Ajanda Fizik 101: Ders 18

Fizik 101: Ders 18

Ajanda

 Özet

 Çoklu parçacıkların dinamiği

 Makara örneği

 Yuvarlanma ve kayma örneği

 Verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu

 Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma

 Bowling topu: kayan ve yuvarlanan

 Makaralı Atwood makinesi

Özet: Yön & Sağ El Kuralı

 Rotasyon vektörünün hangi yöne doğru olduğunu bulmak için sağ elinizin

parmaklarını cismin döndüğü yönde

kıvırın. Baş parmak rotasyonun yönünü yönünü gösterecektir!

 Genelde z-eksenini rotasyon ekseni olarak seçeriz. (şekildeki gibi)

 = _z

 = _z

 = _z

 Gerekmediği sürece kolaylık olsun diye indisleri kullanmayız..

x y

z

x y

z

Özet: Tork ve Açısal İvme

_NET = I^{}



 F_NET = ma için rotasyon analoğu.

 Tork kuvvetin rotasyon analoğu:

 Kuvvetçe sağlanan “burulma” miktarı.

 Eylemsizlik momenti I, kütlenin rotasyon analoğu.

 Eğer I büyükse istenen ivmeye ulaşmak için daha büyük tork gereklidir.

Ders 18, Soru 1

Rotasyon

 Şekildeki verilen 2 teker merkezlerindeki eksen etrafında serbestçe dönebilmektedir. Tekerlerin kütleleri eşitken birinin yarıçapı diğerininkinin yarısı kadardır.

 Şekilde gösterildiği gibi F₁ ^ve F₂ kuvvetleri uygulanıyor.

Tekerlerin açısal ivmeleri aynı ise F₂ ^/ F₁ ^nedir?

(a) 1 (b) 2

(c) 4 F₁

F₂

Ders 18, Soru 1

Çözüm

Tork:

I  mR² ama ^{  FR} ve



  I





 mR F

mR FR ²





1 2 1

2 1

2

R R mR

mR F

F  





F₁

F₂ Zira R₂ = 2 R₁ ²

F F

1 2 

Özet: İş & Enerji

 Tork  etkisinde  yer değiştirmesi için yapılan iş:

 Sabit bir tork’un gücü:

W  

P dW dt

d

   dt  

Düşen Kütle & makara

 m kütleli bir cisim bir ip ile bir makaraya asılıyor. İp R yarıçaplı makaranın etrafında sarılı olup makara merkezindeki bir bilye

yardımıyla rahatlıkla dönebilmektedir. Makara ve bilye sisteminin eylemsizlik momenti I`dır.

İp makarada kaymamaktadır.

 Makara durgunken dönmeye başlar. Kütlenin L kadar düşmesi için ne kadar süre

gereklidir.

I

m R

T

mg



a

L

Düşen Kütle & makara...

 Asılı kütle için F = ma

 mg - T = ma

 Makara ve bilye için  = I^

  = TR = I^

 Anımsatma: a = ^R

 Yukarıdakileri kullanarak a yı çekersek.

I

m R

T

mg



a

L

a mR

mR g

 



 



2 2 I

TR a

 IR

Düşen Kütle & makara...

 1-D kinematik kullanarak L kadar yol almak için gerekli zamanı

bulabiliriz: ^I

m R

T

mg



a

L

a mR

mR g

 



 



2 2 I L  1 at

2

2 t L

 2a

burada

Hareketli eksen etrafında dönme.

 M kütleli ve R yarıçaplı bir diskin etrafına ip sarılır. Başlangıçta disk sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde durgundur. İp bir F kuvveti ile çekilir ve kaymadan çözülür.

 Disk D kadar hareket ederse çözülen ip uzunluğu L nedir?

F R

M

Tepeden bakış

Hareketli eksen etrafında dönme...

 Kütle merkezinin hareketi F = MA

F

M A

A F

 M

D At F

M t

 1 

2 2

2 2

 KM’nin aldığı mesafe

 R I  1

2

MR2

MR F 2 2 MR

1 RF

I = ₂ =

= 



 Disk KM etrafında  = I

 ya göre dönecek.

  1   2

2 2

t F

MRt

 Açısal yer değiştirme

Hareketli eksen etrafında dönme...

 KMnin aldığı mesafe ve KM etrafında dönme zamanın bir fonksiyonudur:

D F D F

M t

 2

2   F

MRt ²

F



(b) yi (a)ya bölersek:

(a) (b)



D  R2

R  2D

L

İpin uzunluğu L = R^:

L  2D

Yuvarlanma

 Yatay ile  açısı yapan bir eğik düzlemde kütlesi M yarıçapı R ve eylemsizlik momenti I olan bir cisim kaymadan aşağı yuvarlanıyor. Cismin ivmesi nedir?

 Öncekinde olduğu gibi burada da KM hareketini ve KM etrafındaki dönme hareketini birbirinden ayrı dikkate almamız gerek.



R I M

Yuvarlanma...

 Yuvarlanma statik sürtünmeden dolayıdır. Statik sürtünme bilinmiyor, ilk onu bulmalıyız.

 KM için serbest cisim diyagramı F_NET = MA_KM : x yönünde Mg sin ^ - f = MA

 2. adımda KM etrafındaki rotasyona bakalım ve

 = I^ kullanalım. bilinenler

 = Rf ve A = ^R

R M



f

Rf A Mg

 IR f A

 I R

2

Yuvarlanma...

 2 denklemimiz var: Mg sin ^ - f = MA

 İkisinden f yi çekersek:

f I A R²



= +

I MR

sin g MR

A ₂

2 



A R

I M

 

sin 7 g

5 5 MR

MR 2

sin g MR

A

2 2

2

= +

=

Küre için

Ders 18, Soru 2

Rotasyon



İki adet katı alüminyumdan yapılmış silindirden

büyüğünün yarıçapı küçüğünün 2 katı kadardır.

 İkisi de bir rampanın tepesinden serbest bırakılırsa hangisi önce aşağı iner?

(a) büyük (b) küçük

(c) aynı

Ders 18, Soru 2

Çözüm

 Önce birini dikkate alalım. Yarıçapı R, kütlsi M eğim yüksekliği H olsun.

H

Enerji korunumundan: - DU = DK _{MgH } ¹ _{ MV} 2

1 2

2 2

I 

I  1 2

MR2  V

ama ve R

MgH MR V

R MV

  

  1

2 1 2

1 2

2

2

2 2

MgH  1MV  MV  MV 4

1 2

3 4

2 2 2

Ders 18, Soru 2

Çözüm

H

MgH  3MV 4

yani: 2 ^{gH  3}₄^V2

V  4gH 3

(c) büyüklükten ve kütleden bağımsız, Şekilleri aynı olduğu sürece!!

anımsatma küre için KM`nden geçen eksene göre:

Ders 18, Soru 3

Rotasyon

 Bir bowling topu (düzgün küre) yerde kaymadan yuvarlanıyor.

 Rotasyon kinetik enerjisinin translasyon (yerdeğiştirme) kinetik enerjisine oranı nedir?

I  2 5

MR2

(a) (b) ² (c)

5 5

1 1

2

Ders 18, Soru 3

Çözüm

 Toplam KE kısmi olarak rotasyondan ve kısmi olarakta KM translasyonundan.

rotasyonal K

translasyonal K

1 2

I 2 1 2

MV2

K =

Ders 18, Soru 3

Çözüm

 V Kaymadan yuvarlandığından: R

rotasyonal K

translasyonal K

1 2

I 2 1 2

MV2

K =

2 2

TRANS ROT

2 MV 1

2I 1 K

K 

 5

2 MV

R MR V

5 2

2 2 2 2

 



 







Makaralı Atwood Makinesi :

 Şekilde görüldüğü gibi 1 çift kütle disk şeklindeki bir makara

üzerinden asılmıştır.

 Kütlelerin ivmesi nedir?

m₂ m₁

R M

y

x

m₂g T₁ a

m₁g a

T₂

 Asılı kütleler için F = ma

 m₁g - T₁ = -m₁a

 -m₂g + T₂ = m₂a



R MRa a

2 I  1



 I a R

I  1 2

MR2

(çünkü dik için)

 Makara için  = I



 T₁R - T₂R

Makaralı Atwood Makinesi...

 3 bilinmeyenli (T₁, T₂, a) 3 denklem den a yı çekeriz:

-m₁g + T₁ = -m₁a (1) -m₂g + T₂ = m₂a (2) T₁ - T2 (3)

a m m

m m M g

 

 



 



1 2

1 2 2

 1 2 Ma

m₂ m₁

R M

y

x



m₂ m₁

m₂g T₁ a

m₁g a

T₂

Özet

 Özet

 Çoklu parçacıkların dinamiği

 Makara örneği

 Yuvarlanma ve kayma örneği

 verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu

 Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma

 Bowling topu: kayan ve yuvarlanan

 Makaralı Atwood makinası