Ajanda Fizik 101: Ders 17

Fizik 101: Ders 17

Ajanda

 Dönme hareketi

 Yön ve sağ el kuralı

 Rotasyon dinamiği ve tork

 Örneklerle iş ve enerji

Dönme ve Lineer Kinematik

Karşılaştırma

sabit

α 

0 t



  

  ₀ ₀ 1  ² t 2 t

sabit

a 

v  v₀ at

x  x₀ v t₀  1 at² 2

Rotasyon ekseninden R uzaklığında bir nokta için:

x = Rv = Ra = R

 Hız formülü kullanarak  = 0 :

Örnek:

 Bir teker A ₀ = 500 rad/s lik ilk hız ile

dönmektedir. t = 0 da 0.5 rad/s² lik bir ivme ile

yavaşlamaya başlar. Durana kadar ne kadar zaman geçer?





 Başlangıç hızı = - 0.5 rad/s².

  ₀ t t  

⁰

dak s s

rad s

t rad 1000 16.7

/ 5

. 0

/ 500

2  



 Bu durumda

Yuvarlanma Hareketi

 Eğik düzlemde eylemsizlik momentleri I olan farklı cisimlerin yuvarlanması:

h

v = 0

 = 0 K = 0 R

K = - ^U ⁼ Mgh

2

2 Mv

2 Iω 1

2

K  1 

v = w R M

Yuvarlanma...

2

2 Mv

2 I 1

2

K = 1  +

 

2 2

2 c 1 Mv

2 Mv 1

2 ω 1

2 cMR

K  1   

burada v = ^R ve I = cMR^{2 .}



(

)

2

1 ₂

=

+ 1

gh 1 2

v = +

Yuvarlanma hızı her zaman kaymadan daha azdır. Çünkü kinetik enerji dairesel hareket ve KM yer değiştirme hareketince paylaşılmaktadır.

çember: c = 1 disk: c = 1/2 küre: c = 2/5 vs...

c c

Örnek

 Rampada yuvarlanan farklı cisimlerin hızı…

Rotasyonun Yönü

 Genelde rotasyon değişkeni vektördür (ve yönü vardır)

 Eğer rotasyon x-y düzleminde ise kuralımız:

 Saat tersi yönündeki rotasyon + z yönünde

 Saat yönündeki rotasyon - z yönünde

x y

z

x y

z

Rotasyonun Yönü:

Sağ el kuralı

 Rotasyon vektörünün hangi yöne doğru olduğunu bulmak için sağ elinizin

parmaklarını cismin döndüğü yönde

kıvırın. Baş parmak rotasyonun yönünü yönünü gösterecektir!

 Genelde z-eksenini rotasyon ekseni olarak seçeriz. (şekildeki gibi)

 = _z

 = _z

 = _z

 Gerekmediği sürece kolaylık olsun diye indisleri kullanmayız..

x y

z

x y

z

Ders 17, Soru 1

Rotasyon

 Yerde yuvarlanan bir küre bir süre sonra eğik düzlemde rampa yukarı yuvarlanmaya başlar.

(şekildeki gibi). Top rampa yukarı yuvarlanırken açısal ivmenin yönü nedir?

(a) Rampadan aşağı (b) Sayfadan içe

(c) Sayfadan dışa

Ders 17, Soru 1

Rotasyon

 Top eğik düzlemde iken lineer ivme yer çekiminden ötürü hep aşağı doğrudur.

a

 Dolayısıyla açısal ivme saat tersi yöndedir.



 Sağ el kuralını kullanarak  sayfa düzleminden dışa doğru buluruz!

Rotasyon Dinamiği:

Döndüren nedir?

 Farzı muhal bir kütleye etki eden bir kuvvet dairesel bir yörüngede harekete zorluyor. Belli bir anda

yörüngeye teğet yöndeki ivmesi:



a

= ^ r

 Şimdi Newtonun 2. yasasını 

yönünde kullanarak:



F

= ma

⁼ m ^ r

r F

= m r



r a_



F m

r ^

 ^

^ F_

 r ile çarparak :

Rotasyon Dinamiği:

Döndüren nedir?

rF_ = mr^{2}ve

 tanım tork :  = rF_.

  dik kuvvet F_ kere uzaklık r.

 Tork’un yönü :

 + z eğer sistemi saatin tersi yönünde döndürmeye çalışırsa.

 - z eğer sistemi saat yönünde döndürmeye çalışırsa.



 = I



= I

mr 2

I

r a_



F m

r ^

 ^ F_

Rotasyon Dinamiği:

Döndüren nedir?

 Katı halde çok parçacıklı sistem için:

r₁

r₂ r₃

r₄ m₄

m₁

m₂ m₃

F₄ 

F₁

F₃ F₂

 _i ⁱ

2 i

i riFi_ mir 

 





, 

_i I

_i 

i

  I

 Parçacıklar sabit olarak birbirine bağlandığından hepsinin de ivmesi aynıdır .

I 

net 

τ

Rotasyon Dinamiği:

Döndüren nedir?

 

= I



 F_net = ma için rotasyon analoğu.

 Tork kuvvetin rotasyon analoğu:

 Kuvvetçe sağlanan “burulma” miktarı.

 Eylemsizlik momenti I, kütlenin rotasyon analoğu.

 Eğer I büyükse istenen ivmeye ulaşmak için daha büyük tork gereklidir.

 Tork birimi kg m²/s² = (kg m/s²) m = Nm.

Tork

= r sin ^ F

 = rF_

 Tork tanımından:

r 

r_p F



F_

F_r 

Tork

 = r Fsin ^

 Eğer  = 0 ^o, ise  = 0

 Eğer  = 90 ^o, ise  = maksimum

r

F

r F

Ders 17, Soru 2

Tork

 Aşağıdaki durumlardan hangisinde dönme ekseni

etrafında uygulanan kuvvetin torku daha büyüktür? Her iki durumda da uygulanan kuvvetinin büyüklüğü ve yönü aynıdır.

(a) durum 1 (b) durum 2 (c) aynı

L

L

F F

eksen

Durum 1 Durum 2

Ders 17, Soru 2

Çözüm

L

F F

Durum 1 Durum 2

L Tork aynı!

Tork ve Sağ El Kuralı:

 Sağ el kuralı ile Tork’un yönünü tayin ederiz:

 Elinizi dönme ekseninden kuvvetin uygulandığı yöne doğru yöneltin.

 Parmaklarınızı kuvvet yönünde döndürün.

 Baş parmağınız tork’un yönünü gösterecektir..

r

F

x y

z



Vektörel (Çapraz) Çarpım

 Tork’un vektörel doğasını çapraz (vektörel) çarpım ile tanımlayabiliriz.

 İki vektörün çapraz çarpımı 3. bir vektör verir:

A X B = C

 Sonuç vektör C büyüklüğü:

C = AB sin ^

 Sonuç vektörün C yönü A ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir ve yönü sağ el kuralı ile bulunur.

A B

C



Tork & Çapraz Çarpım

r F

x y

z



 Tork’u yeniden tanımlarsak:

 = r x F

= rF sin ^

 = I ^ üzerine... 

 Tork’ = I^ şeklinde yazarsak genelde z bileşenini

kastederiz. (z-eksenini dönme ekseni olarak seçeriz.) _z = I_z^_z

 Genellikle kolaylık için z indisi yazılmaz.

z

_z

_z I_z

Örnek

 Sıkılmış bir somun’u (büyük vida) gevşetmek için 50 cm uzunluğundaki bir anahtar ile somuna 45^o derecede

200 N kuvvet uygulanıyor.

 Somun üzerine uygulanan tork’un büyüklüğü nedir?

 Eğer somun aniden serbest dönmeye başlarsa, anahtarın açısal ivmesi nedir? (Anahtarın kütlesi

3 kg, ve şekli ince bir çubuktur).

L = 0.5 m F = 200 N

45^o

Örnek

L = 0.5m F = 200 N

45^o



 Tork  = LFsin  = (0.5 m)(200 N)(sin 45) = 70.7 Nm

 Somun serbest dönerse,  = I

 Tork’u  biliyoruz ve  bulmak için Iyı hesaplamalıyız

  ^{2 2}

2 3 kg 0 5 m 0 25 kgm

3 ML 1

3

1 . .

I  

= 283 rad/s²

 = / I = (70.7 Nm) / (0.25 kgm²)

İş

 Sabit bir eksen etrafında dönmeye zorlanan bir diske etki eden F kuvvetinin yaptığı iş sonsuz küçük bir açısal yer değiştirme d

içinnedir? 

 dW = F^.dr = F R d cos() = F R d cos(90-) = F R d sin()

= F R sin() d

dW = ^d

 İş için integre edersek: W =

 Çizgisel işe benzer W = F •r

 W negatiftir eğer  ve  zıt yönlerde ise!

R

F

dr = R d

d

eksen





İş & Kinetik Enerji

 İş/Kinetik enerji teoremi:

^ K = W

^



 Bu genel olarak doğrudur ve hem çizgisel hem de dairesel hareket için geçerlidir.

 Sabit bir eksen etrafında dönen bir cisim için:



 ^W

2 I

ΔK  1    

Örnek: Disk & İp

 Kütlesi M=40 g ve yarıçapı R=10 cm olan bir diskin etrafına kütlesiz bir ip 10 kez sarılıyor. Disk

merkezinden geçen eksen etrafında sürtünmesiz dönmektedir. İp F=10 Nluk bir kuvvetle çözülene

kadar çekiliyor. (İpin kaymadığını ve diskin başlangıçta dönmediğini kabul edelim.).

 İp çözüldüğünde diskin dönme hızı nedir?

F

R M

 W = (.1 m)(10 N)(20rad) = 62.8 J

Disk & İp...

 Yapılan iş W =



 Tork

 = RF (

 = 90

)

 Açısal yer değiştirme



2 

.

F

R M

 









 



 



Disk & İp...

W_NET = W = 62.8 J =



2 I 2

Merkezinden geçen eksen etrafında dönen dönen Disk için I:

I  1 2

MR2

W MR

K  



 



 

 ^{2 2}

2 1 2

1 



 

  

  4  4 62 8 04 1

2 2

W MR

J kg

.

. . = 792.5 rad/s



R M

Ders 17, Soru 3

İş & Enerji

 Disklerin çevresine ip bağlayıp aynı kuvvetle bir süre aynı

mesafede çekiliyor. Disk 1’in yarı çapı daha büyüktür ve her iki diskin eylemsizlik momenti aynıdır. Her iki diskte merkezinden geçen bir eksen etrafında dönmekte ve başlangıçta durgundurlar.

 Çekmeden sonra hangi diskin açısal hızı daha büyüktür?

(a) disk 1 (b) disk 2 (c) aynı

F F

₁ ₂

Ders 17, Soru 3

Çözüm

F F

₁ ₂

d

 Yapılan iş her iki disk içinde aynıdır!

W = Fd

 Kinetik enerjideki değişiklik aynı olacaktır, zira W = K.

Biliyoruz ki ^{K  1} 2

I 2

Ve I₁ = I₂

  ₁ = ₂

Özet

 Dönme hareketi

 Yön ve sağ el kuralı

 Rotasyon dinamiği ve tork

 Örneklerle iş ve enerji