EN KÜÇÜK KARELER YAKLA¸ SIMI

4.1 Bir Aral¬k Üzerinde En Küçük Kareler Yakla¸s¬m¬

f 2 C[ 1; 1] fonksiyon, w 2 <[ 1; 1] pozitif a¼g¬rl¬k fonksiyonu ve p 6= qn olmak üzere her p 2 Pⁿ için

kf q_nk2 <kf pk2

e¸sitsizli¼gi sa¼glanacak ¸sekilde bir ve yaln¬z bir q_n 2 Pⁿ polinomunun var oldu¼gu Teorem 2.1 ve Teorem 2.3 gere¼gince elde edilir, burada

kf q_nk2 = 8<

: Z1

1

[f (x) q_n(x)]²w(x)dx 9=

;

1=2

¸seklindedir.

Uyar¬4.1 En iyi düzgün yakla¸s¬m polinomuna k¬yasla en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu daha kolay elde edilir.

¸

Simdi, en küçük kareler yakla¸s¬m polinomunu karakterize eden a¸sa¼g¬daki teoremi ifade edelim.

Teorem 4.1 f 2 C[ 1; 1] ve [ 1; 1] kümesi üzerinde w a¼g¬rl¬k fonksiyonu olmak üzere q_n 2 Pⁿ polinomunun f fonksiyonuna en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu olmas¬için gerek ve yeter ¸sart her p 2 Pⁿ için

Z1

1

[f (x) q_n(x)] p(x)w(x)dx = 0 (4.1)

e¸sitli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r (Rivlin 1969).

Ispat.· Kabul edelim ki (4.1) e¸sitli¼gi sa¼glans¬n. Bu durumda p 2 Pⁿ key… polinom

biçiminde yaz¬labilir. q_n 2 Pⁿ oldu¼gundan q_n p2 Pⁿ olup (4.1) ifadesi gere¼gince Z1

elde edilir. O halde Z1

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Bir ba¸ska ifadeyle

kf q_nk2 kf pk2

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r ve dolay¬s¬yla q_n en küçük kareler yakla¸s¬m polinomudur. Di¼ger taraftan kabul edelim ki

Z1

1

[f (x) q_n(x)] p(x)w(x)dx = a6= 0

olacak ¸sekilde p 2 Pⁿ olsun. Ayr¬ca

b =

ise

e¸sitli¼gi elde edilir. Di¼ger taraftan

2 a + ²b = ²b oldu¼gundan (4.2) ifadesi

Z1

¸seklinde elde edilir. ²b > 0 oldu¼gundan

kf (q_n+ p)k2 <kf q_nk2

elde edilir. Bu e¸sitsizlik gere¼gince q_n polinomu en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu olamaz.

e¸sitli¼gi elde edilir, burada

q_n(x) = ₀+ ₁x + ::: + _nxⁿ

¸seklindedir. Bu e¸sitlik q_n polinomu için n + 1 bilinmeyenli n + 1 denklemden olu¸san lineer bir denklem sistemi meydana getirir. (4.3) e¸sitli¼ginin sol taraf¬

Z1

¸seklinde yaz¬labilir. E¼ger

bi = Z1

1

xⁱf (x)w(x)dx

a_i;j = Z1

1

x^i+jw(x)dx

¸seklinde tan¬mlan¬rsa (4.3) e¸sitli¼gi Xn

j=0

a_{i;j j} = b_i

biçiminde ifade edilir. ai;j ve bi say¬lar¬ bilindi¼ginden q_n polinomunun katsay¬lar¬

olan _j (0 j n) say¬lar¬kolayl¬kla bulunabilir (Jackson 1930).

Uyar¬4.3 E¼ger p0; p₁; :::; p_n2 Pⁿpolinomlar¬ortogonal polinomlar ise bu polinom-lar lineer ba¼g¬ms¬zd¬r.

Uyar¬4.4 E¼ger p0; p₁; :::; p_n 2 Pⁿ polinomlar¬lineer ba¼g¬ms¬z ise her p 2 Pⁿ poli-nomu 0; ₁ ; :::; _n reel say¬lar olmak üzere

p = ₀p₀ + ::: + _np_n

¸seklinde yaz¬labilir.

Uyar¬4.5 Verilen bir w(x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan bir fp⁰; p₁; :::; p_ng kümesi belirlenecektir. Yani j; k = 0; 1; :::; n ve j 6= k için

Z1

1

p_j(x)p_k(x)w(x)dx = 0 (4.4)

olacak ¸sekilde p0; p₁; :::; p_n2 Pⁿ polinomlar¬bulunacakt¬r. Ayr¬ca (4.4) e¸sitli¼gine ek olarak j = 0; 1; 2; :::; n için

Z1

1

p²_j(x)w(x)dx = 1 (4.5)

ise fp⁰; p₁; :::; p_ng polinomlar kümesi w a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortonormal poli-nomlar kümesi olarak adland¬r¬l¬r. Bu amaçla, kabul edelim ki p0; p₁; :::; p_n 2 Pⁿ

polinomlar¬(4.4) ve (4.5) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n. O halde p0; p₁; :::; p_n polinomlar¬or-togonal oldu¼gundan lineer ba¼g¬ms¬zd¬r. Bundan dolay¬ i (i = 0; 1; ::; n) reel say¬lar olmak üzere Uyar¬4.4 gere¼gince q_n en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu

q_n(x) = ₀p₀(x) + ::: + _np_n(x) (4.6)

e¸sitli¼gi elde edilir. Bu e¸sitli¼gin sol taraf¬nda (4.6) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa Z1

gerçeklenir. (4.4) ve (4.5) ifadeleri gere¼gince Z1

biçiminde yaz¬labilir. ¸Simdi, fp⁰; p₁; :::; p_ng ortogonal polinomlar kümesi elde edilme-ye çal¬¸s¬lacakt¬r.

Z1

1

f (x)g(x)w(x)dx = (f; g) (4.9)

olarak tan¬mlans¬n, burada (f; g) gösterimi f ve g fonksiyonlar¬n¬n iç çarp¬m¬d¬r. ·Ilk olarak

¸seklinde tan¬mlans¬n. (4.9) ifadesi dikkate al¬n¬rsa (1; 1) > 0 ve (~p₀; ~p₁) = 0olduklar¬

görülür. Tümevar¬m yöntemi kullan¬larak f~p0; :::; ~pkg ortogonal polinomlar¬n¬n bir kümesi elde edilecektir. Kabul edelim ki f~p₀; :::; ~p_kg kümesi ortogonal bir küme ve i = 0; 1; :::; k için ~pi 2 Pⁱ ve ~pi 6= 0 olsun.

~

pk+1(x) = (x k)~pk(x) _kp~k 1(x) (4.12) biçiminde tan¬mlanan polinomun ~p₀; :::; ~p_k polinomlar¬yla ortogonal olacak ¸sekilde

k ve _k katsay¬lar¬elde edilecektir. (4.12) ifadesinin her iki taraf¬n¬n pi polinomu ile iç çarp¬m¬al¬n¬rsa

(~p_k+1; ~p_i) = (x~p_k; ~p_i) _k(~p_k; ~p_i) _k(~p_{k 1}; ~p_i) (4.13) elde edilir. E¼ger i < k 1 ise tümevar¬m hipotezi gere¼gince

(~p_{k 1}; ~p_i) = (~p_k; ~p_i) = 0 gerçeklenir. Ayr¬ca (4.9) gere¼gince

(x~p_k; ~p_i) = (~p_k; x~p_i)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. x~p_i 2 P^{k 1} oldu¼gundan Uyar¬4.3 ve Uyar¬4.4 gere¼gince x~p_i = ₀p~₀+ ::: + _{k 1}p~_{k 1}

¸seklinde yaz¬labilir, burada ₀; :::; _{k 1} reel say¬lard¬r. Dolay¬s¬yla (~p_k; x~p_i) = (~p_k; ₀p~₀+ ::: + _{k 1}p~_{k 1})

= ₀(~p_k; ~p₀) + ::: + _{k 1}(~p_k; ~p_{k 1}) = 0 olup (4.13) e¸sitli¼gi göz önüne al¬n¬rsa i = 0; 1; :::; k 2 için

(~p_k+1; ~p_i) = 0

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. (4.12) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n ~p_kpolinomu ile iç çarp¬m¬al¬n¬rsa (~p_k+1; ~p_k) = (x~p_k; ~p_k) _k(~p_k; ~p_k)

¸seklinde elde edilir. Bu e¸sitlikte

k= (x~p_k; ~p_k)

(~p_k; ~p_k) (4.14)

biçiminde al¬n¬rsa

(~p_k+1; ~p_k) = 0

e¸sitli¼gi bulunur. (4.12) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n ~p_{k 1} polinomu ile iç çarp¬m¬

al¬n¬rsa

(~p_k+1; ~p_{k 1}) = (x~p_k; ~p_{k 1}) _k(~p_k; ~p_{k 1}) _k(~p_{k 1}; ~p_{k 1}) elde edilir.

k = (x~p_k; ~p_{k 1})

(~p_{k 1}; ~p_{k 1}) (4.15)

¸seklinde seçilirse

(~pk+1; ~pk 1) = 0

gerçeklenir. O halde, ~p_k+1 2 P^k+1 oldu¼gundan f~p₀; :::; ~p_k+1g kümesi elde edilmek istenen ortogonal polinomlar kümesidir. Bundan dolay¬

~

p₀(x) = 1; p~₁(x) = x ₀ (4.16)

ko¸sulu alt¬nda k = 1; :::; n 1 için (4.12) ifadesi ile verilen indirgeme formülü k

(k = 0; :::; n 1)katsay¬lar¬ve _k (k = 1; :::; n 1)katsay¬lar¬ile birlikte f~p₀; :::; ~p_ng

kümesi w a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal polinomlar kümesidir. Di¼ger taraftan i = 0; 1; :::; n için

p_i = p~_i k~pik2

(4.17)

¸seklinde tan¬mlanan fp⁰; p₁; :::; p_ng polinomlar kümesi w a¼gr¬l¬k fonksiyonuna göre ortonormal polinomlar kümesidir. Ayr¬ca i = 0; 1; :::; n için pi 2 Pⁱ ve pi polinomu-nun ba¸s katsay¬s¬pozitiftir. Bu özelli¼ge sahip ba¸ska ortonormal polinomlar kümesi yoktur. (4.17) ifadesinde elde edilen pi polinomlar¬ (4.6) e¸sitli¼ginde dü¸sünülürse (4.8) ifadesinden i = 0; 1; :::; n için

i = (f; p_i) (4.18)

¸seklinde elde edilir. Dolay¬s¬yla f fonksiyonu için en küçük kareler yakla¸s¬m poli-nomu olan q_n polinomu (4.6) ifadesinden elde edilmi¸s olur. Ayr¬ca q_n+1 polinomunu

elde etmek için sadece (4.12) ve (4.17) ifadeleri yard¬m¬yla elde edilen pn+1 polino-munun bulunmas¬na ve daha sonra (4.18) ifadesi yard¬m¬yla verilen n+1katsay¬s¬n¬n belirlenmesine ihtiyaç vard¬r. Buradan

q_n+1 = q_n+ _n+1p_n+1

biçiminde ifade edilebilir (Rivlin 1969).

Uyar¬4.6

k = (x~p_k; ~p_{k 1}) (~p_{k 1}; ~p_{k 1}) ifadesi

k = (~p_k; ~p_k) (~p_{k 1}; ~p_{k 1})

¸seklinde yaz¬labilir. Bunu görmek için (4.12) e¸sitli¼ginde k yerine k 1 yaz¬l¬p daha sonra e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n ~p_k polinomu ile iç çarp¬m¬al¬n¬rsa

(~p_k; ~p_k) = (x~p_{k 1}; ~p_k) _{k 1}(~p_{k 1}; ~p_k) _{k 1}(~p_{k 1}; ~p_k)

elde edilir. f~p₀; :::; ~p_ng ortogonal polinomlar kümesi oldu¼gundan

(~p_k; ~p_k) = (x~p_{k 1}; ~p_k) = (x~p_k; ~p_{k 1})

olarak bulunur.

Örnek 4.1 [ 1; 1] aral¬¼g¬nda w(x) = 1 olmak üzere f (x) = jxj fonksiyonu için derecesi iki olan q en küçük kareler yakla¸s¬m polinomunu bulal¬m. (4.6) gere¼gince

q (x) = ₀g₀(x) + ₁g₁(x) + ₂g₂(x)

biçiminde yaz¬labilir, burada

g₀(x) = 1 p2

g₁(x) = x r3

2 g₂(x) = 3p

10

4 x² 1

3

polinomlar¬[ 1; 1] aral¬¼g¬nda w(x) = 1 a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortonormal poli-nomlard¬r. (4.18) gere¼gince

0 = jxj ; 1 elde edilir. O halde

q (x) = 3

16 5x²+ 1 olarak bulunur.

4.2 Jacobi Polinomlar¬

[ 1; 1] kümesi üzerinde tan¬ml¬ve ; > 1olacak ¸sekilde w(x) = (1 x) (1 + x)

a¼g¬rl¬k fonksiyonu göz önüne al¬ns¬n. Bu a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre n

P_j^{( ; )}(x)o or-togonal polinomlar kümesi Jacobi polinomlar¬olarak adland¬r¬l¬r. Bu polinomlar

P_j^{( ; )}(1) = ( + 1)( + 2):::( + j)

j! (4.19)

ifadesi ile standartla¸st¬r¬l¬r. = = 0 olmas¬durumunda w(x) = 1 e¸sitli¼gi gerçek-lenir. Yani [ 1; 1] aral¬¼g¬nda bulunan bütün noktalar e¸sit a¼g¬rl¬ktad¬r. Jacobi poli-nomlar¬n¬n bu özel hali Legendre polinomlar¬ olarak adland¬r¬l¬r. Basitlik aç¬s¬n-dan P_j^(0;0)(x) ifadesi yerine Pj(x) ifadesi kullan¬lacakt¬r. = = 0 ko¸sulu (4.19) e¸sitli¼ginde göz önüne al¬n¬rsa Legendre polinomlar¬ n = 0; 1; 2::: için Pn(1) = 1 ifadesi ile standartla¸st¬r¬l¬r. Di¼ger taraftan (4.12) ifadesi ba¸s katsay¬s¬1 olan stan-dartla¸st¬r¬lm¬¸s n

P~_no

ortogonal polinomlar kümesini verir. k çift say¬ ise ~P_k poli-nomu çift, k tek say¬ise ~P_k polinomu tek oldu¼gundan k = 0 gerçeklenir. Pk ve ~P_k polinomlar¬aras¬ndaki ili¸skiyi bulmak için ilk olarak ~P_k(1)ifadesini belirleyelim. Bu amaçla

P~_k(1) = 2^k

2k k

(4.20)

e¸sitli¼ginin sa¼gland¬¼g¬gösterilmelidir. Gerçekten (4.20) e¸sitli¼ginde k = 0 için P~₀(1) = 1

ve k = 1 için

P~₁(1) = 1

sa¼glan¬p bu sonuçlar (4.16) ile uyumludur. Kabul edelim ki j 2olmak üzere k < j için (4.20) ifadesi sa¼glans¬n. O halde (4.12) ve Uyar¬4.6 yard¬m¬yla

P~_j(1) = ~P_{j 1}(1) ( ~P_{j 1}; ~P_{j 1}) ( ~P_{j 2}; ~P_{j 2})

P~_{j 2}(1) (4.21)

e¸sitli¼gi elde edilir. Tümevar¬m hipotezinden ve baz¬cebirsel i¸slemler yap¬l¬rsa P~_j(1) = 2^j

2j j

oldu¼gu görülür. O halde

P_n(x) = a_nxⁿ+ a_{n 1}x^{n 1}+ ::: + a₁x + a₀

¸seklinde dü¸sünülür ve e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬an parantezine al¬n¬rsa Pn(x) = an xⁿ+a_{n 1}

a_n x^{n 1}+ ::: + a₁

a_nx + a₀ a_n elde edilir. ~P_n polinomunun ba¸s katsay¬1 oldu¼gundan

P~_n(x) = xⁿ+ ::: + a₁

a_nx + a₀ a_n biçiminde yaz¬labilir. O halde

P_n(x) = a_nP~_n(x) (4.22)

elde edilir ve x = 1 al¬n¬rsa

P_n(1) = a_nP~_n(1) olur. Buradan

1 = a_n 2ⁿ

2n n

e¸sitli¼gi gerçeklenir. O halde (4.22) e¸sitli¼gi n = 0; 1; 2; ::: için P_n= 2n

n 2 ⁿP~_n (4.23)

¸seklinde yaz¬labilir. (4.23) e¸sitli¼gi (4.12) ifadesinde göz önüne al¬n¬rsa P~_n+1(x) = x ~P_n(x) _nP~_{n 1}(x)

ifadesinden

2ⁿ⁺¹

2(n+1) n+1

P_n+1(x) = x ~P_n(x) ( ~P_n; ~P_n) ( ~P_{n 1}; ~P_{n 1})

P~_{n 1}(x) ve dolay¬s¬yla

P_n+1(x) = 2n + 2

n + 1 2 ⁽ⁿ⁺¹⁾x ~P_n(x)

2

2n+1P~_n²(1)

2

2(n 1)+1P~_{n 1}² (1)

P~_{n 1}(x) 2n + 2

n + 1 2 ⁽ⁿ⁺¹⁾ elde edilir, burada n = 0; 1; 2; ::: için

( ~P_n; ~P_n) = 2 2n + 1

P~_n²(1)

e¸sitli¼gi kullan¬lm¬¸st¬r. Gerekli i¸slemler yap¬l¬rsa P_n+1(x) = 2n + 1

n + 1 xP_n(x) n

n + 1P_{n 1}(x) bulunur. Buradan

(n + 1)P_n+1(x) = (2n + 1)xP_n(x) nP_{n 1}(x)

biçiminde yaz¬labilir. Jacobi polinomlar¬n¬n a¼g¬rl¬k fonksiyonunda = = ¹₂

¸seklinde al¬n¬rsa

w(x) = (1 x) ¹⁼²(1 + x) ¹⁼²= (1 x²) ¹⁼² (4.24) biçiminde yaz¬labilir. Ayr¬ca 2 [0; ], x = cos ve n = 0; 1; 2; :::; için

T_n(x) = cos n

polinomlar¬ Chebyshev polinomlar¬ olarak Tan¬m 3.4 de ifade edilmi¸stir. Bu poli-nomlar (4.24) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir. (4.19) e¸sitli¼gi göz önüne al¬n¬rsa benzer ¸sekilde

P( 1=2; 1=2)

j (x) = 1 3 5 ::: (2j 1) 2^jj! T_j(x) oldu¼gu gösterilebilir.

T₀(x) = 1; T₁(x) = x

e¸sitliklerinin kabulü alt¬nda n 2için Chebyshev polinomlar¬n¬n indirgeme ba¼g¬nt¬s¬

T_n(x) = 2xT_{n 1}(x) T_{n 2}(x)

biçiminde verilebilir. Ayr¬ca d

dxT_n(x) = dT_n(x) d

d dx =

dTn(x) d dx d

= n sin n

sin = nsin n sin e¸sitli¼gi elde edilir. Buradan

1

nT_n⁰(x) = sin n sin ifadesi gerçeklenir. n yerine n + 1 al¬n¬rsa

1

n + 1T_n+1⁰ (x) = sin(n + 1) sin

olarak yaz¬labilir. Bu ¸sekilde elde edilen n = 0; 1; 2; ::: için U_n(x) = sin(n + 1)

sin

polinomlar¬na ikinci çe¸sit Chebyshev polinomlar¬ad¬verilir. Un(x) derecesi n olan polinom olmak üzere

w(x) = (1 x²)¹⁼²

a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir. Di¼ger taraftan x = 1 için x = cos e¸sitli¼ gin-den = 0 olarak bulunur ve

U_n(1) = n + 1 (4.25)

e¸sitli¼gi gerçeklenir. n

Pn^(1=2;1=2)

o

ve fUⁿg polinomlar kümesi [ 1; 1] aral¬¼g¬nda w(x) = (1 x²)¹⁼² a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal polinomlar kümesi oldu¼gundan

P_n^(1=2;1=2)(x) = a_nU_n(x) (4.26) biçiminde yaz¬labilir. Buradan

P_n^(1=2;1=2)(1) = a_nU_n(1) olup (4.25) e¸sitli¼gi kullan¬l¬rsa

P_n^(1=2;1=2)(1) = a_n(n + 1)

elde edilir. (4.19) e¸sitli¼gi dikkate al¬n¬rsa

P_n^(1=2;1=2)(1) = 3 5 ::: (2n + 1) 2ⁿn!

olup bu ifade yukar¬da yerine yaz¬l¬rsa

a_n = 3 5 ::: (2n + 1)

2ⁿn!(n + 1) (4.27)

biçiminde bulunur. (4.27) ifadesi (4.26) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa P_n^(1=2;1=2)(x) = 3 5 ::: (2n + 1)

2ⁿ(n + 1)! U_n(x) e¸sitli¼gi gerçeklenir (Rivlin 1969).

4.3 Noktalar¬n Sonlu Bir Kümesi Üzerinde En Küçük Kareler Yakla¸s¬m¬

[ 1; 1] aral¬¼g¬nda x1 < x₂ < ::: < x_m olacak ¸sekilde m tane farkl¬ nokta ve bu noktalarda pozitif a¼g¬rl¬k fonksiyonu

w(x_i) = w_i

¸seklinde olsun. Bu noktalar¬n kümesi

X_m =fx¹; x₂; :::; x_mg biçiminde gösterilsin.

Tan¬m 4.1 X_m kümesi üzerinde tan¬ml¬f fonksiyonu verilmi¸s olsun. Her p 2 Pⁿ polinomu için

Xm i=1

[f (x_i) q_n(x_i)]²w_i

Xm i=1

[f (x_i) p(x_i)]²w_i

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬yor ise q_n(X_m) = q_n 2 Pⁿ polinomuna Xm kümesi üzerinde f fonksiyonu için n -inci dereceden en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu denir

(Rivlin 1969).

Uyar¬4.7 Teorem 2.1 gere¼gince verilen bir f fonksiyonu için Xm kümesi üzerinde en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu mevcuttur. Ayr¬ca, Xm kümesi üzerinde en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu tektir.

Uyar¬4.8 Aral¬k üzerinde yap¬lan i¸slemlerde integral yerine toplam al¬narak benzer sonuçlar Xmkümesi üzerinde de verilebilir. Teorem 4.1 göz önüne al¬n¬rsa Xmkümesi üzerinde f fonksiyonuna q_npolinomunun en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu olmas¬

için gerek ve yeter ¸sart her p 2 Pⁿ için Xm

i=1

[f (x_i) q_n(x_i)]p(x_i)w_i = 0

olmas¬d¬r.

Di¼ger taraftan

(f; g) = Xm

i=1

f (x_i)g(x_i)w_i

ifadesi ile f ve g fonksiyonlar¬n¬n iç çarp¬m¬gösterilsin. Bu durumda (4.11), (4.12), (4.14) ve (4.15) ifadeleri yard¬m¬yla Xm kümesi üzerinde ortogonal polinomlar¬n bir kümesi elde edilebilir. Sürekli durumdan farkl¬olarak, key… p 2 P^kpolinomu k m durumunda

!(x) = (x x₁)(x x₂):::(x x_m) ifadesini çarpan olarak içermesi halinde her h fonksiyonu için

(!; h) = Xm

i=1

!(x_i)h(x_i)w(x_i) = 0

sa¼glan¬r. Sürekli durumda bu özellik sadece s¬f¬r polinomuna has bir özelliktir.

Dolay¬s¬yla, m adette nokta içeren noktalar¬n sonlu bir Xm kümesi olmas¬ duru-munda (4.12) ifadesi yard¬m¬yla kurulan ~p_m ortogonal polinomlar¬ kesinlikle !(x) polinomu olmal¬d¬r. Di¼ger taraftan (4.12) indirgeme ba¼g¬nt¬s¬ k = m 1 duru-muna kadar geçerlidir. Dolay¬s¬yla ~p_m+s polinomu herhangi bir p 2 P^m+s olup ! polinomunu çarpan olarak içerecek ¸sekilde seçilebilir. Yani

~

p_m+s = !(x)g(x)

olarak yaz¬labilir, burada g polinomu derecesi s olan bir polinomdur.

[ 1; 1] aral¬¼g¬nda Xm+1 kümesi

X_m+1 = 1 + 2(j 1)

m : j = 1; :::; m + 1

¸seklinde ve j = 1; 2; :::; m + 1 için wj = 1 olarak tan¬mlans¬n. Bu küme ve a¼g¬rl¬k fonksiyonu yard¬m¬yla olu¸sturulan ortogonal polinomlara Gram polinomlar¬ denir.

X_m+1kümesinin ve a¼g¬rl¬k fonksiyonun seçiminden dolay¬ k= 0sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla bu polinomlar n say¬s¬ tek ise tek polinom, n say¬s¬ çift ise çift polinom olarak kar¸s¬m¬za ç¬kar.

Örnek 4.2 X₅ = f 1; 1=2; 0; 1=2; 1g ve f(x) = jxj olarak verilsin. f fonksi-yonuna derecesi 2 olan en küçük kareler yakla¸s¬m polinomunu bulal¬m. (4.10) ve (4.11) kabulleri gere¼gince

~

olarak bulunur. (4.12) e¸sitli¼gi ve 1 = 0 olmas¬yard¬m¬yla

~

olarak bulunur. (4.17) gere¼gince

g₀ = g~₀ k~g⁰k2

= 1

P5 i=1

1²

1=2 = 1 5¹⁼²

ve

g₁ = 2 5

1=2

x; g₂ = 8 7

1=2

x² 1 2

¸seklinde X5 kümesi üzerinde ortonormal polinomlar elde edilir. (4.18) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa

0 = (jxj ; g⁰) = X5

i=1

jxⁱj 5 ¹⁼² = 3:5 ¹⁼² ve

1 = 0; ₂ = 8 7

1=23 4 olarak bulunur. (4.6) ifadesi dikkate al¬n¬rsa

q₂ = ₀g₀+ ₁g₁+ ₂g₂

olup buradan

q₂(x) = 6

7x²+ 6 35

¸seklinde elde edilir.

¸

Sekil 4.1. [ 1; 1] aral¬¼g¬nda q₂(x) = ⁶₇x²+₃₅⁶ ve f (x) = jxj fonksiyonlar¬

Örnek 4.3 X_m kümesi m -inci dereceden Chebyshev polinomlar¬n¬n s¬f¬rlar¬ndan olu¸san küme olsun. Yani

X_m =n

x_j : x_j = cosh

(2j 1) 2m

i

; j = 1; 2; :::; mo

¸seklindedir. j = 1; 2; :::; m için wj = 1 olarak al¬n¬rsa Xm kümesi üzerinde T0; T1; ::;

T_m Chebyshev polinomlar¬ortogonaldir.

Örnek 4.4 X_m+1 kümesi m -inci dereceden Chebyshev polinomlar¬n¬n ekstremum noktalar¬olsun. Yani

X_m+1 = x_j : x_j = cos j 1

m ; j = 1; 2; :::; m + 1 biçimindedir. A¼g¬rl¬k fonksiyonu

w₁ = w_m+1 = 1 2 ve j = 2; 3; :::; m için

w_j = 1

olacak ¸sekilde al¬n¬rsa Chebyshev polinomlar¬n¬n Xm+1 kümesi üzerinde ortogonal oldu¼gu görülür.

Uyar¬4.9 Örnek 4.3 ve Örnek 4.4 de verilen ortogonal polinomlar yard¬m¬ile (4.6) ifadesi kullan¬larak verilen bir f fonksiyonu için noktalar¬n¬n sonlu bir kümesi ü-zerinde de en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu elde edilebilir.

4.4 Düzgün Yakla¸s¬m¬n Verimlili¼gi Chebyshev polinomlar¬

w(x) = (1 x²) ¹⁼² (4.28)

a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir. Kabul edelim ki f 2 C[ 1; 1] ve 2 [0; ] için

g( ) = f (cos )

¸seklinde olsun. E¼ger

g( ) = g( )

olarak kabul edilirse [ ; ] aral¬¼g¬nda g sürekli fonksiyon olur. g fonksiyonunun Fourier serisinin k¬smi toplam¬

s_n(g; ) = a₀ e¸sitli¼gi sa¼glan¬r, burada Tk(x) Chebyshev polinomlar¬d¬r. ak katsay¬lar¬n¬n tan¬m¬

dikkate al¬n¬rsa (4.29) ifadesinde verilen sn(g; ) polinomu (4.28) a¼g¬rl¬k fonksiyo-nuna göre n -inci dereceden en küçük kareler yakla¸s¬m polinomudur. Gerçekten (4.6) ve (4.18) ifadeleri göz önüne al¬n¬rsa

s_n(g; ) = a₀ biçiminde yaz¬labilir (Davis 1963).

Uyar¬4.10 [ ; ] aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu g fonksiyonu için u_n( ) = 1

2+ Xn k=1

cos k olmak üzere Lemma 3.1 yard¬m¬yla

s_n(g; ) = 1 Z

g( + )u_n( )d (4.30)

biçiminde yaz¬labilir. Ayr¬ca 6= 2n için u_n( ) = 1 e¸sitli¼gi gerçeklenir. O halde (4.30) ifadesi

s_n(g; ) = 1

¸seklinde yaz¬labilir (Korovkin 1960).

Lemma 4.1 g fonksiyonu [ ; ] aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu olsun. 2

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Zygmund 1959).

Ispat.·

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir (Rivlin 1969).

Ispat.· n = 1ise

¸seklinde yaz¬labilir. O halde

L₁ = 1Z

0

3 sin₂ cos² ₂ sin³ ₂

sin₂ d 2 < 3 + 4

2 ln 1

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Di¼ger taraftan n 2 ise

ifadesinde n = t dönü¸sümü yap¬l¬rsa Z

ifadesi gerçeklenir. (4.36) ifadesinden

¸seklinde dü¸sünülürse (4.37) ve (4.38) gere¼gince

In= 2n (4.39)

e¸sitli¼gi gerçeklenir. O halde (4.35) ve (4.39) ifadeleri dikkate al¬n¬rsa 1Z

e¸sitsizli¼gi elde edilir.

Z

0

jsin n jd

ifadesinde n = t dönü¸sümü yap¬l¬rsa Z

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Burada = t + k dönü¸sümü yap¬l¬rsa

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. O halde Z

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Ayr¬ca Xn 1

ifadesi elde edilir. O halde (Zygmund 1959)

2 Z

0

sin d 1:179

oldu¼gu ve (4.42) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa (4.41) e¸sitsizli¼gi

1 Z

0

jsin n j

tan ₂ d 2Z

0

jsin n jd

= 2Z

0

sin d + 2 Z

0

sin Xn 1 k=1

1 + k d

< 1:179 + 4 1

[1 + ln(n 1)] (4.43)

¸seklinde elde edilir. (4.40) ve (4.43) ifadeleri (4.33) ifadesinde yerine yaz¬l¬rsa

L_n < 1:179 + 4

2[1 + ln(n 1)] + 2

< 3 + 4

2 ln n olarak bulunur.

Teorem 4.2 w(x) = (1 x²) ¹⁼² a¼g¬rl¬k fonksiyonu ve f 2 C[ 1; 1] fonksiyonu için en küçük kareler yakla¸s¬m polinomu q_n olmak üzere

S_n(f ) =kf q_nk (4.44)

¸seklinde olsun. Bu durumda

S_n(f ) < 4 + 4

2 ln n E_n(f ) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir (Rivlin 1969).

Ispat.· g fonksiyonu [ ; ]aral¬¼g¬nda sürekli ve 2 periyotlu fonksiyon olmak üzere (4.28) ifadesinde oldu¼gu gibi kurulum yap¬l¬rsa

q_n= s_n(g; )

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Di¼ger taraftan [ 1; 1] aral¬¼g¬nda f fonksiyonu için en iyi düzgün yakla¸s¬m polinomu p_n olsun. O halde x 2 [ 1; 1] için

jf(x) p_n(x)j E_n(f ) (4.45)

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Lemma 4.1 de x = cos olmak üzere g fonksiyonu yerine f (cos ) p_n(cos ) al¬narak düzenlenip (4.32) ifadesi dikkate al¬n¬rsa

jsⁿ(f (cos ) p_n(cos ); )j = jsⁿ(f (cos ); ) s_n(p_n(cos ); )j

= jsⁿ(f (cos ); ) p_n(cos )j

= jqn(cos ) p_n(cos )j

< 3 + 4

2 ln n E_n(f ) (4.46) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Di¼ger taraftan

jqn(cos ) p_n(cos )j = jqn(cos ) f (cos ) + f (cos ) p_n(cos )j olup üçgen e¸sitsizli¼gi kullan¬l¬rsa (4.46) ifadesinden

jqn(cos ) f (cos )j jf(cos ) p_n(cos )j < 3 + 4

2 ln n E_n(f ) e¸sitsizli¼gi elde edilir. Buradan

jqn(cos ) f (cos )j < 3 + 4

2 ln n En(f ) +jf(cos ) p_n(cos )j 3 + 4

2 ln n En(f ) + En(f )

= 4 + 4

2 ln n En(f ) elde edilir. O halde

kf q_nk < 4 + 4

2 ln n En(f ) olup ispat tamamlan¬r.

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON UZAYLARINDA EN İYİ YAKLAŞIM. Emrah KARAGÜLLÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (sayfa 79-103)