Ajanda Fizik 101: Ders 12

Fizik 101: Ders 12

Ajanda



Problemler İş & Enerji



Potansiyel Enerji, Kuvvet, Denge



Güç

Problem: Yaylı Sapan

 Yay sabiti k olan iki yaydan bir sapan yapılmıştır. Her iki yayın başlangıç uzunluğu x₀. Kütlesi m olan bir taş iki yayın birleştiği noktaya yerleştirilip yaylar geri çekilmiştir. Gerilen yayların uzunluğu x₁ dir. Sonra yay bırakılır ve taş yaydan

ayrılır. Taşın yaydan ayrıldıktan sonraki hızı v nedir? (Her iki yayın durgun uzunluğu x_r).

x₁

m

x₀

m

v m

x_r

Problem: Yaylı Sapan

x₀ x₁

m m

Problem: Yaylı Sapan

v

m Durgun halde m

Problem: Yaylı Sapan

v

m m

   





2 r 0

2 k x x x x

2 mv

1     

Problem: Yüksekliği nedir?

 Kütlesi m olan bir mermi yer yüzeyinden v₀ hızıyla

fırlatılır. Merminin yere dönmeye başladığı noktadan R_MAX yer merkezine olan uzaklığı nedir?

R_MAX R_E

v₀

m

M

Problem: Yüksekliği nedir...

R_MAX v₀

m

h_MAX R_E

M

R_MAX R_E

v₀

m

h_MAX

M

R R

v gR

MAX E

E



 1 2

0 2

Problem: Yüksekliği nedir...

Kaçış Hızı

R R

v gR

MAX E

E



 1 2

0 2

v₀  2gR_E

Kaçış Hızı



(Burada G = 6.67 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2).

p p

esc R

2 GM v 

2

RE

g  GM

Ay

Dünya

Güneş Jupiter

R_p(m) M_p(kg) g_p(m/s²) v_esc(m/s) 6.378x10⁶ 5.976x10²⁴

1.737x10⁶ 7.349x10²² 7.149x10⁷ 1.900x10²⁷ 6.950x10⁸ 1.989x10³⁰

9.81 1.62 24.8 275

11.2x10³ 2.38x10³ 59.5x10³ 618.x10³

Ders 12, Soru 1

Kaçış Hızı

 Özdeş iki uzay gemisi, kütleleri aynı, değişik iki gezegende fırlatılmak üzere beklemektedir.

Gezegen 1 durgun ve gezegen 2  açısal hızıyla dönmektedir.

 Sonsuza uçmak için hangi uzay gemisinde daha fazla yakacağa gerek vardır?

(a) 1 (b) 2 (c) aynı

(1) (2)





Ders 12, Soru 1

Çözüm

 Sonsuza uçmak için her iki uzay gemisi de aynı kaçış hızına sahip olmalıdır.

 Dolayısıyla aynı kinetik enerjiye sahip olmalıdır.

 Başlangıçta her ikisinin potansiyel enerjisi de aynıdır..

 Uzay gemisi 2 başlangıçta bir miktar kinetik enerjiye sahiptir, dolayısıyla sonsuza ulaşmak

için daha az iş yapar (yani daha az yakıta ihtiyacı vardır).

Ders 12, Soru 1

Çözüm

 Bu nedenledir ki uzay istasyonları ekvatora yakın yerlerde konuşlandırılır.

r₁ r₂

r₂ > r₁

K₂ = m(r₂)² >

2

1 K₁ = m(r₁)² 2

1 v = ^r

Problem

 m kütlesi şekilde gösterilen yolda zeminden H

yüksekliğinde durgunken sürtünmesiz yüzeye bırakılır.

Kütle zemine ulaştıktan sonra yarıçapı R olan bir

yörüngeye girer. Eğer kütle yörüngede zor kalabilecek durumda ise H nedir?

H

R

Problem

H

R v

mg N

v

i j

Problem

H

R h = H - 2R

v

H  5 R 2 v  Rg

Ders 12, Soru 2

Enerji Korunumu

 m kütlesi şekilde gösterilen yolda zeminden H yüksekliğinde durgunken sürtünmesiz yüzeye

bırakılır. Kütle zemine ulaştıktan sonra yarıçapı R olan bir bir yörüngeye girer. Kütle yörüngenin en üst noktasına ulaştığında normal kuvvet cismin ağırlığına eşitse H nedir?

R H

(a) 3R (b) 3.5R (c) 4R

Ders 12, Soru 2

Çözüm

R v

mg N

v

i H j

Ders 12, Soru 2

Çözüm

R h = H - 2R

v

H  3R

H

v²  2Rg

Düşey Yay

 Bir yay düşey asılmıştır. Yayın serbest konumu y = 0 (a). Bir m

kütlesi alt ucundan asıldığında yeni pozisyonu y_e (b).

y = 0

y = y_e j k

m (a) (b)

mg -ky_e

 Hooke yasasından F_s = -kx. (b) durumunda F_s = mg ^ve x = y_e^: -ky_e - mg = 0 (y_e < 0)

mg = -ky_e

Düşey Yay

 Yay-kütle sisteminin potansiyel enerjisi:

y = 0

y = y_e j k

m (a) (b)

U  1 ky mgy C 2

2

C y

ky 2 ky

U  1 ²  _e 

ama mg = -ky_e

C öyle seçelim ki y=y_e iken U=0 :

C ky

2 ky

0  1 _e²  _e²  ky_e² 2

C  1

Düşey Yay

 Buradan:

y = 0

y = y_e j k

m (a) (b)

( )

= - +

= + -

2 2

2 2

1 1

2 2

1 2

2

e e

e e

U ky ky y ky

k y y y y

sadeleştirirsek:

y y_e²

2 k

U  1 

Düşey Yay

 Yeni bir koordinat sistemi y tanımlarsak ve dengede iken y = 0 ise, ( y = y - y_e )

sonuç:

y ^{= 0}

j k

m (a) (b)

y y_e²

2 k

U  1 

ky 2

2 U  1 

Düşey Yay

 Eğer y = 0 pozisyonunu kütlenin yaya asılı olduğu denge konumu olarak

seçersek, potansiyelin basit tanımı:

 g nin olmadığına dikkat ediniz!!

 Koordinatları ve sabitleri akıllıca seçerek gravitasyonu saklayabiliriz.

y = 0 j k

m (a) (b)

U  1 ky 2

2

Yay potansiyeli: U

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

y

U U_S = ¹/₂ky²

Gravitasyon potansiyeli: U

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

y U

U_G = mgy

Gravitasyon + yay potansiyeli: U

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

y U

U_G = mgy U_S = ¹/₂ky²

U_NET = U_G + U_S

mgy terimi kadar itilir!

y_e 0

Gravitasyon + yay potansiyeli: U

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

y U

U_S = ¹/₂ky²

U_NET =U_G + U_S + C

y_e 0

mgy terimi kadar itilir!

C öyle seçki yeni denge konumu 0 potansiyel enerjiye sahip olsun.

Ders 12, Soru 3

Enerji Korunumu

 Durum (1)de kütle bir yaya asılıdır.

Durum (2)de özdeş bir kütle yayın durgun pozisyonunda elde tutulmaktadır.

 Hangisi iki durumun potansiyel enerjilerini doğru tanımlar?

(a) U₁ > U₂ (b) U₁ < U₂ (c) U₁ = U₂

d

durum1 durum 2

Ders 12, Soru 3

Çözüm

d

durum 1 durum 2

Potansiyel Enerji & Kuvvet

 Korunumlu bir kuvvet için potansiyel enerji fonsiyonu tanımı:

 Buradan:

 Bildiğimiz potansiyel enerjiler ve kuvvetleri:

Yay:

Yere yakın gravitasyon:

Newton Grvitasyon:





















C dx

F U

dx F W

U ²

1

x

x

U_x  1 kx C 2

2

U_y  mgy C

F dU

dx kx

x    

F dU

dy mg

y    

U GMm

R C

R    F dU

dR

GMm

R     R₂ dx

F  dU

Potansiyel Enerji Diyagramı

 İdeal bir yaya iliştirilmiş sürtünmesiz bir yüzeyde kayan bir kütlenin

hareketine bakalım:

0 x

U

m

x U_s  1 kx

2

2

Potansiyel Enerji Diyagramı

 İdeal bir yaya iliştirilmiş sürtünmesiz bir yüzeyde kayan bir kütlenin

hareketine bakalım:

 F = -dU/dx = -eğim

m

x

x 0 x

U

F

F

U_s  1 kx 2

2

Potansiyel Enerji Diyagramı

 Kütlenin potansiyel

enerjisi sürtünmesiz bir çanakta hareket eden

cismin potansiyel enerjisi ile aynıdır!

U_g = mgy = ¹/₂ kx² = U_s

0 x

U

m

x2

gm 2 y  k

x konumunda çanaktaki cismin yüksekliği

Denge

 F = -dU/dx = -eğim

  F = 0 eğer eğim=0.

 Bu U(x) nun minimum yada maksimum olduğunda.

 Denge konumu olarak adlandırılır.

 Durgun konumda blok

pozisyonu x = 0, hareket

etmez! ^{0 x}

U

m

x

Denge

 Denge pozisyonundan

küçük bir miktar hareket ettirdiğimizde denge

konumuna döndürecek

kuvvet oluşturur. Dengenin durgun olduğunu söyleriz.

 Denge pozisyonunda U değeri minimum ise aynı durum söz konusudur.

 Matematik dilinde, denge durgundur eğer ikinci

türevi pozitifse.. ^{0 x}

U

m

x F

F

Denge

 Farzı muhal U(x) şekildeki gibi olsun:

 Burada 2 denge durumu var, 1. stabil (+ curvature) 2.

stabil değil (- curvature).

 U(x) potansiyel yüzeyinde kayan bir cisim düşünelim:

 Küçük bir itmede harekete devam ederse, denge konumu stabil değil.

 Küçük bir itmeden sonra tekrar denge konumuna dönerse, denge konumu stabildir.

 Eğer curvature 0 ise (düz çizgi ) denge nötraldir.

U

0 x

Durgun (stabil) Stabil değil

nötral

 Kuvvet zamandan bağımsız ise:

dW/dt = F^.dr/dt = F^.v P = F^.v

Güç

 İş tanımı: W = F^.r

 Zamandan bağımsızdır!

F

r

v P dW

 dt

 Güç “birim zamandaki iş”:

 Güç birimi: J/sn = N-m/sn = Watts

Güç

 Ağırlığı 2000 kg olan bir araba bir vinç ile zemine 30 derecelik yokuş yukarı 8.94 m/s Vincin gücü nedir? W?

 Güç P = F^.v = T^.v

 X yönünde arabanın ivmesi olmadığından:

 T - mg sin ^ = 0

 T = mg sin ^

 v

mg

T

vinç x

y

Güç

 P = T^.v = Tv

T // v olduğundan!

  P = mgv sin ^ v = 8.94 m/s

g = 9.81 m/s² m = 2000 kg

sin ^ = sin (30^o) = 0.5

vee… P = (2000 kg)(9.81 m/s²)(8.94 m/s)(0.5) = 87,700 W

 v

mg

T

vinç x

y

Özet



Problemler





Potansiyel Enerji, Kuvvet, Denge



Güç