Sistem Dinamiği Bölüm 1- Sistem Dinamiğine Giriş Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

(1)

Sistem Dinamiği

Bölüm 1- Sistem Dinamiğine Giriş

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

(2)

MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 1

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği

Sunumlarda kullanılan semboller:

2

Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

Şekil No

Şekil numarası Dikkat

Soru MATLAB

(3)

İlgili konular:

▪ Diferansiyel denklemler

▪ İşaret ve sistemler

▪ Laplace ve Fourier Dönüşümleri

▪ Statik-Dinamik

▪ Elektrik Devreleri

(4)

Erhan AKDOĞAN, Ph.D.

YTÜ-Mechatronics Eng. MKT3131 Sistem Dinamiği Bölüm 1

Ders Kaynakları:

▪ Ana ders kitabı:

▪ Systems Dynamics, William J Palm III, 3th edition, McGraw Hill, 2013

▪ Diğer kaynaklar:

▪ Norman S. Nise. Control Systems Engineering, 6ed, Wiley, 2011

▪ Ogata K. System Dynamics, 4th Edition, Prentice Hall,2004.

▪ Ogata K. Sistem Dinamiği, Palme Yayıncılık, 2013

4

(5)

Bölüm 1 içeriği:

▪ Sistem Dinamiğine giriş

▪ Birimler

▪ Lineer (doğrusal) model geliştirme

▪ Fonksiyon tanımlama ve parametre tahmini

(6)

1.1. Sistem Dinamiğine Giriş

(7)

Giriş:

▪ Sistem dinamiği:

▪ Sistemlerin matematiksel model ve analizleri

▪ Bunları zamana bağlı davranışları ile ilgilenir.

Bir sistemin dinamik davranışının doğru modellenmesi ve analizi o

sistemin kontrolü ile yakından ilişkilidir.

(8)

1.1.1 Sistemler:

▪ Belirli bir işlevi yerine getirmek üzere biraraya getirilmiş elemanlar topluluğuna SİSTEM denir.

SORU:

▪ Bir bisikletin mekanizmasındaki bir link sistem midir?

8

(9)

Odak:

Tüm sistem

düşünüldüğünde

elemanların arasında nasıl bir ilişki var ve bu ilişkinin sistem

davranışına olan etkisi

nedir?

(10)

Sistem mi? Değil mi?

f=bh ^m

f: akış debisi h: yükseklik

10 Şekil 1.1.1

(11)

▪ İki tankın akış debileri birbirini etkiler

▪ SİSTEM

(12)

Simülasyon diyagramı veya blok diyagram

• Değişkenler,

• Bu diyagramlar diferansiyel denklemleri temsil eder

12 h 1

Alt sistem 1 (Tank 1)

Alt sistem 2 (Tank 2)

h 2

f 2

f 1

(13)

1.1.2. Giriş ve çıkış:

▪ Giriş nedendir.

▪ Çıkış bir etkidir.

▪ Örnek:

▪ Bisiklet pedalına uygulanan kuvvet

➡

giriş....

▪ Bisikletin hızı

➡

çıkış....

(14)

Sistem davranışı:

▪ Giriş ile çıkış arasındaki ilişki,

▪ Giriş çıkışı nasıl etkiliyor?

▪ Nedenàetki

Newton’un ikinci kuralı: a=f/m Giriş:?

Çıkış:?

14

(15)

Giriş, çıkış ve sistem sınır koşulları:

(16)

Giriş – Çıkış ilişkilerinin geri dönüştürülebilirliği:

▪ Akım gerilim ilişkisi:

▪ i=V/R, V=i.R à Geri dönüştürülebilir

▪ Hız-ivme-yerdeğiştirme:

▪ İvme hıza neden olur ama hız ivmelenmeye neden olmaz.

▪ Hızlanma yer değiştirmeye neden olur, tersi doğru değildir.

▪ İntegral nedenselliği....

16

(17)

1.1.3 Statik ve dinamik elemanlar:

▪ Eğer bir sistemin o andaki çıkışı bir elemanın o andaki değerine bağlı ise bu elemana statik eleman denir.

▪ Örnek: direnç

(18)

Statik eleman yaklaşımı:

▪ Ancak hiç bir fiziksel eleman hemen cevap vermez. Bu nedenle statik eleman kavramı bir yaklaşımdır.

▪ Modellemede kolaylık sağladığından ve sonuçları kabul edilebilir olduğundan kullanılır.

18

(19)

1.1.3 Statik ve dinamik elemanlar:

▪ Eğer bir sistemin o andaki çıkışı bir elemanın geçmiş değerlerine bağlı ise bu elemana dinamik eleman denir.

▪ Örnek: Bir bisikletin o andaki

p o z i s y o n u b i s i k l e t i n

başlangıçtan o ana kadar

olan hız değişimine bağlıdır.

(20)

Statik ve dinamik sistem:

▪ Statik sistemlerin tüm elemanları statiktir.

▪ Dinamik bir sistemde bir tane dinamik eleman bulunması o sistemi dinamik sistem yapar.

20

(21)

Sistem dinamiğinde odak:

“Sistem dinamiği”, dinamik elemanlar

içeren sistemlerin davranışları ile

ilgilidir.

(22)

1.1.4. Sistemlerin modellenmesi:

• Mühendislik problemi çözüm adımları:

22

(23)

Mühendislik problemi çözüm adımları:

(24)

▪ Bu adımların 1 den 5’e kadar olanları problemin tanımlanmasına yöneliktir.

▪ 6’dan 10 ‘a kadar olan adımlar ise problemin çözümü ile ilgilidir.

24

(25)

Modelleme, matematiksel model:

▪ Modelleme: Bir problemi basitleştirmek ve temel prensiplere uygulamak.

▪ Matematiksel model veya model: Sistem davranışını matematiksel metodlarla tanımlayabilmek.

▪ Modelleme bittikten sonra arzu edilen cevapları bulabilmek için matematiksel model çözülür.

▪ Modelin hesaplama karmaşıklığına göre bilgisayar

kullanılabilir.

(26)

Modellemede yaklaşım:

26 Şekil 1.1.5

(27)

Modelleme zorlukları:

▪ Modellemede tüm etkiler modellenemeyebilir. Bunun yerine parçalayarak amaca göre modelleme yapılabilir.

▪ Mesela bir elektrik devresinin elektrik, termal ve

mekanik durumları olabilir. Bir modellemede bunun

tamamı gerçekleştirilemeyebilir.

(28)

1.1.5. Matematiksel metodlar:

▪ Sistem dinamikleri zamana göre değiştiğinden bu sistemlerin matematiksel modelleri diferansiyel denklemlerle çözülür. Bölüm 2’de bu konuları inceleyeceğiz.

28

(29)

1.1.6. Kontrol Sistemleri:

▪ Kontrol sistem dizaynının önemi.

▪ Yeni konular:

▪ Robotik,

▪ Mekatronik,

▪ Aktif titreşim kontrol,

▪ Mikromekanik,

▪ Aktif gürültü önleme,

Bölüm 10 ve Otomatik Kontrol dersi

(30)

Endüstri devrimi 1.0’ dan 4.0’ a:

Ref: motherboard.vice.com/read/life-after-the-fourth-industrial-revolution

30

(31)

Industry 4.0

(32)

1.1.7. Mekanik Sistemlerde Uygulamalar

▪ Bölüm 3 ve Bölüm 4’te uygulamalar,

▪ Kuvvet Kontrol Uygulamaları,

▪ Taşıt dinamikleri,

▪ Süspansiyon uygulamaları,

▪ Aktif süspansiyon sistemleri (yaylar, şok sönümleyiciler)

▪ Güvenlik

▪ Enerji verimliliği

32

(33)

1.1.8. Elektriksel ve elektromekanik sistem uygulamaları:

▪ Elektriksel ve mekanik sistemler içerir,

▪ Hareket kontrol sistemleri ve taşıt dinamikleri iki temel uygulama alanıdır.

▪ Bölüm 6

(34)

1.1.9. Akış sistemleri uygulamaları 

34 Şekil 1.1.10 Şekil 1.1.11

▪ Bölüm 7

Şekil 1.4.2

(35)

1.1.10 Termal Sistem uygulamaları

▪ Soğutma sistemleri

▪ Buhar makineleri

▪ Bölüm 7

(36)

1.1.11. Bilgisayar Metodları

▪ MATLAB ®

▪ Simulink ®

▪ Ekler

▪ Uygulama dersleri

▪ Lab-3

36

(37)

1.1.11. Bilgisayar Metodları

(38)

1.2. BİRİMLER

(39)

▪ FPS (Foot-pound-second) Units

▪ SI (International System of Unit) Units

(40)

SI ve FPS Birimleri:

40

(41)

Birim dönüşümleri:

(42)

1.2.3.Osilasyon Birimleri:

▪ Frekans: rad/sn yada Hertz

▪ 1Hz: Bir saniyedeki çevrim sayısı

▪ (one cycle per second=cps)

▪ Açısal hız: w=2.pi.f

▪ Periyot: T ya da Pà T=P=2.pi.w

▪ Dakikadaki dönme (revolutions per second=rpm)

▪ 1 rpm= 1 saniyedeki (2.pi/60) radyanlık dönme

42

(43)

1.3. Lineer (doğrusal) model

Geliştirme:

(44)

Lineer model:

▪ Bir statik elemanın lineer modeli:

▪ y=mx+b; Burada; y:çıkış, x: giriş

▪ Lineer modeller diferansiyel denklem çözümü ile elde edilebilir. Ancak nonlineer modellerin çözümü bu kadar kolay değildir.

▪ Lineerleştirme modeli matematiksel model

oluşturulurken tercih edilir. Beraberinde hatayı ortaya çıkarır. Kullanımında bu husus dikkate alınmalıdır.

44

(45)

1.3.1. Datadan lineer model geliştirme:

▪ Örnek 1.3.1:

(46)

Çözüm 1.3.1

Eğim:

46 f=k.x k=1/a

Şekil 1.3.2

(47)

İnterpolasyon ve Ekstrapolasyon:

▪ İnterpolasyon(interpolation)=içdeğerbulma:

▪ Elimizdeki dataların sınırları içinde kalan bir değer için tahmin.

▪ Ekstrapolasyon(extrapolation)=dışdeğerbulma:

▪ Elimizdeki dataların sınırları dışında kalan bir değer için tahmin.

▪ Lineer model elde edememe durumunda daha

sistematik yaklaşımlar (nümerik analiz) kullanılır.

(48)

1.3.2. Lineerleştirme(Linearization):

▪ Model nonlineer ise lineerleştirme teknikleri kullanılır.

▪ Burada dikkat edilmesi gereken belirli sınırlar içinde doğruluğun temin edilmesidir.

48

(49)

Örnek 1.3.2.

1.YOL:

Θ=0 rad Θ=pi/3 rad Θ=2.pi/3 rad

civarında lineeleştirme

2.YOL:

Taylor serisine

açma(inceleyiniz)

(50)

İnceleme:

▪ Örnek: 1.3.3 ve 1.3.4.

▪ Taylor serisi

50

(51)

1.4. Fonksiyon tanımlama ve

parametre tahmini

(52)

Fonksiyon tanımlama ve parametre tahmini:

▪ Bir data setinden fonksiyonların tanımlanması işlemine fonksiyon tanımlama denir.

▪ Eğri uydurma(curve fitting) kavramı da parametre tanımlama için kullanılır.

▪ Bir data seti ile tanımlanmış olan fonksiyonun parametre yada katsayı değerlerine elde etmeye parametre

tahmini denir.

52

(53)

Lineer, güç ve exponansiyel fonksiyonlar:

Akım-Gerilim

Sabit ivmeli bir nesnenin hız-zaman ilişkisi

Serbest düşen bir cismin yol-zaman ilişkisi

(54)

YTÜ-Mechatronics Eng. MKT3131 Sistem Dinamiği

Bölüm 1

54 Şekil 1.4.1

(55)

1.4.1. Fonksiyon tanımlama adımları:

1. Orijin civarında veriyi tanımla.

• Üstel fonksiyonlar y=b(10) ^mx ve y=be ^mx , b=0 olmadığı müddetçe orijinden geçmez.

• Güç fonksiyonu y=bx ^m sadece m>0 olduğunda orijinden geçebilir.

Şekilleri inceleyiniz.

(56)

Fonksiyon tanımlama adımları:

56 2. Lineer eksen takımı kullanarak verileri çiziniz. Eğer doğru şeklinde ise fonksiyon lineerdir. Aksi takdirde x=0‘da fonksiyonun aldığı değere bakılır.

a. y(0)=0 ise güç fonksiyonudur.

b. y(0) eşit değildir 0 ise üstel fonksiyon

Eğer x= 0 için elimizde veri yok ise 3. adıma geçilir.

3. Eğer bir güç fonksiyonu olduğu düşünülüyor ise log-log eksen takımlı grafik çizilir. Sadece güç fonksiyonu bu grafikte doğru şeklinde görülür.

Eğer üstel fonksiyon olduğu düşünülüyor ise yarı logaritmik eksen

takımı çizilir. Sadece üstel fonksiyon bu grafikte doğru şeklinde

görülür.

(57)

Araştırma Ödevi 1.1.

▪ Şekil 1.4.2 ve 1.4.3’ü MATLAB’de çizdiriniz.

▪ m-file ve grafikleri çıkış alarak uygulama dersinde ders asistanına teslim ediniz.

▪ Ders kitabı eklerinde MATLAB ile ilgili yardımcı ders

notu bulunmaktadır.

(58)

1.4.2. Katsayı elde etme:

▪ Amaç b ve m katsayılarının elde edilmesidir.

▪ Lineer fonksiyon

▪ Güç fonksiyonu

▪ Eksponansiyel (üstel) fonksiyon

▪ Elde edilen veriler dağınık ise en küçük kareler metodu ile fonksiyon elde edilir. MATLAB de “polyfit” komutu ile bu işlem gerçekleştirilebilir.

58 Katsayıları fonksiyon tipine göre nasıl elde ederiz?

(59)

Örnek 1.4.1:

Ortam sıcaklığı 70 ^o F. Zamana bağlı olarak su sıcaklığını bulunuz.

(60)

Örnek 1.4.1: Lineer

60 Şekil 1.4.4

(61)

Örnek 1.4.1: Semi-Log

(62)

Eğri uydurma:

62 Şekil 1.4.6

(63)

Örnek 1.4.2. (İnceleyiniz)

Akış oranı ile yükseklik

arasındaki ilişkiyi bulunuz.

(64)

Mekatronik Sistem Dizaynı 

(Aksiyomatik Yaklaşım)

(65)

(66)