2. B· IR· INC· I BASAMAKTAN D· IFERENS· IYEL DENKLEMLER 2.1. De¼ gi¸ skenlerine Ayr¬labilir Diferensiyel Denklemler

2. B· IR· INC· I BASAMAKTAN D· IFERENS· IYEL DENKLEMLER 2.1. De¼ gi¸ skenlerine Ayr¬labilir Diferensiyel Denklemler

Birinci basamaktan

y

= f (x; y) diferensiyel denklemi

P (x) dx + Q (y) dy = 0

formunda ise bu denkleme de¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilirdir denir. Bir kez integral al¬narak çözüme ula¸ s¬l¬r.

Örnek 1. 2ydy 3 x

y + x

dx = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm. Diferensiyel denklem düzenlendi¼ ginde 2y

y + 1 dy = 3x

dx formunda yaz¬labilir. Her iki taraf¬n integrali al¬n¬rsa

Z

3x

dx = 2

Z y

y + 1 dy = 2 Z

1 1

y + 1 dy den denklemin bir parametreli çözümü

x

= 2y 2 ln jy + 1j + c olarak elde edilir.

Örnek 2. cos xe

dx sin ydy = 0 , y (0) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm.

cos xe

dx = sin ye

dy den

e

+ e

= c

bir parametreli çözümü elde edilir. y (0) = 0 ba¸ slang¬ç ko¸ sulunu uygularsak c = e + 1 bulunur. Böylelikle ba¸ slag¬ç de¼ ger probleminin çözümü

e

+ e

= e + 1 olarak bulunur.

1