Kom¸ suluk ve Taban Kom¸ suluk Sistemiyle To-

To-poloji ¨Uretimi

Topoloji tanımı farklı ama denk aksiyomlarla da verilebilir. Bunlardan en bilineni Hausdorff tarafından verilen “kom¸suluk” kavramıdır. Zaten topoloji tanımı bu kavramdan t¨uretilmi¸stir. Bu altb¨ol¨umde kom¸suluk sistemi ve taban kom¸suluk sistemi tanımlanacak.

(X, τ ) bir topolojik uzay olsun. A ⊂ X verilsin. A k¨umesini kapsayan her a¸cık k¨umeye A’nın a¸cık kom¸sulu˘gu denir. A’nın a¸cık kom¸suluklarının k¨umesi τ (A) ile g¨osterilir. τ (∅) = τ ve τ (X) = {X} oldu˘gu a¸cık. A = {x} olma durumunda τ (A) yerine τ (x) yazarız. x ∈ X i¸cin A = {x} k¨umesinin a¸cık kom¸sulu˘guna x noktasının a¸cık kom¸sulu˘gu denir.

τ (A) = {U ∈ τ (A) : B ⊂ U olacak bi¸cimde B ∈ B var }

e¸sitli˘gini sa˘glayan B ⊂ τ (A) k¨umesine A k¨umesinin a¸cık kom¸suluk tabanı denir.

Bir k¨umenin a¸cık kom¸sulu˘gu kavramına benzer bi¸cimde kom¸suluk kavramı da vardır. U ∈ τ olmak ¨uzere

A ⊂ U ⊂ V ⊂ X

kapsamasını ger¸cekleyen V k¨umesine A’nın kom¸sulu˘gu denir. A k¨umesinin kom¸suluklarının k¨umesi U_τ(A) ile g¨osterilir ve A’nın kom¸suluk sistemi denir. Bir yanlı¸s anla¸sılma durumu s¨ozkonusu olmadıkca Uτ(A) yerine U (A) yazabi-liriz. V ⊂ U (A) k¨umesi,

her U ∈ U (A) i¸cin V ⊂ U olacak bi¸cimde V ∈ V var ko¸sulunu sa˘glıyorsa, V’ye U (A)’nın kom¸suluk tabanı denir.

Her A ⊂ X i¸cin τ (A) ⊂ U (A) oldu˘gu tanımdan hemen g¨or¨ul¨ur. Ayrıca τ (A) = τ ∩ U (A)

oldu˘gu da kolaylıkla g¨osterilir.

(X, τ ) bir topolojik uzay olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gu a¸cıktır. i. Her U ∈ U (x) i¸cin x ∈ U .

ii. τ =S

x∈Xτ (x). iii. Her x ∈ X i¸cin

τ (x) = {U^o : bazı B ∈ U (x) i¸cin B ⊂ U }. iv. Her x ∈ X i¸cin τ (x) ⊂ U (x).

v. Her x ∈ X i¸cin U (x) bir filtredir⁷. vi. Her x ∈ X ve U ∈ U (x) i¸cin 7

X bo¸solmayan bir k¨ume olmak ¨uzere F ⊂ ℘(X) bo¸sk¨umeyi i¸cermeyen sonlu arakesit i¸slemi altında ¨ustk¨ume kapsama i¸slemi altında kapalı ise F ’ye filtre denir.

2.2. Koms¸uluk ve Taban Koms¸uluk Sistemiyle Topoloji ¨Uretimi 39

y ∈ V =⇒ U ∈ U (y) olacak bi¸cimde bir V ∈ U (x) var.

Bir k¨ume ¨uzerinde yukarıda sıralanan ¨ozelliklerin bazılarını sa˘glayan k¨ ume-ler toplulu˘gu o k¨ume ¨uzerinde “topoloji tanımlama g¨uc¨undedir.” Bunun ne anlamda kullanıldı˘gından bahsetmeden ¨once a¸sa˘gıdaki tanımı verece˘giz. Bu tanımı vermemize neden olan gerek¸cemiz ¸su sorudur: X bo¸s olmayan bir k¨ume ve her x ∈ X i¸cin V(x) ⊂ ℘(X) olamak ¨uzere (V(x))_x∈X ailesi verilsin. Bu aile ¨

uzerinde hangi ko¸sullar altında her x ∈ X i¸cin U_τ(x) = V(x) e¸sitli˘gini sa˘glayan X ¨uzerinde bir topoloji τ vardır?

Tanım 2.3 (Hausdorff [70]). X bo¸s olmayan k¨ume olsun. A¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan X’in altk¨umelerinden olu¸san k¨umeler ailesi (V(x))_x∈X’ye kom¸suluk sistemi denir:

i. Her U ∈ V(x) i¸cin x ∈ U olur. ii. Her x ∈ X i¸cin V(x) bir filtredir. iii. Her U ∈ V(x) i¸cin

y ∈ V =⇒ U ∈ V(y) ¨

onermesini sa˘glayan bir V ∈ V(x) vardır.

(V(x))_x∈X, X k¨umesi ¨uzerinde bir kom¸suluk sistemiyse x 7→ V(x), V : X −→ ℘(℘(X)) fonksiyonuna kom¸suluk fonksiyonu denir.

Yukarıda verilen tanım, topolojik uzay i¸cin verilen kom¸suluk sistemi kav-ramını topolojik uzay olmama durumuna da geneller.

¨

Ornekler

2.17. (X, τ ) bir topolojik uzay olmak ¨uzere

U (x) = {A ⊂ X : U ⊂ A olacak bi¸cimde U ∈ τ (x) var }

olarak tanımlanan U fonksiyonu kom¸suluk fonksiyonudur. Yani U , x ∈ X noktasını x’in kom¸suluk sistemine g¨ot¨uren fonksiyondur. Ayrıca G ⊂ X i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir. i. G ∈ τ .

ii. Her x ∈ G i¸cin U ⊂ G olacak bi¸cimde U ∈ U (x) vardır.

2.18. X bo¸s olmayan k¨ume olmak ¨uzere, X’in altk¨umesi A verilsin. x ∈ A i¸cin U (x) = {B : A ⊂ B ⊂ X}

ve x ∈ X \ A i¸cin

U (x) = {X} olarak tanımlanan fonksiyon kom¸suluk fonksiyonudur.

Kom¸suluk fonksiyonlarıyla topolojiler arasındaki temel ili¸skilerden biri a¸sa˘ gı-daki teoremdeki gibidir. Teoremin kanıtı kolaydır ve okura bırakılmı¸stır.

Teorem 2.1 (Hausdorff [70]). X bo¸s olmayan bir k¨ume olmak ¨uzere X’ten ℘(℘(X)) k¨umesine tanımlı kom¸suluk fonksiyonların k¨umesini komfonk(X) ile g¨osterelim.

π(V) = {U ⊂ X : her x ∈ U i¸cin V ⊂ U olacak bi¸cimde V ∈ V(x) var} e¸sitli˘giyle ¨orten fonksiyon π : komf onk(X) −→T (X) tanımlanabilir.

π fonksiyonu yukarıdaki teoremdeki gibi tanımlansın. π(U )’ya U tarafından ¨

uretilen topoloji denir. π fonksiyonu birebir olmayabilece˘ginden farklı kom¸suluk sistemeleri aynı topolojiyi ¨uretebilirler.

U fonksiyonu ¨Ornek 2.27’daki gibi ve π, Teorem 2.1’deki gibi tanımlansın. Okur

π(U ) = {∅, A, X} oldu˘gunu kolaylıkla g¨orebilir.

(X, τ ) topolojik uzay ve U fonksiyonu ¨Ornek 2.26’de oldu˘gu gibi tanımlansın. B : X −→ ℘(℘(X)) fonksiyonu

U (x) = {U ⊂ X : V ⊂ U olacak bi¸cimde V ∈ B(x) var } ¨

ozelli˘ginde olsun. U bir kom¸suluk fonksiyonu ve B fonksiyonu a¸sa˘gıdaki ¨ ozel-likleri sa˘glar.

i. Her U ∈ B(x) i¸cin x ∈ U .

ii. Her U , V ∈ B(x) i¸cin W ⊂ U ∩ V ¨ozelli˘ginde W ∈ B(x) var. iii. Her U ∈ B(x) i¸cin

y ∈ V =⇒ ∃W ∈ B(y), W ⊂ U ¨

ozelli˘ginde V ∈ B(x) vardır.

Burada ge¸cen B fonksiyonuna topolojik uzay X’in taban kom¸suluk fonk-siyonu denir. Bu fonkfonk-siyonun g¨or¨unt¨u k¨umesi (B(x))_x∈X’e taban kom¸suluk sistemi denir. Benzer bi¸cimde B(x)’e x noktasının taban kom¸suluk sistemi denir.

Yukarıda yapılan g¨ozlemlerle taban kom¸suluk fonksiyonu ve taban kom¸suluk sistemi kavramı keyfi X k¨umesi i¸cin genellenebilir. Bunun ne i¸se yarayabilece˘gi bir sonraki teoremden anla¸sılabilecektir.

Tanım 2.4. X bo¸s olmayan k¨ume olmak ¨uzere B : X −→ ℘(℘(X)) fonksiyonu a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glıyorsa B’ye taban kom¸suluk fonksiyonu, (B(x))x∈X’e taban kom¸suluk sistemi denir.

i. Her U ∈ B(x) i¸cin x ∈ U .

ii. Her U , V ∈ B(x) i¸cin W ⊂ U ∩ V ¨ozelli˘ginde W ∈ B(x) var. iii. Her U ∈ B(x) i¸cin

2.2. Koms¸uluk ve Taban Koms¸uluk Sistemiyle Topoloji ¨Uretimi 41

y ∈ V ⇒ ∃W ∈ B(y), W ⊂ U ¨

ozelli˘ginde V ∈ B(x) vardır.

Tanım gere˘gi her kom¸suluk sistemi taban kom¸suluk sistemidir. Ama tersi do˘gru de˘gildir. Buna kar¸sın her taban kom¸suluk sistemi bir kom¸suluk sistemini tanımlar. A¸sa˘gıdaki teorem buna ili¸skindir ve kanıtı okura bırakılmı¸stır. Teorem 2.2. X bo¸s olmayan bir k¨ume olsun. (B(x))_x∈X taban kom¸suluk sis-temi olsun. Her x ∈ X i¸cin

U (x) = {U ⊂ X : B ⊂ U olacak bi¸cimde B ∈ B(x) var } olmak ¨uzere (U (x))x∈X ailesi bir topolojik uzayın kom¸suluk sistemidir.

Yukardaki teoremde ge¸cen U bir kom¸suluk fonksiyonudur.

Alı¸stırmalar

2.10. Bo¸s olmayan bir X k¨umesi ¨uzerinde ≡ bir denklik ili¸skisi olsun. X ¨uzerine, x ∈ X nok-tasının kom¸suluk tabanı x’in denklik sınıfı olan topolojinin tanımlanabildi˘gini g¨osterin. Bu topolojiye denklik sınıf topolojisi8. En kaba ve en ince topolojilerin denklik sınıf topolojiler oldu˘gunu g¨osterin.

2.11. Teorem 2.1 ve Teorem 2.2’¨ı kanıtlayın. 2.12. (X, τ ) bir topolojik uzay olmak ¨uzere,

U : X −→ ℘(℘(X)), U (x) = τ (x)

olarak tanımlanan fonksiyonun taban kom¸suluk fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin. 2.13. Bo¸s olmayan X k¨umesi ¨uzerinde tanımlı

B : X −→ ℘(℘(X)), B(x) = {{x}}

fonksiyonun taban kom¸suluk fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin. Bu fonksiyonun Teorem 2.2’e g¨ore kom¸suluk fonksiyonunu belirleyin. Belirlenen bu fonksiyonunun Teorem 2.1’te tanımlanan fonksiyon altındaki g¨or¨unt¨us¨u olan topolojiyi belirleyin.

2.14. Bo¸s olmayan X k¨umesi ¨uzerinde tanımlı

B : X −→ ℘(℘(X)), B(x) = ℘(X)

fonksiyonunun taban kom¸suluk fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin. Bu fonksiyona Teorem 2.2’e kar¸sılık gelen kom¸suluk fonksiyonunu belirleyin. Bu kom¸suluk fonksiyonunun Te-orem 2.1’de tanımlanan fonksiyon altında topoloji olan g¨or¨unt¨us¨un¨u belirleyin. 2.15. U : R −→ ℘(℘(R)),

U (x) = {(x − r, x + r) : r > 0}

olarak tanımlanan fonksiyonun taban kom¸suluk fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin.

2.16. X bo¸s olmayan bir k¨ume olmak ¨uzere U : X −→ ℘(℘(X)) bir kom¸suluk fonksiyonu ise her x ∈ X i¸cin U (x)S{∅}’nin bir topoloji oldu˘gunu g¨osterin.

2.17. (Sorgenfrey [142]) B : R −→ ℘(℘(R)),

B(x) = {[x, y) : x < y}

8

olarak tanımlanan fonksiyonun taban kom¸suluk fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin. Teorem 2.2 gere˘gi

U (x) = {U ⊂ X :, B ⊂ U olacak bi¸cimde B ∈ B(x) var }

e¸sitli˘giyle tanımlanan fonksiyon, kom¸suluk fonksiyonudur. π, Teorem 2.1’deki gibi olmak ¨

uzere π(U ) topolojisiyle donatılan R topolojik uzayına ( R ¨Oklid uzayı de˘gil!) Sorgenf-rey uzay denir⁹.

2.18. B1, B2: R2−→ ℘(℘(R2)) fonksiyonları,

i. B1((a, b)) = {[a − r, a + r] × [b − s, b + s] : r, s > 0}

ii. B2((a, b)) = {(x − a)²+ (y − b)²< r : r > 0} olarak tanımlansın. Bu fonksiyonların taban kom¸suluk fonksiyonları oldu˘gunu g¨osterin. Teorem 2.2 anlamında bu fonksiyonlar tarafından elde edilen kom¸suluk fonksiyonları U1, U2 olmak ¨uzere bu kom¸suluk fonksi-yonların aynı topolojiyi ¨urettiklerini g¨osterin.

2.3 Alexandrov Uzay

Topolojinin tanımında yer alan “sonlu arakesit i¸slemi altında kapalı olma” ko¸sulunun “arakesit i¸slemi altında kapalı” olarak de˘gi¸stirilmesinin neye kar¸sılık gelece˘gini sorgulamak anlamlıdır. Bu kavramın topolojide Alexandrov uzay olarak adlandırılan bir yeri var. Bu altb¨ol¨umde Alexandrov uzayı tanımlanarak, bu uzaylarla yarısıralılık arasında kaydade˘ger bir ili¸ski verilecektir.

Tanım 2.5 (Alexandrov [5]). Keyfi arakesit i¸slemi altında kapalı olan topo-lojiye Alexandrov topoloji denir¹⁰.

Alexandrov topoloji ile donatılmı¸s topolojik uzaya Alexandrov uzay de-nir. Ayrık uzay Alexandrov uzaydır. Alexandrov uzay aynı zamanda T₁ uzayı (yani tek elemanlı her altk¨ume kapalı) ise ayrık uzaydır (Alı¸stırma 2.38). Bu anlamda Alexandrov uzayın pek kıymeti yoktur! Buna kar¸sın yarısıralılıkla olan birebir ili¸skisi nedeniyle ¨onemli g¨or¨ulebilir.

Teorem 2.3. Bir topolojik uzayın Alexandrov uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul verilen bir noktayı i¸ceren topolojinin elemanlarının k¨umesinin en k¨u¸c¨uk elemanının (kapsama sıralamasına g¨ore) olmasıdır.

Kanıt: (X, τ ) topolojik uzay olsun. X’in Alexandrov oldu˘gunu varsayalım. Tanım gere˘gi U = ∩τ (x) k¨umesi a¸cık ve x ∈ U olur. U , τ (x)’in en k¨u¸c¨uk elemanıdır. S¸imdi τ ’nın bir altk¨umesi {U_i: i ∈ I} verilsin. U =T

iU_i diyelim. U ∈ τ oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin, her x ∈ U i¸cin x ∈ Ux ⊂ U ¨ozelli˘ginde Ux ∈ τ ’nun varlı˘gını g¨ostermek yeterlidir (Neden?). x ∈ U verilsin. Her i ∈ I i¸cin

9

Sorgenfrey uzay topolojide ters ¨ornek vermek i¸cin joker gibidir. Bu uzay ingilizcede lower limit topology or right half-open interval topology olarakda bilinir. Bu uzayın adı Amerikan Matematikci Robert Sorgenfrey’den gelir.

10

Bazen Alexandroff uzay olarak da bilinir. Bu kavram [144]’de principal topoloji adıyla ¸

2.3. Alexandrov Uzay 43

x ∈ Ui(x) ⊂ Ui∈ τ olacak ¸sekilde Ui(x) ∈ τ (x) vardır. Varsayım gere˘gi

miniVi = V ∈ τ (x) vardır. Ayrıca

x ∈ V ⊂T

iUi(x) ⊂ U

olur. Kanıt tamamlanır. 

¨

Ornekler

2.19. X yarısıralı k¨ume olsun.

τ = {U ⊂ X : ∀x ∈ U, [x, ∞) ⊂ U } bir Alexandrov topolojidir. U ∈ τ olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun

U =S

x∈U[x, ∞) oldu˘gu a¸cıktır11.

Aslında b¨ut¨un Alexandrov topolojiler bu bi¸cimdedir. Bunun i¸cin a¸sa˘gıdaki ¨

onsava ihtiya¸c var. Kanıtı okura bırakılmı¸stır¹². ¨

Onsav 2.4. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. Her x ∈ X i¸cin {x} := {y ∈ X : y ∈ U ∈ τ ⇒ x ∈ U } olmak ¨uzere

x ∈ y :⇔ x ∈ {y} olarak tanımlanan ba˘gıntı bir yarısıralamadır¹³.

Alexandrov uzaylar ile yarısıralı k¨umeler arasında birebir bir ili¸skiyi veren teorem a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Bo¸s olmayan bir X k¨umesi ¨uzerindeki elemanları yarısıralı ba˘gıntılar olan k¨umeyi yarısıralı(X) ve X ¨uzerindeki Alexandrov topolojilerin k¨umesini AlexT (X) ile g¨osterelim.

Teorem 2.5. X bo¸s olmayan bir k¨ume olmak ¨uzere, π(≤) = {U ⊂ X : x ∈ U, x ≤ y ⇒ y ∈ U } e¸sitli˘giyle birebir ve ¨orten

11

Yarısıralama ( ingilizcesi preorder ) yansımalı ve ge¸ci¸smeli olan ili¸skidir.

12Kitabı okuyarak ¨onemli d¨uzeltmelerde bulunan Nuran Ercan ¸su notu d¨u¸sm¨u¸s: “laf aramızda sen de hi¸c kanıt vermiyor, hepsini okura bırakıyorsun!”

π : yarısıralı(X) −→ AlexT (X), fonksiyonu tanımlanabilir.

Kanıt:

i. Her yarısıralı ba˘gıntı ≤ i¸cin π(≤) Alexandrov topolojidir: Bunun bir topoloji oldu˘gu tanımdan hemen g¨or¨ul¨ur. Her i ∈ I i¸cin Ui ∈ π(≤) olmak ¨

uzere U = T

iUi diyelim. x ∈ U ve x ≤ y olsun. Her i ∈ I i¸cin Ui ∈ π(≤) ve x ∈ U_i oldu˘gundan y ∈ U_i ve dolayısıyla x ∈ U olur. B¨oylece π(≤)’nin Alexandrov topoloji oldu˘gu g¨osterilmi¸s olunur.

ii. π birebir: π(≤₁) = π(≤₂) olsun. Her x ∈ X i¸cin [x, ∞)_i:= {y ∈ X : x≤_iy} (i = 1, 2)

olarak tanımlansın. [x, ∞)₁ ∈ π(≤₁) oldu˘gundan, [x, ∞)₁ ∈ π(≤₂) olur. Bura-dan da

[x, ∞)1 =S

a∈[x,∞)1[a, ∞)2

olur. Ayrıca

[x, ∞)₂⊂ [x, ∞)₁

olur. Benzer bi¸cimde kapsamanın di˘ger y¨on¨u de do˘grudur. Buradan [x, ∞)1= [x, ∞)2

e¸sitli˘gi elde edilir. O halde ≤₁= ≤₂ olur.

iii. π ¨orten: τ , X ¨uzerinde Alexandrov topoloji olsun. ¨Onsav 2.4’den dolayı x ≤ y ⇔ x ∈{y}

ba˘gıntısı yarısıralıdır. π(≤) = τ oldu˘gunu g¨ormek kolaydır. Kanıt tamamlanır. 

¨

Ornekler

2.20. ˙Ilgili okur Alexandrov topoloji kavramının vermi¸s oldu˘gu motivasyonla topoloji tanımını genelleyebilir: m ve n iki kardinal sayı olmak ¨uzere τ topolojisi a¸sa˘gıdaki ko¸sullar sa˘glanıyorsa m − n topolojik uzay denilsin.

i. ∅, X ∈ τ .

ii. ∅ 6= U ⊂ τ ve |U | < m iseT U ∈ τ . iii. U ⊂ τ ve |U | ≤ n iseS U ∈ τ .

Bu tanımlamaya g¨ore standart topoloji ℵ0−|℘(℘(X))| topoloji olur. Alexandrov topoloji bu tanıma g¨ore her kardinal sayılar m, n i¸cin m − n topolojik uzay olur. Topoloji kavramını bu y¨ontemle genellemenin ne i¸se yarayıp yaramayaca˘gı hakkında yazar olarak bir ¨ong¨or¨um yoktur.

2.4. Topolojilerin Sayısı 45

Alı¸stırmalar

2.19. Bir X k¨umesi ¨uzerindeki en kaba ve en ince topolojilerin Alexandrov oldu˘gunu g¨osterin. Bu uzaylara kar¸sılık gelen (Teorem 2.6) yarısıralamaların neler oldu˘gunu belirleyin. 2.20. R’deki temel sıralamaya kar¸sılık gelen Alexandrov topolojisini belirleyin.

2.21. ¨Onsav 2.5’i kanıtlayın.

2.4 Topolojilerin Sayısı

¨

Ornekler

2.21. Topolojilerin Sayısı : Bo¸s olmayan bir X k¨umesi ¨uzerinde ne kadar “¸cok” topolojinin oldu˘gunu sorgulamak anlamlıdır. YaniT (X) k¨umesinin kardinalitesi |T (X)| hakkında ne diyebiliriz?

Bo¸s olmayan n-elemanlı bir k¨ume ¨uzerinde tanımlı topolojilerin sayısı en fazla 2²ⁿ olur. Verilen sonsuz bir X k¨umesinin kardinalitesi |X| ile g¨osterilmek ¨uzere, X ¨ uze-rinde tanımlı topolojilerin k¨umesinin kardinalitesi 2^2|X| olur. A¸sa˘gıda bunlarla ilgili bazı bilgiler verlecektir.

2.22. X ve Y bo¸s olmayan iki k¨ume olsun. |X| = |Y | ise |T (X)| = |T (Y )| oldu˘gu a¸cıktır. Ayrıca

T (X) ⊂ ℘(℘(X)) olmasından dolayı

|T (X)| ≤ 22^|X|

olur.

2.23. Her k ∈ N i¸cin Xk= {1, 2, . . . , k} diyelim. |T (X1)| = 1 |T (X2)| = 4 |T (X3)| = 29

oldu˘gu parmakla sayılarak da g¨osterilebilir. Buna kar¸sılık |T (X4)| sayısını parmakla hesaplamak her babayi˘gidin harcı de˘gildir14. 1 ≤ k ≤ 18 i¸cin |T (Kk)| sayısının ne oldu˘gu bilinmektedir. Bunlardan bazıları

mk= |T (Xk)| olmak ¨uzere m4= 355 m5= 6942 m6= 209527 m7= 9535241 m8= 642779354 m9= 63260289423 m10= 8977053873043

oldu˘gu bilinmektedir. Bununla ilgili detaylı bilgiler [94]’te bulunabilir. Ayrıca mn≤ 2n(n−1)

14

Bunu saymak i¸cin parmak y¨ontemi kullanmak do˘gru bir y¨ontem olmasa da eme˘ge saygılıyız elbette.

oldu˘gu Krishnamurthy [96] tarafından g¨osterilmi¸stir. Bu konuda yeni geli¸smeler [94] ve [96] ¨uzerinden takip edilebilir.

2.24. X sonsuz bir k¨ume olmak ¨uzere

|℘(X)| ≤ |T (X)| ≤ |℘(℘(X))| oldu˘gu a¸cıktır. Ger¸cekten e¸sitsizli˘gin sa˘g tarafı

T (X) ⊂ ℘(℘(X)) olmasındandır. Sol taraftaki e¸sitsizlikse

℘(X) \ {∅, X} −→T (X), A −→ {∅, A, X}

olarak tanımlanan fonksiyonun birebir olmasındandır. Dolayısıyla Genelle¸stirilmi¸s S¨ urek-lilik Hipotezi15altında

|℘(X)| = |T (X)| ya da |T (X)| = |℘(℘(X))|

e¸sitliklerinden sadece ve sadece bir tanesi olur. Bu e¸sitliklerden birincisini eleyebilece˘giz, yani

|T (X)| = 22^|X|

olur. Frohlich’e ait olan bu sonu¸c Topolojilerin Sayısı(B¨ol¨um 19) b¨ol¨um¨unde detaylı olarak ¸calı¸sılacaktır.

2.25. X bo¸s olmayan bir k¨ume ve m bir kardinal sayı olmak ¨uzere T (X, m) = {τ ∈ T (X) : |τ| = m}

olmak ¨uzere |T (X, m)|, |X| ve m arasındaki ili¸skinin ne oldu˘gu konusunda da ¨ozellikle X k¨umesinin sonlu olma durumu i¸cin ¸calı¸smalar mevcuttur. Daha detaylı bilgi [94]’da bulunabilir.

2.26. X = {1}, {1, 2} ve {1, 2, 3} i¸cin T (X)’in elemanlarını yazın. Ayrıca m ∈ N i¸cin T (X, m)’nin elemanlarını yazın.

2.5 K¨umenin ˙I¸ci ve Kapanı¸sı

(X, θ) bir topolojik uzay olmak ¨uzere θ’nın her elemanı a¸cık k¨ume ve t¨ umle-yeni a¸cık olan k¨ume kapalı k¨ume olarak adlandırılmı¸stı. Bir topolojik uzayın her altk¨umesinin a¸cık ya da kapalı olması beklenemez. Olsaydı, o topoloji sa-dece ve sasa-dece k¨umenin kuvvet k¨umesi olurdu. Buna kar¸sı uzayın verilen bir altk¨umesine “en yakın” a¸cık k¨umenin ne oldu˘gunu sorgulamak anlamlı ola-caktır. Verilen k¨umeyi kapsayan a¸cık k¨umelerin arakesitinin a¸cık olması ge-rekmeyece˘ginden, en yakın a¸cık k¨umeyi bu do˘grultuda aramak iyi bir yol ol-mayabilir. Buna kar¸sın verilen her k¨ume i¸cerisinde kalan en az bir a¸cık k¨ ume-nin varlı˘gı ve a¸cık k¨umelerin bile¸siminin a¸cık oldu˘gu durumu bir avantaja ¸cevrilerek, verilen k¨umeye en yakın a¸cık k¨umeyi, i¸cinde kalan a¸cık k¨ umele-rin birle¸simi olarak g¨ormek anla¸sılabilir bir yakla¸sım olacaktır. Benzer bir yakla¸sım verilen bir k¨umeye en yakın olan kapalı k¨ume i¸cin yapılabilir.

Bir topolojik uzayının verilen k¨umesine “en yakın” a¸cık k¨ume tanımlanabilir. Benzer durum “en yakın” kapalı k¨umeler i¸cin de s¨oz konusudur.

15

2.5. K ¨umenin ˙Ic¸i ve Kapanıs¸ı 47

Tanım 2.6. X bir topolojik uzay olsun. Her A ⊂ X k¨umesi i¸cin i. A^◦ :=S{U ⊂ X : U a¸cık ve U ⊂ A},

ii. A :=T{K ⊂ X : K kapalı ve A ⊂ K},

olarak tanımlanan k¨umelere sırasıyla A k¨umesinin i¸ci ve kapanı¸sı denir. A^◦yerine int(A) ve A yerine cl(A) yazılabilir. Bir X k¨umesi ¨uzerinde farklı topolojiler olabilece˘ginden X’in bir A altk¨umesinin hangi topolojiye g¨ore ka-panı¸sının alındı˘gı karma¸saya neden olabilir. O nedenle X ¨uzerindeki topoloji τ ise, A’nın bu topolojiye g¨ore kapanı¸sı A^τ ya da clτ(A) ile g¨osterilebilir. Benzer durum A’nın i¸ci i¸cinde yapılabilir. Bir X topolojik uzayın bir A altk¨

umesi-S¸ekil 2.2: Bir X uzayında verilen bir A k¨umesi i¸cin ¸sekildeki g¨orsellikte a¸cık U k¨umesi yoktur.

S¸ekil 2.3: Bir X uzayında verilen bir A k¨umesi i¸cin ¸sekildeki g¨orsellikte a¸cık U k¨umesi yoktur.

nin i¸cinin i¸ci A^◦ ile g¨osterilir. Benzer bi¸cimde kapanı¸sının kapanı¸sı da A ile g¨osterilir. Her k¨umenin i¸ci a¸cık ve a¸cık k¨umenin i¸ci kendisine e¸sittir. Benzer bi¸cimde bir k¨umenin kapanı¸sı kapalı ve kapalı bir k¨umenin kapanı¸sı kendisine e¸sittir. Yani bir X topolojik uzayında,

A ⊂ X a¸cık ⇐⇒ A^◦ = A, A ⊂ X kapalı ⇐⇒ A = A, A^◦= A^◦,

A = A

olur. X topolojik uzayında bir k¨umenin i¸ci, kendisi ve kapanı¸sı arasındaki en temel kapsama ili¸skisi her A ⊂ X i¸cin

A^◦ ⊂ A ⊂ A

olmasıdır. Ayrıca verilen A ⊂ X k¨umesi i¸cin A ve X \ A k¨umelerinin i¸ci ve kapanı¸sı arasındaki e¸sitlik ve kapsama ili¸skileri tanımlar kullanılarak hemen g¨or¨ulebilir. ¨Orne˘gin

X \ A = (X \ A)^◦

olması gibi. A ⊂ X k¨umesi i¸cin X \ A ve A k¨umeleri ayrık olduklarından A^◦ ve (X \ A)^◦ k¨umeleri de ayrık fakat bile¸simleri X’e e¸sit olmayabilir. Bu g¨ozlem bizi a¸sa˘gıdaki tanımı vermeye y¨onlendirir.

Tanım 2.7. X bir topolojik uzay olsun. X’in altkumesi A k¨umesi verilsin. ∂(A) := X \ ((X \ A)^◦S A◦)

k¨umesine A’nın sınırı denir.

Yukarıdaki tanım gere˘gi bir topolojik uzay X’in her altk¨umesi i¸cin ¨u¸c ayrık par¸caya ayrılır. Ger¸cekten verilen A ⊂ X altk¨umesi i¸cin A^◦, (X \ A)^◦ ve ∂(A) k¨umeleri iki¸ser iki¸ser ayrık ve

X = A^◦

.

S (X \ A)◦ S ∂(A)^. olur.

Yukarıda tanımlanan “i¸ci” kavramı kullanılarak her topolojinin τ ∈T (X) kapsama sıralamasına g¨ore bir latis (¨org¨u) olmasının daha fazlasını s¨ oyleyebi-liriz.

Teorem 2.6. Her topoloji Dedekind tamdır. Kanıt: τ ∈T (X) verilsin. ∅ 6= U ⊂ τ i¸cin

sup U =S U ve

inf U = (T U )◦

olmasından istenilen kanıtlanmı¸s olur. 

A¸sa˘gıdaki tanımı vermenin tam zamanı olmasa da zararı da yoktur. Tanım 2.8. Kapanı¸sı uzaya e¸sit olan altk¨umelerine yo˘gun k¨ume denir.

2.5. K ¨umenin ˙Ic¸i ve Kapanıs¸ı 49

S¸ekil 2.4: S¸ekilde koyu gri ile g¨osterilen (sonlu ya da sonsuz tane) k¨umeler bile¸siminin yo˘gun olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul a¸cık gri ile g¨osterilen bi¸cimde a¸cık U k¨umesinin bulunmamasıdır.

Yani, X topolojik uzay olmak ¨uzere X’in A = X olan A ⊂ X k¨umesine yo˘gun denir.

R_{Oklid uzayında (bu uzay hen¨}¨ _{uz tanımlanmamı¸s olsa da) rasyonel sayılar} k¨umesi Q ve irrasyonel sayılar k¨umesi Q⁰, R ¨Oklid uzayında yo˘gun altk¨ umeler-dir. Bo¸s olmayan her a¸cık k¨umesi yo˘gun olan topolojik uzaylar vardır. Bu t¨ur uzaylara D-uzayı denir. Bu t¨ur uzaylarla ilgili bir ¸calı¸sma [108] de bulunabilir.

Bir topolojik uzayda bir E altk¨umesi i¸cin int(cl(E)) = cl(int(E))

e¸sitli˘ginin hangi ko¸sullarda sa˘glandı˘gı [104] da ¸calı¸sılarak, bu e¸stli˘gin ger¸cekle¸smesi i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun

E = (A \ P ) ∪ (P \ A)

olacak bi¸cimde a¸cık-kapalı A ve int(cl(P )) = ∅ olacak bi¸cimde A ve P k¨ ume-lerinin olması oldu˘gu g¨osterilmi¸stir¹⁶.

Alı¸stırmalar

2.22. X bir topolojik uzay olsun. A ⊂ B ⊂ X ise A^◦⊂ B◦

ve A ⊂ B oldu˘gunu g¨osterin.

2.23. Bir X topolojik uzayında A ⊂ X i¸cin i. A^◦= X \ X \ A,

ii. A = X \ (X \ A)^◦ oldu˘gunu g¨osterin.

2.24. (X, τ ) topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin.

A = {x ∈ X : ∀U ∈ τ (x), U ∩ A 6= ∅} = A^◦S ∂(A) e¸sitliklerini g¨osterin.

2.25. (X, τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X i¸cin

16

A^◦= {x ∈ X : ∃U ∈ τ (x), U ⊂ A} e¸sitli˘gini g¨osterin.

2.26. X topolojik uzay olmak ¨uzere A, B ⊂ X k¨umeleri verilsin. ∅ = ∅, A ⊂ A, AS B = A S B ve A = A ve ∅◦ = ∅, A^◦⊂ A, (A ∩ B)^◦= A^◦∩ B◦ ve A^◦◦= A^◦ e¸sitliklerini g¨osterin.

2.27. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. A ⊂ ℘(X) k¨umesi, verilen her x ∈ X i¸cin {A ∈ A : A ∩ U 6= ∅}

sonlu olacak bi¸cimde U ∈ τ (x) varsa A k¨umesine yerel sonlu denir17. A yerel sonluysa S

A∈AA =S

A∈AA e¸sitli˘gini g¨osterin.

2.28. Bir X topolojik uzayında A ⊂ ℘(X) k¨umesi yerel sonluysa A = {A : A ∈ A}

olarak tanımlanan k¨umenin de yerel sonlu oldu˘gunu g¨osterin. 2.29. X topolojik uzay ve (An), X’in altk¨umelerinin bir dizisi olsun.

∞ [ i=1 Ai= ∞ [ i=1 Ai ! ∪ ∞ \ i=1 ∞ [ j=0 Ai+j !

oldu˘gunu g¨osterin.

2.30. X topolojik uzay ve U , X’te a¸cık k¨ume olsun. Her A ⊂ X i¸cin U ∩ A = U ∩ A

oldu˘gunu g¨osterin.

2.31. X topolojik uzayında her a¸cık U k¨umesi i¸cin (U )◦= U oldu˘gunu g¨osterin.

2.32. X topolojik uzayında A ⊂ X yo˘gunsa her a¸cık U k¨umesi i¸cin U ∩ A = U

oldu˘gunu g¨osterin.

2.33. (Kuratowski 14-K¨ume Teoremi) X bir topolojik uzay olmak ¨uzere her n ∈ N ve A ⊂ X i¸cin cnA ∈ {A, X \ A} olmak ¨uzere

|{c1c2. . . cnA : n ∈ N}| ≤ 14 oldu˘gunu g¨osterin¹⁸.

2.34. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin.

17Bu kavram Alexandroff tarafından 1924 yılında verilmi¸stir.

18

Bununla ilgili yayınlanmamı¸s Duncan Clark’a ait What is the Kuratowski’s set theorem ba¸slıklı makaleye http://math.osu.edu/sites/math.osu.edu/files/Kuratowski14Sets.pdf adre-sinden ula¸sılabilir.

2.6. T0, T1ve T2Uzaylar 51

x ∈ A \ {x} ¨

ozelli˘gindeki x ∈ X noktasına A k¨umesinin yı˘gılma noktası denir19. A’nın yı˘gılma noktalarının k¨umesi A⁰ olmak ¨uzere

A = AS A⁰ oldu˘gunu g¨osterin.

2.35. (Levine [105]) (X, τ ) bit topolojik uzay, A ⊂ X ve A 6∈ τ olsun. τ1, τ ’nın A’ya g¨ore basit geni¸slemesi ve τ2, A altuzayın topolojisi olmak ¨uzere, a¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.

i. intτ₁(B) = intτ(B)S intτ₂(A ∩ B).

ii. clτ₁(A) = clτ(B)T[(X \ B) S(A ∩ clτ₂(A ∩ B))].

iii. (X, τ ) ve (X, τ1) uzaylarının A altuzay topolojiler e¸sittir. Aynı durum X \ A altuzayı i¸cin do˘grudur.

iv. clτ(A ∩ B) = clτ₁(A ∩ B).

v. A’nın τ topolojisine g¨ore kapalı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul (X, τ1) topolojine g¨ore kapalı olmasıdır.

2.6 T

₀

, T

₁

ve T

₂

Uzaylar

Bir topolojik uzayda farklı iki noktanın farklı olmalarının ¨otesinde “daha farklı” olabilirler. Hatta “¸cok daha farklı” olabilirler. Bu farklılıklar bazen a¸cık k¨umelerle bazende s¨urekli fonksiyonlarla ifade edilir. Burada ge¸cen “farklı” ve “fazla farklı” kavramlarını S¸ekil 2.5 deki gibi resimleyebiliriz. Bu ve benzeri

S¸ekil 2.5: Birinci ¸sekilde a ve b noktaları farklı. Ikinci ¸sekilde a ve b noktaları “daha farklı”, ¨u¸c¨unc¨u ¸sekilde ise “¸cok daha farklı”.

“ayrı¸stırmaların” bir¸cok ¸ce¸sitleri olabilir. Bu kısımda bunlardan ilk ¨u¸c¨u veri-lecektir. Topolojide genel olarak T0, T1 ve T2 uzayları olarak adlandırılacak olan ayrı¸sım ¨ozellikleri d¨u¸s¨uk ayrı¸sım ¨ozellikleri olarak bilinir.

Tanım 2.9. Bir (X, τ ) topolojik uzayın T0, ve T1ve T2uzay olmaları a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.

i. T₀ uzayı : Verilen farklı iki elemandan birini i¸ceren di˘gerini i¸cermeye a¸cık k¨ume varsa.

19˙Ingilizcesi: accumulation point. Bu noktaya cluster point ya da limit point denildi˘gi de olur.

ii. T1 uzayı : Verilen farklı iki elemandan birini i¸ceren di˘gerini i¸cermeyen farklı iki a¸cık k¨ume varsa.

iii. T₂ uzayı : Verilen farklı iki elemanları i¸ceren ayrık iki a¸cık k¨ume varsa. Tanımı sembollele ifade edecek olursak:

T0: Her x, y ∈ X, x 6= y i¸cin x 6∈T τ (y) ya da y 6∈ T τ (x). T1: Her x, y ∈ X, x 6= y i¸cin x 6∈T τ (y) ve y 6∈ T τ (x). T₂: Her x, y ∈ X, x 6= y i¸cin

x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅ olacak bi¸cimde U ∈ τ (x) ve V ∈ τ (y) k¨umeleri varsa²⁰

Bazı kaynaklarda T₀ uzayına Kolmogorov uzayı, T₁ uzayına Fr´echet uzayı ve T2 uzayına Hausdorff uzayı denir.

T2 uzayı⇒ T1 uzayı⇒ T0 uzayı

olmasına kar¸sın terslerinin do˘gru olmadı˘gına ili¸skin alı¸stırmalar kısmına bakın. Bazı topolojik uzaylarda bo¸sk¨umeden farklı iki a¸cık k¨umenin arakesiti bo¸sk¨ume olamaz. Elbette bu t¨ur uzaylar Hausdorff da olamaz. ¨Orne˘gin R’de

τ^∗ = {R \ K : K, ¨Oklid topolojisinde sınırlı ve kapalı} ∪ {∅}

bir topoloji olup, (R, τ^∗) topolojik uzayında bo¸s olmayan iki a¸cık k¨umenin arakesiti bo¸sk¨ume olamaz. Dolayısıla T2-uzay olamaz. Ama T1 uzay olur. Bu topolojik uzayın kompakt oldu˘gu, yani, her i ∈ I i¸cin Ui a¸cık ve R =S

i∈IUi

oldu˘gunda R =S

i∈JU_i olacak bi¸cimde sonlu J ⊂ I altk¨umesi vardır. (R, τ^∗) uzayına t¨umleyeni kompakt topolojik uzay denir.

T₀, T₁ ve T₂ uzaylarıyla ilgili iki g¨orsellik S¸ekil 2.6, 2.7 ve 2.8’te oldu˘gu

Belgede Zafer Ercan (sayfa 48-92)