Yüksek Basamaktan Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Fark Denklemleri

Yüksek Basamaktan Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Fark Denklemleri

Ankara Üniversitesi

Matematik Bölümü () 10. Hafta 1 / 8

a 1 , a 2 , . . . , a k katsay¬lar¬reel sabitler ve a k ( n ) 6= 0 olmak üzere

x ( n + k ) + a 1 x ( n + k 1 ) + . . . + a k x ( n ) = 0 (1)

k y¬nc¬basamaktan lineer sabit katsay¬l¬homogen fark denklemini ele

alal¬m.

x ( n ) = λ ⁿ ¸seklinde çözüm aran¬rsa,

λ ^k + a 1 λ ^{k 1} + ... + a k = 0

karakteristik denklemi bulunur. Bu denklemin karakteristik köklerine ba¼ gl¬

olarak 3 durum ortaya ç¬kar.

Matematik Bölümü () 10. Hafta 3 / 8

Durum 1

λ 1 , λ 2 , ..., λ k kökleri reel ve birbirinden farkl¬ise, (1) denkleminin genel çözümü

x ( n ) =

∑ k i = 1

c i λ ⁿ _i

dir; burada c _i , i = 1, 2, ..., k, katsay¬lar¬key… reel sabitlerdir.

Durum 2

λ 1 , λ 2 , ..., λ k kökleri reel ve s¬ras¬ile m ₁ , m ₂ , ..., m _r katl¬olsunlar. Bu durumda, (1) denklemi

( E λ 1 ) ^m

( E λ 2 ) ^m

... ( E λ r ) ^m

x ( n ) = 0

¸seklinde yaz¬labilir. O halde, genel çözüm

x ( n ) =

∑ r i = 1

λ ⁿ _i ( c i 0 + c i 1 n + c i 2 n ² + ... + c im

n ^m

¹ )

dir.

Matematik Bölümü () 10. Hafta 5 / 8

Durum 3

λ 1 = α + i β karakteristik kökü m katl¬olsun. r = q

α ² + β ² ve θ = arctan

α

olmak üzere, (1) denkleminin 2m tane gerçel de¼ gerli ba¼ g¬ms¬z çözümü

r ⁿ cos nθ, r ⁿ sin nθ, nr ⁿ cos nθ, nr ⁿ sin nθ, ..., n ^{m 1} r ⁿ cos nθ, n ^{m 1} r sin nθ

biçimindedir.

Örnek

( E ² 9 )( E ² 3E + 2 ) x ( n ) = 0 denkleminin genel çözümünü yazal¬m.

Bu denkleme ait karakteristik denklem

( λ ² 9 )( λ ² 3λ + 2 ) = 0

olup, karakteristik kökler λ 1 = 3, λ 2 = 3, λ 3 = 1, λ 4 = 2 dir. Genel çözüm;

x ( n ) = c ₁ ( 3 ) ⁿ + c ₂ + c ₃ 2 ⁿ + c ₄ 3 ⁿ dir.

Matematik Bölümü () 10. Hafta 7 / 8

Örnek

( E ² 4 ) ³ x ( n ) = 0 denkleminin genel çözümünü yazal¬m. Bu denkleme ait karakteristik denklem

( λ ² 4 ) ³ = 0

olup, λ 1,2,3 = 2 ve λ 4,5,6 = 2 karakteristik köklerdir. Genel çözüm;

x ( n ) = ( c 1 + c 2 n + c 3 n ² )( 2 ) ⁿ + ( c 4 + c 5 n + c 6 n ² ) 2 ⁿ

dir.