Yüksek Basamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemlerin Çözümlerinin Davran¬¸s¬

(1)

Yüksek Basamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemlerin Çözümlerinin Davran¬¸s¬

Ankara Üniversitesi

Matematik Bölümü-MAT444 () 7. Hafta 1 / 7

(2)

x ( n + k ) + p

1

x ( n + k 1 ) + p

2

x ( n + k 2 ) + ... + p

_k

x ( n ) = 0 (1) fark denklemini gözönüne alal¬m. Burada p

i

ler reel sabitler olup p

k

6= ⁰ d¬r. Bu denkleme ili¸skin karakteristik polinom ise,

p ( λ ) = λ

^k

+ p

1

λ

^k ¹

+ p

2

λ

^k ²

+ ... + p

_k

(2)

¸seklindedir.

(3)

Teorem

(1) in s¬f¬r çözümünün asimptotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul (2) nin her λ karakteristik kökü için j ^λ j < 1 olmas¬d¬r.

Teorem

(1) in s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul, j ^λ j = ¹ e¸ sitli¼gini sa¼glayan λ lar basit olmak üzere, j ^λ j ^{1 dir.}

Teorem

j ^λ j = 1 olacak biçimde katl¬karakteristik kökler varsa, bu durumda (1) in s¬f¬r çözümü karars¬zd¬r.

(4)

Bir A = ( a

ij

) matrisinin iç matrisleri, o matrisin kendisi, ilk ve son sat¬rlar¬

ile ilk ve son kolonlar¬n¬n at¬lmas¬yla ard¬¸s¬k olarak bulunan matrislerin tümüdür.

Bütün iç matrislerin determinatlar¬pozitif olan bir A matrisine pozitif iç

matrislidir denir.

(5)

Teorem

(Schur-Cohn Kriteri)

(2) karakteristik polinomunun bütün s¬f¬rlar¬n¬n birim çember içinde kalmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul a¸ sa¼g¬daki ko¸ sullar¬n sa¼glanmas¬d¬r:

( i ) p ( 1 ) > 0,

( ii ) ( 1 )

^k

p ( 1 ) > 0,

( iii ) ( k 1 ) ( k 1 ) türündeki

A

_k ₁

= 0 B B B B B @

1 0 0 0

p

1

1 0 0

.. . .. . .. . .. .

p

k 3

p

k 4

1 0

p

_k ₂

p

_k ₃

p

₁

1 1 C C C C C A

0 B B B B B @

0 0 0 p

k

0 0 p

_k

p

_k ₁

.. . .. . .. . .. .

0 p

k

p

4

p

3

p

_k

p

_k ₁

p

₃

p

₂

1 C C C C C A

matrisler pozitif iç matrislidir.

(6)

(Rouche Teoremi)

f ( z ) ve g ( z ) kompleks fonksiyonlar¬basit kapal¬bir γ e¼grisi içinde ve

üzerinde analitik ve γ üzerinde j ^g ( z )j < j ^f ( z )j ise, bu durumda f ( z ) ve

f ( z ) + g ( z ) fonksiyonlar¬γ içinde ayn¬say¬da s¬f¬rlara sahiptir.

(7)

Örnek

x ( n + 2 ) + a

1

x ( n + 1 ) + a

2

x ( n ) = 0 ikinci basamaktan fark denklemini ele alal¬m. Burada a

1

ve a

2

reel sabitlerdir. Schur-Cohn kriterinden bu

denklemin s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸sullar 0 < 1 + a

1

+ a

2

, 0 < 1 a

1

+ a

2

, 0 < 1 + a

2

Yüksek Basamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemlerin Çözümlerinin Davran¬¸s¬

Yüksek Basamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemlerin Çözümlerinin Davran¬¸s¬

Ankara Üniversitesi

x ( n + k ) + p

x ( n + k 1 ) + p

x ( n + k 2 ) + ... + p

x ( n ) = 0 (1) fark denklemini gözönüne alal¬m. Burada p

ler reel sabitler olup p

6= 0 d¬r. Bu denkleme ili¸skin karakteristik polinom ise,

p ( λ ) = λ

+ p

λ

+ p

λ

+ ... + p

(2)

¸seklindedir.

Teorem

(1) in s¬f¬r çözümünün asimptotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul (2) nin her λ karakteristik kökü için j λ j < 1 olmas¬d¬r.

Teorem

(1) in s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul, j λ j = 1 e¸ sitli¼gini sa¼glayan λ lar basit olmak üzere, j λ j 1 dir.

Teorem

j λ j = 1 olacak biçimde katl¬karakteristik kökler varsa, bu durumda (1) in s¬f¬r çözümü karars¬zd¬r.

Bir A = ( a

) matrisinin iç matrisleri, o matrisin kendisi, ilk ve son sat¬rlar¬

ile ilk ve son kolonlar¬n¬n at¬lmas¬yla ard¬¸s¬k olarak bulunan matrislerin tümüdür.

Bütün iç matrislerin determinatlar¬pozitif olan bir A matrisine pozitif iç

matrislidir denir.

Teorem

(Schur-Cohn Kriteri)

(2) karakteristik polinomunun bütün s¬f¬rlar¬n¬n birim çember içinde kalmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul a¸ sa¼g¬daki ko¸ sullar¬n sa¼glanmas¬d¬r:

( i ) p ( 1 ) > 0,

( ii ) ( 1 )

p ( 1 ) > 0,

( iii ) ( k 1 ) ( k 1 ) türündeki

A

= 0 B B B B B @

1 0 0 0

p

1 0 0

.. . .. . .. . .. .

p

p

1 0

p

p

p

1 1 C C C C C A

0 B B B B B @

0 0 0 p

0 0 p

p

.. . .. . .. . .. .

0 p

p

p

p

p

p

p

1 C C C C C A

matrisler pozitif iç matrislidir.

(Rouche Teoremi)

f ( z ) ve g ( z ) kompleks fonksiyonlar¬basit kapal¬bir γ e¼grisi içinde ve

üzerinde analitik ve γ üzerinde j g ( z )j < j f ( z )j ise, bu durumda f ( z ) ve

f ( z ) + g ( z ) fonksiyonlar¬γ içinde ayn¬say¬da s¬f¬rlara sahiptir.

Örnek

x ( n + 2 ) + a

x ( n + 1 ) + a

x ( n ) = 0 ikinci basamaktan fark denklemini ele alal¬m. Burada a

ve a

reel sabitlerdir. Schur-Cohn kriterinden bu

denklemin s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸sullar 0 < 1 + a

+ a

, 0 < 1 a

+ a

, 0 < 1 + a

< 2

¸seklinde bulunur.

6= ⁰ d¬r. Bu denkleme ili¸skin karakteristik polinom ise,

(1) in s¬f¬r çözümünün asimptotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul (2) nin her λ karakteristik kökü için j ^λ j < 1 olmas¬d¬r.

(1) in s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul, j ^λ j = ¹ e¸ sitli¼gini sa¼glayan λ lar basit olmak üzere, j ^λ j ^{1 dir.}

j ^λ j = 1 olacak biçimde katl¬karakteristik kökler varsa, bu durumda (1) in s¬f¬r çözümü karars¬zd¬r.

üzerinde analitik ve γ üzerinde j ^g ( z )j < j ^f ( z )j ise, bu durumda f ( z ) ve