi¸stir. Daha sonra noktalar¬n sonlu bir Xm kümesi üzerinde en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu için baz¬teoremler ifade edilmi¸stir.

2.

Bu bölümde daha sonradan kullan¬lacak olan baz¬ önemli tan¬mlar ve teoremler verilecektir. Bu teoremlerin anlaml¬ olabilmesi için öncelikli olarak normlu uzay tan¬m¬ifade edilecektir.

Tan¬m 2.1 (Normlu uzay) V lineer uzay olmak üzere k:k : V ! R⁺

v ! kvk

¸seklinde tan¬mlanan dönü¸süm her skalar say¬s¬ve her v; w 2 V vektörleri için (i) kvk = 0 gerek ve yeter ¸sart v = 0 olmas¬,

(ii) k vk = j j kvk, (iii) kv + wk kvk + kwk

¸sartlar¬n¬sa¼gl¬yor ise (V; k:k) ikilisine normlu uzay ad¬verilir (Aliprantis ve Burkinshaw 1998).

Bu norm tan¬m¬V kümesinde uzakl¬k …krini do¼gurur. Yani v; w 2 V ise v noktas¬n¬n w noktas¬na uzakl¬¼g¬

kv wk

¸seklinde tan¬mlanabilir. Bu dü¸sünceden yola ç¬karak en iyi yakla¸s¬m kavram¬a¸sa¼g¬- daki ¸sekilde ifade edilebilir.

Tan¬m 2.2 V normlu uzay, W V alt kümesi ve v 2 V verilen bir nokta olsun.

W kümesinin v 2 V eleman¬na en yak¬n noktas¬na v eleman¬için en iyi yakla¸s¬m ad¬verilir. Bir ba¸ska deyi¸sle, kv wk ifadesini en küçük yapan w 2 W noktas¬na v 2 V için en iyi yakla¸s¬m denir. Genel olarak, en iyi yakla¸s¬m noktas¬w ¸seklinde gösterilir.

Di¼ger taraftan böyle bir w noktas¬var m¬d¬r? Bu problemin cevab¬a¸sa¼g¬daki teorem ile verilebilir.

Teorem 2.1 V normlu lineer uzay ve W V sonlu boyutlu alt uzay olmak üzere v 2 V noktas¬verilmi¸s olsun. Her w 2 W için

kv w k kv wk olacak ¸sekilde w 2 W vard¬r (Rivlin 1969).

Ispat.· W V alt uzay oldu¼gundan 0 2 W ve kv 0k = kvk

¸seklindedir. O halde

kv wk kv 0k

olmas¬durumunda w 2 W noktalar¬en iyi yakla¸s¬m olamaz. Dolay¬s¬yla kv wk kvk = M

ko¸sulunu sa¼glayan w 2 W noktalar¬incelenmelidir. Dikkat edilirse

K =fw 2 W : kv wk Mg (2.1)

kapal¬yuvar¬kompaktt¬r.

E¼ger

kv wk M

e¸sitsizli¼gi gerçekleniyor ise

kwk = k wk = k w + v vk = k(v w) + ( v)k kv wk + kvk

2M (2.2)

sa¼glan¬r. Kabul edelim ki boyW = k ve W uzay¬n¬n bir baz¬fw¹; :::; w_kg olsun. O halde aranan w noktas¬

w = ₁w₁+ ₂w₂+ ::: + _kw_k (2.3) biçiminde yaz¬labilir. (2.2) ve (2.3) ifadelerinden

k ¹w₁+ ₂w₂+ ::: + _kw_kk 2M

elde edilir. ¸Simdi

f ( ₁; :::; _k) =kv ( ₁w₁+ ₂w₂+ ::: + _kw_k)k fonksiyonunu minimum yapan k2 R noktalar¬n¬ara¸st¬ral¬m.

g( ₁; :::; _k) = k ¹w₁+ ₂w₂+ ::: + _kw_kk

¸seklinde tan¬mlans¬n. (2.1) ifadesinde verilen kompakt kümeyi inceleyelim. Kabul edelim ki

g( ₁; ₂; :::; _k) = m (2.4)

ve m minimum de¼ger olsun.

Xk i=1

j ⁱj 6= 0 (2.5)

oldu¼gu kabul edildi¼ginde (2.4) ve (2.5) ifadeleri göz önüne al¬n¬rsa

g 0 BB B@

1

Pk i=1j ⁱj

; :::; ^k Pk i=1j ⁱj

1 CC

CA m > 0

ve dolay¬s¬yla

1 Pk i=1j ⁱj

g( ₁; :::; _k) m

ifadesi sa¼glanmal¬d¬r. Buradan

g( ₁; :::; _k) m Xk

i=1

j ⁱj (2.6)

e¸sitsizli¼gi elde edilir. Bu e¸sitsizlik Xk

i=1

j ⁱj = 0

durumunda da geçerlidir. O halde (2.6) e¸sitsizli¼gi bütün ( 1; :::; _k) de¼gerleri için geçerli olur. (2.6) e¸sitsizli¼ginden

Xk i=1

j ⁱj 2M

m (2.7)

oldu¼gu görülmektedir. (2.7) ifadesinde elde edilen küme k -boyutlu bir hiperküptür ve bu küme kompaktt¬r. f fonksiyonu sürekli oldu¼gundan kompakt küme üzerinde minimum de¼gerini al¬r. Böylece ispat tamamlan¬r.

Bu teorem en iyi yakla¸s¬m¬n hangi uzaylarda ve hangi ko¸sullar alt¬nda var olabile- ce¼gi konusunda bir öngörü sa¼glamaktad¬r. Bundan dolay¬birkaç önemli örnekle bu teorem somutla¸st¬r¬lacakt¬r.

Örnek 2.1 f 2 C [a; b] olmak üzere a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlanan fonksiyonel

kfk = max_{a x b}jf(x)j (2.8)

C [a; b] uzay¬nda norm tan¬mlad¬¼g¬ bilinmektedir. Bu norm "düzgün norm" veya

"Chebyshev norm" olarak isimlendirilir. Teorem 2.1 göz önünde bulunduruldu¼gunda V normlu lineer uzay¬yerine C [a; b] fonksiyonlar uzay¬ve W alt uzay¬yerine C [a; b]

fonksiyonlar uzay¬n¬n 1; x; x²; :::; xⁿ elamanlar¬ taraf¬ndan gerilen (n + 1) boyutlu alt uzay¬ al¬nabilir. Bu alt uzay derecesi en fazla n olan polinomlar¬ içermekle birlikte bu küme yakla¸s¬mlar teorisi için önemli bir rol oynar ve bu alt uzay W = Pⁿ

¸seklinde yaz¬labilir. Teorem 2.1 gere¼gince [a; b] kapal¬aral¬¼g¬nda tan¬ml¬sürekli her fonksiyon (2.8) ¸seklinde tan¬mlanan norm anlam¬nda en iyi yakla¸s¬ma sahiptir. Yani, f 2 C [a; b] olmak üzere her p 2 Pⁿ polinomu için

max

a x bjf(x) p (x)j max

a x bjf(x) p(x)j (2.9)

ko¸sulu sa¼glanacak ¸sekilde p 2 Pⁿ vard¬r. Ayr¬ca (2.9) ifadesi

p2Pminn

a x bmax jf(x) p(x)j = max_{a x b}jf(x) p (x)j

¸seklinde de ifade edilebilir (Carothers 1998).

Örnek 2.2 C [a; b] uzay¬nda norm (2.8) ile tan¬ml¬norm yerine p 1olmak üzere

khk = 2 4 Zb

a

jh(x)j^pdx 3 5

1=p

(2.10)

¸seklinde de tan¬mlanabilir. Teorem 2.1 gere¼gince (2.10) ile verilen norm göz önüne al¬nd¬¼g¬nda verilen sürekli bir h fonksiyonu için Pⁿ kümesine ait bir en iyi yakla¸s¬m bulunabilir (Cheney 1981).

Uyar¬2.1 Teorem 2.1 de W alt uzay¬n¬n sonlu boyutlu olmas¬ kald¬r¬lamaz bir ko¸suldur. Bunu görmek için kabul edelim ki W V = C 0;¹₂ alt kümesi key…

dereceli polinomlar¬n alt uzay¬olsun. Bundan dolay¬W uzay¬sonlu boyutlu de¼gildir.

0;¹₂ üzerinde f (x) = _{1 x}¹ ¸seklinde tan¬mlanan fonksiyon için en iyi yakla¸s¬m bulu- namaz. Belirtmek gerekir ki verilen > 0 say¬s¬için

f (x) (1 + x + x²+ ::: + x^N) < ; x2 0;1 2

e¸sitsizli¼gini gerçekleyen bir N 2 N say¬s¬bulunabilir. Bundan dolay¬e¼ger f fonksi- yonu için bir p en iyi yakla¸s¬m polinomu mevcut olsayd¬

kf p k = 0 ifadesi sa¼glan¬rd¬. Buradan

1

1 x = p (x)

e¸sitli¼gi gerçeklenmelidir. p ifadesi polinom olmas¬ gerekti¼ginden bu bir çeli¸skidir.

Dolay¬s¬yla W alt uzay¬n¬n sonlu boyutlu olma ¸sart¬kald¬r¬lamaz ko¸suldur (Rivlin 1969).

Tan¬m 2.3 V normlu lineer uzay ve W V alt uzay olsun.

W_v :=fw 2 W : 8w 2 W için kv w k kv wkg

kümesine verilen bir v 2 V noktas¬ için en iyi yakla¸s¬mlar¬ içeren küme denir (Rivlin 1969).

Teorem 2.1 ¸sartlar¬alt¬nda W_v kümesinin bo¸stan farkl¬oldu¼gu aç¬kt¬r.

Tan¬m 2.4 (Konveks Küme) V lineer uzay ve S V alt küme olsun. Her s1; s₂ 2 S için 1; ₂ 0 ve 1+ ₂ = 1 ko¸sullar¬alt¬nda

1s₁+ ₂s₂ 2 S

sa¼glan¬yor ise S kümesine konveks küme ad¬verilir. E¼ger S kümesi bo¸s küme veya tek nokta kümesi ise S kümesi konvekstir (Valantine 1964).

Teorem 2.2 v 2 V noktas¬na en iyi yakla¸s¬mlar¬n kümesi olan Wv kümesi konveks kümedir (Rivlin 1969).

Ispat.· Kabul edelim ki w₁; w₂ 2 Wv olsun. O halde

kv w₁k = kv w₂k =

e¸sitli¼gi gerçeklenir. 1; ₂ 0 ve 1+ ₂ = 1 olarak alal¬m.

kv ( ₁w₁+ ₂w₂)k = k( ¹+ ₂)v ( ₁w₁+ ₂w₂)k

= k ¹(v w₁) + ₂(v w₂)k

1kv w₁k + ²kv w₂k

= ( ₁+ ₂) =

ifadesi sa¼glan¬r. Bundan dolay¬ 1w₁+ 2w₂ 2 Wv gerçeklenir. O halde W_v konveks kümedir.

Uyar¬2.2 E¼ger verilen bir v 2 V noktas¬na farkl¬iki en iyi yakla¸s¬m var ise Teorem 2.2 gere¼gince sonsuz tane en iyi yakla¸s¬m vard¬r.

Tan¬m 2.5 K kümesi lineer bir uzayda konveks bir küme olsun. E¼ger p 2 K ve p_t; p_k2 K için

p = p_t+ p_k 2 sa¼glan¬yorken

p = p_t= p_k

ise bu durumda p 2 K noktas¬na K kümesinin ekstremum noktas¬denir (Valantine 1964).

Tan¬m 2.6 V normlu lineer uzay ve v1; v₂ 2 V , v¹ 6= v², kv¹k = kv²k = 1

¸seklinde olsun. 1; ₂ > 0 ve 1+ ₂ = 1 ko¸sulu alt¬nda k ¹v₁+ ₂v₂k < 1

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬yor ise V kümesi kesin konveks norma sahiptir denir (Rivlin 1969).

Teorem 2.3 E¼ger V lineer uzay¬ kesin konveks norma sahip ise en iyi yakla¸s¬m tektir (Rivlin 1969).

Ispat.· W_v W kümesi en iyi yakla¸s¬mlar¬içeren küme olsun.

W_v :=fw 2 W : 8w 2 W için kv w k kv wkg

¸seklindedir. W_v kümesi konveks bir kümedir. Verilen v 2 V için

kv w₁k = kv w₂k = (2.11)

ko¸sulunu sa¼glayacak ¸sekilde birbirinden farkl¬w₁; w₂ 2 Wv noktalar¬al¬ns¬n.

v₁ = v w₁

ve v₂ = v w₂

biçiminde seçilsin. v1 ve v2 elamanlar¬n¬n bu ¸sekilde seçilmesiyle v1 6= v² ve kv¹k = kv²k = 1 sa¼glan¬r. V kümesi kesin konveks norma sahip oldu¼gundan

1 2v1+1

2v2 < 1 e¸sitsizli¼gi gerçeklenmelidir. Di¼ger taraftan

1 > 1 2v₁+ 1

2v₂

= 1

2 (v w₁) + 1

2 (v w₂)

= 1

v w₁ + w₂ 2 elde edilir. Buradan

> v w₁ + w₂

2 (2.12)

kesin e¸sitsizli¼gi bulunur. (2.12) e¸sitsizli¼gi (2.11) ifadesi ile çeli¸sir. Bu sonuç en iyi yakla¸s¬m¬n tek oldu¼gunu göstermektedir.

Lemma 2.1 A > 0; B > 0 ve 0 t 1 ise

A^tB^{1 t} tA + (1 t)B (2.13)

sa¼glan¬r. t = 0 veya t = 1 veya A = B durumlar¬nda (2.13) ifadesinin e¸sitlik durumu elde edilir (Rivlin 1969).

Ispat.· ln(¹_x) fonksiyonu göz önüne al¬nd¬¼g¬nda fonksiyonun ikinci türevi olan _x¹2

fonksiyonu x de¼gi¸skeninin pozitif de¼gerleri için pozitiftir. O halde ln(_x¹) fonksiyonu

pozitif x de¼gerleri için konveks fonksiyondur. Bir ba¸ska deyi¸sle, y = ln(¹_x) fonksi- yonunun gra…¼gi üzerinde al¬nan iki noktay¬birle¸stiren do¼gru bu fonksiyonun gra…¼gi üzerinde kal¬r. Bundan dolay¬A; B > 0 için

ln 1

tA + (1 t)B t ln 1

A + (1 t) ln 1

B (2.14)

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Bu e¸sitsizlikten

ln 1

tA + (1 t)B ln 1

A

t

+ ln 1 B

1 t

ln

"

1 A

t 1

B

1 t#

olup

A^tB^{1 t} tA + (1 t)B

ifadesi elde edilir. Ayn¬ zamanda (2.14) ifadesinde t = 0 veya t = 1 veya A = B sa¼glan¬rsa e¸sitlik elde edilir.

Örnek 2.3 f₁; f₂ 2 C[a; b] ve f¹ 6= f² olmak üzere

kf¹kp = 2 4 Zb

a

jf¹(x)j^pdx 3 5

1 p

= 1

ve

kf²kp = 2 4 Zb

a

jf²(x)j^pdx 3 5

1 p

= 1

¸seklinde alal¬m. 1; ₂ > 0 ve 1+ ₂ = 1 için k ¹f₁+ ₂f₂kp 1 e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Baz¬ 1; 2 > 0 ve 1+ 2 = 1 için

k ¹f₁+ ₂f₂kp = 1 (2.15)

oldu¼gunu kabul edelim. E¼ger p > 1 ise (2.15) e¸sitli¼ginin sa¼glanamayaca¼g¬n¬göstere- lim.

j ¹f₁+ ₂f₂j^p = j ¹f₁+ ₂f₂j j ¹f₁+ ₂f₂j^{p 1}

1jf¹j j ¹f₁+ ₂f₂j^{p 1}+ ₂jf²j j ¹f₁+ ₂f₂j^{p 1} (2.16)

e¸sitsizli¼ginde a x b için f1(x)f₂(x) 0ise e¸sitlik sa¼glan¬r. (2.13) ifadesinde A =jf¹j^p; B =j ¹f₁+ ₂f₂j^p

ve

t = 1 p

¸seklinde alal¬m. Lemma 2.1 gere¼gince jf¹j j ¹f₁+ ₂f₂j^{p 1} jf¹j^p

p + 1 1

p j ¹f₁+ ₂f₂j^p (2.17) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. (2.17) ifadesinde e¸sitlik sadece

jf¹j = j ¹f₁ + ₂f₂j durumunda sa¼glan¬r. Benzer ¸sekilde Lemma 2.1 den

jf²j j ¹f₁+ ₂f₂j^{p 1} jf²j^p

p + 1 1

p j ¹f₁+ ₂f₂j^p (2.18) e¸sitsizli¼gi elde edilir. Burada e¸sitlik durumu sadece

jf²j = j ¹f₁ + ₂f₂j

olmas¬halinde sa¼glan¬r. (2.17) ve (2.18) ifadeleri (2.16) e¸sitsizli¼ginde yerlerine yaz¬l¬p (2.15) ifadesi kullan¬l¬rsa

1 = Zb

a

j ¹f₁+ ₂f₂j^pdx

1

p Zb

a

jf¹j^pdx + ² p

Zb

a

jf²j^pdx

+ 1 1

p Zb

a

j ¹f₁ + ₂f₂j^pdx

= 1

p( ₁+ ₂) + (1 1 p)

= 1

elde edilir. Bundan dolay¬(2.16), (2.17) ve (2.18) ifadelerindeki e¸sitsizliklerin e¸sitlik durumunda sa¼glanmas¬zorunludur. Dolay¬s¬yla (2.17) ve (2.18) ifadeleri gere¼gince

jf¹j = jf²j

e¸sitli¼gi sa¼glanmal¬d¬r. (2.16) ifadesinde f1f₂ 0 oldu¼gundan f1 = f₂ elde edilir. Bu sonuç f1 6= f² olmas¬ile çeli¸sir. O halde p > 1 durumunda

kfkp = 2 4 Zb

a

jf(x)j^pdx 3 5

1 p

normu ile donat¬lan C[a; b] uzay¬kesin konveks norma sahiptir (Rivlin 1969).

Örnek 2.4 Özel olarak p = 1 durumu için f1(x) = ³₂x², f2(x) = ³₄(1 x²)biçiminde tan¬ml¬fonksiyonlar

Z1

1

jf¹(x)jdx = Z1

1

jf²(x)jdx = 1 e¸sitliklerini gerçeklemektedir. Ayr¬ca

Z1

1

f₁(x) + f₂(x)

2 dx = 3

8 Z1

1

(1 + x²)dx = 1

sa¼glan¬r. Buradan p = 1 durumunda C[a; b] uzay¬n¬n kesin konveks norma sahip olmad¬¼g¬kolay bir ¸sekilde görülmektedir (Rivlin 1969).

Örnek 2.5 C[a; b] uzay¬nda

kfk = max_{a x b}jf(x)j (2.19)

biçiminde verilen norm kesin konveks de¼gildir. Gerçekten, f1(x) = x; f₂(x) = x² fonksiyonlar¬için

0 x 1max jf¹(x)j = max_{0 x 1}jf²(x)j = 1 e¸sitlikleri sa¼glan¬r. Di¼ger taraftan

0 x 1max

f₁(x) + f₂(x)

2 = 1

2 max

0 x 1 x + x² = 1

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Yani, C[a; b] uzay¬(2.19) ifadesinde tan¬mlanan norma göre kesin konveks norma sahip de¼gildir. O halde (2.19) ile tan¬ml¬ norm için kesin konveks olma ¸sart¬kullan¬larak en iyi yakla¸s¬m¬n tekli¼gi elde edilemez (Rivlin 1969).

Tan¬m 2.7 [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬' fonksiyonunun süreklilik modülü w( ) := sup

jx1 x2j j'(x¹) '(x₂)j ; x¹; x₂ 2 [a; b]

¸seklinde tan¬mlan¬r. Burada w( ) = w('; [a; b]; ) ¸seklinde de gösterilebilir. (Achieser 1992).

¸

Simdi süreklilik modülünün birkaç özelli¼gini inceleyelim.

Lemma 2.2 0 _{1 2} ise w( 1) w( ₂) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir (Achieser 1992).

Ispat.· Supremum özelli¼ginden w( ₁) = sup

jx¹ x2j ¹j'(x¹) '(x₂)j sup

jx1 x2j 2

j'(x¹) '(x₂)j = w( ²) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Lemma 2.3 [a; b] kapal¬ aral¬¼g¬nda ' fonksiyonunun düzgün sürekli olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart

lim

!0w( ) = 0 ko¸sulunun sa¼glanmas¬d¬r (Achieser 1992).

Ispat.· ' fonksiyonu düzgün sürekli oldu¼gundan jx¹ x₂j ko¸sulu alt¬nda j'(x¹) '(x₂)j <

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Buradan sup

jx1 x2j j'(x¹) '(x₂)j < (2.20) e¸sitsizli¼gi elde edilir. (2.20) ifadesi dikkate al¬n¬rsa

lim

!0w( ) = 0 oldu¼gu bulunur. Kar¸s¬t olarak

lim!0w( ) = 0

oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda key… > 0 say¬s¬için j 0j < ¹ e¸sitsizli¼gini sa¼glayan en az bir 1 say¬s¬mevcut olup

jw( ) 0j <

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. x1; x₂ 2 [a; b] noktalar¬için jx¹ x₂j < < ¹ olacak ¸sekilde x₁; x₂ noktalar¬seçilirse

jw( )j <

ifadesi sa¼glan¬r. Böylece j'(x¹) '(x₂)j < elde edilir. Dolay¬s¬yla ' fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda düzgün süreklidir.

Lemma 2.4 > 0 olmak üzere

!( ) (1 + )!( ) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir (Achieser 1992).

Ispat.· [j j] = n için n < n + 1 sa¼glan¬r. Ayr¬ca !( ) fonksiyonu monoton oldu¼gundan

!( ) !((n + 1) )

e¸sitsizli¼gi elde edilir. Kabul edelim ki x1 < x₂ noktalar¬ için jx¹ x₂j (n + 1) sa¼glans¬n. [x1; x₂] aral¬¼g¬

z_j = x₁+ jx₂ x₁

n + 1 ; j = 0; 1; 2; :::; n + 1 olacak ¸sekilde n + 1 parçaya bölünsün. Bu durumda

j'(x²) '(x₁)j = Xn

j=0

['(z_j+1) '(z_j)]

Xn j=0

j'(z^j+1) '(z_j)j Xn

j=0

sup

jx1 x2j (n+1) j'(z^j+1) '(z_j)j

= (n + 1)!( ) (2.21)

olup (2.21) e¸sitsizli¼ginden

!((n + 1) ) (n + 1)!( )

biçiminde yaz¬labilir. Di¼ger taraftan n + 1 + 1 oldu¼gundan

!( ) !((n + 1) ) (n + 1)!( ) ( + 1)!( ) e¸sitsizli¼gi elde edilir.

Tan¬m 2.8 (Lipschitz Ko¸sulu) Her x1; x₂ 2 [a; b] ve > 0 için j'(x¹) '(x₂)j Kjx¹ x₂j

e¸sitsizli¼gi gerçekleniyorsa ' fonksiyonu -¬nc¬basamaktan Lipschitz s¬n¬f¬na aittir denir. Bu s¬n¬f için LipK gösterimi kullan¬l¬r (Natanson 1964).

Teorem 2.4 '2 Lip^K olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul

!( ) K ; > 0 ifadesinin gerçeklenmesidir Natanson 1964.

Ispat.· '2 Lip^K ise

j'(x¹) '(x₂)j Kjx¹ x₂j ; x¹; x₂ 2 [a; b]

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir ve jx¹ x₂j olacak ¸sekilde say¬s¬seçilirse j'(x¹) '(x₂)j K

elde edilir. Buradan

sup

jx1 x2j j'(x¹) '(x₂)j K veya

!( ) K

elde edilir. Di¼ger taraftan x1 6= x² olacak ¸sekilde x1; x₂ 2 [a; b] noktalar¬göz önüne al¬n¬rsa

j'(x¹) '(x₂)j !(jx¹ x₂j) elde edilir. jx¹ x₂j = seçilirse hipotez gere¼gince

!(jx¹ x₂j) Kjx¹ x₂j e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. O halde

j'(x¹) '(x₂)j Kjx¹ x₂j olup ' 2 Lip^K oldu¼gu gerçeklenir.

Uyar¬2.3 > 1 ve ' 2 Lip^K ise

j'(x¹) '(x2)j Kjx¹ x2j biçiminde yaz¬labilir. Buradan

j'(x¹) '(x₂)j

jx¹ x₂j Kjx¹ x₂j ¹

elde edilir. Böylece

x1lim!x2

j'(x¹) '(x₂)j

jx¹ x₂j lim

x1!x2

Kjx¹ x₂j ¹ = 0

gerçeklenir. O halde ' fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. Dolay¬s¬yla > 1 için LipK s¬n¬f¬ sadece sabit fonksiyonlar¬ içermektedir. Bu durumdan dolay¬

0 < 1 olacak ¸sekildeki say¬lar¬ için LipK s¬n¬f¬nda inceleme yapmak an- laml¬d¬r (Natanson 1964).

Uyar¬2.4 '⁰ fonksiyonu için [ 1; 1] kapal¬aral¬¼g¬nda '⁰(x) M özelli¼gi gerçek- liyor ise ortalama de¼ger teoremi gere¼gince

j'(x) '(y)j = '⁰( ) jx yj Mjx yj

olacak ¸sekilde en az bir tane 2 ( 1; 1) eleman¬ vard¬r. Bu nedenle ' 2 Lip^M1 gerçeklenir (Natanson 1964).

Tan¬m 2.9 (Lagrange ·Interpolasyonu) i = 1; 2; :::; n + 2 için p(x_i) = f (x_i)

olacak ¸sekilde f fonksiyonunu interpole eden p 2 Pⁿ⁺¹ polinomu p(x) =

Xn+2 i=1

( _n+2 Y

j=1;j6=i

(x x_j) x_i x_j

) f (x_i)

¸seklindedir. Bu polinoma Lagrange interpolasyon polinomu denir. E¼ger !(x) = (x x₁)(x x₂):::(x x_n+2) olacak ¸sekilde dü¸sünülürse

p(x) = Xn+2

i=1

!(x) (x xi)

f (x_i)

!⁰(xi) (2.22)

biçiminde yaz¬labilir (Cheney ve Kincaid 2002).

Örnek 2.6

x 1 1

f (x) 5 7

olmak üzere f fonksiyonunu interpole eden polinom (2.22) göz önüne al¬n¬rsa p(x) =

X2 i=1

!(x) (x xi)

f (x_i)

!⁰(xi) = (x + 1)(x 1) (x + 1)

f ( 1)

!⁰( 1) +(x + 1)(x 1) (x 1)

f (1)

!⁰(1)

= (x 1)

( 1 1)5 + (x + 1)

(1 + 1)7 = x + 6

¸seklinde elde edilir. Buradan p 2 P¹ oldu¼gu görülmektedir.

Teorem 2.5 (Markov E¸sitsizli¼gi) p2 Pⁿ polinom olmak üzere jp(x)j M; x2 [a; b]

ise p polinomunun türevi için

p⁰(x) 2M n²

b a ; x2 [a; b]

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca k 2 N için p^(k)(x) M 2^k

(b a)^k

n²(n² 1):::(n² (k 1)²)

1 3 5 ::: (2k 1) (2.23)

ifadesi sa¼glan¬r (Natanson 1964).

3.

Derecesi n ve n do¼gal say¬s¬ndan küçük olan polinomlar uzay¬ Pⁿ ile gösterilsin.

Teorem 2.1 gere¼gince f 2 C[a; b] fonksiyonu verildi¼ginde f fonksiyonu için p_n 2 Pⁿ eleman¬vard¬r öyle ki her p 2 Pⁿ için

kf p_nk kf pk

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r, burada k:k fonksiyoneli

k:k : C[a; b] ! R⁺[ f0g g ! kgk = max

x2[a;b]jg(x)j

¸seklinde tan¬mlanm¬¸st¬r.

E_n(f ; [a; b]) = E_n(f ) =kf p_nk

olarak alal¬m. n say¬s¬yeterince büyük olmas¬durumunda En(f )ifadesinin davran¬¸s¬

nas¬l olur? Bu sorunun cevab¬a¸sa¼g¬daki teorem ile aç¬klanabilir.

Tan¬m 3.1 (Bernstein Polinomu) h fonksiyonu [0; 1] aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬ olan bir fonksiyon olsun. Derecesi m olan Bernstein polinomu m 2 N için

B_m(h) = B_m(h; t) = Xm k=0

h k m

m

k t^k(1 t)^{m k}

¸seklinde tan¬mlan¬r (Korovkin 1960).

Uyar¬3.1 B_m(h; t) fonksiyonu t 2 [0; 1] olmak üzere t de¼gi¸skeninin kuvvetlerine göre polinomdur. h(t) fonksiyonunu Bm(h; t)polinomuna dönü¸stüren operatör Bm

ile gösterilsin. ; 2 R ve [0; 1] aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬ fonksiyonlar h1; h₂ olsun. Bm

operatörü

B_m( h₁+ h₂; t) = B_m(h₁; t) + B_m(h₂; t) özelli¼gini sa¼glar. Yani Bm operatörü lineer operatördür.

Uyar¬3.2 B_m lineer operatörü monotondur. Yani [0; 1] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ h1; h₂ fonksiyonlar¬s¬n¬rl¬key… fonksiyonlar olmak üzere t 2 [0; 1] için

h₁(t) h₂(t) ise

B_m(h₁; t) B_m(h₂; t) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Gerçekten

h(t) 0; t2 [0; 1]

ise bu durumda Bm(h; t) 0olmas¬n¬gerektirir. Bundan dolay¬burada h fonksiyonu yerine h2 h₁ fonksiyonu al¬n¬rsa t 2 [0; 1] için h²(t) h₁(t) 0 oldu¼gunda

B_m(h₂ h₁; t) 0 elde edilir. Bm lineer operatör oldu¼gundan

B_m(h₂ h₁; t) = B_m(h₂; t) B_m(h₁; t) 0

¸seklinde yaz¬labilir. Böylece

B_m(h₂; t) B_m(h₁; t) e¸sitsizli¼gi elde edilir.

Teorem 3.1 (Weierstrass Yakla¸s¬m Teoremi) f 2 C[a; b] ve key… > 0 say¬s¬

verildi¼ginde

kf pk <

olacak ¸sekilde en az bir p polinomu mevcuttur (Rivlin 1969).

Ispat.· Verilen > 0 say¬s¬ve h 2 C[0; 1] fonksiyonu için kh B_m0(h)k <

ifadesini gerçekleyen en az bir tane m0 2 N say¬s¬n¬n mevcut oldu¼gu gösterilmelidir.

h(x) = 1 için

B_m(1; t) = Xm

k=0

m

k t^k(1 t)^{m k}= 1 (3.1)

e¸sitli¼gi gerçeklenir.

h(x) = x için

B_m(x; t) = Xm

k=0

k m

m

k t^k(1 t)^{m k}

= Xm

k=1

k m

m

k t^k(1 t)^{m k} (3.2)

e¸sitli¼gi elde edilir. Ayr¬ca

k m

m

k = m 1

k 1

olmas¬yard¬m¬yla (3.2) ifadesi

B_m(x; t) = Xm k=1

m 1

k 1 t^k(1 t)^{m k}

¸seklinde yaz¬labilir. Burada k 1 yerine j al¬n¬rsa

B_m(x; t) =

m 1X

j=0

m 1

j t^j+1(1 t)^{m j 1}

= t e¸sitli¼gi elde edilir.

h(x) = x² için

B_m x x 1

m ; t = B_m(x²; t) 1

mB_m(x; t)

= B_m(x²; t) 1

mt (3.3)

e¸sitli¼gini göz önüne alal¬m. (3.3) e¸sitli¼ginden dolay¬ Bm(x²; t) ifadesi hesaplamak için Bm(x x _m¹ ; t) ifadesi dikkate al¬nacakt¬r.

B_m x x 1

m ; t =

Xm k=0

k m

k 1

m m

k t^k(1 t)^{m k}

= Xm k=2

k m

k 1

m m

k t^k(1 t)^{m k} (3.4) e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca

k m

k 1

m m

k = 1 1

m

m 2

k 2

olmas¬yard¬m¬yla (3.4) ifadesi

B_m x x 1

m ; t = 1 1

m Xm k=2

m 2

k 2 t^k(1 t)^{m k}

¸seklinde yaz¬labilir. Burada k 2 yerine j yaz¬l¬rsa

B_m x x 1

m ; t = 1 1

m

m 2X

j=0

m 2

j t^j+2(1 t)^{m j 2}

= 1 1

m t² olarak bulunur. Yani,

B_m x x 1

m ; t = (1 1

m)t² (3.5)

e¸sitli¼gi gerçeklenir. (3.5) e¸sitli¼gi (3.3) ifadesinde yerine yaz¬l¬rsa

1 1

m t² = B_m(x²; t) 1 mt olup

B_m(x²; t) = t²+ t

m(1 t) elde edilir. Di¼ger taraftan

khk = max

x2[0;1]jh(x)j = M

¸seklinde al¬rsak x 2 [0; 1] için h(x) de¼geri M say¬s¬ndan büyük olamaz. Yani,

jh(x)j M (3.6)

gerçeklenir. (3.6) e¸sitsizli¼ginden s; x 2 [0; 1] için

M h(x) M

ve

M h(s) M

e¸sitsizlikleri sa¼glan¬r. O halde

2M h(x) h(s) 2M (3.7)

ifadesi elde edilir. Ayr¬ca h fonksiyonu [0; 1] kapal¬ aral¬¼g¬nda sürekli oldu¼gundan h fonksiyonu [0; 1] aral¬¼g¬nda düzgün süreklidir. O halde verilen 1 pozitif say¬s¬na kar¸s¬l¬k ( 1) > 0 say¬s¬mevcut olup jx sj < ko¸sulunu sa¼glayan her x; s 2 [0; 1]

için

1 < h(x) h(s) < ₁ (3.8)

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. (3.7) ve (3.8) ifadeleri göz önüne al¬nd¬¼g¬nda x; s 2 [0; 1] için

1

2M

2 (x s)² h(x) h(s) ₁+2M

2 (x s)² (3.9)

biçiminde yaz¬labilir. Gerçekten s; x 2 [0; 1] için jx sj < ise (3.8) e¸sitsizli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan ve ayr¬ca

2M

2 (x s)²

ifadesi pozitif oldu¼gundan (3.8) e¸sitsizli¼gine bu ifade eklenirse (3.9) e¸sitsizli¼gi bu- lunur. Di¼ger taraftan, jx sj ise (x s)^{2 2} e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. (3.7) ifadesi yard¬m¬yla

jh(x) h(s)j 2M = 2M (x s)² (x s)²

2M (x s)²

2

e¸sitsizli¼gi elde edilir. 1 > 0 oldu¼gundan

jh(x) h(s)j 2M (x s)²

2 + ₁

e¸sitsizli¼gi bulunur. Sabitlenmi¸s s de¼geri için (3.9) ifadesinin her iki taraf¬n¬n Bm

operatörü alt¬nda görüntüsü al¬n¬rsa

1

2M

2 B_m((x s)²; s) B_m(h; s) h(s) ₁+ 2M

2 B_m((x s)²; s) e¸sitsizli¼gi elde edilir. Ayr¬ca

B_m((x s)²; s) = B_m(x²; s) 2sB_m(x; s) + s²B_m(1; s) = s²+ s

m(1 s) 2s²+ s² e¸sitli¼gi gerçeklenir. s 2 [0; 1] için s(1 s) = s s² = (s) ¸seklinde al¬nd¬¼g¬nda

00 < 0 e¸sitsizli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan konkav fonksiyondur. fonksiyonu maksimum de¼gerini s = 1=2 noktas¬nda al¬r ve (1=2) = 1=4 elde edilir. Yani, s 2 [0; 1] için

0 s(1 s) 1

4

e¸sitsizli¼gi elde edilir. O halde

jh(s) B_m(h; s)j ¹+2M

2

s(1 s) m

1+2M

2

1

4m = ₁+ M 2 ²m sa¼glan¬r. 1 = ₂ ve m0 say¬s¬

m₀ > M

2

olacak ¸sekilde seçilirse 0 s 1 olmak üzere jh(s) B_m0(h; s)j <

olarak bulunur. Bu durumda key… t 2 [0; 1] için jh(t) B_m0(h; t)j <

sa¼glan¬r.

p(y) = B_m0 f ; y a b a al¬n¬rsa ispat tamamlan¬r.

Teorem 3.2 h fonksiyonu [0; 1] aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬olmak üzere kh B_n(h)k 3

2! 1

pn (3.10)

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir, burada ! ifadesi f fonksiyonunun süreklilik modülünü göster- mektedir (Rivlin 1969).

Ispat.·

Xn k=0

n

k t^k(1 t)^{n k} = 1 özde¸sli¼ginden

h(t) = Xn k=0

h(t) n

k t^k(1 t)^{n k} elde edilir. Di¼ger taraftan

jh(t) Bn(h; t)j = Xn

k=0

h(t) h k n

n

k t^k(1 t)^{n k} Xn

k=0

h(t) h k n

n

k t^k(1 t)^{n k}

olup süreklilik modülünün tan¬m¬ndan

jh(t) B_n(h; t)j Xn k=0

! t k

n n

k t^k(1 t)^{n k} olarak elde edilir. Ayr¬ca

! t k

n = ! n¹⁼² t k

n n ¹⁼² e¸sitli¼ginde n¹⁼² t ^k_n > 0 oldu¼gundan Lemma 2.4 gere¼gince

! n¹⁼² t k

n n ¹⁼² 1 + n¹⁼² t k

n ! 1

pn

ifadesi gerçeklenir. O halde Xn

k=0

! t k

n n

k t^k(1 t)^{n k} ! 1 pn

Xn k=0

1 +p

n t k n n

k t^k(1 t)^{n k}

= ! 1

pn

" _n X

k=0

n

k t^k(1 t)^{n k} +p

n Xn k=0

t k n

n

k t^k(1 t)^{n k}

#

biçiminde yaz¬labilir. Schwarz e¸sitsizli¼gi kullan¬l¬rsa Xn

k=0

t k n

n

k t^k(1 t)^{n k}

" _n X

k=0

t k n

2 n

k t^k(1 t)^{n k}

#1=2

" _n X

k=0

n

k t^k(1 t)^{n k}

#1=2

= t(1 t) n

1=2 1

4n

1=2

elde edilir, burada

B_n((t s)²; s) = s(1 s) n e¸sitli¼gi dikkate al¬nm¬¸st¬r. O halde

jh(t) B_n(h; t)j ! 1 pn

"

1 + n¹⁼² 1 4n

1=2#

= 3 2! 1

pn

olarak bulunur. Yukar¬daki e¸sitsizlikten max

t2[0;1]jh(t) B_n(h; t)j 3 2! 1

pn olup dolay¬s¬yla

kh B_n(h)k 3 2! 1

pn elde edilir.

Uyar¬3.3 h2 C[0; 1] olmak üzere Lemma 2.3 gere¼gince

n!1lim ! 1

pn = 0

oldu¼gundan (3.10) e¸sitsizli¼ginden

n!1lim kh B_n(h)k = 0 bulunur. Buradan C[0; 1] uzay¬nda

n!1lim B_n(h) = h

e¸sitli¼gi elde edilir. Bu da Teorem 3.1 için alternatif bir ispatt¬r (Rivlin 1969).

Sonuç 3.1 (3.10) ifadesinde e¼ger h 2 Lip^K ve t 2 [0; 1] al¬n¬rsa Teorem 2.4 gere¼gince

kh B_n(h)k 3 2! 1

pn 3

2K 1 pn e¸sitsizli¼gi elde edilir (Korovkin 1960).

Uyar¬3.4 h(t) = t ¹₂ ¸seklinde seçilirse h 2 Lip¹1 olup kh B_n(h)k 3

2n ¹⁼²

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Di¼ger taraftan kombinasyonun özellikleri ve Stirling formülü kullan¬l¬rsa

kh B_n(h)k > 1 2n ¹⁼² oldu¼gu elde edilebilir (Rivlin 1969).

3.1 Jackson Teoremleri

(3.10) e¸sitsizli¼gi Jackson Teoremleri ile daha da geli¸stirilebilir. Bu amaçla yard¬mc¬

birkaç lemma verilecektir.

g fonksiyonu [ ; ] aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu fonksiyon olmak üzere g fonksiyonunu derecesi n olan

s_n(g; ) = a₀ 2 +

Xn k=1

(a_kcos k + b_ksin k )

trigonometrik polinomu ile ili¸skilendirelim, burada

a_k = 1 Z

g( ) cos k d ; k = 0; 1; :::; n

ve

b_k = 1 Z

g( ) sin k d ; k = 1; 2; :::; n

¸seklindedir. Asl¬nda sn(g; )trigonometrik polinomu g fonksiyonunun Fourier serisinin n-inci k¬smi toplam¬ndan ba¸skas¬de¼gildir. sn(g; )fonksiyonunu biraz daha genelle¸s- tirirsek

q_n(g; ) = a₀ 2 +

Xn k=1

k;n(a_kcos k + b_ksin k ) (3.11)

¸seklinde yaz¬labilir, burada n 2 N için 1;n; :::; _n;nkey… reel say¬lard¬r (Timan 1963).

Lemma 3.1 [ ; ] aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu g fonksiyonu için

u_n( ) = 1 2 +

Xn k=1

k;ncos k (3.12)

olmak üzere

q_n(g; ) = 1 Z

g( + )u_n( )d

e¸sitli¼gi gerçeklenir (Korovkin 1960).

Ispat.· a_k ve bk katsay¬lar¬(3.11) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa

q_n(g; ) = 1 2

Z

g( )d

+ Xn

k=1 k;n

2 4

0

@1Z

g( ) cos k d 1

A cos k + 0

@1Z

g( ) sin k d 1 A sin k

3 5

= 1Z

g( )u_n( )d

biçiminde elde edilir. = t de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yap¬l¬p ve g fonksiyonunun 2 periyotlu olmas¬gerçe¼gi kullan¬l¬rsa

q_n(g; ) = 1 Z

g(t + )u_n(t)dt

= 1 Z

g(t + )un(t)dt

bulunur.

Lemma 3.2 j j 2 [0;₂] için

j j 2 jsin j e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Rudin 1953).

Ispat.· f ( ) = sin fonksiyonu 0 < ₂ aral¬¼g¬nda tan¬mlans¬n. f fonksiyo- nunun ikinci türevi 0 < ₂ aral¬¼g¬nda pozitif oldu¼gundan f konveks fonksiyondur.

Bundan dolay¬(0; 0) ve (₂; 1)noktalar¬n¬birle¸stiren do¼gru parças¬üzerindeki ( ; ² ) noktas¬( ; sin ) noktas¬n¬n üstünde kal¬r. Yani 0 ₂ için

2 sin

e¸sitsizli¼gi elde edilir.

Lemma 3.3 0 için sin gerçeklenir (Rudin 1953).

Ispat.· f ( ) = sin olmak üzere bu fonksiyona [0; ] aral¬¼g¬nda ortalama de¼ger teoremi uygulan¬rsa

f ( ) f (0)

0 = f⁰( )

olacak ¸sekilde en az bir tane 2 [0; ] vard¬r. Buradan sin = (1 cos ) elde edilir. (1 cos ) 0oldu¼gundan

sin 0

olarak bulunur.

Lemma 3.4 gfonksiyonu [ ; ]aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu fonksiyon olsun.

2 [ ; ]olmak üzere (3.12) ile tan¬ml¬unfonksiyonu için un( ) 0olacak ¸sekilde

1;n; :::; _n;n say¬lar¬seçilirse

jg( ) q_n(g; )j ! 1

n 1 + n

p2(1 _1;n)¹⁼² ifadesi sa¼glan¬r (Powell 1981).

Ispat.· (3.12) ifadesi ile verilen un( ) fonksiyonunun tan¬m¬ndan Z

u_n( )d = Z 1

2d + Xn k=1

Z

k;ncos k d

= gerçeklenir. Buradan

1 Z

u_n( )d = 1 (3.13)

elde edilir. (3.13) ifadesinden 1 Z

g( )un( )d = g( )

bulunur. Di¼ger taraftan

jg( ) q_n(g; )j = 1 Z

[g( ) g( + )]u_n( )d

1 Z

jg( ) g( + )j uⁿ( )d

1 Z

!(j j)uⁿ( )d

biçiminde yaz¬labilir.

!(j j) = ! n j j 1

n (1 + nj j)! 1 n oldu¼gundan

jg( ) q_n(g; )j 1 Z

!(j j)uⁿ( )d

1 Z

(1 + nj j)! 1

n un( )d

= ! 1

n 1

8<

: Z

un( )d + Z

nj j uⁿ( )d 9=

;

= ! 1

n 1

8<

: + n Z

j j uⁿ( )d 9=

; (3.14)

bulunur. Schwarz e¸sitsizli¼gi göz önüne al¬n¬rsa 1 Z

j j uⁿ( )d = 1 Z

j j fuⁿ( )g¹⁼²fuⁿ( )g¹⁼²d 8<

:

Z 1 ₂

u_n( )d 9=

;

1 2 8

<

: Z 1

u_n( )d 9=

;

1 2

= 8<

:

Z 1 ₂

u_n( )d 9=

;

1 2

(3.15)

¸seklinde yaz¬labilir. Lemma 3.2 gere¼gince 2 [ ; ] olmak üzere

2 2 sin 2 ifadesi dikkate al¬n¬rsa

2

4

2

4 sin² 2 =

2

4

(1 cos ) 2 olup dolay¬s¬yla

2 2(1 cos ) 2

elde edilir. O halde 1 Z

j j uⁿ( )d

8<

: 1 Z

2u_n( )d 9=

;

1 2

8<

:

1 Z 2

2 (1 cos )u_n( )d 9=

;

1=2

= 8<

: 2 Z

(1 cos )u_n( )d 9=

;

1=2

(3.16)

gerçeklenir. Ayr¬ca Z

(1 cos )u_n( )d = Z

(1 cos ) 1 2+

Xn k=1

k;ncos k

! d

=

Z (1 2+

Xn k=1

k;ncos k )

d Z (1

2cos

Xn k=1

k;ncos : cos k )

d

= (1 _1;n) (3.17)

elde edilir. (3.17) ifadesi (3.16) e¸sitsizli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa 1 Z

j j uⁿ( )d p

2(1 _1;n)¹⁼²

elde edilir. Bu e¸sitsizlik (3.14) e¸sitsizli¼ginde dikkate al¬n¬rsa ispat tamamlan¬r.

¸Simdi n ! 1 için 1;n! 1 iken uⁿ( ) 0 olacak ¸sekilde _1;n; :::; _n;n kümesinin elemanlar¬n¬ bulal¬m. c0; c₁; :::; c_n key… reel say¬lar, z kompleks bir say¬, z say¬s¬ z kompleks say¬s¬n¬n e¸sleni¼gi olmak üzere

z z =jzj² ve

e ^ik = e^ik ve ay¬rca

e^ik = cos k + i sin k

oldu¼gundan

Xn k=0

c_ke^ik

! :

Xn k=0

c_ke ^ik

!

= Xn k=0

c_ke^ik

2

0 (3.18)

gerçeklenir. Di¼ger taraftan Xn

k=0

c_ke^ik

! :

Xn k=0

c_ke ^ik

!

= Xn k=0

c²_k+ 2 Xn 1 k=0

c_kc_k+1

! cos

+ 2

Xn 2 k=0

c_kc_k+2

! cos 2 +:::

+ 2

n pX

k=0

c_kc_k+p

! cos p +:::

+2c₀c_ncos n

elde edilir. (3.12) yard¬m¬yla un( ) fonksiyonu elde edilmek istenildi¼ginden c²₀+ c²₁+ ::: + c²_n= 1

2 olmas¬gerekir. k = 0; 1; :::; n için

c² = 1

2 Pn k=0

sin²[(k + 1)=(n + 2)]

(3.19)

olacak ¸sekilde

c_k= c sink + 1 n + 2

seçilsin. O halde c²₀ + c²₁ + ::: + c²_n = ¹₂ sa¼glan¬r ve (3.18) dikkate al¬n¬rsa negatif olmayan bir un( ) fonksiyonu elde edilir. cos ifadesinin katsay¬s¬olan _1;n ifadesi

1;n= 2c² Xn 1

k=0

sink + 1

n + 2 sink + 2 n + 2

¸seklindedir. Bu ifade daha sade bir biçimde elde edilebilmektedir. Gerçekten, Xn 1

k=0

sink + 1

n + 2 sink + 2 n + 2 =

Xn k=0

sink + 1

n + 2 sink + 2 n + 2 olup bu e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda k yerine k 1 yaz¬l¬rsa

Xn k=0

sink + 1

n + 2 sink + 2 n + 2 =

Xn k=0

sin k

n + 2 sink + 1 n + 2

elde edilir. Buradan gerekli trigonometrik özde¸slik ve (3.19) ifadesi kullan¬larak Xn

k=0

sink + 1

n + 2 sink + 2

n + 2 = 1

2 Xn k=0

sink + 2

n + 2 + sin k

n + 2 sink + 1 n + 2

= Xn

k=0

cosn + 2 sink + 1

n + 2 sink + 1 n + 2

= 1

2c² cos n + 2 biçiminde yaz¬labilir. O halde

1;n= cos n + 2

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Benzer ¸sekilde _2;n; _3;n; :::; _n;n elemanlar¬elde edilebilir.

Teorem 3.3 gfonksiyonu [ ; ]aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu fonksiyon olsun.

q_nderecesi n ve n do¼gal say¬s¬ndan küçük olan trigonometrik bir polinom olmak üzere kg q_nk 6! 1

n e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Korovkin 1960).

Ispat.· V = C[a; b]ve W alt uzay¬derecesi n ve n do¼gal say¬s¬ndan küçük trigonometrik polinomlar uzay¬ olarak al¬n¬rsa Teorem 2.1 gere¼gince g fonksiyonu bir q_n en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomuna sahiptir. Ayr¬ca Lemma 3.3 gere¼gince

(1 _1;n)¹⁼² = 1 cos n + 2

1=2

=p 2 sin

2n + 4 p2

2n + 4 elde edilir. Lemma 3.4 de verilen e¸sitsizli¼gin sa¼g taraf¬nda

1 + n

p2(1 _1;n)¹⁼² 1 + n ²

2n + 4 1 +

2

2 6

oldu¼gu göz önüne al¬narak 2 [ ; ] için

jg( ) q_n(g; )j 6! g; [ ; ]; 1 n olup dolay¬s¬yla

kg q_nk 6! g; [ ; ]; 1 n bulunur ki bu da ispat¬tamamlar.

Teorem 3.4 (Jackson Teoremi) f 2 C[ 1; 1] ise kf p_nk 6! 1

n e¸sitsizli¼gi gerçeklenir (Korovkin 1960).

Ispat.· Kabul edelim ki f 2 C[ 1; 1] olsun. O halde 2 [0; ] için g( ) = f(cos ) fonksiyonu süreklidir. Ayr¬ca 2 [ ; 0] aral¬¼g¬nda g fonksiyonu g( ) = g( )

¸seklinde tan¬mlan¬rsa [ ; ] aral¬¼g¬nda sürekli, çift ve 2 periyotlu bir fonksiyon elde edilebilir. g fonksiyonu çift oldu¼gundan, derecesi en fazla n olan en iyi yakla¸s¬m trigonometrik polinomu q_n çift polinomdur. O halde q_n polinomu

q_n( ) = a₀

2 + a₁cos + ::: + a_ncos n

¸seklinde yaz¬labilir. Ayr¬ca

q_n( ) = d₀+ d₁cos + d₂(cos )²+ ::: + d_n(cos )ⁿ

¸seklinde de ifade edilebilir. x = cos olarak al¬n¬rsa

p_n(x) = d₀+ d₁x + d₂x²+ ::: + d_nxⁿ

¸seklinde yaz¬labilir oldu¼gundan trigonometrik polinom cebirsel polinoma dönü¸stürüle- bilir. O halde Teorem 3.3 de q_ntrigonometrik polinomu yerine p_n cebirsel polinomu, g fonksiyonu yerine de f fonksiyonu al¬nd¬¼g¬nda

kf p_nk 6! g; [ ; ]; 1 n

biçiminde yaz¬labilir. Di¼ger taraftan x = cos fonksiyonunun türevinin mutlak de¼geri s¬n¬rl¬oldu¼gundan bu fonksiyon Lip11 kümesinin eleman¬d¬r. Böylece

jx¹ x₂j = jcos ¹ cos ₂j j ^{1 2}j e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla

f ¹; ₂ :j ^{1 2}j g fx¹; x₂ :jx¹ x₂j g ifadesi gerçeklenir. O halde

!(g; ) = max

j 1 2j jg( ¹) g( ₂)j = max

j 1 2j jf(cos ¹) f (cos ₂)j max

jx1 x2j jf(x¹) f (x₂)j = !(f; )

elde edilir. Bundan dolay¬

kf p_nk 6! g; [ ; ]; 1

n 6!(f ; [ 1; 1]; 1 n) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Sonuç 3.2 f 2 C[a; b] ise

E_n(f ; [a; b]) =kf p_nk 6! b a 2n e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Korovkin 1960).

Ispat.·

y = (b a)x + a + b

2 ; x2 [ 1; 1] (3.20)

¸seklinde tan¬mlanan fonksiyon [ 1; 1] aral¬¼g¬n¬ [a; b] aral¬¼g¬na dönü¸stürür. E¼ger x₁; x₂ 2 [ 1; 1] noktalar¬na kar¸s¬l¬k gelen noktalar y¹; y₂ 2 [a; b] ise iki noktas¬bilinen do¼gru denklemi göz önüne al¬n¬rsa

jy¹ y₂j = b a

2 jx¹ x₂j denklemi yaz¬labilir.

g(x) = f (b a)x + a + b

2 = f (y)

olarak tan¬mlans¬n. Di¼ger taraftan

jx¹ x₂j ise

jy¹ y₂j b a 2 e¸sitsizli¼gi elde edilir. Buradan

!(g; ) = sup

jx1 x2j jg(x¹) g(x₂)j = sup

jy1 y2j ^b₂^a

jf(y¹) f (y₂)j

= ! f ; b a

2 (3.21)

yaz¬labilir. O halde Teorem 3.4 ve (3.21) e¸sitli¼gi gere¼gince E_n(g; [ 1; 1]) =kg(x) t_n(g; x)k 6! g;1

n = 6! f ;b a

2n (3.22)