Fizik 101: Ders 20 Ajanda

Fizik 101: Ders 20

Ajanda

  = I^ konusunda yorumlar

 Bir sistemin açısal momentumu için genel ifade

 Kayan kiriş örneği

 Açısal momentum vektörü

 Bisiklet tekeri ve döner iskemle

 Jiroskobik hareket

 Hareketli dönme hakkında yorum

Ders 20, Soru 1

Açısal Momentum

 Dönen iki disk aynı açısal momentuma sahipken disk 1, disk 2den daha çok kinetik enerjiye sahiptir.

 Hangisinin eylemsizlik momenti daha büyüktür??

(a) disk 1 (b) disk 2 (c) veri yetersiz

Ders 20, Soru 1

Çözüm

K  1 2

I2  1 2

2 2

I I   1 2

2

I L

L ikisinde de aynı ise en büyük I ya sahip olanın kinetik enerjisi en az olacaktır.

L  I₁₁

₂

disk 2

L  I₂ ₂

₁

disk 1

I₁ < I₂

(L = I kullanarak)

 = I ^ eşitliği ne zaman geçersiz ?

 Anımsatma:

dt τ_DIŞ  dL

 Rotasyonun anlaşılmasında bu en temel denklemdir.

 Eğer L = I yazarsak:

 

dt d dt

dL  I  _{ }

I d I

dt

d

  dt ^{ I}  ^{ d I} dt

Eylemsizlik momenti değişirse  = I denklemi geçersizdir!

τ

 Iα

dt

ω dI



 = I ^ eşitliği ne zaman geçersiz ?

Farzı muhal _DIŞ = 0 :

I  d I 

dt 0  _{ }

I d I

dt

Ancak bu durumda dış tork olmadan açısal ivme  vardır!

τ

 Iα

dt

ω dI



Örnek...

 Eğer düzgün dairesel hareket yapan bir hokey topunun eylemsizlik momenti değişirse, topa açısal ivme etki edecektir.

 Yarıçapını değiştirmek eylemsizlik momentini

değiştirecek ama hiç bir tork meydana gelmez, zira kuvvet radyal yöndedir. (yani rx F = 0)

₁ ₂

₂ > ₁

Top dış tork olmadan ivmelenir!!

I₁ > I₂

Tekrar: Açısal Momentum



 Dışardan etki eden tork yoksa:

Toplam açısal momentum korunur!

dt

τ

 dL

τ

 r  F

dt 0 τ_DIŞ  dL 

 Bu bir vektör denklemidir.

 Her bir bileşeni için geçerlidir.

Tekrar...

 Genel olarak sabit bir (z) ekseni etrafında dönen bir cisim için L_Z = I ^ yazabiliriz!

 Açısal momentumun L_Z sağ el kuralı ile verilir.

L_Z  I

 z

Tekrar...

 Serbestçe hareket eden bir parçacık herhangi bir eksen etrafında belirli bir açısal momentuma sahiptir.

 Parçacığa dışardan bir tork etki etmiyorsa açısal momentumu korunur.

 Aşağıda verilen örnekte L nin yönü z ekseni boyuncadır ve büyüklüğü L_Z = pd = mvd ile verilir!

y

x

v d

m

Ders 20, Soru 2

Rotasyon



 Sürtünmesiz yatay bir masada, bir hokey topu masanın ortasından geçirilen bir ipe bağlı olarak sabit bir uzaklıkta (yarıçapta) düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Eğer ipi çekip yarıçap yarısına

düşerse topun açısal momentumu hangi faktörle artar?

(a) 2 (b) 4 (c) 8

Ders 20, Soru 2

Çözüm

 İp dönme merkezindeki bir delikten çekildiğinden tork yoktur, dolayısıyla açısal momentum korunur.

L₁ = I₁₁ = mR²₁

₁

m R m ₂

R/2

L₂ = I₂₂ = m ₂

=

2

2 R



 



 mR²₁ = m R²₂

4 1

4

₁ = 1 ₂ ₂ =4₁

Bir sistemin açısal momentumu için

genel bir ifade:

 Bir parçacıklar sistemi için açısal momentum:

 Konum ve hızı KM ne göre ifade edersek:

Burada r_i* ve v*_i KM gözlem çerçevesinde konum ve hız.

L  ri  p   r v

i

i i i i

i

m

r_i = R_km + r_i* v_i = V_km + v*_i

r R_cm

r*

Bir sistemin açısal momentumu için

genel bir ifade...

 Yerine koyarsak: ^



i

i km

i i

km r* m V v*

R L

i i

i i km

i

i i i

i

i km km

i

i

km m V R m v* r* m V r* m v*

R

L ^









Açarsak:

i i

i i

km i

i i i

i km

km top

km m r* V r* m v*

i

* v m R

V M R

L

 





 



 



















Sadeleştirirsek:

=MV*_km

= 0

=MR*_km

= 0

L_km L*

Bir sistemin açısal momentumu için

genel bir ifade...

 Sonuç olarak elde ettiğimiz ifade

Burada KM’nin açısal momentumu!

ve L* KM etrafındaki açısal momentum.

 Bir sistemin verilen bir eksene göre açısal

momentumu, bu eksene göre KMnin açısal momentumu ve kütle merkezinden gecen bir eksene göre açısal

momentumun toplamına eşittir.

KM KM

KM R P

L  

L = L_km+ L*

Bir sistemin açısal momentumu için

genel bir ifade...

 Gösterdik ki: L = L_km+ L*

 Bunun resmi:

y

x

v m,I d



KM

k

KM

 mvd ˆ

k

L

ˆ

* I

L

KMzinin hareketinden dolayı KM etrafında dönmeden dolayı

Orijin (eksen)

Örnek 1

 Uzunluğu d ve kütlesi m₁ olan bir çubuk sürtünmesiz bir yüzeyde şekilde gösterildiği gibi v_o hızı ile

dönmeden kaymaktadır. Durgun halde bulunan m₂, kütleli bir blok çubuk kayarken ucuna takılır.

 Blok çubuk sisteminin son durumdaki açısal hızı _F nedir?

m₁ m₂

d

_F km Önce (tepe bakışı) sonra(tepe bakışı)

v_o

Örnek 1

 Orijini bloğun çarpışmadan önceki konumunda seçelim.

KMnin çarpışmadan önceki y-pozisyonunu belirleyebiliriz.

d/2

Önce (tepe bakış) v_o

m₁ y

x

Örnek 1...

 Açısal momentumun z bileşenini (0,y_km) noktası etrafında almak en uygunudur. Çubuk dönmediğinden çarpışmadan önceki açısal momentum tamamen çubuğun KM

hareketinden dolayıdır.

d/2

Önce (tepe bakış)

v_o

m₁ y

x

y_km

ykm

d  2

Örnek 1...

 Çarpışmadan sonra, (0,y_km) noktası etrafında açısal momentumun z bileşeni çubuk+blok sisteminin KM etrafındaki dönmesinden dolayıdır.

F km km

f Z f

Z f

Z

L L I

L





 

_F

sonra (tepe bakış)

v_F

x (0,y_km) I_km y

0

Örnek 1...

 Sistemin KM etrafındaki eylemsizlik momentini I_km bilmeliyiz.

Sistemin KM m₁

m₂

Çubuğun KM y_km

d/2 d/2 - y_km

Örnek 1...

 Açısal momentum korunumunu kullanarak:

_F

sonra (tepe bakış)

v_F

y

x y_km I_km



 





 



2 1

1

1 1

I

2 m m

m d

v m

km o

F

ve I_km ve y_km için yerine koyarsak

Örnek 1...

 Farzedelim ki: m₁ = 2m₂ = 2m

_F v^o

 d

2

3

I_km  1 md

2m m

d

_F km

v_o I_km

önce sonra

Açısal momentum bir vektördür!

Bisiklet tekerleğini döndermek

 Bir öğrenci dönebilen bir tabureye oturur ve eline aldığı bisiklet tekerini yatay olarak döndürür. Sonra dönme eksenini 180^o döndürdüğünde kendisinin de dönmeye başladığını görür.

 Sizce ne oluyor?

Bisiklet tekerleği döndürmek...

 Öğrenci tabure sistemine etki eden dış tork olmadığından açısal momentum korunur.

 Önce: L_I= L_W,I

 Sonra: L_F = L_W,F + L_S

L_W,F

L_S

L_W,I L_W,I = L_W,F + L_S

Ders 20, Soru 2

Rotasyon

 Dönebilen bir taburede oturan öğrenci başlangıçta durgun ve elinde şekil (1)deki gibi dönen bir bisiklet tekeri tutmaktadır. Sonra

tekerin dönme eksenini şekil (2)deki gibi değiştirir. Son adımda geri çevirir şekil (3)teki gibi döndürür. Kendi dönmesi nasıldır?

(a) dönmez (b) 2 katlanır (c) aynı kalır

??

(1) (2) (3)

Ders 20, Soru 2

Çözüm

[1]

L_W

L_NET

[2]

L_W L_S L_NET

[3]

L_W

L_NET

Dönmez!

Jiroskop Hareketi:

 Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü farz edelim.

 Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur? ?

 eksen

destek g

Jiroskop Hareketi...

 Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü farz edelim.

 Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur?

 Jiroskop düşmez!!

 eksen

g

Jiroskop Hareketi...

 ... Dönme ekseni etrafında presesyon hareketi yapar!

 Bu olayı açısal momentum ve de tork kullanılarak anlayabiliriz.

 eksen

Jiroskop Hareketi...

 Dönme ekseni etrafında torkun büyüklüğü:  = mgd.

 Sağ eli kuralını kullanarak torkun yönünü bu anda sayfadan dışa buluruz.

 Bu anda açısal momentumdaki değişimde sayfadan dışa doğru olmalıdır.

L  eksen

d

mg

  d dt

L

Jiroskop Hareketi...

 Jiroskop’a tepeden bakarsak:

 dt zamanında açısal momentumun büyüklüğü dL = Ld^.

 Dolayısıyla

Burada  “presesyon frekansıdır”

Tepe bakış L(t)

L(t+dt)

dL d  eksen

dL

dt Ld

dt L

   

Jiroskop Hareketi...

 

 Bu örnekte,  = mgd ve L = I^:

 Presesyonun yönünü bulmak için sağ el kuralını uygularız ve buradan  ve dL/dt yönüde bulunur.

  dL  dt L

L  pivot

d

mg



  mgd I 

   L