26. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK 2. AŞAMA SORULARI A A A A A A A

AKDEN· IZ ÜN· IVERS· ITES· I

26.

ULUSAL ANTALYA MATEMAT· IK OL· IMP· IYATI

2. A¸ SAMA SORULARI

ADI SOYADI : ...

OKUL ...

¸

SEH·IR : ...SINIF : ...

·IMZA : ...

A A A A A A A

SINAV TAR·IH·I VE SAAT·I : 8 May¬s 2022 - Pazar 14.00 - 16.00 Bu s¬nav 20 sorudan olu¸smaktad¬r ve s¬nav süresi 120 dakikad¬r.

SINAVLA ·ILG·IL·I UYULACAK KURALLAR

1. Cevap ka¼g¬d¬n¬za soru kitap笼g¬n¬z¬n türünü i¸saretlemeyi unutmay¬n¬z.

2. Her soru e¸sit de¼gerde olup, puanlama yap¬l¬rken do¼gru cevaplar¬n¬z¬n say¬s¬ndan yanl¬¸s cevaplar¬n¬z¬n say¬s¬n¬n dörtte biri dü¸sülecektir.

3. S¬navda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yard¬mc¬araçlar ve müsvedde ka¼g¬d¬kullan¬lmas¬yasak- t¬r. Tüm i¸slemlerinizi soru kitap笼g¬üzerinde yap¬n¬z.

4. S¬nav süresince görevlilerle konu¸sulmayacak ve onlara soru sorulmayacakt¬r. Yanl¬¸s oldu¼gunu dü¸sündü¼günüz sorularla ilgili, görevlilere soru sormay¬n¬z. Bu çok küçük bir olas¬l¬k olsa da, jüri bu tür durumlar¬daha sonra de¼gerlendirecektir.

5. Ö¼grencilerin birbirlerinden kalem, silgi vb. ¸seyler istemeleri yasakt¬r.

6. ·Ilk 90 dakika s¬navdan ç¬kmak yasakt¬r. D¬¸sar¬ya ç¬kan bir aday tekrar s¬nava al¬nmayacakt¬r.

7. Cep telefonuyla s¬nava girmek yasakt¬r. Cep telefonunuzu görevliye teslim ediniz.

1

A A

1. 5^{4 19}+ 5^{3 19}+ 5^{2 19}+ 5¹⁹ say¬s¬n¬n 5²⁰+ 1 say¬s¬na bölümünden kalan m 5ⁿ biçimindeyse, m + n en az kaçt¬r? (Burada, m ve n pozitif tamsay¬lard¬r.)

A) 100 B) 120 C)119 D) 129 E) 191

2.

x²+ xp³

xy² = 18 y²+ yp³

yx² = 50 oldu¼guna göre, x²+ y² a¸sa¼g¬dakilerden hangisidir?

A) 38 B) 41 C) 34 D) 43 E) 44

3. K = 1ⁿ+ 2ⁿ+ 3ⁿ+ 4ⁿ toplam¬n¬n 10 ile tam bölünmesini sa¼glayan, 2023’ten küçük n pozitif tamsay¬lar¬n¬n say¬s¬M ise, M say¬s¬n¬n rakamlar¬toplam¬kaçt¬r?

A) 11 B) 13 C) 9 D) 14 E)10

A A

3

A A

4. a_k = k

81 olmak üzere, S = a²₁

1 + 2a₁(a₁ 1) + a²₂

1 + 2a₂(a₂ 1) + + a²₈₀

1 + 2a₈₀(a₈₀ 1) toplam¬n¬bulunuz.

A) 40 B) 20 C) 60 D) 30 E) 80

5. Sekilde jABj = jACj, AH ? BC, AD ? EC,¸

\BAD = \DAH ve 5 jEBj = 2 jHCj ise,

jAEj jBDj jDHj oran¬kaçt¬r?

A) 45 B) 47 C)55 D) 50 E) 40

6. A; B; C; D; E rakamlar olmak üzere, 2 A < B C D < E 8 ko¸sulunu sa¼glayan kaç ABCDE be¸s basamakl¬say¬s¬vard¬r?

A) 147 B) 132 C)126 D) 156 E) 114

A A

5

A A

7. m ve n s¬f¬rdan farkl¬say¬lar olmak üzere, x³ x² mx n = 0 denkleminin kökleri a; b; c ise, kökleri

a + b 1

c² ; a + c 1

b² ; b + c 1 a² olan denklem a¸sa¼g¬dakilerden hangisidir?

A) mx³+ nx² x + 1 = 0 B) nx³+ mx² x + 1 = 0 C)mx³ nx²+ x 1 = 0 D) x³ x²+ nx m = 0 E) nx³ mx²+ x + 1 = 0

8. a ve b reel say¬lar¬için a + b = a² + b² ise, a + 7b ifadesinin alabilece¼gi maksimum de¼geri bulunuz.

A) p

63 B) 8 C)11 D) 9 E) p

65

9. a; b; c pozitif tamsay¬lar olmak üzere 3a²b²c² = 10(a²b² + b²c² + c²a²) e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa (a + b + c) toplam¬kaç farkl¬de¼ger alabilir?

A) 3 B) 2 C)1 D) Sonsuz E) Hiçbiri

A A

7

A A

10. ¸Sekilde jABj = jACj, m(ABC) = 12 , m(CBD) = 33 ve m(BCD) = 45 ise, AEB aç¬s¬n¬n ölçüsü kaç derecedir?

A) 78 B) 76 C) 79 D) 81 E) 71

11. 1; 2ve 3 rakamlar¬kullan¬larak yaz¬lan ve 1 rakam¬n¬n çift say¬da bulundu¼gu 62 basamakl¬

say¬lar¬n say¬s¬S olsun. 2S 1say¬s¬n¬n 77’ye bölümünden kalan kaçt¬r? (Uyar¬: S¬f¬r da bir çift say¬d¬r.)

A) 11 B) 76 C) 9 D) 12 E)75

12. a ve b tamsay¬lar¬ 49 a + b 51 ve 0; 71 < b

a < 0; 73 e¸sitsizliklerini sa¼glad¬¼g¬na göre, a² b² de¼gerinin rakamlar¬toplam¬kaçt¬r?

A) 13 B) 7 C)11 D) 4 E) 9

A A

9

A A

13. f (n) ile n do¼gal say¬s¬n¬n s¬f¬rdan farkl¬ rakamlar¬n¬n çarp¬m¬n¬ gösterelim. Örne¼gin, f (1) = 1; f (20) = 2; f (205) = 2 5 = 10; f (1023) = 1 2 3 = 6 (nbir basamakl¬ise, f (n) = n kabul ediyoruz). Buna göre,

S = f (1) + f (2) + f (3) + + f (10000) + f (10001) toplam¬n¬n 50’ye bölümünden kalan kaçt¬r?

A) 6 B) 4 C) 9 D) 5 E) 7

14. Mete ve Berk’in her birinin çantas¬nda 8 top vard¬r. Her iki çantadaki toplar 1’den 8’e kadar numaraland¬r¬lm¬¸st¬r. Mete ve Berk kendi çantalar¬ndan rastgele birer top ç¬kar¬yor- lar. Mete’nin çantas¬nda kalan toplar¬n numaralar¬n¬n toplam¬M ve Berk’in çantas¬nda kalan toplar¬n numaralar¬n¬n toplam¬da B olsun. M B fark¬n¬n 3’ün kat¬olma olas¬l¬¼g¬a¸sa¼g¬daki- lerden hangisidir?

A) 7

16 B) 13

32 C) 3

8 D) 5

16 E) 11

32

15. x; y; z pozitif reel say¬lar olup, xyz (x + y + z 28) + 1 = 0e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa, x say¬s¬n¬n alabilece¼gi en büyük de¼gerin karesinin rakamlar¬toplam¬kaçt¬r?

A) 18 B) 17 C) 11 D) 19 E) 21

A A

11

A A

16. ¸Sekilde ABCD bir dikdörtgen ve ADE bir e¸skenar üçgendir. E¸sit yar¬çapl¬ büyük çemberler dikdörtgene ve e¸skenar üçgene te¼gettirler. Küçük çember ise büyük çem- berlere ve dikdörtgene te¼gettir ve e¸skenar üçgenin E kö¸sesi bu çember üzerindedir. Küçük çemberin yar¬çap¬ 3 ise, büyük çemberlerin yar¬çap¬kaçt¬r?

A) 4 +p

3 B) 5 + 2p

3 C)5 +p 3 D) 4 + 2p

3 E) 3 + 3p 3

17. Her tak¬m¬n di¼ger tak¬mlarla tam olarak bir kez oynad¬¼g¬bir futbol turnuvas¬düzenleniyor.

Hiçbir maç¬n berabere bitmedi¼gi bu turnuvada, her tak¬m 11 oyun kazan¬p 11 oyun kaybetmi¸stir.

Buna göre, A’n¬n B’yi, B’nin C’yi ve C’nin A’y¬ yendi¼gi üç tak¬mdan olu¸san kaç fA; B; Cg tak¬m kümesi vard¬r?

A) 489 B) 511 C)513 D) 488 E) 506

18. ABC bir kenar¬12 olan bir e¸skenar üçgendir. Dik kenarlar¬ndan biri A noktas¬ndan geçen ve di¼geri [BC] kenar¬n¬kesen dik üçgenlerin dik kö¸selerinin geometrik yerinin belirtti¼gi bölgenin alan¬n¬bulunuz.

A) 32 + 24p

3 B) 24 + 36p

3 C)24( +p

3) D) 36( +p

3) E) 36 + 24p 3

A A

.

13

19. Reel katsay¬l¬ve sabitten farkl¬P (x) polinomu, her x reel say¬s¬için, P (3P (x)) = 3P (P (x)) + 2(P (x))²

e¸sitli¼gini sa¼glas¬n. P (1) = 1 oldu¼guna göre, P (6)’n¬n de¼gerini bulunuz.

A) 6 B) 4 C)5 D) 3 E) 7

20. Bir do¼gru parças¬n¬ 5 e¸sit parçaya bölen 6 nokta veriliyor. Noktalar¬n herhangi ikisini birle¸stiren do¼gru parças¬n¬ çap kabul eden çemberler çizilerek birbirinden farkl¬ …gürler elde edilmek isteniyor. Bir …gürde birden fazla çember varsa, bu çemberlerin ortak noktas¬olmamas¬

gerekiyor. Buna göre kaç farkl¬ …gür elde edilebilir? (Hiç çember çizilmemi¸s ilk durum da say¬lacakt¬r.)

Örne¼gin, bir do¼gru parças¬n¬3 e¸sit parçaya bölen 4 nokta verilseydi, a¸sa¼g¬da gösterilen 9 farkl¬

…gür elde edilirdi :

A) 51 B) 41 C) 47 D) 50 E) 42

A A

15

Te¸sekkür Ederiz

Ulusal Antalya Matematik Olimpiyat¬, Akdeniz Üniversitesi Fen Fakültesi taraf¬ndan, Antalya ·Il Milli E¼gitim Müdürlü¼günün i¸sbirli¼giyle düzenlenmektedir.

A GRUBU YANITLAR

1 B 11 C

2 A 12 D

3 D 13 E

4 A 14 E

5 C 15 A

6 C 16 D

7 E 17 E

8 D 18 B

9 C 19 B

10 A 20 A

SPONSORLAR