Sistem Dinamiği

Sistem Dinamiği

Bölüm 9- Frekans Domeninde Sistem Analizi

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Sunumlarda kullanılan semboller:

Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

Şekil No

Şekil numarası Dikkat

Bölüm içeriği:

Birinci derece sistemlerin frekans cevabı

Yüksek dereceli sistemlerin frekans cevabı Frekans cevabı uygulamaları

Genel periyodik girişler için sistem cevabı Frekans cevabından sistem tanımlama

MATLAB ile frekans cevabı analizi

Frekans cevabı: Periyodik girişlere sistemin verdiği cevaptır.

Periyodik giriş f(t+T)=f(t)

Örnekler: Periyodik tork işareti, periyodik kuvvet işareti, hidrolik ve pnömatik sistemlerdeki tahrik sinyalleri.

Tüm periyodik giriş işaretleri sinusoidal olmayabilir. Bu durumda FOURIER dönüşümlerinden yararlanılır.

Transfer fonksiyonundan elde edilen faz-frekans ve

kazanç-frekans eğrileri bize sistem cevabı hakkında önemli

Giriş:

Bant genişliği, basamak cevaptaki zaman sabiti gibi, frekans cevabının kısa sayısal (quantitatif) bir

tanımını sağlar.

9.1.Birinci derece sistemlerin

frekans cevabı:

Kompleks sayılar ve formları:

Genlik Kompleks Sayı

Kompleks Konjuge

Kompleks Eksponansiyel Form Kompleks Konjuge

Şekil 9.1.1 (a)

9.1.1.Kompleks sayıların bölünmesi ve çarpılması:

Örnek:

Şekil 9.1.1.(b)

9.1.2.Frekansın bir fonksiyonu olarak kompleks sayılar:

Burada kararlı ve lineer zamanla değişmeyen(LTI) sistemler üzerinde duracağız.

9.1.3.Frekans Cevabı Özellikleri

9.1.2 Tablo 9.1.1 Kararlı L

TI sistem fr

.cevabı

9.1.4. ‘nın frekans cevabı:

9.1.1 9.1.2

9.1.3

9.1.4

9.1.5

Tablo 9.1.2. ‘nın frekans cevabı

Tablo 9.1.2. den görüldüğü üzere birinci derece

sistemlerde kararlı hal cevabını elde etmede transfer

fonksiyonu çok kullanışlı ve kolay bir yol olarak

kullanılabilmektedir.

Örnek 9.1.1.

Şekil

9.1.3

9.1.1

Cevap 9.1.1

Şekil 9.1.3.

w=15 w=60

Örnek 9.1.2.

Şekil

9.1.5 ve 9.1.6

9.1.5. Logaritmik Eğriler:

Şekil 9.1.4 Bode plots

Bode diyagramları

9.1.6. için logaritmik eğriler:

Şekil 9.1.4

Asimptotlar:

Şekil 9.1.6 arc tan(1)=45 ^o

-10log(1+(WT)^2)=-3,01

dB

Örnek 9.1.3.

9.2.Yüksek dereceli sistemlerin frekans cevabı:

Tablo 9.2.1. transfer fonksiyonunda ortak faktörler verilmiştir.

Buna göre biz şu ana kadar 3 nolu formu inceledik.

1 nolu formda K>0 olduğu müddetçe faz eğrisi değişmez.

K<0 olduğunda faz eğrisi 180 derece kayar.

9.2.1.Ortak transfer fonksiyon faktörleri:

Tablo 9.2.1.

Tablo 9.2.1’deki 3 nolu forma benzetelim:

9.2.2.Aşırı sönümlü durum:

Zaman sabitleri:

9.2.6

Aşağıda verilen transfer fonk.’nun m(w) ve ‘yı bulunuz

Örnek 9.2.1

f(t)=14 sin3t için kararlı hal cevabını bulunuz.

9.2.3. Az sönümlü durum:

Örnek 9.2.2:

Şekil 9.2.3

Kompleks konjuge kökler durumu:

kökler kompleks

4 nolu form

9.2.4.Rezonans:

Tablo 9.2.2. İkinci derece sistemler için rezonans frekansı

Rezonans frekansında (W

) genlik (M) maksimum değerini alır ancak burada sönüm oranı 0.707 eşit veya küçüktür.

Sönüm oranı 0.707 den büyük olur ise tepe meydana gelmez.

w=0’da M=1 olur.

Az sönümlü bir sistemin köklerinin sadece imajiner kısmı var ve sönüm oranı 0 ise doğal frekans rezonans frekansına eşittir.

Rezonans durumu, doğal frekans rezonans frekansına yakın ise meydana gelir. Sönüm az ise çıkış genliği sistemin dayandığı yere kadar artacaktır.

Faz açısı -90’a yakın, hız terimi dx/dt girişle uyumlu ise bu durum yüksek genliğe yol açar. Devre tasarımcıları için bu avantaj,

9.3. Frekans cevabı

uygulamaları:

9.3.1. Doğal kararlı Durum

Az sönümlü sistem

Zorlanmamış cevap:

9.3.2.Beating

Şekil 9.3.2.

Şekilde görülen periyodik olarak azalan ve artan sinyallerden oluşan sistem cevabına

9.3.4. Rezonansta sistem cevabı:

Şekil 9.3.3 Rezonans civarında


az sönümlü sistem cevabı

Rezonans civarında


aşırı sönümlü sistem cevabı

Şekil 9.3.4

9.3.7. Frekans Cevabının Yorumu:

Şekil 9.3.10

Frekans Cevabının Yorumu

Şekil

Tekerlek

Şase

Tekerlek

Şase

9.4. Dinamik Sistemlerin

Filtreleme Özellikleri

9.4.1. Elektrik Devrelerinin Frekans Cevabı:

Şekil 9.4.1.

T(s)=V

(s)/V

(s)=1/(RCs+1)

Zaman sabiti: Tao=RC

Alçak geçiren filtre

Yüksek geçiren filtre:

Şekil 9.4.2

Yarım güç noktaları Köşe frekansları

3dB noktaları

9.4.2. Bandgenişliği (bandwidth):

9.4.1.

Örnek 9.4.4.Birinci derece sistem bant genişliği:

Şekil

9.4.1

Muhtemel frekans cevapları:

9.5.Periyodik girişler için sistem cevabı:

Örnek 9.5.1.

Çözüm 9.5.1.

Şekil 9.5.1

Fourier Serileri:

9.6.Frekans cevabından sistem tanımlama:

Transfer fonksiyonu veya modelin diferansiyel eşitliğinin genel

prensiplerden elde edilmesinin zor olduğu durumlarda yada sistem

parametrelerinin bilinmediği durumlarda deneysel yöntemler kullanılarak

frekans cevabı elde edilebilir. Buradan sistemin transfer fonksiyonuna ve

ilgili parametrelerine geçilebilir.

Sinusoidal girişlerin oluşturulma kolaylığı, İlgili frekanslarda cevabın ölçülmesi

Üretim: Sinyal jeneratörleri, Cevap ölçümü: frekans analizörleri

Elektriksel sinyaller veya elektriksel sinyale dönüştürülebilen mekanik sistem cevapları

Normal çalışma esnasında test sinyallerinin giriş

9.6.1. Test prosedürleri:

9.6.2.Köşe frekansları ve asimptot kullanımı:

Şekil 9.6.1 Giriş:

Transfer fonk. bulunuz.

Örnek 9.6.2. İkinci dereceden sistem tanımlama

Frekans cevabına ilişkin bode diyagramları Rezonans frekansı ve band genişliği

Birinci ve ikinci derece sistemlerde frekans cevabının analizi yorumu

Elektriksel devrelerde frekans cevabı ve filtreleme Frekans cevabından sistem tanımlama

Bölüm özeti:

GELECEK KONU:

Bölüm X.

Referans:

System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education;

3 edition (March 19, 2013)