Zafer Ercan
5 Kasım 1965 yılında Sivas’ın Gemerek il¸cesinin ˙Inkı¸sla k¨oy¨unde do˘gdu.
Sırasıyla, ˙Inkı¸sla ˙Ilk¨o˘gretim Okulu (1976), Ankara ˙Incirli Ortaokulu (1979), Ankara ˙Incirli Lisesi (1982), Hacettepe ¨Universitesi Matematik B¨ol¨um¨u (1987), Orta Do˘gu Teknik ¨Universitesi (ODT ¨U) Matematik B¨ol¨um¨u (Y. Lisans, 1990), The Queen’s University of Belfast (Doktora, 1993) okullarını bitirdi.
Lise son sınıfta iken din dersinin se¸cmeli olmasına kar¸sın “zorunlu” olarak verilmesini kabul etmemesinden dolayı 5 g¨unl¨uk uzakla¸stırma cezası aldı.
Matematik alanındaki ¸calı¸sma konuları fonksiyonel analiz ve biraz da genel topolojidir. Bu alanlarda yazılmı¸s akademik yayınlarının yanında Matematik D¨unyası dergisinde yayınlanmı¸s bir¸cok e˘gitsel yayınları da vardır. “Bombo¸s olmasına kar¸sın bombo¸s durmayıp her¸seyi dolduran k¨umeye bo¸sk¨ume denir” ve
“Matematikte bir k¨umenin sonsuzu, o k¨umeye ait olmayan noktadır” tanım- larının mucididir:-)
On yılı a¸skın bir s¨ure ODT ¨U matematik b¨ol¨um¨unde ¨o˘gretim ¨uyeli˘gi yap- tıktan sonra buradan “kovulmu¸s” ve ¸su anda Abant ˙Izzet Baysal ¨Universi- tesi’nde ¨o˘gretim ¨uyeli˘gi yapmaktadır. ODT ¨U’de ¨o˘gretim ¨uyesiyken bir yazısın- da, “i¸sletme b¨ol¨umleri pazarlama b¨ol¨umleridir,” ifadesinin yer alması nedeniyle hakkında; d¨onemin rekt¨or yardımcısı ve daha sonra rekt¨orl¨uk yapmı¸s olan i¸sletme b¨ol¨um¨un¨un bir ¨o˘gretim ¨uyesinin y¨onlendirmesiyle soru¸sturma a¸cıldı.
Savunmasında kendisine ceza verilmesi yerine bir zamanlar devletin vergi re- kortmeni olan Matild Manukyan’a ¨universitenin i¸sletme fahri doktora ¨unvanı verilmesini ¨onerdi.
T¨urkiye ¨universitelerinde akademik kadro ihtiyacının liyakata g¨ore de˘gil, ilkel bir a˘g ¨uzerinden yapıldı˘gını, yani akademik kadro atamalarında “iha- leye fesat karı¸stırma” y¨onteminin uygulanmakta oldu˘gunu d¨u¸s¨unmektedir.
Bu do˘grultuda 1982 yılından itibaren gelmi¸s ge¸cmi¸s en “d¨ur¨ust” akademik ilanın 01.08.2013 tarihli Rize’de bir ¨universite ilanı oldu˘gunu ¸ce¸sitli ortam- larda g¨undeme getirdi.
De˘ger verdi˘gi yazılarından biri Matematik D¨unyası dergisinin 2003-II sayı- sında yayınlanan “Taahh¨utname” ba¸slıklı yazısıdır. Bu yazıda bazı matema- tik problemlerinin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin ¨onerilen Bir Milyon Dolar ¨Od¨ul anlayı¸sını ele¸stirdi. Bu problemlerden biri olan Poincar´e Sanısı olarak bilinen problemi
¸c¨ozen Grigori Perelman’ın bu ¨od¨ul¨u, “sirklerde sergilenecek hayvan de˘gilim”
a¸cıklamasıyla reddetmi¸s olmasından dolayı insanlık adına gurur duydu.
Matematik K¨oy¨u’n¨u yeniden do˘gan K¨oy Enstit¨us¨u olarak de˘gerlendirmekte.
Bu nedenle bu k¨oy¨un ya¸samasını bir anlamda insanlık onuru olarak g¨ormekte- dir. Bu duyarlılık ¸cer¸cevesinde k¨oy kurucusu Ali Nesin’e Nisan 2016’de yazdı˘gı bir mektubu, “Ya¸sasın Matematik K¨oy¨u. Kahrolsun Matematik K¨oy¨u Dersha- nesi” sloganlarıyla bitirdi.
Kom¨unisttir. . . .
k¨unye. . .
Zafer Ercan
Topoloji
˙I¸cindekiler
Ons¨¨ oz . . . 1
0.1 Genel ¨Ons¨oz . . . 1
0.2 Te¸sekk¨ur . . . 3
0.3 B¨ol¨umlere ¨Ons¨oz . . . 4
0.4 ˙Ifade ¨Uslubu . . . 10
1 Topoloji Nedir? 13 1.1 S¨ureklilik . . . 14
1.2 S¨ureklilik ¨Uzerinden Tanımlanan Denklik . . . 17
1.3 Silindire Topolojik Denk Olanlar . . . 24
1.4 Genel Topolojinin Do˘gu¸su . . . 27
2 Topoloji 33 2.1 Topoloji . . . 33
2.2 Kom¸suluk ve Taban Kom¸suluk Sistemiyle Topoloji ¨Uretimi . . 38
2.3 Alexandrov Uzay . . . 42
2.4 Topolojilerin Sayısı . . . 45
2.5 K¨umenin ˙I¸ci ve Kapanı¸sı . . . 46
2.6 T0, T1 ve T2 Uzaylar . . . 51
2.7 Kuratowski Kapanı¸s Operat¨or¨u . . . 57
2.8 S¨ureklilik . . . 60
3 Taban 65 3.1 Topolojinin Tabanı . . . 65
3.2 Ornekler . . . .¨ 70
3.2.1 Metrik Topoloji . . . 70
3.2.2 n-Boyutlu ¨Oklid Topoloji . . . 72
3.3 Sıra Topolojisi . . . 73
3.3.1 Sıra Uzayında Kapalı K¨umeler . . . 76
3.3.2 Sıra Uzayının Kopuklu˘gu . . . 77
3.4 Fonksiyonlarla Topoloji ¨Uretmek . . . 79
3.5 Altuzay . . . 80 v
3.7 B¨ol¨um Uzayı . . . 87
4 Metrik Topoloji 93 4.1 Metrik Uzay ve Topolojisi . . . 95
4.1.1 S¨ozdemetrik toplulu˘gu tarafından ¨uretilen topoloji . . . 100
4.2 Dizinin Yakınsaması ve S¨ureklilik . . . 102
4.3 C¸ arpım Uzayının Metrikle¸sebilirli˘gi . . . 106
4.4 Oklid Topolojik Uzayı . . . 110¨
4.5 Tam Metrik Uzay . . . 115
4.6 Cantor Teoremi . . . 118
4.7 Baire Uzayı . . . 120
4.8 Metrik Uzayın Tamlaması . . . 122
4.9 S¨urekli Fonksiyonların Geni¸slemesi . . . 126
4.10 Tam Metrikle¸sebilir Topolojik Uzaylar . . . 129
4.11 S¨ureklilik Uzayı . . . 133
5 Ba˘glantılı Uzay 139 5.1 Ba˘glantılılık . . . 139
5.2 Sıra Topolojik Uzayda Ba˘glantılılık . . . 143
5.3 Ba˘glantılı Uzayların C¸ arpım Uzayı . . . 146
5.4 Yol Ba˘glantılılık . . . 147
5.4.1 Topolojicinin Sin¨us E˘grisi . . . 150
5.5 Yerel Ba˘glantılılık ve Yerel Yol Ba˘glantılılık . . . 151
6 Yakınsama: Net ve Filtre 153 6.1 Net ve Yakınsaklık . . . 154
6.2 Net ve S¨ureklilik . . . 160
6.3 Altnet . . . 161
6.4 Ultranet . . . 165
6.5 Filtreler . . . 166
6.6 Filtrenin Yakınsaması . . . 168
6.7 Ultrafiltre . . . 172
7 Dizisel Topolojik Uzaylar 179 7.1 Dizisel Uzaylar . . . 180
7.2 Fr´echet-Urysohn Uzay . . . 183
7.3 Dizisel Uzay ve S¨ureklilik . . . 185
7.4 Dizisel Uzaylar Metrik Uzayların B¨ol¨um Uzaylarıdır. . . 187
7.5 Ornekler . . . 190¨
8 T¨um¨uyle D¨uzenli Uzaylar 193
8.1 T¨um¨uyle D¨uzenli Uzaylar . . . 194
8.2 S¨urekli Fonksiyonlar Halkası ve Kapalı Taban . . . 198
8.3 Sıfır K¨umelerin Kapalı Taban Olması . . . 201
8.4 Alt ve ¨Ust Yarıs¨urekli Fonksiyonlar . . . 204
8.5 T¨um¨uyle D¨uzenlilik ve Yarıs¨ureklilik . . . 208
8.5.1 D¨uzenli Uzaylar . . . 209
8.6 D¨uzg¨un Uzay . . . 213
8.7 D¨uzg¨un S¨ureklilik . . . 222
8.8 Tam Uzay . . . 225
8.8.1 Tam Uzay-ba¸ska bir bi¸cimde . . . 228
9 Normal Uzaylar 231 9.1 Tanım ve Temel ˙Iki Denk ¨Ozellik . . . 232
9.2 Urysohn Lemma . . . 234
9.3 Temel Geni¸sleme Teoremleri . . . 238
9.4 Tietze Teoremi . . . 243
9.5 C¸ arpım Uzayın Normalli˘gi . . . 245
9.6 Hahn-Tong Ayrı¸sım Teoremi . . . 248
9.7 T¨um¨uyle Normal uzaylar . . . 252
9.8 M¨ukemmel Normal Uzaylar . . . 253
10 Kompakt Uzaylar 257 10.1 Kompakt Uzay . . . 258
10.1.1 Sıra Uzayın Kompaktlı˘gı . . . 261
10.2 Kompakt Uzay ve Normal Uzay . . . 265
10.3 Alexander Alttaban Teoremi . . . 270
10.4 Tychonoff Teoremi . . . 272
10.5 Kompaktlık ve Yakınsaklık . . . 274
10.6 Sayılabilir Kompaktlık . . . 277
10.7 Limit Nokta Kompaktlık . . . 280
10.8 Dizisel Kompakt Uzaylar . . . 281
10.9 Yerel Kompakt Uzaylar . . . 285
10.10 Lindel¨of Uzay . . . 290
10.11 S¨urekli Fonksiyonlar K¨umesinde C¸ e¸sitli Topolojiler . . . 292
11 Metrik Uzaylarda Kompaktlık 297 11.1 Metrik Topolojide Kompaktlık . . . 298
11.2 T¨um¨uyle Sınırlılık ve Kompaktlık . . . 301
11.3 ¨Onkompaktlık ve Kompaktlık . . . 304
11.4 Kompaktlık ve U¸c Noktalar . . . 305
11.4.1 Noktasal Sonlu ¨Ort¨u ve Kompaktlık . . . 306
11.5.1 Hilbert K¨up¨u: [0, 1]N-Uzayı . . . 311
11.5.2 Cantor Uzayı: 2N-Uzayı . . . 312
11.6 Kompakt Uzayın Metrikle¸sebilirlili˘gi . . . 318
12 Stone- ˘Cech Kompaktlama 323 12.1 Banach-Stone Teoremi . . . 324
12.2 Stone- ˘Cech Kompaktlama . . . 327
12.3 Kompaktlama ve Stone- ˘Cech Kompaktlama . . . 330
13 z-Idealler ve z-Filtreler 335 13.1 z-Filtre . . . 335
13.2 z-ultrafiltre ve Asal z-ultrafiltre . . . 338
13.3 z-ideal . . . 339
13.4 z-Filtre ve Yakınsaklık . . . 342
13.5 Yo˘gun Altuzayda Filtre . . . 345
14 Stone- ˘Cech Kompaktlama II 349 14.1 Cb-g¨om¨ulebilirlik ve Yo˘gun Altuzay . . . 349
14.2 Kompakt Uzayın Yo˘gun Altuzayı . . . 352
14.3 Stone- ˘Cech Kompaktlamanın Bir Ba¸ska ˙In¸sası . . . 354
15 Reelkompaktlık 359 15.1 T¨um¨uyle D¨uzenli Uzayın C¸ arpım Uzayındaki Kapanı¸sı . . . 360
15.2 Reelkompakt Uzay . . . 363
15.3 Banach-Stone Teoreminin Bir Ba¸ska Versiyonu . . . 364
16 Halka Homomorfizmalar ve Uygulamaları 371 16.1 Sıralı B¨ol¨um Halkası ¨Uzerine Birka¸c Not . . . 372
16.2 Sıralı C(X)/I B¨ol¨um Halkasının Tamsıralılı˘gı . . . 375
16.3 C(X)/M B¨ol¨um Halkasının Ar¸simetli˘gi . . . 377
16.4 βX = Hom Cb(X) ve vX = Hom C(X) . . . 378
16.4.1 Yosida Temsil Teoremi . . . 383
16.5 Metrik uzaylar i¸cin Stone- ˘Cech Kompaktlama . . . 386
16.6 βN Uzayın Temel ¨Ozellikleri . . . 389
17 ¨Onkompaktlık 393 17.1 Temel Karakterizasyon . . . 394
17.2 Dini Teoremi . . . 398
17.3 Ψ-Uzay (Mrowka Uzayı) . . . 400
17.4 ˙Idealin Kapanı¸sı ve ¨Onkompaktlık . . . 403
18 Maksimal ˙Idealler ve Stone Geni¸sleme 405
18.1 Cb(X) ve C(X) Halkalarında Maksimal Idealler . . . 406
18.2 Stone Geni¸slemesi . . . 407
19 Ek: Topolojilerin Sayısı 411 19.1 Ultrafiltrelerin Sayısı . . . 411
19.2 Topolojilerin Sayısı . . . 414
19.3 Homeomorfik Olmayan Topolojilerin Sayısı . . . 415
20 ¨On Bilgiler 417 20.1 K¨ume Kuramı . . . 417
20.2 Kısmi Sıralı K¨ume . . . 421
20.3 Ordinaller . . . 427
20.4 Ordinallerde Aritmetik . . . 429
20.5 Kardinaller . . . 431
20.6 Yarıgrup, Grup ve Halka . . . 436
20.7 Vekt¨or Uzaylar . . . 440
Ons¨ ¨ oz
0.1 Genel ¨ Ons¨ oz
S¨urekli fonksiyonlar cebirleri ¨uzerinde ¨o˘grendiklerimi zaman zaman yazma de- nemelerim oldu. Bu denemelerim sonu¸c vermese de sonunda elimizde bulunan bu topoloji kitabı ortaya ¸cıkmı¸stır.
Fonksiyonel Analiz’in temel ¨ogelerinden biri s¨urekli fonksiyonlar, di˘geri ise integral kavramıdır. S¨urekli fonksiyon uzay kavramının temel ¨orne˘gi, bir kom- pakt Hausdorff topolojik uzaydan ger¸cel sayılara tanımlı ve ¨uzerinde belirli cebirsel i¸slemler ve sıralamalar bulunduran yapıdır. Bu yapı, topolojik uzay K olmak ¨uzere C(K) ile g¨osterilir. Yani, C(K), bir topolojik uzay ¨uzerinden in¸sa edilmi¸s, cebir, sıralı vekt¨or uzayı ve K kompakt oldu˘gunda normlu uzaydır.
C(K) yapısının ve K topolojik uzayılarının yapıları, birinin sa˘gladı˘gı ¨ozelli˘gin di˘gerine nasıl ¨ozellik verdi˘gi ¨uzerinden anla¸sılabilir. ¨Orne˘gin, “kompakt Haus- dorff topolojik uzay K i¸cin C(K) normlu uzayının ayrılabilir olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, K uzayının metrikle¸sebilir olması” gibi. Kitapta bu ve benzeri ili¸skilerden yo˘gun bir bi¸cimde bahsedil(e)meyecek olsa da, bu t¨ur ili¸skilerin varlı˘gı nedeniyle, bu kitap, fonksiyonel analiz alanında ara¸stırma yapmak is- teyenler i¸cin bir ¨onc¨ul ve topoloji alanı i¸cin temel niteliktedir.
Kitap yazarken nerede durulması yani sınırların neler olması gerekti˘gini bilmenin olmazsa olmaz oldu˘gunu az da olsa bu s¨ure¸cte ¨o˘grendim. Ger¸cekten de “Her ¨ol¨um erken ¨ol¨umd¨ur” deyimini “Her ya¸sam eksik ya¸samdır” gibi oku- yacak olursak buna benzer bi¸cimde her kitabın kapsamının da bir eksiklik i¸cerdi˘gine tanık oldum1. Bu eksikliklerin bazılarının neler oldu˘gunun farkında olmama kar¸sın eminim ki bazılarının da farkında de˘gilim. Bu a¸cıdan bu ki- tabın da kapsamı eksik kalmı¸stır. ¨Orne˘gin; bir topolojik uzayın ne zaman met- rikle¸sebilir olmasının temel teoremlerinin bu kitapta yer almaması bir eksik- liktir. Buna kar¸sın klasik topoloji kitaplarında pek yer almayan konulara yer verilmi¸stir, ¨orne˘gin s¨ureklilik uzayı.
Kitabın kimlere y¨onelik oldu˘gu konusunda a¸cıklama yapmanın ¸cok da ge- rekli olu˘gunu d¨u¸s¨unmemekle beraber, kitabın i¸ceri˘ginin matemati˘ge ilgisi olan
1Bu durum Kurt G¨odel’in eksiklik teoremini ¸ca˘grı¸stırıyor.
ve bu konuda temel matematik y¨ontemlerini bilen herkes tarafından takip edi- lebilece˘gini tahmin etmekteyim. Bu a¸cıdan kitabın Matematik B¨ol¨um¨u lisans
¨
o˘grencilerinden ba¸slayarak y¨uksek lisans, doktora ve matematik alanındaki ara¸stırmacıların ilgi alanına girebilece˘gini sanıyorum.
T¨urk¸ce olarak topoloji alanında yazılmı¸s bir¸cok de˘gerli kitap olsa da var olanların hi¸cbirinin bu kitapla ¨ort¨u¸st¨u˘g¨un¨u d¨u¸s¨unmemekteyim. Bu, bir ¨ovg¨u ya da bir yergi anlamında de˘gildir. Bu konuda elbette okurun g¨or¨u¸sleri belirleyici olacaktır. Umarım bu kitap olumlu y¨onde bir bo¸slu˘gu doldurarak bu alanda
¸
calı¸sanlara yararlı olacaktır. Bu kitabın mevcutlardan farklı olmasının bile bu alandaki ¸calı¸smalara katkı sa˘glayaca˘gını d¨u¸s¨unmekteyim.
Kitapta yer alan temel kavramların kimlere ait oldu˘guna ili¸skin a¸cıklayıcı bilgiler verilmeye ¨ozen g¨osterildi. Bu veriler ¨uzerinden okur, konu hakkında de- taylı bilgi edinebilmek i¸cin iz s¨urebilir. Bu y¨on¨uyle kitap ¸cok kapsamlı olmasa da bir referans kitap niteli˘gindedir.
Her altb¨ol¨um¨un sonuna alı¸stırmalar konulmu¸stur. Alı¸stırmaların bazılarının
¸
c¨oz¨um¨u zor bulunabilir ya da kanıtı zor olan teoremler niteli˘ginde oldu˘gu d¨u¸s¨un¨ulebilir. Ancak bu problemlerin ¸c¨oz¨umleri sırasında okuyucu panikleme- melidir, tıpkı g¨or¨unen ve tırmanılması ¸cok zor olan da˘gların varlı˘gının insanı panikletmemesi gerekti˘gi gibi! Bu problemler okuyucu tarafından ¸c¨oz¨ulemese bile ¸c¨oz¨um s¨urecinin kendisinin okura farklı bakı¸s a¸cısı kazandıraca˘gı var- sayılmı¸stır. Bunun yanında teoremlerin kanıtlarında zaman zaman “a¸cıktır”
kelimesi, “kolaydır” anlamında kullanılarak detaylar okura bırakılmı¸stır.
Kitap LaTex programında yazılmı¸stır. Yazım esnasında kitapta yer alan
¸sekillerin tam istenilen yerde yer alması bazen m¨umk¨un olamadı. Bu ne- denle ¸sekillerin yeri ve ¸sekillerle ilgili a¸cıklamalar arasında kopukluklar ola- bildi. Ayrıca kitapta olması gerekenden ¸cok daha az ¸sekil yer aldı. Bunun temel nedeni ¸sekilleri ¸cizebilmek i¸cin belirli programları kullanabilme beceri- sinde olmayı¸sımdandır. Kitabın daha sonraki basımlarında bu eksikli˘gin gide- rilebilece˘gini umuyorum. Buna kar¸sın okurun teorem kanıtlarında ve problem
¸c¨oz¨umlerinde ¸sekil ¸cizmesi ¨onerilir. Kitabın yazımı s¨uresince LaTex yazımı ko- nusunda Resul Eryi˘git ve ˙Ismail U. Tiryaki bilgilerini payla¸sarak yardımcı oldular. Kitapta yer alan ¸sekillerin ¸co˘gunu Tolga ¨Ulgen ¸cizmi¸stir.
˙Indekslemede i¸cerisinde farklı i¸saretleri bulunduran kelimeler daha ¨onlerde yer almı¸stır (¨orne˘gin sıralamada “z-ideal” kelimesi “a¸cık alt¨ort¨us¨u” kelimesi- nin ¨on¨unde yer almı¸stır). M¨ukemmel olmayan bu indeksleme bi¸cimi okumayı zorla¸stıracak nitelikte de˘gildir.
Matematik alanında teknik kavramların T¨urk¸ce isimlendirilmesinde tam bir standartla¸sma oldu˘gundan bahsedilemez. Bu durumdan kaynaklanan olum- suzlukların kitaba ¸cok fazla yansımadı˘gı d¨u¸s¨uncesindeyim. ˙Isimlendirmelerde
¨
ozt¨urk¸ce kullanımına ¸cok fazla “¨ozen” g¨osterilmemi¸stir; ¨orne˘gin ingilizcede
“compact” kelimesine kar¸sılık “tıkız” kelimesi de˘gil, “kompakt” kelimesi kul- lanılmı¸stır. Benzer bi¸cimde “filter” kelimesine kar¸sılık “s¨uzge¸c” kelimesi de˘gil,
0.2. Tes¸ekk ¨ur 3
“filtre” kelimesi kullanılmı¸stır.
Kitap, konuyla ilgili bir¸cok klasik kitabın etkisi altında kalarak yazılmı¸stır.
Bunların bazıları: Rings of Continuous Functions[56], Banach Spaces of Con- tinuous Functions[138], Topology[40] ve Spaces of Continuous Functions[64].
0.2 Te¸ sekk¨ ur
Babama ¸sakayla karı¸sık bir ¸sekilde, “bir kitap yazaca˘gım” dememle ba¸slayan ve onun bu durumu gere˘ginden fazla ciddiye alarak sık sık “kitap ne zaman bitiyor?” sorularına olumlu yanıt verebilme duyarlılı˘gım olmasaydı, belki de bu kitap bitmeyebilirdi. ¨Ozellikle ¨ons¨oz¨un ilk versiyonunu dikkatli bir bi¸cimde okuduktan sonra omzumu “d¨urterek”, “eksikliklere dikkat et” uyarısının y¨uk- ledi˘gi sorumluluk bir ba¸skaydı. ˙Iyi ki matematik bilmiyordu! Babama, te¸svik edicili˘gi ve uyarısından dolayı te¸sekk¨ur bor¸cluyum.
Her b¨ol¨um¨un sonuna karikat¨urler eklenerek, kitaptaki formal anlatımdan do˘gan olası gerginli˘gi az da olsa ortadan kaldırmanın yanısıra bazı sosyal ele¸stiri ama¸clanmı¸stı; ama olmadı! Metin Sel¸cuk Ercan kitaba konulmak ¨uzere (ama konulmayan) bazı karikat¨urler ¸cizmi¸s ve Tayfun Akg¨ul karikat¨urlerinin kullanımına izin vermi¸stir.
S¸afak Alpay ve Nuran Ercan kitabı son derece dikkatli okuyup sayfalarca hatalar bularak kitabın yazımının d¨uzeltilmesine inanılmaz katkıları olmu¸stur.
Yılmaz Akyıldız kitabın yazım s¨urecini birebir takip edip, “¨ol¨uy¨u diriltecek”
d¨uzeyde gaz vererek kitabı co¸sturmu¸stur. Timur Kara¸cay ve S¸ahin Ko¸cak’ın ki- tap konusunda te¸svik edici ¨oneri ve ele¸stirileri olmu¸stur. Ali T¨or¨un de kitabın giri¸s kısmını okuyarak ¨oneri ve d¨uzeltmeleri oldu. Ali Nesin’in hem edit¨or olarak hem de kitabın i¸ceri˘gine y¨onelik olarak, bazen kitabın ¨uzerine “ya- lan” diye not d¨u¸serek yaptı˘gı ¸cetin uyarıların ¸cok olumlu katkıları olmu¸stur.
Topoloji konusunda anlamadı˘gım ya da tartı¸smaya ihtiya¸c duydu˘gumda her an ula¸sabilece˘gim ki¸silerden birinin S¨uleyman ¨Onal olabilece˘gi rahatlı˘gını hep ta¸sıdım.
Kitabın yazılma s¨urecinden bitimine kadar Ayfer Ercan ve Nuran Ercan bana moral ve co¸sku vermi¸s, Nihan Uygun Ercan gergin halime sabır ve an- layı¸s g¨ostermi¸s, bilgisayarda kitabı yazarken ba¸sıma gelip “oyun oynaca˘gım”
diye taciz ederek bilgisayarımı elimden alıp ve bazen de “Baba, yazıların bil- gisayardan silinirse ¸cok ¨uz¨ul¨ur¨um” diye kaygılanan kızım Eyl¨ul Ekin Ercan s¨urekli olarak heyecan, co¸sku ve umut olmu¸stur.
C¸ alı¸sanı oldu˘gum Abant ˙Izzet Baysal ¨Universitesi mesai arkada¸slarımdan S¸aban Do˘gan, Esra ¨Unal ve Mehmet Vural kitabı zaman zaman okuyarak eksikliklerin giderilmesine katkıları olmu¸stur.
Kitabın yazımı s¨urecinde ba¸sta yukarıda isimleri verilenler olmak ¨uzere eme˘gi ge¸cen herkese sonsuz te¸sekk¨ur ederim.
Babaannem beni okula kaydeden, k¨u¸c¨uk odanın o ¸cok k¨u¸c¨uk penceresinin
¨
on¨unde ezik ve al¸cak sesli a˘gıtsal t¨urk¨uleriyle okul ¨odevimi yaparken bana e¸slik eden kadındı. Sonradan ¨o˘grendim ki o a˘gıtlar Bin Dokuz Y¨uz On be¸slerde katledilen ailesinin dramıymı¸s. Bu kitabı babaannem Zeynep Ercan’a ve onun nezdinde o s¨ure¸cteki Anadolu insanlarının acılarına ve dramına atfediyorum.
0.3 B¨ ol¨ umlere ¨ Ons¨ oz
Kitap toplam 20 b¨ol¨umden ve bu b¨ol¨umlerin altb¨ol¨umlerinden olu¸smaktadır.
Bu b¨ol¨umler ve altb¨ol¨umlerinin i¸ceriklerinin ba¸slıkları “˙I¸cindekiler” kısmında verilmi¸s olsa da b¨ol¨umlerin kapsamı a¸sa˘gıda ayrıca ¨ozetlenmi¸stir.
Birinci B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde “Topoloji Nedir?” sorusu yanıtlanmaya ¸calı¸sılmı¸stır.
Bu yanıtlamada kullanılan temel enstr¨umanlar herkesin bildi˘gi aralıklar, ¨u¸cgenler, dikd¨ortgenler, ¸cember, silindir ve benzeri geometrik ¸sekiller olmu¸stur. Bu ge- ometrik ¸sekiller arasında, topolojik aynılı˘gın anlamını olu¸sturan, birebir, ¨orten kendisi ve tersi de s¨urekli fonksiyon arayı¸sı ve vurgusu yapılmı¸stır. Ayrıca to- polojinin ¸carpıcı ¨orneklerinden olan Klein S¸i¸sesi, Mobius S¸eriti tanımlanmı¸stır.
Buna ilaveten bazı yazarlara g¨ore topolojinin in¸sa s¨urecinin temellerinden biri olarak bilinen K¨onigsberg’in Yedi K¨opr¨us¨u problemine ka¸cınılmaz olarak de˘ginilmi¸stir2.
Bu b¨ol¨umde ge¸cen geometrik ¸sekillerin topolojik olarak aynı oldu˘gunu s¨oyleyen bazı fonksiyonların e¸sitlikleri verilmi¸stir. Bunların ¸cıkarımları zor ola- bilir; okur bu a¸samada bunlara ¸cok da takılmamalı, sadece bilgi ama¸clı olarak verilmi¸stir. Ayrıca okur, bu b¨ol¨umde verilen problemlerin bazılarının tam ola- rak matematik problem olmaktan ¨ote, “hissettirme” problemleri oldu˘gununun farkında olmalıdır.
Bu b¨ol¨umdeki anlatım dili aksiyomatik matematik olmayıp topoloji kav- ramını sezgisel olarak anlatım ama¸clanmı¸stır.
˙Ikinci B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde topoloji kavramı aksiyomatik olarak tanım- lanarak, topolojinin denk tanımlarından olan Kom¸suluk Sistemi, Kuratowski Kapanı¸s Operat¨or¨u gibi kavramlar ve bunlarla ilgili temel sonu¸clar verildi. Bir k¨ume ¨uzerinde tanımlı topolojilerin ne kadar ¸cok oldu˘gu, k¨umenin sonlu ve sonlu olmama durumu ¨uzerine bazı sonu¸clardan bahsedildi. Elemanları sa- bit bir k¨ume ¨uzerindeki topolojiler olan k¨ume, kapsama sıralamasına g¨ore kısmi sıralı k¨ume olarak alınarak bazı sonu¸clar verilmi¸stir. Aynı ¸sey topo- lojiler i¸cin de yapıldı. Ayrıca, s¨ureklilik kavramı verilerek, iki topolojik uzayın topolojik e¸syapılı (homeomorfik) olma kavramı tanımlanmı¸stır. Bir topolojik uzayda farklı iki noktanın belirli ¨ozellikleri sa˘glayan a¸cık k¨umelerle ayrılabilir
2Bazılarına g¨ore de K¨onigsberg’in Yedi K¨opr¨us¨u problemiyle topolojinin hi¸cbir alakası yoktur!
0.3. B ¨ol ¨umlere ¨Ons ¨oz 5
olmasına “ayrı¸sım aksiyomları” denir. Bunlardan bazıları T0, T1 ve T2 olarak adlandırılır. Bu b¨ol¨umde bu aksiyomlar tanımlanarak bunlara denk olan bazı ko¸sullar verilmi¸stir.
U¸¨c¨unc¨u B¨ol¨um. Bir matematiksel yapının in¸sası “taban” kavramıyla ba¸slar. Bu yakla¸sımla topolojinin taban kavramı ve sonrasında metrik uzay to- polojisi, tamsıralı k¨ume ¨uzerinde sıra topolojisi tanımlanarak temel ¨ozellikleri verildi. Ayrıca fonksiyonlar tarafından ¨uretilen topolojiler tanımlandı. Topolo- jik uzayın temel kavramları olan altuzay, ¸carpım uzayı ve b¨ol¨um uzayları gibi temel uzay kavramları tanımlanarak bunların belirgin ¨ozellikleri ¸calı¸sıldı. Bazı
¸
carpım uzaylarının oldukca “tanıdık” uzaylara kar¸slık geldi˘ginden de bahse- dilerek, ¨orne˘gin {0, 1}N ¸capım uzayının Cantor uzayına homeomorfik oldu˘gu altb¨ol¨um 11.8’de ve NN¸carpım uzayının (0, 1)∩Q0 Oklid uzayına homeomorfik¨ oldu˘gu Alı¸stırma 3.67’de ifade edilecek.
D¨ord¨unc¨u B¨ol¨um. Topolojik uzayın en temel motivasyonlarından biri metrik uzaylar kavramıdır. Metrik uzay kavramı olmadan olmadan topoloji de olmayabilirdi.
Bu b¨ol¨umde metrik uzay kavramı tanımlanarak onların ¨uretti˘gi topolojik uzayların temel ¨ozellikleri ¸calı¸sılmı¸stır. Metrik uzayların temeli olarak nite- lendirilebilecek ve “ ¨Oklid uzayı” olarak adlandırılan Rn ¨uzerinde metrikler tanımlanmı¸stır. Buna ilaveten bir metrik uzayda yakınsama kavramı tanım- lanarak “Cauchy dizisi” kavramı tanıtılmı¸s ve her Cauchy dizisinin yakınsa- masını sa˘glayacak bi¸cimde bir ¨ust uzayın var oldu˘gu (metrik uzayın tamlaması) kanıtlanmı¸stır. Bunların yanısıra ¸carpım uzayının ne zaman metrikle¸sebilirli˘gi ile ilgili temel sonu¸clar verilmi¸stir. Fonksiyonel Analiz’deki temel teoremlerin kanıtlarında kullanılan Baire Teoremi ifade edilerek bunun kanıtı verilmi¸stir.
Ayrıca metrik uzaylarda s¨urekli fonksiyonların s¨urekli geni¸slemeleriyle ilgili bazı sonu¸clar verilmi¸stir. Her ne kadar her topolojik uzay bir metrik tarafından ya da bir merik toplulu˘gu tarafından tanımlanamaz olsa da bazı topolojik uzaylar (t¨um¨uyle d¨uzenli) d¨uzg¨unce s¨ozdemetrik yapı olarak adlandırılan ger¸cel de˘gerli fonksiyonlar toplulu˘gu tarafından tanımlanabilir. Bununla ilgili bazı sonu¸clar verilmi¸stir.
Be¸sinci B¨ol¨um. Bir topolojik uzayın hem a¸cık hem de kapalı olan altk¨u- mesi sadece ve sadece uzayın kendisi ve bo¸sk¨umeyse o uzaya ba˘glantılı uzay denir. De˘gil ise kopuk uzay denir. Bu b¨ol¨umde ba˘glantılı ve kopuk uzayların temel ¨ozellikleri anla¸sılmaya ¸calı¸sılmı¸stır. Bunun bir sonucu olarak R ve Rn (n > 1) uzaylarının homeomorfik olmadıkları g¨osterilmi¸stir. Bu kavramlar yanında uzayın Yol Ba˘glantılı olması da tanımlanmı¸s ve bunun ba˘glantılı uzay- larla arasındaki temel ili¸ski verilmi¸stir. Yerel ba˘glantılı uzaylar ve yerel yol ba˘glantılı uzaylar da bu b¨ol¨umde ¸calı¸sılmı¸stır.
Altıncı B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde tanımlanan net ve onun ¨uzerinden yakınsaklık
kavramı, dizi kavramının genellemesidir. Bu kavram kullanılarak bir fonksiyo- nun s¨ureklili˘gi ve bir k¨umenin kapanı¸sının ne oldu˘gu karakterize edilebilmekte.
Ayrıca net kavramına bir ¸cok a¸cıdan denk i¸slev g¨oren ve netin daha bir to- polojik versiyonu olarak g¨or¨ulen filtre kavramı tanımlanmı¸s ve bu kavramın yakınsaması da bu b¨ol¨umde ¸calı¸sılmı¸stır. Bu kavramlarla yı˘gılma noktaları betimlenmi¸s ve temel sonu¸clar verilmi¸stir. Ayrıca ultranet ve ultrafiltre kav- ramları tanımlanarak, ultrafiltrelerin ¸carpıcı iki uygulamasından kısaca bah- sedilmi¸stir.
Yedinci B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde dizisel uzay kavramı ve Fr´echet-Urysohn uzay kavramları tanıtılarak onların temel ¨ozellikleri ¸calı¸sılmı¸stır. Metrik uzay- larda net kavramı yerine dizilerle ¸calı¸smak yeterlidir. Bu noktadan hareket ederek hangi t¨ur topolojik uzaylarda net kavramı yerine dizilerle ¸calı¸smanın
“yeterli” oldu˘gunu soru¸sturmak da anlamlı olacaktır. O t¨ur uzaylara dizisel uzay denir. Bir topolojik uzayın dizisel uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun bir metrik uzayın b¨ol¨um uzayı olması gerekti˘gi, bir temel sonu¸c olarak bu b¨ol¨umde kanıtlanmı¸stır.
Sekizinci B¨ol¨um. Bir topolojik uzayda verilen kapalı bir k¨ume ve bu k¨umeye ait olmayan uzayın bir elemanı iki bi¸cimde ayrılabilir: birincisi, ayrık a¸cık k¨umelerle, ikincisi ise kapalı k¨umeyi sıfıra ve noktayı bire g¨ot¨uren s¨urekli fonksiyonlarla. ˙Ikinci ayrı¸sım ¨ozelli˘gi, kapalı her k¨ume ve bu k¨umeye ait ol- mayan her nokta i¸cin yapılıyor ve uzay Hausdorff ise uzaya, t¨um¨uyle d¨uzenli uzay denir. Bu b¨ol¨umde bu t¨ur uzaylar ¸calı¸sılmı¸stır. Hausdorff uzayın t¨um¨uyle d¨uzenli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sullardan birinin her kapalı k¨umenin bazı s¨urekli fonksiyonların sıfır k¨umelerinin arakesiti olarak yazılabildi˘gi de g¨oste- rilmi¸stir. Alt ve ¨ust yarıs¨urekli fonksiyonlar tanımlanarak bu terimlerle Ha- usdorff uzayın t¨um¨uyle d¨uzenli olmaları karakterize edilmi¸stir. Ayrıca s¨urekli fonksiyonlar halkası ¸calı¸sılırken topolojik uzayı t¨um¨uyle d¨uzenli uzay almanın yeterli oldu˘gu kanıtlanmı¸stır.
Metrik kavramının avantajlarıyla metrikle¸sebilir topolojik uzayın yapısını anlayabilmek genel olarak t¨um¨uyle d¨uzenli uzayın yapısını anlamaktan daha kolay olabilir. Buna kar¸sın metrik uzay kavramı d¨uzg¨un uzay kavramıyla ge- nellenebilir. Bu genellemeyle t¨um¨uyle d¨uzenli her uzayın bir d¨uzg¨un uzay ta- rafından belirlenebildi˘gi g¨osterilerek t¨um¨uyle d¨uzenli uzayların daha iyi anla¸sıl- masının yolu a¸cılacaktır.
Dokuzuncu B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde kapalı ayrık k¨umeleri ayrık a¸cık k¨ume- lerle ayrılabilen Hausdorff uzaylar ¸calı¸sılmı¸sır. Bu ¨ozellikteki uzaylara nor- mal uzaylar denir. Normal uzaylar tanım gere˘gi d¨uzenli uzaylardır. Hausdorff uzayın normal uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sullardan birinin ayrık ka- palı her iki k¨umenin s¨urekli fonksiyonlarla t¨um¨uyle ayrılabilir olması gerekti˘gi kanıtlanmı¸stır (Urysohn Lemma). Bunun bir sonucu olarak normal uzayların t¨um¨uyle d¨uzenli uzaylar oldu˘gu g¨osterilmi¸stir. Normal uzay olmanın bir di˘ger
0.3. B ¨ol ¨umlere ¨Ons ¨oz 7
denk ko¸sulunun, uzayın kapalı altuzayında tanımlı ger¸cel de˘gerli (sınırlı ya da sınırsız) s¨urekli her fonksiyonun uzaya s¨urekli geni¸slemesinin oldu˘gunun kanıtı verilecektir (Tietze Geni¸sleme Teoremi). Ayrıca Hausdorff uzayın normal uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sullar ¨ust yarıs¨urekli ve alt yarıs¨urekli terimleriyle verilmi¸stir.
Onuncu B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde ¸calı¸sılacak olan kompaktlık, “sonluluk” kav- ramına en yakın kavramdır. Ger¸cel sayıların altk¨umesinin kompakt olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, kapalı ve sınırlı olmasıdır. Okur, bu kavramın ¨onemini ve avantajlarını bu denklik ¨uzerinden anlayabilir. Bu b¨ol¨umde kompaktlık kav- ramı tanımlanarak, sıra topolojisinde bir aralı˘gın kompakt olması karakte- rize edilmi¸stir. Kompakt Hausdorff uzayın normal uzay oldu˘gu kanıtlanmı¸stır.
Alexander Alttaban Teoremi olarak bilinen teorem verilerek uzayın kompakt olup olmadı˘gı daha az maliyetle karakterize edilmi¸stir. Kompakt uzayların
¸
carpım uzayının (Tychonoff Teoremi) kompakt oldu˘gu kanıtlanmı¸stır. Kom- paktlık kavramı, net ve filtre kavramları arasındaki temel ili¸skiler verilerek
¸
ce¸sitli kompaktlık kavramları (sayılabilir kompaktlık, limit nokta kompaktlık, dizisel kompaktlık gibi) tanımlanmı¸s ve bunlar ¨uzerinde ¸calı¸sılmı¸stır. Ayrıca bu b¨ol¨um¨un birinci alt b¨ol¨um¨un¨un alı¸stırma b¨ol¨um¨unde Stone-Weierstrass Yakla-
¸sım Teoremi alı¸stırma olarak kanıtıyla verilmi¸stir. ˙Iki topoloji arasında tanımlı s¨urekli fonksiyonlar k¨umesi ¨uzerine kompakt-a¸cık topoloji kavramı verilerek belirli ¨ozellikleri ¸calı¸sılmı¸stır. Bu kavram, ¸carpım uzay kavramının belirli bir sınıfını genellemektedir.
Ayrıca bir topolojik uzayda kompaktlık ve kapalık arasındaki ili¸ski bazı
¨
ornekler verilmi¸stir.
On birinci B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde metrik uzaylarda kompaktlık kavramı
¸calı¸sılmı¸stır. Bir metrik uzayın bir altk¨umesinin kompakt olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sullardan birinin uzayın ¨onkompakt olması, bir ba¸ska denk ko¸sulun ise t¨um¨uyle sınırlı ve tam olması gerekti˘gi kanıtlanmı¸stır. Ayrıca K kompakt topolojik uzayı olmak ¨uzere, C(K) metrik uzayının bir altk¨umesinin kompakt olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun kapalı, sınırlı ve e¸ss¨urekli olması gerekti˘gi kanıtlanmı¸stır. Hilbert k¨up¨u olarak bilinen [0, 1]N ¸carpım uzayı ve Cantor uzayı olarak da bilinen {0, 1}N ¸carpım uzayı ¸calı¸sılarak, bunların aralarındaki ili¸skilerden bahsedilmi¸stir. Ayrıca her kompakt metrik uzayın s¨unt¨us¨u oldu˘gu alı¸stırmalar kısmında kanıtıyla verilmi¸stir.
On ikinci B¨ol¨um. X topolojik Hausdorff uzayı verildi˘ginde, X’in yo˘gun olarak homeomorfik olarak g¨on¨ulebildi˘gi ve
π : C(K) → Cb(X), π(f ) = f|X
d¨on¨u¸s¨um¨u ¨orten yapacak tek bir tane (homeomorfik olma anlamında) kom- pakt Hausdorff K uzayının oldu˘gu kanıtlanmı¸stır. Burada ge¸cen C(X), ger¸cel
de˘gerli s¨urekli fonksiyonlar cebirini ve Cb(X) ise ger¸cel de˘gerli sınırlı fonksi- yonlar cebirini g¨ostermektedir.
On ¨u¸c¨unc¨u B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde bir topolojik uzayda elemanları s¨urekli fonksiyonların sıfır k¨umeleri olan z-filtre kavramı tanımlanarak z-filtreler ile s¨urekli fonksiyonlar halkasının idealleri arasındaki ili¸skiler belirlenmi¸stir. Ayrı- ca bu yapılar ¨uzerinden bir z-filtrenin bir noktaya yakınsaması, yı˘gılma nok- tası gibi kavramlar tanımlanarak bunların ¨uzerinde ¸calı¸sılmı¸stır. Filtrelerde oldu˘gu gibi asal z-filtre ve z-ultrafiltre kavramları tanımlanarak temel ¨ozellik- leri verilmi¸stir. B¨ut¨un bunların bir genellemesi niteli˘ginde de˘gerlendirilebilecek
¸sekilde, t¨um¨uyle d¨uzenli bir topolojik uzayın yo˘gun altuzayında z-ultrafiltreler tanımlanarak bunlar ile uzayın elemanları arasındaki ili¸skiler yakınsama kav- ramı terimiyle ¸calı¸sılmı¸stır. B¨ut¨un bunların ¸calı¸sılmasının nedeni, B¨ol¨um 14’te verilmi¸s olan Stone- ˘Cech kompaktlamanın farklı bir in¸sasını olu¸sturabilmek i¸cin altyapı hazırlamaktır.
On d¨ord¨unc¨u B¨ol¨um. B¨ol¨um 12’de Tychonoff Teoremi kullanılarak t¨u- m¨uyle d¨uzenli uzayın Stone- ˘Cech kompaktlamasının varlı˘gı kanıtlanmı¸stı. Bu b¨ol¨umde bahsi edilen varlık, sıfır k¨umeler terimiyle Tychonoff Teoremi kul- lanılmadan verilmi¸stir. Bunun sonucunda da Tychonoff Teoreminin farklı bir kanıtı verilmi¸stir.
On be¸sinci B¨ol¨um. Ger¸cel sayıların bir ¸carpım uzayının kapalı altu- zayına, homeomorfik olan topolojik uzaya reelkompakt uzay denir. Reelkom- pakt uzayda tanımlı ger¸cel de˘gerli s¨urekli fonksiyon halkasından, ger¸cel sayılara tanımlı homomorfizmaların bir noktada belirlenebilen homomorfizma oldukları teorem olarak verilmi¸stir. Bunun bir uygulaması olarak Banach-Stone Teoremi genellenebilmi¸stir. Yine bu sonucun kullanılmasıyla, t¨um¨uyle d¨uzenli uzayda tanımlı ger¸cel de˘gerli s¨urekli fonksiyon halkasından, ger¸cel sayılara tanımlı ho- momorfizmaların bir nete ba˘glı olarak limit terimiyle karakterize edilebilmi¸stir.
Ayrıca ger¸cel sayıların her altk¨umesinin, ger¸cel sayıların bir ¸carpım uzayının kapalı altuzayına homeomorfik oldu˘gundan bahsedilmi¸stir. ¨Orne˘gin rasyonel sayılar k¨umesi ger¸cel sayılar k¨umesinde kapalı olmasa bile, ger¸cel sayılar k¨ume- sinin bir ¸carpım uzayında kapalıdır.
On altıncı B¨ol¨um. X t¨um¨uyle d¨uzenli uzay olmak ¨uzere X’den R’ye tanımlı s¨urekli fonksiyonların halkasını C(X) ile g¨osterelim. C(X)/I b¨ol¨um halkasının tamsıralı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sullar, I ideali ¨uzerinden be- lirlenecektir. Ayrıca bir M maksimal ideali i¸cin C(X)/M b¨ol¨um halkasının R halkasına izomorfik ya da R’nin bir althalkasına izomorfik olma ya da ikisi- nin de olmama ko¸sulları belirlenmi¸stir. Bu yakla¸sımlarla maksimal ideal, sabit maksimal ideal, reelmaksimal ideal gibi ¸ce¸sitli sınıflandırmalar yapılabilmi¸stir.
Buna ilaveten t¨um¨uyle d¨uzenli X uzayın, Stone- ˘Cech kompaktlaması ile, X’ten R’ye tanımlı sınırlı fonksiyonlar halkasından R’ye tanımlı homomorfizmalar
0.3. B ¨ol ¨umlere ¨Ons ¨oz 9
k¨umesi arasındaki ili¸skiler belirlenmi¸stir. Metrikle¸sebilir topolojik uzayların Stone- ˘Cech kompaktlamasıyla ilgili bazı temel sonu¸clar verilmi¸stir. Ayrıca N ayrık uzayının Stone- ˘Ceh kompaktlamasının temel ¨ozelliklerinin bir listesi de verilmi¸stir.
On yedinci B¨ol¨um. T¨um¨uyle d¨uzenli X uzayı, C(X) = Cb(X),
yani X’ten R’ye tanımlı her s¨urekli fonksiyon sınırlı ise X’e ¨onkompakt uzay denir. Her ¨onkompakt uzayın kompakt olması gerekmez, ama ¨omkompakt uzayın kompakt olması i¸cin aynı zamanda reelkompakt olması yeterlidir. Bu b¨ol¨umde t¨um¨uyle d¨uzenli uzayın ¨onkompakt olması i¸cin gerek yeter ko¸sullar belirlenmi¸stir. Ayrıca sayılabilir kompakt olmayan, reelkompakt olmayan ¨on- kompakt ¨orne˘gi verilmi¸stir.
On sekizinci B¨ol¨um. X t¨um¨uyle d¨uzenli uzay ve M , X’ten ger¸cel sayılar cismi R’ye tanımlı s¨urekli fonksiyonlar halkasının bir maksimal ideali olsun.
R, tamsıralı b¨ol¨um halkası C(X)/M ’ye g¨om¨ulebilir. Her ne kadar C(X)/M sıralı cismi R’ye izomorfik olması gerekmese de bu cismin her elemanı, R’nin her elemanıyla kar¸sıla¸stırılabilir. Bu kar¸sıla¸stırmadan gelen ¨ozelliklere g¨ore C(X)/M ’nin elemanlarını reel, sonsuz k¨u¸c¨uk ve sonsuz b¨uy¨uk gibi sınıflamalara ayırarak, bunlara ili¸skin temel bazı ¨ozellikleri verilmi¸stir. f : X → R s¨urekli fonksiyonunun Stone geni¸slemesi olarak adlandırılan f∗ : βX → R∗ s¨urekli geni¸slemesi vardır. Bu b¨ol¨umde ayrıca f∗ fonksiyonu ile [f ] ∈ C(X)/M ara- sındaki bazı belirgin ¨ozellikler ¸calı¸sılmı¸stır.
On dokuzuncu B¨ol¨um. Verilen bir X k¨umesi i¸cin elemanları bu k¨ume
¨
uzerinde tanımlı olan topolojiler olan k¨umeyi T (X) ile g¨osterelim. X ve T (X) k¨umelerinin kardinaliteleri arasındaki ili¸skiler bu b¨ol¨umde ¸calı¸sılmı¸stır.
Sonrasında X k¨umesinde tanımlanan topolojilerin k¨umesinin kardinalitesi X k¨umesinin kardinalitesi terimiyle verilebilmi¸stir. Bunun yapılmasında kullanılan temel kavramlardan biri bir X k¨umesinde tanımlanan ultrafiltreler k¨umesinin kardinalitesi olmu¸stur.
Yirminci B¨ol¨um. Bu b¨ol¨umde kitabı takip edebilmek i¸cin bazı ¨onbil- giler temel seviyede verilmi¸stir. Bu ¨onbilgiler Matematik D¨unyası dergisinde m¨ukemmel bir bi¸cimde ¸calı¸sılmı¸s olup detaylar bu derginin ¸ce¸sitli sayılarında bulunabilir.
Okur, bir romanın satır satır okunmasının gereklili˘gine kar¸sın bu durumun matematik kitabı i¸cin ge¸cerli olmadı˘gının farkında olmalıdır. Bu kitabın okun- ması s¨urecinde de okur, kitapta verilen sıralamayı takip etme zorunda ol- madı˘gının, ancak okuma esnasında ge¸cen kavramları en azından tanım d¨uze- yinde bilmesininin gerekti˘ginin bilincinde olmalıdır. ¨Orne˘gin, bu kitap i¸cin bi- rinci b¨ol¨um¨u okumadan ikinci b¨ol¨um okunmaya ba¸slanabilir. Bunun yanında
ikinci b¨ol¨umde verilen kavramları bilmeden ¨u¸c¨unc¨u b¨ol¨um¨un okunması ola- maz.
0.4 ˙Ifade ¨ Uslubu
Matematik kitaplarında tanım ve teoremler farklı bi¸cimlerde ifade edilebilir.
Fazla simge kullanılmadan bir teorem ya da tanımı ifade etmek her ne kadar es- tetik g¨oz¨ukse de bunu yapabilmek her zaman m¨umk¨un olmayabilir. Bu kitapta m¨umk¨un oldu˘gu kadar tanım ve teoremler yazı diliyle verilmi¸stir. ¨Orne˘gin, a¸sa˘gıdaki iki teoremde aynı ¸seyi s¨oylemesine kar¸sın bu kitabın tercihi genelde birinci teoremdeki ifade bi¸cimi olmu¸stur.
Teorem 0.1. Bir topolojik uzayda verilen bir netin, verilen bir noktaya yakınsa- ması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, netin her altnetinin en az bir altnetinin o nok- taya yakınsamasıdır.
Teorem 0.2. X bir topolojik uzay, f , X’in bir neti ve x ∈ X verilsin.
A¸sa˘gıdakiler denktir.
i. f → x.
ii. g, f ’nin bir altnetiyse h → x ¨ozelli˘ginde g’nin altneti h vardır.
Benzer bi¸cimde bir k¨umenin filtre olması a¸sa˘gıda oldu˘gu gibi iki farklı
¨
uslupla tanımlanabilir. Bu kitabın ¨uslubu m¨umk¨un oldu˘gu kadar birinci for- mattaki gibi olacaktır.
Tanım 0.1. Bo¸s olmayan bir k¨umenin bo¸sk¨umeden farklı, bo¸sk¨umeyi i¸cerme- yen, sonlu arakesit i¸slem kapalı ve ¨ustk¨ume i¸slem kapalı olan kuvvet k¨umesinin bir altk¨umesine filtre denir3.
Tanım 0.2. X bo¸s olmayan bir k¨ume ve F ⊂ ℘(X) k¨umesi a¸sa˘gıdaki aksi- yomları sa˘glıyorsa F ’ye bir filtre denir.
i. ∅ 6∈ F .
ii. A,B ∈ F ise A ∩ B ∈ F olur.
iii. A ∈ F ve A ⊂ B ⊂ X ise B ∈ F olur.
A k¨umesi, B k¨umesinin altk¨umesiyse yaygın olarak A ⊆ B bazen de A ⊂ B yazılır. Bu kitapta ikinci g¨osterim tercih edilmi¸stir. Arakesit i¸slemlerinde du- ruma g¨oreT ya da ∩ sembolleri kullanılacaktır. ¨Orne˘gin A, B ve C k¨umele- rinin kesi¸simi (arakesiti), A ∩ B ∩ C bi¸ciminde, (Ai)i∈I k¨umeler ailesini ara- kesiti T
i∈IAi ile g¨osterilecek. Benzer bi¸cimde bile¸sim i¸cinS ya da ∪ sembol- leri kullanılacak. ˙Iki k¨ume arasında tanımlı fonksiyonun g¨osteriminde uzun ok
3Filte kavramı ilk olarak Riesz (1908) ve Caratheodory (1913) tarafından g¨ozlenmi¸stir.
(−→), yakınsamayla ili¸skin sembolik g¨osterimde kısa ok (→) kullanılacaktır.
Bir fonksiyonun bir a noktasını b noktasına g¨ot¨ur¨uyor olması a 7→ b olarak g¨osterilebilecek.
Kitapta g¨oremedi˘gim bir¸cok hata oldu˘gundan ¸s¨uphem yok. Elbette b¨ut¨un bu hatalar bana aittir. Bu hatalar ku¸skusuz olarak okurların ilgisiyle ve d¨uzelt- me ¨onerileriyle azalacaktır.
Orhan Gencebay’dan uyarlayarak, “Hatasız kitap olmaz” diyebiliriz4. Ha- talarıyla anlayın bu kitabı!
Zafer Ercan / Bolu, G¨un Ay Yıl
4Birden aklıma geldi: Hatasız e¸sek olabilir mi?
1. Topoloji Nedir?
Bildi˘gim kadarıyla topoloji alanında T¨urk¸cede yazılmı¸s olan ilk kitap Timur Kara¸cay’ın Genel Topoloji [86] kitabıdır. Bu alanda yazılmı¸s son kitaplardan biri de sıradan olmayan bir e˘gitsel dil kullanan Ali Nesin’in Analiz IV [126]
adlı kitabıdır. Topoloji konusuna Matematik D¨unyası dergisininde de geni¸s yer verilmi¸stir [122]. G¨un¨um¨uze kadar bu alanda T¨urk¸ce bir¸cok de˘gerli kitap yazılmı¸s olsa da kanımca “topoloji nedir?” sorusuna bu kitapların hi¸cbirinde do˘grudan yer verilmemi¸s ya da tartı¸sılmamı¸stır. Bunun bir eksiklik oldu˘gunu d¨u¸s¨unmekteyim. Bu eksikli˘gin giderilmesi amacıyla yukarıda verilen ba¸slıkta bir b¨ol¨ume bu kitapta yer verilmi¸stir.
Matemati˘gin bir¸cok dalı vardır. Bu dallar genel olarak analiz, cebir, topo- loji, diferansiyel denklemler gibi dallardır. Bu dallar arasında “topoloji nedir?”
sorusu, her nedense ¨orne˘gin “analiz nedir?” sorusundan daha fazla sorulur. Bu soruya verilen “matemati˘gin bir dalıdır” bi¸cimdeki ¨ust¨unk¨or¨u bir yanıt pek de beklentiyi kar¸sılayan nitelikte bir yanıt de˘gildir. Bu b¨ol¨umde ba¸slıkta ge¸cen so- runun yanıtını aksiyomatik tanımlamalara girmeden ve zaman zaman da ironik bir dille vermeye ¸calı¸saca˘gız. Okurun, bu b¨ol¨um¨u okumadan di˘ger b¨ol¨umlere ge¸cmesi konunun kavramsal olarak anla¸sılmasına neden olmayacaktır.
C¸ a˘gımızın ¸cok iyi bilinen topolojicilerinden Rus matematik¸ci A.V. Arhan- gel’skii topolojiyi, uzaklık olmaksızın sonsuza yakla¸sma bilimi olarak tanımlıyor1. Ger¸cekten topolojide bir d¨uzlemin “sonsuzlarının” hepsini bir k¨urenin kuzey kutup noktası olarak g¨orebiliyoruz. Buna benzer bi¸cimde (−∞, ∞) ile (−1, 1) arasındaki “mesafe” sonsuz olmasına kar¸sın, bunları topolojik olarak aynı g¨ore- biliyoruz2. Burada sonsuzu g¨oz¨um¨uz¨un ¨on¨une getiren ve g¨oz¨um¨uz¨un ¨on¨unde- kini sonsuza g¨ot¨uren,
f (x) = 1−|x|x
e¸sitli˘giyle tanımlanan f : (−1, 1) −→ (−∞, ∞) fonksiyonudur. Bu fonksiyon geli¸sig¨uzel bir fonksiyon de˘gildir; birebir, ¨orten, s¨urekli ve tersi de s¨ureklidir,
1Sonsuz nedir, ne tarafa d¨u¸ser usta?
2˙Insanın yaratıp sonsuza koydu˘gu tanrı kavramının aynı zamanda kalbi kadar yakın his- setmesi gibi bir durum mu ne?
bu ¨ozellikler ¨uzerinden topolojik denk olma-aynı olma kavramı in¸sa edilecek.
Mesafe ya da b¨uy¨ukl¨uk kavramını ihmal ederek solid dikd¨ortgen3 ile silindir arasında da topolojik olarak fark g¨ormeyece˘gız. Ama her¸sey iyi gitmiyor; bir- birlerine ¸cok yakın g¨or¨um¨unde olan (0, 1] ve (0, 1) do˘gru par¸calarını (“do˘gal”
topolojiye g¨ore) aynı olarak g¨oremiyoruz4.
Yukarıdaki a¸cıklamalar dikkate alındı˘gında, “Topoloji nedir?” sorusunun yanıtı, “Geometrik topoloji nedir?” ve “Genel topoloji nedir?” sorularının yanıtlarının i¸cerisinde olacaktır. Her ne kadar bu iki kavram birbirlerinden olduk¸ca farklı olsalar da, ortak ¸cıkı¸s noktaları s¨ureklilik kavramıdır5. Do- layısıyla topolojinin ne oldu˘gunun yanıtını “s¨ureklilik nedir?” sorusunun i¸cerisinde aramak ¸cok daha genel bir yakla¸sım olabilecektir.
Bu altb¨ol¨umde yer alan s¨ureklilik kavramı, kalk¨ul¨us6 kitaplarında standart olarak yer alan s¨ureklilik anlamında olacaktır. Okurun bu kavramları temel d¨uzeyde bildi˘gi de zaman zaman varsayılacaktır. ¨Orne˘gin bazı b¨olgeler ¨uze- rinden integral alma i¸slemlerinde verilen bir b¨olgeyi daha uygun bir b¨olgeye d¨on¨u¸st¨urebilme bilgisi okura bazı avantajlar sa˘glatacaktır.
1.1 S¨ ureklilik
Hi¸cbir insan “m¨ukemmel” bir ¸cember ¸cizemez, daha da ¨otesi, bırakın m¨ukem- mel bir ¸sekil ¸cizmeyi, m¨ukemmel bir nokta bile yapamaz. Bunun nedeni nokta, somut de˘gil soyuttur, m¨ukemmellik de ¨oyle. Bir insan somut bir par¸cayı so- mut bir aletle tam e¸sit iki par¸caya da ayıramaz, ayırsa bile bunun e¸sit iki par¸caya b¨ol¨unm¨u¸s oldu˘gunu “kanıtlayamaz”. 40 cm uzunlulu˘gunda do˘garak 2 metre uzunlu˘guna ula¸san bir insan boyunun uzama s¨urecinin bir anında boyu 40 +√
40 cm olmu¸stur ama bu an d¨unyadaki b¨ut¨un kameraların ¨on¨unde ger¸cekle¸smi¸s olsa bile tam olarak tespit edilemez. Bir ba¸ska deyi¸sle s¨urekli- likten gelen an g¨oz¨um¨uz¨un ¨on¨unde olmasına kar¸sın onun yarattı˘gı de˘gi¸simleri m¨ukemmel olarak g¨oremiyoruz, ama g¨ormeden algılayabiliyoruz.
Verilen bir pastayı tam e¸sit iki par¸caya b¨olebilecek bir alet yapılabilir, ancak bu alet somut de˘gil ancak soyut olabilir, yani bı¸cak, makas ya da
3Tam bi¸cimsel bir tanımlama olmasa da sınırları ve i¸c b¨olgesi tarafından olu¸sturulan b¨olgeye “solid” b¨olge diyebiliriz. Bir ba¸ska de˘gi¸sle i¸ci dolu b¨olge.
4Matematik D¨unyası dergisinin 2009 I-II dergisinin 31. sayfasında ¸s¨oyle yazıyor: S¨urekli nefes almanız k¨u¸c¨uk bir sorun te¸skil etse de, siz dahil, var olan her¸sey topolojik uzaydır.
5Bahis konusu farklılık, hem y¨ontem hem de i¸cerikseldir. ¨Oyle ki bir sohbet masasında topolojinin tanımı ¨uzerinden ba¸slayan tartı¸sma iki topolojicinin arasında az kalsın kav- gayla sonu¸clanacaktı. Taraflardan biri olan geometrik topolojicisi Demir K¨upeli, topolojinin tanım gere˘gi Hausdorff ¨ozelli˘gini bulundurması gerekti˘gine d¨u¸s¨un¨uyordu. Di˘geriyse gerektir- medi˘gini.
6“Calculus”, latince bir kelime olup ve ¸cakıl ta¸sı anlamındadır. ˙Ingilizcede daha ¸cok
“m¨uhendisler i¸cin sulandırılmı¸s diferansiyel hesap” anlamında kullanıldı˘gı [127]’de ifade edil- mektedir.
1.1. S ¨ureklilik 15
hızar motoru falan olamaz! Dolayısıyla soyut aletle tam iki par¸caya b¨ol¨unm¨u¸s par¸caların somut kar¸sılı˘gı, “tam” bir b¨ol¨u¸s de˘gildir. Buna kar¸sın a¸sa˘gıda an- latılan bi¸cimde pasta tam iki par¸caya b¨ol¨unebilir. Ali Nesin, bu b¨olme i¸slemine
“i¸ste bu s¨ureklilik!” diyor. Aslında s¨ureklili˘gin becerebildiklerinden biri demek istiyor. Bu b¨olme i¸slemini anlamak i¸cin ger¸cel sayıların bo¸s olmayan altk¨ume- sinden ger¸cel sayılara tanımlı fonksiyonun -δ anlamında s¨urekli olmasının ne demek oldu˘gunun bilindi˘gi varsayımıyla a¸sa˘gıdaki teoremi verelim7.
Teorem 1.1 (Bolzano [23], Ara De˘ger Teoremi). a, b ∈ R ve a < b olmak
¨uzere, f : [a, b] −→ R fonksiyonu s¨urekli ve f (a) ≤ f (b) ise, [f (a), f (b)] ⊂ f ([a, b])
olur.
S¸ekil 1.1: Arade˘ger Teoreminin temsili resmi
Tam iki e¸sit par¸caya b¨ol¨unmesi istenen sonlu b¨uy¨ukl¨ukteki pasta verilsin.
Pasta sonlu oldu˘gundan ¨ust y¨uzeyide sonludur. Ayrıca pastanın ¨ust y¨uzeyini kopuk olmayan bir d¨uzlem par¸cası olarak alalım.
S¸ekil 1.2: Pastanın ¸sekli
Pastayı ikiye b¨olmek yerine pastanın ¨ust y¨uzeyinin tam iki par¸caya b¨ol¨une- bilece˘gini g¨osterelim. Bu ¨ust y¨uzeyini xy d¨uzleminin birinci b¨ol¨um¨une S¸ekil
7G¨un¨um¨uzde -δ kullanılarak verilen limit ve s¨ureklilik kavramının Cauchy tarafından verildi˘gi ifade edilse de matematik tarih¸cisi Grathan Guinness, bu tanımın Bolzano’nın 1817 tarihli makalesi’nden [23] Cauchy tarafından ¸calındı˘gını iddia etmektedir. Ayrıca bu konuda [42] ve [63] makaleleri ¨onerilir.
1.2’de oldu˘gu gibi yerle¸stirebiliriz. C¸ ıkı¸s noktası orijin, yani (0, 0) noktası olan ı¸sın kılıcıyla b¨olme i¸slemini yapalım. I¸sın kılıcının ilk halinin x ekseni ¨uzerinde oldu˘gunu ve y ekseniyle ¸cakı¸sacak bi¸cimde hareket etti˘gini varsayalım. I¸sının pastaya ilk dokundu˘gu anındaki a¸cı β, ve son de˘gdi˘gi noktada olu¸san a¸cı γ olsun. β ≤ α ≤ γ i¸cin, A(α), resimde g¨osterilen b¨olgenin alanı olsun. B¨oylece A : [β, γ] −→ A([β, γ]) s¨urekli fonksiyonunu tanımlamı¸s oluruz. B¨olgenin alanı A(β) = 0 ve B = A(γ) olmak ¨uzere,
B
2 ∈ [A(β), A(γ)] ⊂ A([β, γ]) oldu˘gundan,
B
2 = A (α)
ve β ≤ α ≤ γ olacak bi¸cimde α vardır. Yani, ı¸sın kılıcının β a¸cısına getirildi˘gi an pastanın y¨uzeyi tam ikiye b¨ol¨un¨ur. Pasta sadece iki e¸sit par¸caya de˘gil, her do˘gal sayıya e¸sit olarak b¨ol¨unebildi˘gi gibi, bir kilo a˘gırlı˘gındaki bir pastanın bir par¸cası√
200 gram olarak ayrılabilir ki, bunu hi¸cbir terazi yapamaz! Hi¸cbir terazinin sa˘glayamayaca˘gı bir ¸seyi yapabilen s¨ureklilik sadece bu y¨on¨uyle bile
¸
cok g¨uzel de˘gil mi?8
Pastayı iki e¸sit par¸caya b¨olen y¨ontemle herhangi bir patates de iki e¸sit par¸caya b¨ol¨unebilir.
Derinlikleri, yo˘gunlu˘gu ve malzemeleri aynı olan iki pastanın e¸sit a˘gırlıkta olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul ¨ust y¨uzey ¸cevrelerinin (¸cember oldu˘gunu var- sayıyoruz) aynı olması gerekti˘gi a¸cık. Verilen bir pastayı tam iki e¸sit par¸caya ayırmamızı sa˘glayan s¨ureklilik kavramının “¸cok k¨ot¨u huyları da” vardır; iki farklı pastayı e¸sit b¨uy¨ukl¨ukte algılatabilir: A ve B isimli pastalar verilsin.
Bu iki pastanın ¨ust y¨uzeylerinin i¸cerisinde kalan ortak noktalarının oldu˘gunu varsayabiliriz. C¸ ıkı¸s noktası y¨uzeylerin i¸cerisinde bir nokta olan bir ı¸sın 360 de- rece d¨ons¨un. Bu d¨onme esnasında ı¸sın, pastaların ¨ust y¨uzeylerinin ¸cevresinin noktalarını s¨urekli olarak birebir e¸sle¸stirecektir. B¨oylece bu ¸cevrelerin nok- taları arasında birebir ve ¨orten fonksiyon tanımlanmı¸s olacaktır. Dolayısıyla bu pastalar bu ¨ol¸ce˘ge yani s¨ureklilik ¨ol¸ce˘gine g¨ore (terazinin ¨ol¸ce˘gine g¨ore de˘gil) e¸sittir. Bu e¸sitlik kavramında bir tuhaflı˘gın olması ¸sa¸sırtıcı olmamalı,
¸c¨unk¨u s¨ureklilik kavramı soyut, pasta somut! 9
Yukarıda verilen anlatım ne kadar g¨uzel olsa da hep bir eksikli˘gi i¸cerisinde barındırıyor olmalı. Bunun nedeni somut kavramla soyut kavram arasında yok edilemeyen de˘ger ve beklenti karma¸sasıdır. A¸sa˘gıda verilen ¨orneklerde b¨oyle
8Aslında bir pasta soyut farklı yakla¸sımlarla da iki e¸sit par¸caya b¨ol¨unebilir: pastanın her- hangi bir par¸casının noktalarıyla kalan kısmın noktaları arasında birebir bir ili¸ski kurulabilir.
Bu ¨ol¸ce˘ge g¨ore pastanın herhangi par¸cası kalan par¸cayla aynıdır!
9Kıssadan hisse: Keyfi iki ¸cember arasında birebir ¨orten kendisi ve tersi s¨urekli olan bir fonksiyon vardır.
1.2. S ¨ureklilik ¨Uzerinden Tanımlanan Denklik 17
bir sıkıntı yoktur, ¸c¨unk¨u pasta yoktur! B¨ol¨unecek par¸ca da soyut, b¨olecek alet de.
Ornekler¨
1.1. S¨urekli ve sadece iki farklı de˘ger alan f : R −→ R fonksiyonu yoktur: Oldu˘gunu var- sayalım. Farklı de˘gerlerin 0 ve 1 oldu˘gunu ve, f (x) = 0 ve f (y) = 1 olacak bi¸cimde x, y ∈ R var oldu˘gunu varsayabiliriz. x < y oldu˘gunu da varsayabiliriz. S¨ureklili˘gin tanımından, x0= sup {c ∈ R : f ([x, c]) ⊂ {0}} olmak ¨uzere
x < x0< y
ve f (x0) = 0 oldu˘gu kolaylıkla g¨osterilir. S¨ureklili˘gi bir kez daha kullanarak,
|a − x0| ≤ δ ⇒ |f (a)| = |f (a) − f (x0)| ≤12
¨
onermesini sa˘glayan 0 < δ < y − x0 sayısı vardır. Buradan da f ([x, x0+ δ]) ⊂ {0} elde edilir. Bu, x0+ δ < x0¸celi¸skisi verir.
1.2. Ger¸cel sayıların bir aralı˘gından R’ye tanımlı sadece iki farklı de˘ger alan s¨urekli fonksi- yon yoktur. Daha genel olarak bir aralıktan R’ye tanımlı sonlu de˘ger alan s¨urekli her fonksiyon sabittir.
1.3. (0, 1) aralı˘gından, 0 < a < 1 olmak ¨uzere, (0, a) ∪ (a, 1) k¨umesine tanımlı s¨urekli ve
¨
orten fonksiyon yoktur.
1.4. Z’den R’nin bo¸s olmayan bir altk¨umesine tanımlı her fonksiyon s¨ureklidir.
1.5. R’den Z’ye tanımlı bir fonksiyonun s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul sabit ol- masıdır.
1.2 S¨ ureklilik ¨ Uzerinden Tanımlanan Denklik
Okur, A ⊂ R altk¨umesinden R’ye tanımlı fonksiyonun s¨urekli olmasının ne demek oldu˘gunu genel olarak biliyordur. n, m ∈ N olmak ¨uzere
f : A ⊂ Rn−→ B ⊂ Rm
fonksiyonunun s¨urekli olmasının anlamını, en azından, kalk¨ul¨us seviyesinde bildi˘gini de varsayalım ama tanımı yine de verelim. a = (a1, . . ., an) ∈ A ⊂ Rn olmak ¨uzere,
||a|| =pa21+ . . . + a2n yazalım. Ayrıca, x = (x1, . . ., xn) i¸cin
x − a = (x1− a1, . . ., xn− an) olarak tanımlanır.
Tanım 1.1. f : A ⊂ Rn −→ Rm fonksiyonunun verilen x0 ∈ A noktasında s¨urekli olması, her > 0 i¸cin,
x ∈ A, ||x − x0|| < δ ⇒ ||f (x) − f (x0)|| <
¨
onermesini sa˘glayan δ > 0 sayısının var olmasıdır. f fonksiyonu her x ∈ A i¸cin s¨urekliyse, f ’ye s¨urekli denir10.
a = (a1, . . ., an) ∈ Rn ve r > 0 i¸cin
B (a, r) = {x ∈ Rn: ||x − a|| < r}
g¨osterimini kullanarak11, yukarıda verilen s¨ureklilik kavramını a¸sa˘gıdaki gibi de ifade edebiliriz.
Teorem 1.2. f : A ⊂ Rn−→ Rm fonksiyonunun s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her x0 ∈ A ve > 0 i¸cin,
f (A ∩ B (x0, δ)) ⊂ B (f (x0) , )
¨
onermesini sa˘glayan δ > 0 sayısının olmasıdır.
S¨ureklili˘gin “ − δ tanımı olarak bilinen bu tanım, ba˘gımsız olarak Bolzano (1817) ve Cauchy (1821) tarafından verilmi¸sir. Bu tanımlamaların yapıldı˘gı makalelerin kapak kısımlarını (S¸ekil 1.3 ve S¸ekil 1.4) bu konuda yapılan ilk
¸
calısmalar olmasını dikkate alarak verelim.
Ornek 1.6. [0, 1) aralı˘¨ gına benzeyen esnek bir ¸cubu˘gun u¸c noktaları birbirlerine de˘gdirecek bi¸cimde bir ¸cember yapılabilir. Bunu yaparken uygulanacak y¨ontem tek bir tane var gibi g¨oz¨uk¨uyor. Uygulanan bu i¸slem matematiksel olarak bir s¨urekli fonksiyon i¸slemidir. Benzeri bir ¸cok yerde kullanılacak bu i¸slemi daha matematiksel olarak ifade edelim:
S1= {(sin 2πx, cos 2πx) : x ∈ [0, 1)}
bir yarı¸caplı bir ¸cembedir. f : [0, 1) −→ S1fonksiyonu f (x) = (sin 2πx, cos 2πx) e¸sitli˘giyle tanımlansın.
i. f birebir ve ¨orten fonksiyondur.
ii. f s¨ureklidir.
iii. f ’nin ters fonksiyonu f−1 s¨urekli de˘gildir.
v. f−1’in s¨urekli olmadı˘gı tek nokta f (0) noktasıdır.
A ⊂ Rn’dan B ⊂ Rm’ye tanımlı birebir, ¨orten, s¨urekli ve tersi s¨urekli bir fonksiyon varsa (bu t¨ur fonksiyonlara homeomorfizma denir.), A ve B k¨umelerini topolojik denk olarak g¨orece˘giz. Bu durumda “A ve B uzayları homeomorfiktir”, “topolojik denk” ya da “topolojik e¸sde˘ger” ifadelerini sıklıkla kullanılır12.
10Bu kavram genellenerek − δ kullanılmadan “a¸cık k¨ume” kavramıyla verilecektir.
11Bu g¨osterim metrik uzaylarda genellenecektir.
12Genel olarak homeomorfik (ingilizce: homeomorphic) denir.
1.2. S ¨ureklilik ¨Uzerinden Tanımlanan Denklik 19
S¸ekil 1.3
f : A −→ B bir homeomorfizma ise A’dan farklı her C ⊂ A i¸cin A \ C ve B \ f (C) altuzayları homeomorfik olur.
A = (0, 1) ve B = (0, 1] k¨umeleri topolojik denk midir? Bu iki k¨ume, k¨ume teoride denk olsalar da topolojik denk de˘gillerdir13. Yani A’dan B’ye tanımlı kendisi ve tersi s¨urekli olan, birebir ve ¨orten fonksiyon yoktur. Halbuki aralarındaki fark eleman fazlalılı˘gı olarak sadece ve sadece tek bir noktadır.
Di˘ger taraftan biraz ¸sa¸sırtıcı olabilir ama (0, 1) aralı˘gı ile R topolojik denktir.
Halbuki R’de olup (0, 1) aralı˘gında olmayan ne ¸cok sayı var!
Topolojinin ne oldu˘guna ili¸skin sorunun s¨ureklilik kavramıyla verilebile- ce˘ginden bahsedilmi¸sti. S¨ureklili˘gin ¸sekiller ¨uzerinde nasıl de˘gi¸simler yaptı˘gına
13Topolojik denk olma kavramı verilen topolojiye g¨ore de˘gi¸sir. Burada s¨ozkonusu olan Oklid topolojisidir.¨
S¸ekil 1.4
ili¸skin bazı g¨ozlemler yapmak ve bunun ¨uzerinden s¨ureklili˘gi yorumlamak ve oradan da topolojinin ne oldu˘guna ili¸skin yorum yapmak yabana atılır bir yakla¸sım olmasa gerek.
1.2. S ¨ureklilik ¨Uzerinden Tanımlanan Denklik 21
Ornekler¨
1.7. Z ve Q uzaylarıtopolojik denk olamaz.
1.8. a, b, c. d ∈ R ger¸cel sayıları, a < b ve c < d e¸sitsizliklerini sa˘glasın.
i. [0, 1] aralı˘gından [a, b] aralı˘gına
f (x) = (1 − x) a + xb
e¸sitli˘giyle tanımlı fonksiyon s¨urekli ve birebirdir. Ayrıca f fonksiyonun ters fonksiyonu, f−1(t) = b−at−a
olur ve bu da s¨ureklidir. Dolayısıyla [0, 1] ve [a, b] aralıkları, uzunluk, a˘gırlık v.s bi¸ciminde e¸sit olmasalar da topolojik denktir. Daha genel olarak a < b ve c < d e¸sitsizliklerini sa˘glayan a, b, c ve d ger¸cel sayıları i¸cin [a, b] ve [c, d] kapalı aralıkları topolojik denktir.
ii. (0, 1] aralı˘gından (a, b]’ye
f (x) = (1 − x) a + xb
e¸sitli˘giyle tanımlanan fonksiyon birebir, ¨orten s¨urekli ve tersi s¨ureklidir. Dolayısıyla bu aralıklar topolojik denktir.
iii. (0, 1] ve [−1, 0) aralıkları da topolojik denktir. Ayrıca, (a, b] ve [c, d) aralıkları topo- lojik denktir.
1.9. (0, 2) ve (0, 1) ∪ (1, 2) k¨umeleri topolojik denk de˘gillerdir. Ger¸cekten de f : (0, 2) −→
(0, 1) ∪ (1, 2) bir homeomorfizma olsaydı,
g (x) = χ(0,1)(f (x))
e¸sitli˘giyle tanımlı g : (0, 2) −→ R fonksiyonu sadece 1 ve 2 de˘gerlerini alan s¨urekli bir fonksiyon olur. Bu, bir ¸celi¸skidir.
1.10. i. (0, 1] ve (0, 1) k¨umeleri topolojik denk olamazlar: Olduklarını varsayalım ve f : (0, 1] −→ (0, 1) homeomorfizma olsun. Bu durumda,
g : (0, 1) −→ (0, f (1)) ∪ (f (1), 1), g(x) = f (x) e¸sitli˘giyle tanımlı fonksiyon s¨ureklidir. Ayrıca,
h : (0, 1) −→ R, h(x) = χ(0,f (1))(g(x))
e¸sitli˘giyle tanımlı fonksiyon s¨urekli olup, bu bir ¸celi¸skidir. Daha genel olarak (a, b) ve (c, d] topolojik denk de˘gildir.
ii. (0, 1) ve [0, 1] aralıkları topolojik denk olamaz. Olsaydı (0, 1) aralı˘gı, bazı x, y ve z ger¸cel sayıları i¸cin (0, x) ∪ (x, y) ∪ (y, 1) bi¸cimindeki bir k¨umeyle topolojik denk olurdu.
Bunun bir ¸celi¸ski oldu˘gu kolayca g¨or¨ul¨ur.
iii. (−1, 1) ve R k¨umeleri topolojik denktir: f (x) = x(1 − |x|)−1 e¸sitli˘giyle tanımlı f : (−1, 1) −→ R fonksiyonu homemorfizmadır.
viii. Her a, b ∈ R i¸cin [a, ∞) ve [b, ∞) uzayları homeomorfiktir. Benzer bi¸cimde (−∞, a]
ve (−∞, b] uzayları homeomorfiktir.
1.11. Her iki ¸cember topolojik denktir.
1.12. Bir noktası ¸cıkarılmı¸s ¸cember ile R arasında fark yoktur, yani bunlar topolojik denktir.:
S, (0, 1) merkezli ve bir yarı¸caplı ¸cemberden (0, 2) noktanın ¸cıkarılmasıyla elde edilen k¨ume olsun. Yani,
S = {(x, y) : x2+ (y − 1)2= 1} \ {(0, 2)}
olsun. s, R’den S’ye tanımlı, x ∈ R noktasını, (x, 0) ve (0, 2) noktalarından ge¸cen do˘gru par¸casıyla S’nin arakesiti olan s(x) noktasına g¨ot¨uren fonksiyon olsun. Bu fonksiyona
