ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ AYRIK KESİRLİ BASAMAKTAN DENKLEMLER İÇİN BAŞLANGIÇ VE SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

AYRIK KESİRLİ BASAMAKTAN DENKLEMLER İÇİN BAŞLANGIÇ VE SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

Serkan ASLIYÜCE

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2013

Her hakkı saklıdır

ÖZET Yüksek Lisans Tezi

AYRIK KES·IRL·I BASAMAKTAN DENKLEMLER ·IÇ·IN BA¸SLANGIÇ VE SINIR DE ¼GER PROBLEMLER·I

Serkan ASLIYÜCE Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Doç. Dr. A. Feza GÜVEN·IL·IR

Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.

Ilk bölüm giri¸· s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.

Ikinci bölümde, ayr¬k kesirli analizin temel tan¬m ve teoremlerine yer verilmi¸· stir.

Üçüncü bölümde, ayr¬k kesirli analiz için Laplace dönü¸sümü ve genel zaman skalas¬nda tan¬mlanm¬¸s olan Taylor monomial¬n ayr¬k kesirli analizdeki analogu verilmi¸stir.

Dördüncü bölümde, bir ba¸slang¬ç de¼ger problemi ele al¬narak kesirli birle¸sim kurallar¬

ve Laplace dönü¸sümü kullan¬larak çözümleri ayr¬ayr¬incelenmi¸stir.

Son bölümde, s¬n¬r de¼ger problemi tan¬mlanm¬¸s ve bu s¬n¬r de¼ger problemi için Green fonksiyonu elde edilip özellikleri incelenmi¸stir. Ayr¬ca, bu s¬n¬r de¼ger probleminin çözümlerinin varl¬k ve tekli¼gi Banach daralma dönü¸sümü teoremi ve Krasnosel’skii teoremleri kullan¬larak gösterilmi¸stir.

Haziran 2013, 90 sayfa

Anahtar Kelimeler : Ayr¬k kesirli analiz, kesirli basamaktan fark operatörü, ke- sirli basamaktan toplam operatörü, kesirli basamaktan fark denklemleri, Laplace dönü¸sümü, ba¸slang¬ç de¼ger problemi, s¬n¬r de¼ger problemi, varl¬k - teklik.

ABSTRACT Master Thesis

INITIAL AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR DISCRETE FRACTIONAL EQUATIONS

Serkan ASLIYÜCE Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. A. Feza GÜVEN·IL·IR

This thesis consists of …ve chapters.

The …rst chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, some basic concepts of discrete fractional calculus have been recalled.

In the third chapter, for discrete fractional calculus Laplace transform and analogue of Taylor monomial that de…ned in general time scale theory is de…ned.

In the fourth chapter, by taking an initial value problem, its solutions were examined using unifying rules and Laplace transform separately.

In the last chapter, a boundary value problem is taken. For this problem, a Green’s function is obtained and its properties analyzed. Moreover, by using Banach’s con- traction mapping theorem and Krasnosel’skii theorem existence and uniqueness of solutions of this problem is shown.

January 2013, 90 pages

Key Words: Discrete fractional analysis, fractional order di¤erence operator, frac- tional order sum operator, fractional order di¤erence equations, Laplace transform, initial value problem, boundary value problem, existence and uniqueness.

TE¸SEKKÜR

Bu çal¬¸sma konusunu bana veren ve ara¸st¬rmalar¬m¬n her a¸samas¬nda yak¬n ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dan¬¸sman hocam Say¬n Doç.Dr. A. Feza GÜVEN·IL·IR (Ankara Üniversitesi Matamatik Anabilim Dal¬)’e ve çal¬¸smalar¬m s¬ras¬nda bana her zaman destek olan aileme en içten sayg¬ve te¸sekkürlerimi sunar¬m.

Ayr¬ca, tez çal¬¸smalar¬m ve tez yaz¬m süreci boyunca bana destek olan arkada¸slar¬m Metehan KARAGÖZ, Yasemin YILMAZ, Sezgin SUCU ve Mehtap LAFCI’ya te¸sekkürü bir borç bilirim.

Serkan ASLIYÜCE Ankara, Haziran 2013

IÇ·· INDEK·ILER

ÖZET... i

ABSTRACT... ii

TE¸SEKKÜR... iii

S·IMGELER D·IZ·IN·I... v

1. G·IR·I¸S... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR... 3

3. AYRIK KES·IRL·I ANAL·IZDE LAPLACE DÖNܸSÜMÜ... 33

4. BA¸SLANGIÇ DE ¼GER PROBLEM·I... 52

5. SINIR DE ¼GER PROBLEM·I... 63

KAYNAKLAR... 87

ÖZGEÇM·I¸S... 90

S·IMGELER D·IZ·IN·I

Fark operatörü

Ileri s¬çrama operatörü· Gama fonksiyonu

t^v Azalan fonksiyon

v

a v: basamaktan toplam operatörü

v

a v: basamaktan fark operatörü L^a Laplace dönü¸süm operatörü h (t; a) : Taylor Monomial

G(t; s) Green fonksiyonu

d:e Tavan fonsiyonu

1. G·IR·I¸S

Kesirli analiz çal¬¸smalar¬1695 y¬l¬nda Leibniz ve L’Hospital aras¬ndaki mektupla¸s- mayla ba¸slam¬¸st¬r ve günümüzde de devam etmektedir. Süreklilik durumunda, kesirli analiz ile ilgili çal¬¸smalar 19. yüzy¬l¬n sonlar¬ndan itibaren birçok matematikçinin katk¬s¬yla büyük bir ivme kazanm¬¸st¬r. Bu matematikçilerin en önemlileri Riemann, Liouville, Grünwald ve Letnikov’dur. Kesirli türeve ili¸skin farkl¬tan¬mlar olmas¬na ra¼gmen en çok kullan¬lanlar¬Riemann-Liouville ve Caputo kesirli türevleridir. Ke- sirli diferensiyel denklemler viskoelastisite, elektroanalitik kimya, kontrol teori ve

…zik problemleri gibi bir çok uygulamada kullan¬lmaktad¬r. Kesirli diferensiyel denk- lemlerle ilgili daha fazla bilgi ve örnekler için Podlubny (1999), Oldham-Spanier (2002), Samko-Kilbas-Marichev (1993) ve Diethelm (2010) in çal¬¸smalar¬ referans verilebilir.

Süreksizlik durumunda, kesirli analizle ilgili çal¬¸smalar yak¬n zamanda ba¸slam¬¸st¬r.

Süreksizlik durumundaki ilk çal¬¸smalar Diaz-Osler (1974), Gray-Zhang (1988) ve Miller-Ross (1988) taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r. Diaz-Osler, çal¬¸smalar¬nda key…basamak- tan farklar için bir tan¬m vermi¸s ve iki fonksiyonun kesirli farklar¬n¬n çarp¬m¬ için Leibniz kural¬n¬ ifade etmi¸slerdir. Gray-Zhang, çal¬¸smalar¬nda kesirli basamaktan fark¬n tan¬m¬yapm¬¸s ve bu tan¬ma dayanarak kuvvet kural¬ve Leibniz kural¬n¬da içeren baz¬sonuçlar vermi¸slerdir. Gray-Zhang, bu çal¬¸smalar¬nda ileri (delta) farktan ziyade geri (nabla) fark¬kullanm¬¸slard¬r. Miller-Ross, çal¬¸smalar¬nda lineer bir fark denkleminden yola ç¬karak key…, reel basamaktan fark tan¬m¬n¬ elde etmi¸slerdir.

Bu tan¬mdan yararlanarak kuvvet kural¬ ve Leibniz kural¬ gibi baz¬ sonuçlar ver- mi¸slerdir.

Atici-Eloe (2007, 2009a, 2009b, 2011) nin bu konudaki çal¬¸smalar¬ile birlikte kesirli fark denklemleri tekrar ilgi çekmeye ba¸slam¬¸st¬r. Atici-Eloe bu çal¬¸smalar¬nda ileri (delta) ve geri (nabla) farklarla ilgili sonuçlar¬ tekrar düzenlemi¸s ve geli¸stirmi¸stir.

Ayr¬ca Holm (2011a, 2011b, 2011c), Goodrich (2010, 2011a, 2011b, 2012) ba¸sta olmak üzere bir çok matematikçi bu konuda çal¬¸smaya ba¸slam¬¸st¬r.

Bu tez boyunca, Atici-Eloe ve Holm’un ileri (delta) fark alan¬nda yapm¬¸s olduklar¬

çal¬¸smalar temel al¬narak bu konuda bir derleme yap¬lacakt¬r. ·Ikinci bölümde, kesirli basamaktan fark ve kesirli basamaktan toplam operatörlerinin tan¬m¬ verilecektir.

Ayr¬ca kesirli fark ve kesirli toplam operatörlerinin birle¸sim kurallar¬ verilecektir.

Üçüncü bölümde, kesirli basamaktan fark ve kesirli basamaktan toplam operatör- lerinin üstel basamaklar¬incelenecek ve ayr¬k kesirli analiz için Laplace dönü¸sümü tan¬mlanacakt¬r. Bu bölümde zaman skalas¬nda Laplace dönü¸sümleri çal¬¸s¬l¬rken önemli bir fonksiyon olan Taylor monomial¬n ayr¬k kesirli analizdeki tan¬m¬yap¬la- cakt¬r. Dördüncü bölümde, bir ba¸slang¬ç de¼ger problemi ele al¬nacakt¬r. Bu prob- lemin çözümü, ikinci bölümde elde edilen birle¸sim kurallar¬ ve üçüncü bölümde tan¬mlanan Laplace dönü¸sümü kullan¬larak ayr¬ ayr¬ incelenecektir. Son bölümde ise bir s¬n¬r de¼ger problemi incelenecektir. Önce bu problem için Green fonksiyonu elde edilecek ve bu fonksiyonun özellikleri incelenecektir. Daha sonra, bu Green fonksiyonu yard¬m¬yla verilen s¬n¬r de¼ger probleminin çözümlerinin varl¬k ve tekli¼gi Banach daralma dönü¸sümü teoremi ve Krasnosel’skii sabit nokta teoremleri kul- lan¬larak incelenecektir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde tezde kullan¬lacak olan temel tan¬m ve teoremler verilecektir.

a2 R olmak üzere

f : N^a! R; N^a:=fag + N⁰ =fa; a + 1; a + 2; :::g

d¬r.

Tan¬m 2.1. f : N^a! R olmak üzere fark operatörü t 2 N^a için

f (t) := f (t + 1) f (t)

d¬r (Kelley ve Peterson 2001).

Tan¬m 2.2. T bir zaman skalas¬olmak üzere : T ! T ileri s¬çrama operatörü, t 2 T için (t) := inf fs 2 T : s > tg ; t 2 N^a için (t) = t + 1 dir (Bohner ve Peterson 2001).

Teorem 2.1. f; g : N^a ! R ve ; 2 R olsun. Bu durumda, t 2 N^a için

(i) = 0

(ii) f (t) = f (t)

(iii) (f (t) + g(t)) = f (t) + g(t) (iv) ^t+ = ( 1) ^t+

(v) (f (t)g(t)) = f ( (t)) g(t) + f (t)g(t)

(vi) g(t)6= 0 olmak üzere ^{f (t)}_g(t) = ^{g(t) f (t)}g(t)g( (t))^{f (t)g(t)}

d¬r (Kelley ve Peterson 2001).

Tan¬m 2.3. Euler Gamma fonksiyonu v 2 Cn f:::; 2; 1g için

(v) :=

Z1

0

e ^tt^{v 1}dt

d¬r. Gamma fonksiyonunun gra…¼gi (¸Sekil 1.1) ve önemli özellikleri a¸sa¼g¬da ve- rilmi¸stir:

(i) v > 0 için (v) > 0;

(ii) v2 Cn f:::; 2; 1g için (v + 1) = v (v);

(iii) n2 N⁰ için (n + 1) = n!,

(iv) v 2 Cn f:::; 2; 1g ve k 2 N için ^(v+k)_(v) = (v + k 1):::(v + 1)v;

(v) x2 [2; 1) için (x) monoton artand¬r:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10 -5 5 10

¸

Sekil 1.1 : Rn f 1; 2; :::g ! R Gamma fonksiyonu

A¸sa¼g¬da falling foksiyonun tan¬m¬verilecektir.

Tan¬m 2.4. t; v2 R için

t^v := (t + 1) (t + 1 v) d¬r. Ayr¬ca

(i) v^v = (v + 1)

(iii) t^v+1= (t v)t^v

sa¼glan¬r (Atici ve Eloe 2007).

Uyar¬2.1. Yukar¬daki tan¬mda (t + 1 v)2 f:::; 2; 1g ise t^v = 0 al¬nacakt¬r.

Tan¬m 2.5. f : N^a! R ve v > 0 olsun. Bu durumda f fonksiyonunun v: basamaktan kesirli toplam¬t 2 N^a+v için

v

a f (t) := 1 (v)

Xt v s=a

(t (s))^{v 1}f (s)

d¬r. Ayr¬ca, t 2 N^a+v için _a⁰f (t) := f (t) d¬r (Atici ve Eloe 2007).

Tan¬m 2.6. f : N^a ! R ve N 2 N için N 1 < v N olacak ¸sekilde v 0seçilsin.

Bu durumda f fonksiyonunun v: basamaktan kesirli fark¬t 2 N^{a+N v} için

v

af (t) := ^N _a^{(N v)}f (t) d¬r (Atici ve Eloe 2007).

Uyar¬2.2. v 2 N durumunda Tan¬m 2.6, Tan¬m 2.1 ile denktir: Herhangi v = N 2 N⁰ ve t2 N^a için

v

af (t) = ^N _a^{(N v)}f (t) = ^N _a⁰f (t) = ^Nf (t) d¬r.

Uyar¬2.3. N 1 < v N olmak üzere v > 0 için

v

a f (a + v N ) = 1 (v)

Xt v s=a

(t (s))^{v 1}f (s)

t=a+v N

= 1

(v)

a NX

s=a

(a + v N (s))^{v 1}f (s)

= 0 ...

v

a f (a + v 1) = 1 (v)

Xt v s=a

(t (s))^{v 1}f (s)

t=a+v 1

= 1

(v) Xa 1 s=a

(a + v 1 (s))^{v 1}f (s)

= 0

oldu¼gundan

v

a f (a + v N ) = _a^vf (a + v N + 1) = ::: = _a^vf (a + v 1) = 0 e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca, _a^vf operatörünün ilk a¸sikar olmayan de¼geri t = a + v noktas¬nda ortaya ç¬kar:

v

a f (a + v) = 1 (v)

Xt v s=a

(t (s))^{v 1}f (s)

t=a+v

= 1

(v) Xa

s=a

(a + v (s))^{v 1}f (s)

= 1

(v)(v 1)^{v 1}f (a)

= 1

(v) (v)f (a)

= f (a):

Yukar¬daki i¸slemler dikkate al¬n¬rsa _a^vf operatörünün tan¬m kümesini Tan¬m 2.5 de oldu¼gu gibi

D a^vf := N^a+v

Kesirli farklar¬n tan¬m kümeleri

Kesirli farklar¬n tan¬m kümelerini belirlemek için kesirli toplamlar¬n tan¬m kümeleri kullan¬labilir. f : N^a ! R; N 1 < v N; v > 0 olmak üzere v: basamaktan kesirli fark¬n tan¬m kümesi,

D f ^vafg = D ^N a^{(N v)}f =D a^{(N v)}f = N^{a+N v}

¸seklindedir.

f : N^a ! R ve v; > 0 verilsin. N; M 2 N⁰ olmak üzere N 1 < v N ve M 1 <

M olacak ¸sekilde seçilsin. Bu durumda kesirli toplam ve fark operatörleri ve birle¸simlerinin tan¬m kümeleri

D f a^vfg = N^a+v; D f ^vafg = N^{a+N v}; D a+^v a f = N^{a+ +v}; D ^va+ a f = N^{a+ +N v}; D a+M^v af = N^{a+M +v}; D ^va+M af = N^{a+M +N v}

¸seklindedir.

Teorem 2.2 (Leibniz Kural¬). g : N^a+vxN^a! R verilsin. Bu durumda t 2 N^a+viçin Xt v

s=a

g(t; s)

!

= Xt v

s=a

tg(t; s) + g(t + 1; t + 1 v) (2.1)

d¬r.

Ispat:· t2 N^a+v için

Xt v s=a

g(t; s)

!

=

t+1 vX

s=a

g(t + 1; s) Xt v

s=a

g(t; s)

= Xt v s=a

(g(t + 1; s) g(t; s)) + g(t + 1; t + 1 v)

= Xt v s=a

tg(t; s) + g(t + 1; t + 1 v)

d¬r.

Teorem 2.3. f : N^a ! R ve N 1 < v N ile v > 0 verilmi¸s olsun. ^v_af : N^{a+N v} ! R için a¸sa¼g¬daki iki tan¬m denktir:

v

af (t) := ^N _a^{(N v)}f (t); (2.2)

v

af (t) :=

8>

<

>:

1 ( v)

t+vP

s=a

(t (s)) ^{v 1}f (s) ; N 1 < v < N

Nf (t) ; v = N

(2.3)

d¬r (Holm 2011b).

Ispat:· f ve v teoremin ifadesindeki gibi verilmi¸s olsun.

v = N ise (2.2) ve (2.3) ifadeleri denktir, çünkü

v

af (t) = ^N _a^{(N v)}f (t)

= ^N _a⁰f (t)

= ^Nf (t)

d¬r.

N 1 < v < N ise Leibniz kural¬N kez uygulanarak

v

af (t) = ^N _a^{(N v)}f (t)

= ^N

2

4 1

(N v)

t (NXv) s=a

(t (s))^{N v 1}f (s) 3 5

= ^{N 1}

2

4 1

(N v)

t (NXv) s=a

(t (s))^{N v 1}f (s) 3 5

=

N 1

(N v) 2 4

t (NXv) s=a

(N v 1)(t (s))^{N v 2}f (s)

+ (t + 1 (t + 1 (N v)))^{N v 1}f (t + 1 (N v))i

= ^{N 1}

2 4

t (NXv) s=a

(N v 1)(t (s))^{N v 2}

(N v) f (s) + f (t + 1 (N v)) 3 5

= ^{N 1}

2 4

t+1 (NX v) s=a

(t (s))^{N v 2} (N v 1) f (s)

3 5

= ^{N 1}

2

4 1

(N v 1)

t (N v 1)

X

s=a

(t (s))^{N v 2}f (s) 3 5

= ^{N 1}

2

4 1

(N v 1)

t (NXv 1) s=a

(t (s))^{N v 2}f (s) 3 5

= ^{N 2}

2

4 1

(N v 2)

t (N v 2)

X

s=a

(t (s))^{N v 3}f (s) 3 5 ...

= ^{N N}

2

4 1

(N v N )

t (N v N )

X

s=a

(t (s))^{N v (N +1)}f (s) 3 5

= 1

( v) Xt+v s=a

(t (s)) ^{v 1}f (s)

elde edilir.

Yukar¬daki i¸slemlerde N 1 < v < N oldu¼gundan her k = 1; 2; :::; N için _(N¹_{v k)}

terimi mevcuttur. Ayr¬ca, her t 2 N^{a+N v} için

(t (s))^{N v k 1} = (t s)

(t s N + v + k + 1)

= (a + N v + m s) (a + m + k + 1 s)

dir. Bu ifade her k 2 f1; 2; :::; Ng ve her s 2 fa; a + 1; :::; t (N v k)g = fa; a + 1; :::; a + m + kg için mevcuttur.

Teorem 2.4. f : N^a ! R verilmi¸s olsun. Bu durumda ^vaf kesirli fark¬ v 0 a göre süreklidir. Yani, her v > 0 ve m 2 N⁰ için tv;m := a +dve v + m, D f ^vafg kümesinde bir sabit nokta olmak üzere her m 2 N⁰ sabiti için

v 7! ^vaf (t_v;m)

[0;1) üzerinde süreklidir (Holm 2011b).

Ispat:· f : N^a ! R, N 2 N ve m 2 N⁰ olsun. ·Ispat için

v

af (a + N v + m), (N 1; N ) üzerinde v ye göre süreklidir. (2.4) v ! N iken ^vaf (a + N v + m)! ^Nf (a + m) d¬r. (2.5) v ! (N 1)⁺ iken ^v_af (a + N v + m)! ^{N 1}f (a + m 1)d¬r. (2.6)

ifadelerinin sa¼gland¬¼g¬n¬göstermek yeterlidir.

(2.4) ifadesini göstermek için herhangi bir v 2 (N 1; N ) sabiti için

v

af (a + N v + m)

= 1

( v) Xt+v

s=a

(t (s)) ^{v 1}f (s)

t=a+N v+m

= 1

( v)

a+N +mX

s=a

(a + N v + m (s)) ^{v 1}f (s)

= 1 ( v)

a+N +mX

s=a

(a + N v + m s) (a + N + m s) f (s)

=

a+N +mX

s=a

1

(a + N + m s)

(a + N v + m s)

( v) f (s)

=

a+N +m 1X

s=a

1

(a + N + m s)

(a + N v + m s)

( v) f (s) + f (a + N + m)

=

a+N +m 1X

s=a

(a + N v + m s 1):::( v)

(a + N + m s)! f (s) + f (a + N + m) bulunur. Bu son e¸sitlikte a + N + M s = i dönü¸sümü yap¬l¬rsa

v

af (a + N v + m) =

N +mX

i=1

(i 1 v):::( v)

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m) (2.7) elde edilir. (2.7) den (N 1; N ) üzerinde ^v_af (a + N v + m) v ye göre süreklidir.

Bu da (2.4) tür.

(2.5) ifadesini göstermek için v ! N iken (2.7) ifadesinin limiti al¬n¬rsa

lim

v!N v

af (a + N v + m)

= lim

v!N

"_{N +m} X

i=1

(i 1 v):::( v)

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

#

=

N +mX

i=1

(i 1 N ):::( N )

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

= XN

i=1

(i 1 N ):::( N )

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

= XN

i=1

( 1)ⁱ(N ):::(N i + 1)

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

= XN

i=1

( 1)ⁱ N

i f (a + N + m i) + f (a + N + m)

= XN

i=0

( 1)ⁱ N

i f (a + N + m i)

= XN

i=0

( 1)ⁱ N

i f ((a + m) + N i)

= ^Nf (a + m):

elde edilir.

Son olarak, (2.6) ifadesini göstermek için v ! (N 1)⁺iken (2.7) ifadesinin limiti al¬n¬rsa

lim

v!(N 1)⁺ v

af (a + N v + m)

= lim

v!(N 1)⁺

"_{N +m} X

i=1

(i 1 v):::( v)

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

#

=

N +mX

i=1

(i N ):::( N + 1)

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

=

NX1 i=1

( 1)ⁱ(N 1):::(N i)

i! f (a + N + m i) + f (a + N + m)

=

NX1 i=1

( 1)ⁱ N 1

i f (a + N + m i) + f (a + N + m)

=

NX1 i=0

( 1)ⁱ N 1

i f (a + m + 1 + (N 1) i)

= ^{N 1}f (a + m + 1)

bulunur. Bu üç ifadenin sa¼glanmas¬teoremin ispat¬n¬tamamlar.

Uyar¬2.4. Teorem 2.4, f : N^a ! R ve m 2 N⁰ için

1:9

a f (a + m + 0:1); ^1:99_a f (a + m + 0:01); ^1:999_a f (a + m + 0:001); :::

dizisinin ²f (a + m)de¼gerine yakla¸st¬¼g¬n¬gösterir. Bu "basamak süreklili¼gi" kesirli analize tamsay¬basamaktan analizde olmayan bir güzellik katar.

Kesirli fark ve kesirli toplamlar a¸sa¼g¬daki ¸sekilde ifade edilebilir.

Tan¬m 2.7. f : N^a! R ve v > 0 verilmi¸s olsun. Bu durumda

(i) t2 N^a+v için f fonksiyonunun v: basamaktan kesirli toplam¬,

v

a f (t) := 1 (v)

Xt v s=a

(t (s))^{v 1}f (s);

(ii) t2 N^{a+N v} için f fonksiyonunun v: basamaktan kesirli fark¬,

v

af (t) :=

8>

<

>:

1 ( v)

t+vP

s=a

(t (s)) ^{v 1}f (s) ; v =2 N

Nf (t) ; v = N

d¬r (Holm 2011b).

Teorem 2.5. f : N^a ! R ve N 1 < v N olmak üzere v > 0 verilmi¸s olsun.

Her t 2 N^{a+N v} için

v

af (t) =

v+t aX

k=0

( 1)^k v

k f (t + v k); (2.9)

her t 2 N^a+v için

v

a f (t) =

v+t aX

k=0

( 1)^k v

k f (t v k) (2.10)

=

v+t aX

k=0

v + k 1

k f (t v k) (2.11)

d¬r (Holm 2011b).

Ispat:· f; v; N teoremin ifadesinde verildi¼gi gibi, m 2 N⁰için t = a+N v+molmak

üzere t 2 N^{a+N v} olsun. Bu durumda, Tan¬m 2.7 nin uygulanmas¬yla

v

af (t) = 1 ( v)

Xt+v s=a

(t (s)) ^{v 1}f (s)

= Xt+v

s=a

(t s)

( v) (t s + v + 1)f (s)

=

a+N +mX

s=a

(a + N v + m s)

( v) (a + N + m s + 1)f (s)

=

N +mX

s=0

(N v + m s)

( v) (N + m s + 1)f (s + a)

= f (a + N + m) +

N +m 1X

s=0

(N v + m s 1):::( v)

(N + m s + 1) f (s + a)

= f (a + N + m) +

N +m 1X

s=0

( 1)^{N +m s}(v):::(v (N + m s) + 1)

(N + m s + 1) f (s + a)

= f (a + N + m) +

N +m 1X

s=0

( 1)^{N +m s} v

N + m s f (s + a)

=

N +mX

s=0

( 1)^{N +m s} v

N + m s f (s + a)

bulunur. Bu e¸sitlikte s yerine N + m k al¬n¬r ve t = a + N v + m yaz¬l¬rsa

v

af (t) =

N +mX

k=0

( 1)^k v

k f (a + N + m k)

=

N +mX

k=0

( 1)^k v

k f (a + N v + m + v k)

=

v+t aX

k=0

( 1)^k v

k f (t + v k)

elde edilir ki bu (2.9) ifadesini ispatlar. v = N oldu¼gunda (2.9) ifadesi t 2 N^a için

Nf (t) = XN k=0

( 1)^k N

k f (t + N k)

Binom formülüne indirgenir. Benzer ¸sekilde (2.10) ifadesi de ispatlanabilir. v = N

oldu¼gunda _k^N ifadesi N

k = ( N + 1)

( N k + 1)

= ( N ):::( N k + 1) k!

= ( 1)^k N + k 1 k olarak yaz¬l¬r. Buradan, v > 0 için

v

k = ( v)!

( v k)!k!

= ( v)( v 1):::( v k + 1)( v k)!

( v k)!k!

= ( v)( v 1):::( v (k 1)) k!

= ( 1)^k(v + (k 1)):::(v + 1)(v) k!

= ( 1)^k v + k 1 k

dir. Bu ifadenin (2.10) ifadesinde yaz¬lmas¬ile (2.11) elde edilir.

Lemma 2.6. a2 R ve > 0 verilmi¸s olsun. Bu durumda, her tan¬ml¬t için

(t a) = (t a) ¹ (2.12)

d¬r. Ayr¬ca, > 0 olmak üzere t 2 N^{a+ +} için

a+ (t a) = (t a) ⁺ (2.13)

ve t 2 N^{a+ +N} için

a+ (t a) = (t a) (2.14)

d¬r (Atici ve Eloe 2007).

Ispat:· Tan¬m 2.1 ve Tan¬m 2.4 kullan¬larak

(t a) = (t + 1 a) (t a)

= (t + 2 a)

(t + 2 a )

(t + 1 a) (t + 1 a )

= (t + 2 a) (t + 1 a ) (t + 1 a) (t + 2 a )

= [(t + 1 a) (t + 1 a )] (t + 1 a) (t + 1 a ( 1))

= (t + 1 a)

(t + 1 a ( 1))

= (t a) ¹

(2.12) elde edilir.

(t a) , (t a) ⁺ ve (t a) fonksiyonlar¬iyi tan¬ml¬ve N^a+ , N^{a+ +} , N^{a+ +N} tan¬m kümelerinde pozitiftir.

(2.13) e¸sitli¼ginin ispat¬ için, = 1 ve 2 (0; 1) [ (1; 1) durumlar¬ ayr¬ ayr¬ ele al¬nacakt¬r.

= 1 için, (2.12) e¸sitli¼gi kullan¬larak

1

a+ (t a) = _a+¹ (t a) ⁺¹

+ 1

= 1

(1) Xt 1 s=a+

(s a) ⁺¹ + 1

= (s a) ⁺¹ + 1

t

s=a+

= (t a) ⁺¹ + 1

+1

+ 1

= 1

+ 1(t a) ⁺¹ ( + 1)

( + 1) ( + 1 ( + 1))

elde edilir. Burada

( + 1)

( + 1) ( + 1 ( + 1)) = ( + 1) ( + 1) (0) = 0 ve

1 = ( + 1)

( + 1 ( 1)) = ( + 1)

( + 1) ( + 1) = 1 + 1 oldu¼gundan

1

a+ (t a) = ¹(t a) ⁺¹ d¬r.

2 (0; 1) [ (1; 1) olmak üzere, t 2 N^{a+ +} için

g₁(t) : = _a+ (t a) g₂(t) : = ^v(t a) ^+v

tan¬mlayal¬m. g1ve g2fonksiyonlar¬n¬n her ikisinin de iyi tan¬ml¬, birinci basamaktan 8<

:

(t a ( + v) + 1) g(t) = ( + v)g(t); t2 N^{a+ +v} g(a + + ) = ( + 1)

(2.15)

ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümü oldu¼gunu göstermeliyiz.

g₁(t)jt=a+ +v = _a+^v (t a) _{t=a+ +v}

= 1

(v) Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a)

t=a+ +v

= 1

(v)

a+X

s=a+

(a + + v (s))^{v 1}(s a)

= 1

(v)( + v + a s 1)^{v 1}(s a)

s=a+

= 1

(v)(v 1)^{v 1}

= 1 (v)

(v) (1)

( + 1) (1)

= ( + 1)

ve

g₂(t)jt=a+ +v = ^v(t a) ^+v _{t=a+ +v}

= ^v( + v) ^+v

= ( + 1)

( + v + 1)

( + v + 1) (1)

= ( + 1)

oldu¼gundan g1 ve g2 fonksiyonlar¬n¬n her ikisi de (2.15) ba¸slang¬ç de¼ger proble- mindeki ba¸slang¬ç ko¸sulunu sa¼glar.

¸

Simdi g1fonksiyonunun (2.15) ba¸slang¬ç de¼ger problemindeki fark denklemini sa¼glad¬¼g¬n¬

gösterelim. t 2 N^{a+ +} için (2.1) kullan¬larak

g₁(t) =

"

1 (v)

Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a)

#

= 1

(v) Xt v s=a+

(v 1)(t (s))^{v 2}(s a)

+(t + 1 (t + 2 v))^{v 1}

(v) (t + 1 v a)

= v 1

(v) Xt v s=a+

(t (s))^{v 2}(s a)

+(v 1)^{v 1}

(v) (t + 1 v a)

= v 1

(v) Xt v s=a+

(t (s))^{v 2}(s a)

+ (v)

(v) (1)(t + 1 v a)

= v 1

(v) Xt v s=a+

(t (s))^{v 2}(s a) + (t + 1 v a)

elde edilir. Ayr¬ca

g₁(t) = 1 (v)

Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a)

= 1

(v) Xt v s=a+

(t s)

(t s v + 1)(s a)

= 1

(v) Xt v s=a+

(t s v + 1) (t s)

(t s v + 2)(s a)

= 1

(v) Xt v s=a+

(t (s) (v 2))(t (s))^{v 2}(s a)

= 1

(v) Xt v s=a+

[(t a ( + v) + 1) (s a )] (t (s))^{v 2}(s a)

= (t a ( + v) + 1) (v)

Xt v s=a+

(t (s))^{v 2}(s a) 1

(v) Xt v s=a+

(t (s))^{v 2}(s a) ⁺¹

= h(t) k(t)

¸seklinde yaz¬labilir. Burada 8>

><

>>

:

h(t) := (t a ( +v)+1) (v)

t vP

s=a+

(t (s))^{v 2}(s a) k(t) := _(v)¹

t vP

s=a+

(t (s))^{v 2}(s a) ⁺¹

d¬r.

k(t) = 1 (v)

Xt v s=a+

(t (s))^{v 2}(s a) ⁺¹

= 1

(v)

(t v+1) 1X

s=a+

(s a) ⁺¹ (t s)^{v 1} v 1 1

(v)

(t v+1) 1

X

s=a+

(t (s))^{v 1}

v 1 (s a) ⁺¹

= 1

(v) (s a) ⁺¹ (t s)^{v 1} v 1

s=t v+1

s=a+

1 (v)

(t v+1) 1X

s=a+

(t (s))^{v 1}

v 1 ( + 1)(s a)

= 1

(v)(t v + 1 a) ⁺¹ (t t + v 1)^{v 1} v 1

!

+ 1

(v)(a + a) ⁺¹ (t a )^{v 1} v 1

!

+ + 1

(v)(v 1) Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a)

= 1

(v)(t v + 1 a) ⁺¹ (v 1)^{v 1} v 1

!

+ 1 (v)

+1 (t a )^{v 1} v 1

!

+ + 1

(v)(v 1) Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a)

= 1

(v)(t v + 1 a) ⁺¹ (v) (1) + 1

(v)

( + 1) (0)

(t a + 1)

(v 1) (t a v + 2)

+ + 1

(v)(v 1) Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a)

= 1

(v)

"

+ 1 v 1

Xt v s=a+

(t (s))^{v 1}(s a) (t v + 1 a) ⁺¹

#

elde edilir. Bu durumda

(t a ( + v) + 1) g₁(t) = (v 1)h(t) + (t + 1 v a) ⁺¹ ( + 1)g₁(t) (v 1)k(t) = (t + 1 v a) ⁺¹

d¬r.

O halde,

(t a ( + v) + 1) g₁(t) = (v 1)h(t) + ( + 1)g₁(t) (v 1)k(t)

= (v 1)g₁(t) + ( + 1)g₁(t)

= ( + v)g₁(t)

olup g1 fonksiyonu (2.15) ba¸slang¬ç de¼ger problemindeki fark denklemini sa¼glar. Son olarak, g2 fonksiyonunun da (2.15) ba¸slang¬ç de¼ger problemindeki fark denklemini sa¼glad¬¼g¬n¬gösterelim.

(t a ( + v) + 1) g₂(t) = (t a ( + v) + 1) ^v(t a) ^+v

= (t a ( + v) + 1) ^v( + v)(t a) ^{+v 1}

= (t a ( + v) + 1) ^v( + v) (t a + 1)

(t a + 1 ( + v) + 1)

= ( + v) ^v (t a + 1) (t a + 1 ( + v))

= ( + v) ^v(t a) ^+v

= ( + v)g₂(t):

Iyi tan¬ml¬(2.15) ba¸· slang¬ç de¼ger probleminin çözümünün tekli¼ginden dolay¬N^{a+N v} üzerinde g1 g₂; yani

a+ (t a) = ^v(t a) ^+v dir.

(2.14) e¸sitli¼gini göstermek için, t 2 N^{a+ +N v} için Tan¬m 2.6 ve (2.13) kural¬n¬n uygulanmas¬yla

v

a+ (t a) = ^Nh _{(N v)}

a+ (t a) i

= ^Nh

(N v)

(t a) ^{+N v}i

= ^N ( + 1)

( + 1 + N v)(t a) ^{+N v}

elde edilir. (2.12) e¸sitli¼ginin N defa uygulanmas¬yla

v

a+ (t a) = ( + 1)

( + 1 + N v)(( + N v):::( + 1 v))(t a) ^v

= ( + 1)

( + 1 + N v)

( + N v + 1)

( + 1 v) (t a) ^v

= ( + 1)

( + 1 v)(t a) ^v

= ^v(t a) ^v

bulunur.

Teorem 2.7. f : N^a! R olsun. ; > 0 olmak üzere t 2 N^{a+ +} için

v

a+ a f (t) = _a^v f (t) = _{a+v a}^vf (t) d¬r (Holm 2011b).

Ispat:· f : N^a ! R ve ; > 0 olsun. t 2 N^{a+ +} için

v

a+ a f (t) = 1 (v)

Xt v s=a+

(t (s))^{v 1} 1 ( )

Xs r=a

(s (r)) ¹f (r)

!

= 1

(v) ( ) Xt v s=a+

Xs r=a

(t (s))^{v 1}(s (r)) ¹f (r)

= 1

(v) ( )

t (v+ )X

r=a

Xt v s=r+

(t (s))^{v 1}(s (r)) ¹f (r)

dir. Burada x = s (r) dönü¸sümü yap¬l¬rsa

v

a+ a f (t) = 1 (v) ( )

t (v+ )

X

r=a

"_{t v r 1} X

x= 1

(t x r 2))^{v 1}x ¹

# f (r)

= 1

(v) ( )

t (v+ )X

r=a

2 4

(t r 1) vX

x= 1

((t r 1) (x))^{v 1}x ¹ 3 5 f(r)

= 1

( )

t (v+ )

X

r=a

h v

1(t ¹)

t r 1f (r)i

= 1

( )

t (v+ )

X

r=a

( 1) ^v(t r 1) ^1+vf (r)

= 1

( )

t (v+ )

X

r=a

( )

( + v)(t r 1) ^{+v 1}f (r)

= 1

(v + )

t (v+ )X

r=a

(t (r))^{(v+ ) 1}f (r)

= _a^{(v+ )}f (t)

= _a^v f (t)

elde edilir. v ve key… oldu¼gundan, daha genel olarak t 2 N^a+v+ için

v

a+ a f (t) = _a^v f (t) = _{a+v a}^vf (t) dir.

Lemma 2.8. f : N^a ! R; > 0 olsun. M 1 < M olmak üzere herhangi k2 N⁰; t 2 N^a+ için

k

a f (t) = ^k_a f (t) (2.16)

ve t 2 N^a+M için

k

af (t) = ^k+_a f (t) (2.17)

d¬r (Holm 2011b).

Ispat:· f; ; M ve k lemman¬n ifadesindeki gibi olsun. ·Ispat a¸sa¼g¬daki iki durumda

yap¬lacakt¬r.

1. = M durumu:

t2 N^a+1 için

1

a f (t) =

"_{t 1} X

s=a

f (s)

#

= Xt s=a

f (s) Xt 1

s=a

f (s)

= f (t)

dir.

Herhangi k 2 N ve t 2 N^a+k için

k k

a f (t) = ^{k 1} _{a+k 1}¹ ( _a^{(k 1)}f (t))

= ^{k 1} _a^{(k 1)}f (t);

= :::

= f (t)

dir. Böylece, herhangi t 2 N^a+M için

k M

a f (t) = 8<

:

k M M M

a f (t) = ^{k M}f (t) ; k M

k k

a+M k

h _{(M k)}

a f (t)i

= ^{k M}_a f (t) ; k < M

elde edilir. (Bu durumda, tamsay¬basamaktan farklar¬n de¼gi¸simli (komütatif) oldu¼gu kullan¬lm¬¸st¬r.)

2. M 1 < < M durumu:

Önce t 2 N^a+M için _af (t) = ¹⁺_a f (t) oldu¼gunu göstermeliyiz. t 2 N^a+M

için Tan¬m 2.5 kullan¬l¬rsa

af (t) =

"

1 ( )

Xt+

s=a

(t (s)) ¹f (s)

#

= 1

( )

" _t+

X

s=a

(t (s)) ¹f (s)

#

elde edilir. Parantezin içindeki terime (2.1) kural¬uygulan¬rsa

af (t) = 1 ( )

"_t+

X

s=a

( 1)(t (s)) ²f (s) + ( 1) ¹f (t + + 1)i

= 1

( )

"_t+

X

s=a

( 1)(t (s)) ²f (s) + ( )f (t + + 1)

#

= ( 1)

( ) Xt+

s=a

(t (s)) ²f (s) + ( )

( )f (t + + 1)

= 1

( 1)

Xt+

s=a

(t (s)) ²f (s) + f (t + + 1)

= 1

( 1)

t+ +1X

s=a

(t (s)) ²f (s)

= 1

( 1)

t (X1) s=a

(t (s))^{( 1) 1}f (s)

= _a^{( 1)}f (t)

= ¹⁺_a f (t)

bulunur. O halde k 2 N ve t 2 N^a+M için

k

af (t) = ^{k 1}[ _af (t)]

= ^{k 1 1+}_a f (t)

= :::

= ^k+_a f (t)

dir. Böylece (2.17) ifadesinin ispat¬tamamlanm¬¸s olur.

(2.16) ifadesinin ispat¬da benzer ¸sekilde yap¬labilir.

Teorem 2.9. f : N^a! R; v; > 0 olsun. N 1 < v N olmak üzere t 2 N^{a+ +N v} için

v

a+ a f (t) = ^v_a f (t) d¬r (Holm 2011b).

Ispat:· f; v; N ve teoremin ifadesinde verildi¼gi gibi olsun. t 2 N^{a+ +N v} için Teorem 2.7 ve Lemma 2.8 kullan¬larak

v

a+ a f (t) = ^N _a+^{(N v)} _a f (t)

= ^N _a^{(N v+ )}f (t)

= ^N_a ^{(N v+ )}f (t)

= ^v_a f (t)

elde edilir.

Teorem 2.10. f : N^a ! R; k 2 N⁰ ve v > 0 olsun. Bu durumda t 2 N^a+v için

v a

kf (t) = ^{k v}_a f (t) Xk 1

j=0

jf (a)

(v k + j + 1)(t a)^{v k+j} (2.18)

d¬r. Ayr¬ca, > 0 olmak üzere M 1 < M ve t 2 N^{a+M +v} için

v

a+M af (t) = _a ^vf (t)

MX1 j=0

j (M )f (a + M )

(v M + j + 1) (t a M + )^{v M +j} (2.19) d¬r (Holm 2011b).

Ispat:· k 2 N⁰ verilmi¸s olsun ve v =2 f1; 2; :::; k 1g olmak üzere v negatif olmayan

olsun. Bu durumda, t 2 N^a+v için Tan¬m 2.7 kullan¬larak

v a

kf (t) = 1 (v)

Xt v s=a

(t (s))^{v 1 k}f (s)

= 1

(v) Xt v

s=a

(t (s))^{v 1 k 1}f (s)

elde edilir. k kez k¬smi toplama kural¬kullan¬larak

v a

kf (t) = 1

(v) (t s)^{v 1 k 1}f (s) ^{t v+1}_s=a 1

(v) Xt v

s=a

(v 1)(t (s))^{v 2 k 1}f (s)

= 1

(v) (v 1)^{v 1 k 1}f (t v + 1) (t a)^{v 1 k 1}f (a) +(v 1)

(v) Xt v s=a

(t (s))^{v 2 k 1}f (s)

= 1

(v) (v) ^{k 1}f (t v + 1) (t a)^{v 1 k 1}f (a)

+ 1

(v 1) Xt v s=a

(t (s))^{v 2 k 1}f (s)

= ^{k 1}f (t v + 1) (t a)^{v 1} (v)

k 1f (a)

+ 1

(v 1) Xt v s=a

(t (s))^{v 2 k 1}f (s)

= 1

(v 1)

t v+1X

s=a

(t (s))^{v 2 k 1}f (s)

k 1f (a)

(v) (t a)^{v 1}

= 1

(v 1)

t (v 1)X

s=a

(t (s))^{(v 1) 1 k 1}f (s)

k 1f (a)

(v) (t a)^{v 1}

= _a^{(v 1) k 1}f (t)

k 1f (a)

(v) (t a)^{v 1}

= ^{1 v}_a ^{k 1}f (t)

k 1f (a)

(v) (t a)^{v 1}

= ^{2 v}_a ^{k 2}f (t)

k 1f (a)

(v) (t a)^{v 1}

k 2f (a)

(v 1) (t a)^{v 2} ...

= ^{k v}_a f (t) Xk

i=1

k if (a)

(v i + 1)(t a)^{v i}

= ^{k v}_a f (t) Xk 1

j=0

jf (a)

(v k + j + 1)(t a)^{v k+j}

bulunur. Kabulden, bu ifade iyi tan¬ml¬ve v k + j + 1 =2 f:::; 2; 1g d¬r.

v 2 f1; 2; :::; k 1g olsun. Bu durumda k v 2 N dir. Teoremler 2.7, 2.9 ve 2.12 nin kullan¬lmas¬yla t 2 N^a+v için

v a

kf (t) = ^{k v} _a^{(k v)} _a^{v k}f (t)

= ^{k v} _a^{(k v)} _a^{v k}f (t)

= ^{k v} _a^{k k}f (t)

= ^{k v}

"

f (t) Xk 1

j=0

jf (a)

(j + 1)(t a) ^j

#

= ^{k v}f (t) Xk 1

j=0

jf (a) (j + 1)

k v(t a) ^j

= ^{k v}f (t)

Xk 1 j=k v

jf (a) (j + 1)

(j + 1)

(j + 1 k + v)(t a) ^{j k+v}

= ^{k v}f (t)

Xk 1 j=k v

jf (a)

(j + 1 k + v)(t a) ^{j k+v}

bulunur.

Yukar¬daki iki durum birle¸stirilerek (2.18) ispatlan¬r. Yani, k 2 N⁰ olmak üzere

(i) v 2 f1; 2; :::; k= 1g (ii) v 2 f1; 2; :::; k 1g

¸

Simdi (2.19) ifadesini ispatlamak için v; > 0 ve M 1 < M olsun.

g(t) := _a^{(M )}f (t)ve b := a + M

tan¬mlayal¬m. Burada b; g nin tan¬m kümesinin ilk eleman¬d¬r. t 2 N^{a+M +v} için Teorem 2.9 ve v > M durumunda Teorem 2.7 kullan¬larak

v

a+M af (t) = _a+M^{v M} _a^{(M )}f (t)

= _a+M^{v M}g(t)

= ^M_a+M^v g(t)

MX1 j=0

jg(b)

(v M + j + 1)(t b)^{v M +j}

= ^M_a+M^v _a^{(M )}f (t)

MX1 j=0

j (M ) a f (b)

(v M + j + 1)(t b)^{v M +j}

= _a ^v

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

(v M + j + 1) (t a M + )^{v M +j}

elde edilir.

Teorem 2.11. f : N^a ! R; N 1 < v N ve M 1 < M olmak üzere v; > 0 olsun. Bu durumda t 2 N^{a+M +N v} için

v

a+M af (t) = ^v+_a f (t)

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

( v M + j + 1) (t a M + ) ^{v M +j} (2.20)

d¬r. (2.17) ve Uyar¬2.1 den v 2 N⁰ durumunda toplamdaki terimler kaybolur (Holm 2011b).

Ispat:· f; v ve teoremin ifadesinde verildi¼gi gibi olsun. v = N durumunda Lemma 2.8 dan (2.20) aç¬kt¬r. Di¼ger taraftan, N 1 < v < N ise t 2 N^{a+M +N v} için

(2.16) ve (2.19) kullan¬larak

v

a+M af (t) = ^Nh _{(N v)}

a+M af (t)i

= ^N _a^{N +v+} f (t)

N

"_{M 1} X

j=0

j M +

a f (a + M )

(N v M + j + 1)(t a M + )^{N v M +j}

#

= ^v+_a f (t)

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

(N v M + j + 1)

Nh

(t a M + )^{N v M +j}i

= ^v+_a f (t)

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

( v M + j + 1) h

(t a M + ) ^{v M +j}i

elde edilir.

Sonuç 2.1. f : N^a ! R; N 1 < v N ve M 1 < M olmak üzere v; > 0 olsun. Bu durumda t 2 N^{a+M +N v} için

v

a+M af (t) = _{a+N v} ^v_af (t) +

NX1 j=0

j N +v

a f (a + N v)

( N + j + 1) (t a N + v) ^{N +j}

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

( v M + j + 1) (t a M + ) ^{v M +j}

dir. Ayr¬ca t 2 N^{a+2(N v)} için

v

a+N v v

af (t) = ^2v_a f (t)

NX1 j=0

j N +V

a f (a + N v)

( v N + j + 1) (t a N + v) ^{v N +j}

dir.

Örnek 2.1. v ve ; toplamlar¬tamsay¬olan fakat tamsay¬olmayan say¬lar (v; 2=

v+ operatöründen ne kadar farkl¬oldu¼gunu ara¸st¬ral¬m.

f : N^a ! R olsun. N 1 < v < N ve M 1 < < M olmak üzere v + = P olacak ¸sekilde M; N; P 2 N bulunsun. Bu durumda N + M = P + 1 dir. Burada

D ^va+M af = N^{a+M +N v}

= Na+(M +N ) ( +v)

= N^a+1 D ^Pf

dir. t 2 N^a+1 için (2.20) den

v

a+M af (t)

= ^P_af (t)

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

( v M + j + 1) (t a + M ) ^{v M +j}

elde edilir. j 2 f0; :::; M 1g için

lim

v!N

!(M 1)⁺

(t a M + ) ^{v M +j} = (t a 1)^{j P 1}

= (t a)

(t a + P + 1 j) 2 (0; 1);

lim

!(M 1)⁺

j M +

a f (a + M ) = ^{j 1}_a f (a + 1)2 [0; 1) ve

lim

v!N

1

( v M + j + 1) = 0 oldu¼gundan

lim

v!N

!(M 1)⁺ P

af (t) ^v_{a+M a}f (t) = 0

bulunur.

Örnek 2.2. Örnek 2.1 in kabulleri alt¬nda t büyüdükçe ^v_{a+M a} kesirli birle¸sim

operatörü ile tamsay¬basamaktan ^v+ operatörü aras¬ndaki fark¬kar¸sla¸st¬ral¬m.

f : N^a ! R olsun. N 1 < v < N ve M 1 < < M olmak üzere v + = P olacak ¸sekilde M; N; P 2 N bulunsun. Bu durumda

t!1lim

P

af (t) ^v_{a+M a}f (t)

= lim

t!1 MX1

j=0

j M +

a f (a + M )

( v M + j + 1) (t a + M ) ^{v M +j}

!

=

MX1 j=0

j M +

a f (a + M )

( v M + j + 1) lim

t!1

(t a M + + 1) (t a + P + 1 j)

d¬r. S¬k¬¸st¬rma teoremi gere¼gince, t 2 N^a+2 için

t a M + + 1 2ve t a + P + 1 j 2

) 0 (t a M + + 1)

(t a + P + 1 j)

(t a + 1)

(t a + 2) = 1 t a + 1 ) lim

t!1

(t a M + + 1) (t a + P + 1 j) = 0 oldu¼gundan

t!1lim

P

af (t) ^v_{a+M a}f (t) = 0 bulunur.

A¸sa¼g¬daki tablo f (t) = e^t; a = 0 ve v = = ¹₂ özel durumu için ^v_{a+M a}f (t) ve

P

af (t)operatörleri aras¬ndaki farklar¬n ilk yedisini göstermektedir.

t 1 2 3 4 5 6 7

1=2 1=2

1=2

0 e^t e^{t 1}_{8 16}¹ ₁₂₈⁵ ₂₅₆⁷ ₁₀₂₄²¹ ₂₀₄₈³³ ₃₂₇₆₈⁴²⁹

3. AYRIK KES·IRL·I ANAL·IZDE LAPLACE DÖNܸSÜMÜ

Tan¬m 3.1. R regressive cümlesi

R : = fs 2 C : s 6= 1g

d¬r (Bohner ve Peterson 2001).

Tan¬m 3.2. R cümlesi üzerinde

p q : = p + q + pq

p : = p

1 + p p q : = p [ q]

d¬r (Bohner ve Peterson 2001).

Tan¬m 3.3. f : T^a! R fonksiyonunun Laplace Dönü¸sümü s2D ffg için

L^affg (s) :=

Z1

a

e _s(t; a)f (t) t (3.1)

d¬r. Burada a 2 R, T^a in…mumu a olan s¬n¬rs¬z bir zaman skalas¬ve D ffg integralin yak¬nsak oldu¼gu tüm regressive kompleks sabitlerin cümlesidir (Bohner ve Peterson 2001).

Tan¬m 3.4. N^a cümlesi üzerindeki üstel fonksiyon t 2 N^a için

e_p(t; a) := (1 + p)^{t a}

d¬r. Bu durumda (3.1) Laplace dönü¸sümündeki üstel fonksiyon

e _s(t; a) = e _s(t + 1; a)

= (1 + s)^{t+1 a}

= 1 s

1 + s

t+1 a

= 1

(s + 1)^{t a+1}

¸seklindedir (Bohner ve Peterson 2001).

Tan¬m 3.5. f : N^a! R fonksiyonunun Laplace dönü¸sümü s 2 Cn f 1g için

L^affg (s) : = Z1

a

f (t)

(s + 1)^{t a+1} t

= Z1

0

f (t + a) (s + 1)^t+1 t

= X1 k=0

f (k + a)

(s + 1)^k+1 (3.2)

d¬r. s 2 Cn f 1g için (3.2) serisi yak¬nsakt¬r. Bu seri, f : N^a ! R fonksiyonunun Ayr¬k Laplace Dönü¸sümüdür (Holm 2011c).

Tan¬m 3.6. f : N^a! R olmak üzere yeterince büyük t 2 N^a için

jf(t)j Ar^t

olacak ¸sekilde bir A > 0 sabiti mevcut ise f fonksiyonuna r üstel basamakl¬d¬r denir.

Sonuç 3.1. f : N^a ! R fonksiyonu r > 0 üstel basamakl¬olsun. Bu durumda, her t 2 N^a+m için jf(t)j Ar^t olacak ¸sekilde A > 0 sabiti ve m 2 N⁰ vard¬r. Böylece

B 1(r) küresinin d¬¸s¬ndaki herhangi s 2 C için

L^affg (s)

X1 k=0

f (k + a) (s + 1)^k+1

=

m 1X

k=0

f (k + a) (s + 1)^k+1 +

X1 k=m

f (k + a) (s + 1)^k+1

m 1X

k=0

f (k + a) (s + 1)^k+1 +

X1 k=m

Ar^k+a js + 1j^k+1

=

m 1X

k=0

f (k + a)

(s + 1)^k+1 + Ar^a js + 1j

X1 k=m

r js + 1j

k

=

m 1X

k=0

f (k + a)

(s + 1)^k+1 + Ar^a js + 1j

r js+1j

m

1 _js+1j^r

=

m 1X

k=0

f (k + a)

(s + 1)^k+1 + A js + 1j^m

r^a+m js + 1j r

< 1

gerçeklenir. Bu sonuç, f hangi basamaktan üstel olursa olsun, tan¬m kümesini k¬s¬tlayarak L^affg (s) operatörünün yak¬nsakl¬¼g¬n¬n garanti edilmesini sa¼glar.

Lemma 3.1. f : N^a ! R fonksiyonu r > 0 üstel basamakl¬olsun. Bu durumda, L^affg (s) operatörü s 2 CnB ¹(r) için mevcuttur (Holm 2011c).

Bu bölümün geri kalan¬ için, çal¬¸smalar¬m¬zda üstel basamak L^affg (s) Laplace dönü¸sümünün CnB ¹(r)tan¬m kümesinde var olmas¬n¬sa¼glayan fonksiyonlara k¬s¬t- lanacakt¬r (¸Sekil 3.1).

¸

Sekil 3.1 Laplace Dönü¸sümü için yak¬nsakl¬k kümesi

Örnek 3.1. p2 C olsun. N^a kümesinde üstel fonksiyon t 2 N^a için

e_p(t; a) = (1 + p)^{t a}

¸seklindedir. A¸sikar olarak, (1 + p)^{t a} ifadesi 1 + p üstel basamakl¬d¬r. O halde, s2 CnB ¹(1 + p) için

L^a (1 + p)^{t a} (s) = X1

k=0

(1 + p)^k (s + 1)^k+1

= 1

s + 1 X1

k=0

p + 1 s + 1

k

= 1

s + 1

1 1 ^p+1_s+1

!

= 1

s p

bulunur. Yukar¬daki formülün önemli bir durumu s 2 CnB ¹(r) için

olmas¬d¬r.

Lemma 3.2. f; g : N^a ! R; r > 0 üstel basamakl¬ve c¹; c₂ 2 C olsun. Bu durumda s2 CnB ¹(r) için

L^afc¹f + c₂gg (s) = c¹L^affg (s) + c²L^afgg (s) (3.3)

ve

L^affg (s) L^afgg (s) , f(t) g(t) (3.4) d¬r (Bohner ve Peterson 2001).

Lemma 3.3. m 2 N⁰; f : N^{a m} ! R ve g : N^a ! R fonksiyonlar¬ r > 0 üstel basamakl¬olsun. s 2 CnB ¹(r) için

L^{a m}ffg (s) = 1

(s + 1)^mL^affg (s) +

m 1X

k=0

f (k + a m)

(s + 1)^k+1 (3.5) ve

L^a+mfgg (s) = (s + 1)^mL^afgg (s)

m 1X

k=0

(s + 1)^{m 1 k}g(k + a) (3.6)

d¬r (Holm 2011c).

Ispat:· f; g; r ve m lemman¬n ifadesinde verildi¼gi gibi olsun. Bu durumda s2 CnB ¹(r) için