5.1 Bir Aral¬k Üzerinde En Küçük Birinci Kuvvetten Yakla¸s¬m
f fonksiyonu I = [ 1; 1] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ ve sürekli bir fonksiyon olsun. Her p2 Pn polinomu için
kf rnk1 = Z1
1
jf( ) rn( )j d kf pk1 (5.1)
ifadesi sa¼glanacak ¸sekilde en az bir rn 2 Pnpolinomunun varl¬¼g¬Teorem 2.1 gere¼gince elde edilir. Bu norma göre C [ 1; 1] uzay¬kesin konveks norma sahip olmad¬¼g¬ndan rn polinomunun teklik problemi ayr¬ca incelenmesi gerekir. Ayr¬ca (5.1) e¸sitsizli¼gini sa¼glayan rn polinomu f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m poli-nomu ad¬n¬al¬r.
g 2 C[ 1; 1] olmak üzere g fonksiyonunun s¬f¬rlar¬n¬n kümesi Z(g) ¸seklinde gösteril-sin. Yani
Z(g) =f 2 [ 1; 1] : g( ) = 0g biçimindedir.
Uyar¬5.1 Z(g)kapal¬bir kümedir. Ayr¬ca 2 Z(g) olmak üzere noktas¬n¬içeren her aç¬k aral¬k ayn¬zamanda Z(g) kümesine ait olmayan bir eleman içeriyor ise bu durumda noktas¬Z(g) kümesinin s¬n¬r noktas¬d¬r (Rivlin 1969).
Tan¬m 5.1 Z(g)kümesinin s¬n¬r noktalar¬na g fonksiyonunun esas s¬f¬rlar¬ad¬veri-lir ve Z0(g) ile gösterilir.
sgn g( ) = 8>
>>
<
>>
>:
1 ; g( ) > 0 0 ; g( ) = 0 1 ; g( ) < 0
ile tan¬ml¬i¸saret fonksiyonu ( 1; 1) aral¬¼g¬nda süreksizdir ve bu süreksizlik noktalar¬
g fonksiyonu için esas s¬f¬r noktalar¬d¬r.
Z0(g) kümesi sonlu say¬da nokta içeriyor ise Z(g) kümesi sonlu say¬da izole nokta içerir. Ayr¬ca, e¼ger Z0(g) kümesi sonlu say¬da nokta içeriyor ise bu durumda Z(g) kümesi I aral¬¼g¬n¬n sonlu say¬da ayr¬k kapal¬alt aral¬klar¬n¬içerir ve bu alt aral¬k-lar¬n bitim noktalar¬Z0(g)kümesinin elemanlar¬d¬r. Bu ko¸sul alt¬nda, Z(g) kümesi taraf¬ndan içerilen I aral¬¼g¬n¬n ayr¬k kapal¬alt aral¬klar¬n¬n kümesi ZI(g)ile gösteril-sin. Dolay¬s¬yla
Z(g) = ZI(g)[ Z0(g) ifadesi gerçeklenir.
Teorem 5.1 f 2 C(I) olmak üzere I aral¬¼g¬nda f rn fonksiyonunun sonlu say¬da esas s¬f¬r¬olacak ¸sekilde rn 2 Pn verilsin. Bu durumda rn polinomunun f fonksiyo-nuna en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olmas¬için gerek ve yeter ¸sart her p 2 Pn için
Z1
1
sgn [f ( ) rn( )]p( )d
Z
ZI(f rn)
jp( )j d (5.2)
e¸sitsizli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r (Rivlin 1969).
Ispat.· ZI(f rn) = ; ise
Z
ZI(f rn)
jp( )j d = 0
e¸sitli¼gi gerçeklenir ve bundan dolay¬(5.2) e¸sitsizli¼ginin sol taraf¬ndaki mutlak de¼ger gereksizdir. Kabul edelim ki (5.2) e¸sitsizli¼gi sa¼glans¬n. Her p 2 Pn için
Z1
1
jf( ) rn( )j d = Z1
1
[f ( ) rn( )] sgn [f ( ) rn( )]d
= Z1
1
[f ( ) p( )] sgn [f ( ) rn( )]d
+ Z1
1
[p( ) rn( )] sgn [f ( ) rn( )]d (5.3)
¸seklinde yaz¬labilir. Di¼ger taraftan
ve (5.2) ifadesi gere¼gince Z1
gerçeklenir. (5.4) ve (5.5) ifadeleri (5.3) ifadesinde yerlerine yaz¬l¬rsa Z1
e¸sitsizli¼gi sa¼glanm¬¸s olur. Dolay¬s¬yla rnpolinomu f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomudur. Di¼ger taraftan baz¬p 2 Pn polinomlar¬için (5.2) e¸sitsizli¼gi sa¼glanmas¬n. Yani, baz¬p 2 Pn polinomlar¬için
Z1
ifadesi gerçeklensin (Ayr¬ca (5.2) e¸sitsizli¼ginin di¼ger taraf¬ için p polinomu yerine p polinomu al¬narak ayn¬ ispat yap¬labilir). ZI(f rn) kümesindeki aral¬klar¬n bitim noktalar¬ndan farkl¬olacak ¸sekilde Z0(f rn)kümesinin elemanlar¬ 1; 2; :::; k
olsun. E¼ger i = 1; 2; :::; m için Zi = [ai; bi] aral¬klar¬ZI(f rn) kümesinin eleman¬
ise i = 1; 2; :::; m için
Bi = (ai ; bi+ ) ve i = 1; 2; :::; k için
Bm+i = ( i ; i+ )
iki¸serli ayr¬k aç¬k aral¬klar olacak ¸sekilde yeterince küçük bir > 0 say¬s¬ seçilsin.
E¼ger
B =
m+k[
i=1
Bi; A = I B
ise (5.6) ifadesinden > 0 yeterince küçük oldu¼gu takdirde Z
A
p( ) sgn[f ( ) rn( )]d >
Z
B
jp( )j d
e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. A kümesi ayr¬k kapal¬aral¬klar¬n sonlu birle¸simi oldu¼gundan A kümesi kapal¬d¬r.
A\ Z(f rn) =; oldu¼gundan
jf( ) rn( )j m; 2 A
gerçeklenecek ¸sekilde m > 0 mevcuttur. Ayr¬ca (5.6) ifadesi gere¼gince p polinomu özde¸s olarak s¬f¬r polinomu olamaz. Bundan dolay¬
0 < max
2I jp( )j < m
olacak ¸sekilde > 0 say¬s¬seçilebilir. Bu nedenle 2 A için
sgn [f ( ) rn( )] = sgn [f ( ) rn( ) p( )] (5.7)
e¸sitli¼gi gerçeklenir.
p0( ) = rn( ) + p( )
¸seklinde tan¬mlans¬n. (5.7) ile (5.6) ifadeleri göz önüne al¬n¬rsa
e¸sitsizli¼gi elde edilir. O halde kf p0k1 <
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Di¼ger taraftan
jf p0j jf rnj = jf rn pj jf rnj
jf rnj + j pj jf rnj = j pj oldu¼gundan dolay¬(5.8) e¸sitsizli¼gi
kf p0k1 <kf rnk1
¸seklinde elde edilir. Bu e¸sitsizlik rn polinomunun en küçük birinci kuvvetten yak-la¸s¬m polinomu olmas¬ile çeli¸sir. Dolay¬s¬yla ispat tamamlan¬r.
Sonuç 5.1 f 2 C(I) ve I aral¬¼g¬nda f rnfonksiyonunun sonlu say¬da s¬f¬r¬olacak
¸sekilde rn 2 Pn verilmi¸s olsun. Bu durumda rn polinomunun f fonksiyonuna en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olmas¬için gerek ve yeter ¸sart her p 2 Pn için
Z1
1
sgn [f ( ) rn( )]p( )d = 0
e¸sitli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r (Rivlin 1969).
Teorem 5.2 f 2 C(I) olmak üzere I aral¬¼g¬nda f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu tektir (Cheney 1981).
Ispat.· Kabul edelim ki f fonksiyonu için farkl¬iki tane en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu mevcut olsun. Yani, p1 6= p2 2 Pn için
kf p1k1 =kf p2k1 = m sa¼glans¬n. Teorem 2.2 gere¼gince
p0 = p1+ p2
2 2 Pn
polinomu da f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olup kf p0k1 = m
e¸sitli¼gi gerçeklenir.
kf p0k1
1
2kf p1k1
1
2kf p2k1 = 0 oldu¼gundan
Z1
1
jf( ) p0( )j 1
2jf( ) p1( )j 1
2jf( ) p2( )j d = 0 (5.9)
¸seklinde yaz¬labilir. Di¼ger taraftan
jf( ) p0( )j = f ( ) p1( ) + p2( ) 2
= 1
2jf( ) p1( ) + f ( ) p2( )j 1
2jf( ) p1( )j + 1
2jf( ) p2( )j
ve dolay¬s¬yla
jf( ) p0( )j 1
2jf( ) p1( )j 1
2jf( ) p2( )j 0
¸seklinde yaz¬labilir. Bu ifadenin sol taraf¬ndaki fonksiyonlar sürekli oldu¼gundan (5.9) ifadesinde integrali al¬nan fonksiyon s¬f¬r olmas¬gerekir. Yani,
jf( ) p0( )j 1
2jf( ) p1( )j 1
2jf( ) p2( )j = 0
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. E¼ger I kümesi üzerinde f p0 fonksiyonu k tane ayr¬k s¬f¬ra sahip ise k n dir. Kabul edelim ki k > n ve 1; 2; :::; k noktalar¬f p0 fonksiyonunun s¬f¬rlar¬olsun. Bundan dolay¬i = 1; 2; :::; k için
jf( i) p0( i)j 1
2jf( i) p1( i)j 1
2jf( i) p2( i)j = 0 e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. O halde i = 1; 2; :::; k için
f ( i) p1( i) = f ( i) p2( i) = 0 e¸sitli¼gi gerçeklenir. Buradan
p1( i) p2( i) = 0 biçiminde yaz¬labilir. k > n ve p1 p2 2 Pn oldu¼gundan
p1( ) p2( ) 0
ifadesi sa¼glan¬r ve böylece çeli¸ski elde edilmi¸s olur. Dolay¬s¬yla Sonuç 5.1 de rn= p0 olarak al¬n¬rsa her p 2 Pn için
Z1
1
sgn[f ( ) p0( )]p( )d = 0 (5.10)
e¸sitli¼gi gerçeklenir. ( 1; 1) aral¬¼g¬na ait olan t1 < t2 < ::: < ts
noktalar f p0 fonksiyonunun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi kökler olsun. Dolay¬s¬yla s k n gerçeklenir. t0 = 1 ve ts+1 = 1 ise (5.10) ifadesi
Xs j=0
( 1)s j
tj+1
Z
tj
p( )d = 0 (5.11)
¸seklinde yaz¬labilir. E¼ger
p( ) = ( t1):::( ts) olarak al¬n¬rsa p 2 Pn gerçeklenir ve j = 0; :::; s için
sgn
tj+1
Z
tj
p( )d = ( 1)s j
e¸sitli¼gi elde edilir. Bu ifade (5.11) ile çeli¸smektedir. p1 6= p2 kabulü bir çeli¸ski ortaya ç¬karm¬¸st¬r. O halde ispat tamamlan¬r.
Tan¬m 5.2 f 2 C(I)nPn olsun. Her p 2 Pn için f p fonksiyonunun I aral¬¼g¬nda en fazla n + 1 tane birbirinden farkl¬s¬f¬r¬var ise f fonksiyonu Pnkümesine biti¸siktir denir.
Örnek 5.1 pn+1 2 Pn+1 polinomu Pn kümesine biti¸siktir. Gerçekten, her pn 2 Pn için
pn+1 pn
polinomu en fazla n + 1 tane birbirinden farkl¬s¬f¬ra sahip olmak zorundad¬r.
Teorem 5.3 (i) g 2 C(I) fonksiyonu Pn polinomlar kümesine biti¸sik ve p0 poli-nomu g fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olsun. Bu du-rumda g p0fonksiyonu ( 1; 1) aral¬¼g¬n¬n 1; 2; :::; n+1noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stirir.
(ii) f 2 C(I) ve rn polinomu f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olsun. E¼ger f rn fonksiyonu ( 1; 1) aral¬¼g¬nda en fazla n + 1 defa i¸saret de¼gi¸stirir ve I aral¬¼g¬nda sonlu say¬da birbirinden farkl¬s¬f¬ra sahip ise f rn fonksiyonu tam olarak 1; 2; :::; n+1 noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stirir (Rivlin 1969).
Ispat.· (i) g fonksiyonu Pn kümesine biti¸sik oldu¼gundan ( 1; 1) aral¬¼g¬nda g p0 fonksiyonunun en fazla n + 1 tane birbirinden farkl¬ s¬f¬r¬ vard¬r. Di¼ger taraftan (5.11) ifadesi dikkate al¬n¬rsa g p0 fonksiyonu ( 1; 1) aral¬¼g¬nda en az n + 1 defa i¸saret de¼gi¸stirir. O halde g p0 fonksiyonu kesinlikle n + 1 defa i¸saret de¼gi¸stirir. Bu noktalar
1; 2; :::; n+1
¸seklinde al¬ns¬n.
(ii) Benzer ¸sekilde f rn fonksiyonu ( 1; 1) aral¬¼g¬nda y1; y2; :::; yn+1 noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stirir. Ayr¬ca i = 1; 2; :::; n + 1 olmak üzere
y1; y2; :::; yn+1
noktalar¬nda g fonksiyonunu interpole eden polinom p1 2 Pn olsun. Yani, g(yi) = p1(yi)
gerçeklensin. p1 polinomu bu noktalarda g fonksiyonunu interpole etti¼ginden bu polinom tektir. Ayr¬ca g fonksiyonu Pn kümesine biti¸sik oldu¼gundan y1; :::; yn+1 noktalar¬d¬¸s¬nda I aral¬¼g¬nda g p1 fonksiyonunun ba¸ska s¬f¬r¬yoktur. ¸Simdi i = 1; 2; :::; n+1için yi noktalar¬nda g p1 fonksiyonunun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gini gösterelim.
Kabul edelim ki g p1 fonksiyonu yj noktas¬nda i¸saret de¼gi¸stirmesin. Yani, 0 <j yjj <
olacak ¸sekildeki say¬lar¬için
g( ) p1( ) > 0
sa¼glans¬n, burada say¬s¬yj noktas¬n¬n g p1 fonksiyonunun di¼ger s¬f¬rlar¬na olan uzakl¬¼g¬ndan daha küçük olan bir say¬d¬r (g p1 < 0 durumu benzer ¸sekilde göste-rilebilir). Verilen > 0 say¬s¬için
p2( ) = p1( ) +
n+1Y
i=1;i6=j
yi yj yi
olacak ¸sekilde p2 2 Pn polinomu tan¬mlans¬n. Kabul edelim ki 0 < h <
ve 2 I için
n+1Y
i=1;i6=j
yi
yj yi M olsun.
minf[g(yj+ h) p1(yj + h)]; [g(yj h) p1(yj h)]g = A
¸seklinde belirlensin. A > 0 oldu¼gu aç¬k olup > 0 say¬s¬
< A M olacak ¸sekilde seçilsin. Bu durumda
g(yj h) p2(yj h) = g(yj h) p1(yj h) + p1(yj h) p2(yj h)
= A
n+1Y
i=1;i6=j
yj h yi
yj yi (5.12)
e¸sitli¼gi ve ayn¬zamanda
g(yj) p2(yj) = g(yj) p1(yj)
n+1Y
i=1;i6=j
yj yi
yj yi = < 0 (5.13) ifadesi sa¼glan¬r. yi noktalar¬s¬ral¬oldu¼gundan 0 h < için
n+1Y
i=1;i6=j
yj h yi yj yi > 0 elde edilir ve bundan dolay¬(5.12) ifadesi
g(yj h) p2(yj h) > A M > 0 (5.14)
¸seklinde yaz¬labilir. (5.13) ve (5.14) ifadeleri bir arada dü¸sünülürse g p2 fonksiyo-nunun (yj ; yj+ ) aral¬¼g¬nda iki tane kökü vard¬r. Bundan dolay¬g p2 fonksiyo-nunun i 6= j olmak üzere i = 1; 2; :::; n + 1 için yi d¬¸s¬ndaki s¬f¬rlara ek olarak iki tane daha s¬f¬r¬elde edilmi¸s olur. Bu ise g fonksiyonunun Pn polinomlar kümesine biti¸sik olmas¬ile çeli¸sir. O halde g p1 fonksiyonu y1; y2; :::; yn+1noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stir ve I aral¬¼g¬nda ya
sgn(g p1) = sgn(f rn) ya da
sgn(g p1) = sgn(f rn)
e¸sitlikleri gerçeklenir. f fonksiyonu için rn polinomu en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu oldu¼gundan Teorem 5.1 gere¼gince her p 2 Pn için
Z1
1
sgn[f ( ) rn( )]p( )d = 0
e¸sitli¼gi ve dolay¬s¬yla her p 2 Pn için Z1
1
sgn[g( ) p1( )]p( )d = 0
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Sonuç 5.1 gere¼gince p1 polinomu g fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olur. Böylece en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomunun tekli¼ginden p1 = p0 olup bundan dolay¬
1; :::; n+1 =fy1; :::; yn+1g sa¼glan¬r.
Uyar¬5.2 E¼ger Pn polinomlar kümesine biti¸sik olan baz¬g fonksiyonlar¬için
1; 2; :::; n+1
noktalar¬ bulunabilir ise bu durumda Pn polinomlar kümesine biti¸sik olan key… f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu i (i = 1; 2; :::; n + 1) noktas¬nda f ( i) de¼gerini alan polinom olacakt¬r. Pn polinomlar kümesine biti¸sik olan bir fonksiyona aç¬k bir örnek xn+1olup a¸sa¼g¬daki teorem verilebilir (Rivlin 1969).
Teorem 5.4 I aral¬¼g¬nda xn+1 fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu p0 ise x = cos olmak üzere
xn+1 p0 = ~Un+1(x) (5.15)
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r, burada
U~n+1(x) = 1 2n+1
sin(n + 2) sin
ile verilmektedir. Dolay¬s¬yla j = 1; 2; :::; n + 1 için xj = cosn+2j noktalar¬nda xn+1 p0 fonksiyonu i¸saret de¼gi¸stirir (Rivlin 1969).
Ispat.· xn+1 U~n+1(x)polinomu için Sonuç 5.1 dikkate al¬nd¬¼g¬nda p 2 Pnherhangi bir polinom olmak üzere
Z1
1
sgn[xn+1 (xn+1 U~n+1(x))]p(x)dx = Z1
1
[sgn ~Un+1(x)]p(x)dx = 0
oldu¼gu gösterilirse ispat tamamlanacakt¬r.
p(x) = a0U0(x) + a1U1(x) + ::: + anUn(x)
¸seklinde yaz¬labilir. E¼ger x = cos dönü¸sümü yap¬l¬rsa Z1
ifadesi gerçeklenir. Di¼ger taraftan
K = olup bu sonuç (5.16) ifadesinde göz önüne al¬n¬rsa
Z1
1
[sgn ~Un+1(x)]p(x)dx = 0
elde edilir. Bundan dolay¬herhangi bir p 2 Pn polinomu için Z1
1
sgn[xn+1 (xn+1 U~n+1(x))]p(x)dx = 0
e¸sitli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan xn+1 U~n+1 polinomu xn+1 fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olup n -inci derecedendir. Dolay¬s¬yla p0 = xn+1 U~n+1
¸seklinde yaz¬labilece¼ginden ispat tamamlan¬r.
Sonuç 5.2 f fonksiyonu Pn polinomlar kümesine biti¸sik ve rn 2 Pn polinomu f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olsun. Bu durumda j = 1; 2; :::; n + 1için
rn cos j
n + 2 = f cos j n + 2 e¸sitli¼gi gerçeklenir (Rivlin 1969).
Ispat.· xj = cosn+2j noktalar¬(5.15) ifadesi gere¼gince xn+1 p0 fonksiyonunun s¬f¬r noktalar¬ oldu¼gundan Teorem 5.3 gere¼gince xj noktalar¬ f rn fonksiyonunun da s¬f¬r noktalar¬olur.
5.2 Noktalar¬n Sonlu Bir Kümesi Üzerinde En Küçük Birinci Kuvvetten Yakla¸s¬m
Xm = m : m < m+1; m 2 I
küme, i noktalar¬na kar¸s¬l¬k gelen a¼g¬rl¬klar wi > 0 ve Xm kümesinde tan¬ml¬fonk-siyon f olsun. Her p 2 Pn polinomu için
Xm i=1
jf( i) rn( i)j wi
Xm i=1
jf( i) p( i)j wi
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬yor ise rn = rn(Xm)2 Pn polinomuna f fonksiyonu için Xmkümesi üzerinde en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu denir. Ayr¬ca bu e¸sitsizlik
kgkXm = Xm
i=1
jg( i)j wi
olmak üzere
kf rnkXm kf pkXm
biçiminde yaz¬labilir. Teorem 2.1 gere¼gince en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu vard¬r. Ancak teklik problemi ayr¬ca incelenmelidir. Noktalar¬n sonlu bir kümesi üzerinde en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomunun bir ve yaln¬z bir tane olamayabilece¼gi a¸sa¼g¬daki örnekte ifade edilmi¸stir.
Örnek 5.2 X2 =f 1; 1g = f 1; 2g noktalar kümesi, f fonksiyonu için f ( 1) = 1ve f (1) = 1
ve ayr¬ca w1 = w2 = 1, n = 0 olsun. Bu durumda 1 1;j j > 1 ko¸sullar¬n¬
sa¼glayan key… ; sabitleri için
kf kX2 = 2 <kf kX2
e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Gerçekten
kf kX2 = X2
i=1
jf( i) j :1
= j 1 j + j1 j = 2 ve j j > 1 oldu¼gundan
kf kX2 = X2
i=1
jf( i) j > 2
elde edilir. Yani
kf kX2 <kf kX2
e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Bundan dolay¬s¬f¬r¬nc¬dereceden en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu tek de¼gildir.
Uyar¬5.3 Xm kümesi üzerinde herhangi bir fonksiyonun en fazla m tane s¬f¬r¬
olmak zorunda oldu¼gundan I = [ 1; 1] aral¬¼g¬nda yap¬lan incelemeye benzer ¸sekilde a¸sa¼g¬daki teoremin ispat¬verilebilir.
Teorem 5.5 Xm kümesi üzerinde f fonksiyonuna en küçük birinci kuvvetten yak-la¸s¬m polinomunun rn polinomu olmas¬için gerek ve yeter ¸sart her p 2 Pn için
Xm i=1
sgn [f ( i) rn( i)]p( i)wi
X
i2Z(f rn)
jp( i)j wi (5.17)
e¸sitsizli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r (Rivlin 1969).
Sonuç 5.3 p6= 0 olmak üzere her p 2 Pn için Xm
i=1
sgn [f ( i) rn( i)]p( i)wi < X
i2Z(f rn)
jp( i)j wi (5.18)
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬rsa bu durumda Xm kümesi üzerinde f fonksiyonuna en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olan rn polinomu tektir (Rivlin 1969).
Teorem 5.5 için bir örnek a¸sa¼g¬daki gibi verilebilir.
Örnek 5.3 i = 1; 2; :::; miçin wi = 1 olmak üzere herhangi bir f fonksiyonu veril-di¼ginde Xm kümesi üzerinde sabit en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olan r0 2 P0 polinomunu bulal¬m. 1; :::; m noktalar¬
f ( 1) f ( 2) ::: f ( m)
olacak ¸sekilde tekrardan numaraland¬r¬ls¬n. Ayr¬ca f fonksiyonu için a¸sa¼g¬daki ifadeler sa¼glans¬n. Bu durumda c = r0 ¸seklinde olur. Yani, f fonksiyonu için Xm kümesi üzerinde sabit en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu c olur ( Dikkat edilirse (5.17) e¸sitsizli¼gi Xm kümesinin noktalar¬n¬n s¬ras¬ndan ba¼g¬ms¬zd¬r). Gerçekten, kabul edelim ki m tek ve
f ( r) = f ( r+1) = ::: = f ( m+1 olsun. E¼ger p key… sabit ise
Xs
oldu¼gundan elde edilir. Bundan dolay¬
jm s r + 1j < s r + 1 (5.22)
e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. O halde (5.21) ifadesinde (5.20) ve (5.22) ifadeleri dikkate al¬n¬rsa
¸seklinde yaz¬labilir. Sonuç 5.3 gere¼gince m tek olmas¬durumunda r0 = c en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu bir ve yaln¬z bir tanedir. Di¼ger taraftan e¼ger m çift ise iki durum dikkate al¬nmal¬d¬r:
E¼ger
elde edilir. Bundan dolay¬ f ( m
2) < c < f ( m
2+1) olacak ¸sekildeki her c say¬s¬ en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu olur.
E¼ger
f ( m
2) = f ( m
2+1)
ise m say¬s¬n¬n tek olmas¬durumunda oldu¼gu gibi en küçük birinci kuvvetten yak-la¸s¬m polinomu olan r0 = c bir ve yaln¬z bir tanedir (Rivlin 1969).
Lemma 5.1 f fonksiyonuna Xm kümesi üzerinde en küçük birinci kuvvetten yak-la¸s¬m polinomlar¬n¬n kümesi B olsun. Bu durumda B kompakt ve konveks bir kümedir (Carothers 1998).
Ispat.· B kümesi
B = rn 2 Pn: her p 2 Pn için kf rnkXm kf pkXm
¸seklinde ifade edilebilir. Teorem 2.2 gere¼gince B kümesi konvekstir. Di¼ger taraftan kompaktl¬k için B kümesinin kapal¬ve s¬n¬rl¬oldu¼gu gösterilmelidir. rm 2 B olmak üzere (rm) dizisi için rm ! r olsun. rm 2 B oldu¼gundan her p 2 Pn için
kf rmkXm kf pkXm
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Buradan
m!1lim kf rmkXm kf pkXm
olup
kf rkXm kf pkXm
elde edilir. O halde r 2 B bulunur. Di¼ger taraftan
krnkXm =k rnkXm =k(f rn) + ( f )kXm kf rnkXm +kfkXm
olup B kümesi s¬n¬rl¬d¬r. Sonlu boyutlu uzayda kapal¬ve s¬n¬rl¬küme kompaktt¬r.
Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 5.6 Xm kümesi üzerinde f fonksiyonu için en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomlar¬n¬ içeren küme B olsun. E¼ger p0 2 B ve baz¬p 2 Pn(p 6= 0) için
ksgn(f p0):pkXm = Xm
i=1
sgn [f ( i) p0( i)]p( i)wi (5.23)
= X
i2Z(f p0)
jp( i)j wi
ise bu durumda
pt= p0+ tp2 B; a t b
olacak ¸sekilde a; b 2 R say¬lar¬ vard¬r. Ayr¬ca t > b ya da t < a için pt 2 B= gerçeklenir. E¼ger
X
i2Z(f p0)
jp( i)j wi = 0 (5.24)
ise a b < 0 olur. Aksi halde a b = 0 sa¼glanmal¬d¬r (Rivlin 1969).
Ispat.·
min
i2Z(f p= 0)jf( i) p0( i)j > 0 oldu¼gundan i 2 Z(f= p0) ve jtj < için
sgn[f ( i) p0( i)] = sgn[f ( i) pt( i)] (5.25)
olacak ¸sekilde > 0 say¬s¬vard¬r. Dolay¬s¬yla
kf ptkXm kf p0kXm = Xm
i=1
jf( i) pt( i)j wi Xm
i=1
jf( i) p0( i)j wi
= Xm
i=1
[jf( i) pt( i)j jf( i) p0( i)j]wi
= X
i2Z(f p= 0)
[jf( i) pt( i)j jf( i) p0( i)j]wi
+ X
i2Z(f p0)
[jf( i) pt( i)j jf( i) p0( i)j]wi (5.26)
e¸sitli¼gi gerçeklenir. Di¼ger taraftan, X
i2Z(f p= 0)
[jf( i) pt( i)j jf( i) p0( i)j]wi
= X
i2Z(f p= 0)
[f ( i) pt( i)] sgn [f ( i) pt( i)] wi X
i2Z(f p= 0)
[f ( i) p0( i)] sgn [f ( i) p0( i)] wi
= X
i2Z(f p= 0)
f(f( i) pt( i)) (f ( i) p0( i))g sgn [f( i) p0( i)] wi (5.27)
ve
sa¼glan¬r. O halde (5.27) ve (5.28) gere¼gince (5.26) ifadesi kf ptkXm kf p0kXm = X
¸seklinde yaz¬labilir. (5.23) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla kf ptkXm kf p0kXm = t X
Durum 1. E¼ger (5.24) e¸sitli¼gi gerçeklenir ise jtj < için (5.29) ifadesi kf ptkXm kf p0kXm = 0
¸seklinde elde edilir ve buradan pt 2 B gerçeklenir. pt 2 B olacak ¸sekildeki t say¬lar¬n¬n en küçü¼gü a ve en büyü¼gü b olarak seçilebilir. Bu durumda a ; b biçiminde olup a b < 0 sa¼glan¬r.
Durum 2.
X
i2Z(f p0)
jp( i)j wi > 0 ve
= Xm
i=1
sgn [f ( i) p0( i)] p( i)wi olsun. E¼ger > 0 ve 0 t < ise (5.29) gere¼gince
kf ptkXm kf p0kXm = 0
olup pt2 B sa¼glan¬r. E¼ger > 0 ve < t < 0 ise (5.29) e¸sitli¼gi kf ptkXm kf p0kXm = 2t
¸seklinde olup pt 2 B dir. O halde a = 0 ve p= t 2 B olacak ¸sekilde t say¬lar¬n¬n en büyü¼gü b olarak seçilebilir. Di¼ger taraftan e¼ger < 0 ve < t 0 ise (5.29) gere¼gince
kf ptkXm kf p0kXm = 0 olup pt2 B sa¼glan¬r. E¼ger < 0 ve 0 < t < ise (5.29) e¸sitli¼gi
kf ptkXm kf p0kXm = 2t
¸seklinde olup pt 2 B dir. O halde b = 0 ve p= t 2 B olacak ¸sekilde t say¬lar¬n¬n en küçü¼gü a olarak seçilebilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Sonuç 5.4 f fonksiyonuna Xm kümesi üzerinde en küçük birinci kuvvetten yak-la¸s¬m polinomu olan rn polinomu tek ise her p 2 Pn(p 6= 0) için (5.18) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Rivlin 1969).
Ispat.· Kabul edelim ki (5.18) e¸sitsizli¼gi sa¼glanmas¬n. Yani Xm
i=1
sgn [f ( i) rn( i)]p( i)wi = X
i2Z(f rn)
jp( i)j wi (5.30)
ifadesini gerçekleyen en az bir p 2 Pn polinomu vard¬r. (5.30) ifadesinin sa¼glanmas¬
halinde Teorem 5.6 gere¼gince a t b için pt= rn+ tp2 B
olacak ¸sekilde a; b 2 R say¬lar¬vard¬r. Yani, rn en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu tek de¼gildir.
Sonuç 5.5 q noktas¬B kümesinin ekstremum noktas¬ise
Z(f q)6= ;
sa¼glan¬r (Rivlin 1969).
Ispat.· Kabul edelim ki
Z(f q) =;
ifadesi sa¼glans¬n. q en küçük birinci kuvvetten yakla¸s¬m polinomu oldu¼gundan Teo-rem 5.6 da p0 polinomu yerine q polinomu al¬n¬rsa jtj olacak ¸sekildeki yeterince küçük > 0 say¬s¬ve baz¬p 2 Pn polinomlar¬için
pt= q + tp2 B sa¼glan¬r.
p = q + p
p = q p
ifadeleri taraf tarafa toplan¬rsa
q = 1
2(p + p ) e¸sitli¼gi gerçeklenir.
p 6= p
oldu¼gundan q noktas¬ B kümesinin ekstremum noktas¬ de¼gildir. Böylece ispat tamamlan¬r.
Sonuç 5.6 q1 6= q2 noktalar¬B kümesinin ekstremum noktalar¬ise Z(f q1)6= Z(f q2)
gerçeklenir (Rivlin 1969).
Ispat.· Kabul edelim ki
Z(f q1) = Z(f q2) olsun. B kümesi konveks oldu¼gundan
r = q1+ q2
2 2 B
sa¼glan¬r. Ayr¬ca
X
i2Z(f q1)
jr( i) q1( i)j wi > 0 (5.31) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. E¼ger (5.31) e¸sitsizli¼gi s¬f¬ra e¸sit olsayd¬bu durumda Teorem 5.6 da p0 polinomu yerine q1 polinomu ve p polinomu yerine r q1 polinomu al¬nd¬¼g¬nda q1 polinomu B kümesinin ekstremum noktas¬ olamazd¬. Gerçekten, > 0 say¬s¬
yeterince küçük olmak üzere jtj için
pt= q1+ t(r q1)2 B e¸sitli¼gi gerçeklenir. Buradan
p = q1+ (r q1) ve
p = q1 (r q1) ifadeleri yaz¬labilir.
q1 = p + p 2 ve
p 6= p
oldu¼gundan q1 noktas¬ B kümesinin ekstremum noktas¬ de¼gildir. O halde (5.31) gere¼gince
i0 2 Z(f q1)
ve
i0 2 Z(r= q1)
olacak ¸sekilde en az bir tane i0 noktas¬vard¬r. Dolay¬s¬yla f ( i0) q1( i0) = 0
ve
r( i0) q1( i0)6= 0 olup
f ( i0) r( i0)6= 0 (5.32)
sa¼glan¬r. (5.32) ifadesi
Z(f q2) = Z(f q1) Z(f r) olmas¬gerçe¼gi ile çeli¸smektedir. O halde ispat tamamlan¬r.
Teorem 5.7 B kümesinin her ekstremum noktas¬Xm kümesinin en az n + 1 nok-tas¬nda f fonksiyonu ile çak¬¸s¬r (Rivlin 1969).
Ispat.· Kabul edelim ki p0 2 B ekstremum noktas¬için Z(f p0)kümesi en fazla n noktadan olu¸ssun. Z(f p0) kümesinin elemanlar¬n¬kök kabul eden p 2 Pn(p6= 0) polinomu göz önüne al¬n¬rsa bu durumda
X
i2Z(f p0)
jp( i)j wi = 0
e¸sitli¼gi gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (5.23) ve (5.24) ifadeleri sa¼glan¬r. Sonuç 5.5 te verilen yöntem ve Teorem 5.6 göz önüne al¬n¬rsa p0 polinomu B kümesinin ekstremum noktas¬olamaz. Böylece ispat tamamlan¬r.