Topolojik uzaylarda bazı ¨onemli sonu¸cların kanıtlanmasında, netler yerine di-ziler alınması yeterli olsaydı ne g¨uzel olurdu! ¨Orne˘gin bu durumda bir X to-polojik uzayın her A altk¨umesi i¸cin
A = {x ∈ X : ∃f ∈ AN, f → x}
olurdu ve bu X topolojik uzayın ¸cok daha iyi anla¸sılmasını sa˘glardı. Ama hayat her zaman b¨oyle kolay olmayabiliyor.
Bir X topolojik uzayın A ⊂ X altk¨umesinin a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, f → x ∈ A olacak bi¸cimde f ∈net(X \ A) netinin olmamasıdır. Bunu ¸s¨oyle de ifade ederiz: Bir X uzayında U ⊂ X k¨umesinin a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul,
f ∈net(X) ve f → x ∈ U
oldu˘gunda f ’nin en az bir kuyru˘gunun U tarafından kapsanmasıdır. Bu betim-lemede, genelde net yerine dizi alınamaz. Buna kar¸sın bazı topolojik uzaylarda ( ¨Orne˘gin metrik uzaylarda) alınabilir ve bu t¨ur uzayların metrik uzay olma-ları gerekmez. Bu uzaylar dizisel topolojik uzaylar olarak adlandırılır. Yani bir X uzayında bir A ⊂ X k¨umesinin a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, xn → x ∈ A olacak bi¸cimde X \ A’da (xn) dizisi yoksa X’e dizisel uzay de-nir. Dizisel uzaylara en temel ¨orneklerden birinin metrik uzaylar oldu˘gu bu b¨ol¨umde g¨osterilecektir. Dahası bir uzayın dizisel uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun, uzayın bir metrik uzayın b¨ol¨um uzayına homeomorfik oldu˘gu kanıtlanarak kesin sınırlar ¸cizilebilecektir. Bu konuda temel ¸calı¸smalardan biri Franklin’e [47] aittir.
Topolojik uzay teorisinin temel motivasyonunun metrik uzaylar oldu˘gunu s¨oylemi¸stik. Bir X metrik uzayın her A altk¨umesinin kapanı¸sının
A = {x : ∃f ∈ AN, f → x}
oldu˘gunu biliyoruz. Ama genelde topolojik uzaylarda bunun do˘gru olmadı˘gını da biliyoruz. Bu ¨ozelli˘gi olan topolojik uzaylara Fr´echet-Urysohn uzay denir. Demek ki metrik uzaylar Fr´echet-Urysohn uzaylardır.
Bir¸cok okur Fr´echet-Urysohn uzay ile dizisel uzayların arasında fark ol-madı˘gı yanılgısına d¨u¸sebilir ama ¨oyle de˘gil. Buna kar¸sın bir uzayın Fr´ echet-Urysohn uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun, uzayın her altuzayının di-zisel uzay oldu˘gu kanıtlanacaktır. B¨oylece Fr´echet-Urysohn ve dizisel uzaylar arasındaki temel ili¸ski verilmi¸s olacaktır.
Sonu¸c olarak bu b¨ol¨umde dizisel uzaylar ve Fr´echet-Urysohn uzaylar ¸ calı-¸sılarak bunlarla ilgili temel betimlemeler verilecektir. Bu uzaylarla ilgili geni¸s bilgi [62]’de bulunabilir.
7.1 Dizisel Uzaylar
Bir X topolojik uzayın her U ⊂ X k¨umesi i¸cin X \ U ∩ U = ∅ olmasının
U = X \ X \ U
olmasına denk oldu˘gunu not edelim. X bir topolojik uzay ve U ⊂ X verilsin. U ’nun a¸cık k¨ume olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun
X \ U ∩ U = ∅
olması gerekti˘gi de a¸cıktır. Bunu net terimiyle ifade edecek olursak: U ’nun a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, X \ U ’da, U ’nun bir elemanına yakınsayacak netin olmamasıdır. Bu betimlemede “net yerine dizi alınabilir mi?” sorusu anlamlıdır. Bu soru bizi a¸sa˘gıdaki tanımı vermeye y¨onlendirir.
Tanım 7.1. Bir topolojik uzayın verilen bir altk¨umesinin dizisel kapanı¸sı , o k¨umede tanımlı dizilerin yakınsadı˘gı noktaların k¨umesidir.
Yani, X bir topolojik uzay olmak ¨uzere A ⊂ X altk¨umesinin dizisel ka-panı¸sı sqc(A) = {x ∈ X : ∃f ∈ AN, f → x} olarak tanımlanır. A ⊂sqc(A)⊂ A ve A◦⊂ X\sqc(X \ A)) ⊂ A
oldu˘gu a¸cıktır. Bu kapsamaların e¸sit olma durumlarına g¨ore a¸sa˘gıdaki tanımla-malar yapılır.
7.1. Dizisel Uzaylar 181
Tanım 7.2. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A k¨umesi a¸sa˘gıdaki gibi adlandırılır.
i. dizisel kapalı :A =sqc(A).
ii. dizisel a¸cık :A = X\sqc(X \ A)).
A¸sa˘gıdaki teoremin kanıtı kolay olup, kanıt okura bırakılmı¸stır.
Teorem 7.1. Bir uzayın altk¨umesinin dizisel a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, t¨umleyeninin dizisel kapalı olmasıdır.
Bir topolojik uzayda kapalı her k¨ume dizisel kapalı ve her a¸cık k¨ume dizisel a¸cıktır. Ama bunun tersleri genelde do˘gru de˘gildir. Bu durum bizi topolojik uzayların iki farklı sınıflamasına y¨onlendirir.
Tanım 7.3 (Franklin [47]). Her dizisel a¸cık k¨umesi a¸cık olan topolojik uzaya dizisel uzay denir.
A¸sa˘gıdaki teoremin kanıtı kolay ve okuyucuya bırakılmı¸stır.
Teorem 7.2. Bir X topolojik uzayın dizisel olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, her a¸cık U k¨umesinin
U = X\sqc(X \ U )) e¸sitli˘gini sa˘glamasıdır.
Teorem 7.3. (X, τ ) topolojik uzay olmak ¨uzere dizisel a¸cık k¨umelerin k¨umesi τsqc, X ¨uzerinde bir topolojidir ve τ topolojisinden daha incedir, yani
τ ⊂ τsqc olur.
Kanıt: ∅, X ∈ θsqcoldu˘gu a¸cıktır. A ve B iki dizisel a¸cık k¨ume olsun. A∩B’nin dizisel a¸cık olmadı˘gını varsayalım. Her K ⊂ X i¸cin K ⊂sqc(K) oldu˘gundan
X\sqc(X \ (A ∩ B)) ⊂ A ∩ B
olur. x ∈ X, x 6∈ X\sqc(X \ (A ∩ B)) olsun. x ∈sqc(X \ (A ∩ B)) oldu˘gundan, f → x olacak bi¸cimde X \ (A ∩ B) k¨umesinde f dizisi vardır. X \ A’da ya da X \ B’de olan f ’nin bir altdizisi g vardır. g’nin X \ A’da oldu˘gunu varsayalım. g → x ve A dizisel a¸cık oldu˘gundan x 6∈ A ve dolayısıyla x 6∈ A ∩ B olur. Benzer bi¸cimde g’nin X \ B’de oldu˘gunu varsaydı˘gımızda da aynı durum elde edilir. Dolayısıyla
yani A ∩ B dizisel a¸cıktır.
(Ai)i∈I, θsqc’de bir aile olsun. x ∈ X, x 6∈ X\sqc(X \ (S
iAi)) verilsin. x ∈sqc(X \ (S
iAi) oldu˘gundan f → x olacak bi¸cimde X \ (S
iAi) de˘gerli f dizisi vardır. Aynı zamanda her i ∈ I i¸cin f dizisi X \ Ai de˘gerlidir. Ai’ler dizisel a¸cık olduklarından x 6∈ Ai dolayısıyla x 6∈ S
iAi elde edilir. Buradan
X\sqc(X \ (S
iAi)) =S
iAi
elde edilir. τsqc’nın topoloji oldu˘gu g¨osterilmi¸s olunur. Di˘ger kısımların do˘grulu˘gu
a¸cıktır. Kanıt tamamlanır.
¨
Ornekler
7.1. Sayılamaz bir k¨ume ¨uzerinde a¸cık k¨umeleri sadece ve sadece t¨umleyeni sayılabilir olan topolojinin en ince topolojiden farklı oldu˘gu a¸cıktır. Yani, X sayılamaz bir k¨ume olsun.
τ = {A ⊂ X : X \ A sayılabilir },
X ¨uzerinde en ince topolojiden farklı bir topolojidir. Bu topolojiyle donatılmı¸s X uzayının dizisel uzay olmadı˘gını g¨ostermek i¸cin X’in her altk¨umesinin dizisel a¸cık oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir. A ⊂ X altk¨umesi verilsin. A’nın dizisel a¸cık olmadı˘gını varsayalım. xn→ y ∈ A ¨ozelli˘ginde X \ A k¨umesinde (xn) dizisi vardır.
B = (X \ {xn: n ∈ N})S{y}
k¨umesi a¸cık ve y ∈ B olur. Buradan her n ≥ n0 i¸cin xn ∈ B olacak bi¸cimde n0 ∈ N elde edilir ancak bu ¸celi¸skidir. B¨oylece X’in her altk¨umesi dizisel a¸cıktır. Dolayısıyla X topolojik uzayı dizisel topolojik uzay de˘gildir.
7.2. w1 ilk sayılamaz ordinal olmak ¨uzere
[0, w1] = {α : α ordinal ve α ≤ w1}
tamsıralı k¨umeyi sıra topolojik uzay olarak ele alacak olursak bu uzayda {w1} dizisel a¸cık olmasına kar¸sın a¸cık de˘gildir. Dolayısıyla [0, w1] sıra topolojik uzayı dizisel topolojik uzay de˘gildir.
7.3. I sayılamaz bir k¨ume ve {0, 1} en ince topolojik uzay olmak ¨uzere X = Q
i∈I{0, 1} ¸
carpım uzayını ele alalım.
X = {χA: A ⊂ I} olarak yazalım.
Y = {χA: A ⊂ I sayılamaz } k¨umesinin a¸cık olmadı˘gını g¨ostermek zor de˘gildir.
χAn→ χA∈ Y olsun. Bu durumda A ⊂S
nAn olur. A sayılamaz oldu˘gundan en az bir n ∈ N i¸cin An
sayılamaz k¨umedir. Bu, bize
7.2. Fr ´echet-Urysohn Uzay 183
¨
ozelli˘ginde X \ Y ’de (χAn) dizisinin olamayaca˘gını s¨oyler. O halde Y , dizisel a¸cık ama a¸cık de˘gildir. B¨oylece X’in dizisel uzay olmadı˘gı g¨osterilmi¸s olur.
Teorem 7.4. Metrik uzay dizisel uzaydır1.
Kanıt: X metrik uzay, U dizisel a¸cık, fakat a¸cık olmasın. Yani U 6= U◦ ve U = X\sqc(X \ U ))
olsun. x ∈ U \ U◦ se¸celim. xn → x ¨ozelli˘ginde, X \ U ’da (xn) dizisi vardır. Buradan x ∈ X \ U olur. x ∈ U◦ oldu˘gundan
U◦∩ (X \ U ) 6= ∅
olur. Bu ¸celi¸skidir ve kanıtı tamamlar.
Alı¸stırmalar
7.1. Bir uzayın dizisel uzay olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun her dizisel kapalı k¨umenin kapalı olmasıdır. G¨osterin.
7.2. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. A dizisel a¸cıktır.
ii. f → x ∈ A olacak bi¸cimde f ∈ (X \ A)N yoktur.
7.2 Fr´echet-Urysohn Uzay
Tanım 7.4. Her altk¨umesinin kapanı¸sı, dizisel kapanı¸sına e¸sit olan topolojik uzaya Fr´echet-Urysohn uzayı denir.
Yani bir X uzayının Fr´echet-Urysohn uzayı olaması i¸cn gerek ve yeter ko¸sul her A ⊂ X i¸cin A =sqc(A) olmasıdır. Okur Fr´echet-Urysohn uzayı ve dizisel uzay arasında bir fark yokmu¸s gibi bir sezgiye kapılabilir ama bunlar farklı uzaylardır. Buna ili¸skin ¨ornekler bu altb¨ol¨um¨un son kısmında bulunabilir.
¨
Ornekler
7.4. Metrikle¸sebilir topolojik uzaylar Fr´echet-Urysohn uzayıdır. Daha fazlası da do˘grudur: Birinci dereceden sayılabilir uzayların Fr´echet-Urysohn uzay oldu˘gu kanıtlanacaktır.
Bir topolojik uzayı X’in her noktasının sayılabilir a¸cık tabanı var ise X’e bi-rinci dereceden sayılabilir denildi˘gini hatırlayalım. Birinci dereceden uzay-ların altuzayları da birinci dereceden uzaylardır. Buna kar¸sın birinci dereceden uzayların ¸carpım uzayları birinci dereceden olması gerekmez ( ¨Orne˘gin X = RR
¸carpım uzayı.) Fakat sayılabilir tane birinci dereceden sayılabilir uzayların ¸carpım uzayı birinci dereceden sayılabilir uzaylardır. Bunlarla ilgili kanıtlar klasik topoloji kitaplarında bulunabilir.
1
Teorem 7.5. Birinci dereceden sayılabilir uzay, Fr´echet-Urysohn uzay ve Fr´echet-Urysohn topolojik uzay dizisel topolojik uzaydır. Yani
Birinci dereceden sayılabilir ⇒Fr´echet-Urysohn ⇒ dizisel.
Kanıt: X birinci dereceden sayılabilir topolojik uzay olsun. Her x ∈ X i¸cin {Un(x) : n ∈ N}, x noktasının sayılabilir tabanı olsun. Her n i¸cin Un+1(x) ⊂ Un(x) oldu˘gunu varsayabiliriz. A ⊂ X verilsin. sqc(A) ⊂ A oldu˘gunu biliyoruz. x ∈ A verilsin. Her n ∈ N i¸cin xn ∈ Un∩ A se¸cebiliriz. f (n) = xn olarak tanımlanan f dizisi, A’da bir dizi ve f → x dir. Buradan sqc(A) = A elde edilir. B¨oylece X’in Fr´echet-Urysohn uzay oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
S¸imdi X’in Fr´echet-Urysohn uzay oldu˘gunu varsayalım. U ⊂ X dizisel a¸cık olsun. Buradan
U = X\sqc(X \ U ) = X \ X \ U = (X \ (X \ U ))◦ = U◦
elde edilir. Yani U a¸cıktır. X’in dizisel a¸cık oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
Dizisel uzay ve Fr´echet-Urysohn uzayındaki temel ili¸ski a¸sa˘gıdadır. Teorem 7.6 (Franklin [48]). Bir uzayın Fr´echet-Urysohn olması i¸cin her al-tuzayının dizisel olması gerek ve yeterlidir.
Kanıt: X, Fr´echet-Urysohn uzay olsun. (i =⇒ ii). X’in bir Y altuzayının dizisel olmadı˘gını varsayalım. Bu varsayımla Y ’nin bir A altk¨umesi dizisel kapalı fakat kapalı de˘gildir. Yani
AY 6= A ve A = Y \sqc(Y \ A) olacak bi¸cimde A ⊂ Y altk¨umesi vardır.
w ∈ AY \ A
se¸celim. A, Y uzayında dizisel kapalı oldu˘gundan f → w (Y uzayında) olacak bi¸cimde f ∈ AN dizisi yoktur. Dolayısıyla X uzayında f → w olacak bi¸cimde f ∈ AN dizisi yoktur. Di˘ger taraftan
w ∈ AY ⊂ A
ve X Fr´echet-Urysohn oldu˘gundan, X uzayında g → w olacak bi¸cimde g ∈ AN
dizisi vardır. Bu, ¸celi¸skidir.
(ii =⇒ i). X, Fr´echet-Urysohn uzay olmasın. A 6=sqc(A)
7.3. Dizisel Uzay ve S ¨ureklilik 185
olacak bi¸cimde A ⊂ X vardır. x ∈ A\sqc(A) olmak ¨uzere X’in topolojik altuzayı, Y = A ∪ {x} uzayını ele alalım. Varsayım gere˘gi Y dizisel uzaydır. Di˘ger taraftan Y uzayında Y \ {x} k¨umesi dizisel kapalı, fakat kapalı de˘gildir. Bu ¸celi¸ski nedeniyle X Fr´echet-Urysohn uzayı olmak zorundadır.
Alı¸stırmalar
7.3. Birinci dereceden sayilabilir olmayan Frechet-Urysohn ve Frechet-Urysohn olmayan di-zisel topolojik uzay ¨ornekleri verin.
7.4. RR ¸carpım uzayının birinci dereceden sayılabilir olmadı˘gını kanıtlayın.
7.5. Sayılabilir tane birinci dereceden sayılabilir uzayın ¸carpım uzayının birinci dereceden sayılabilir oldu˘gunu kanıtlayın.
7.3 Dizisel Uzay ve S¨ureklilik
Metrik uzaylarda oldu˘gu gibi dizisel uzaylarda da s¨ureklilik daha do˘gal! Teorem 7.7. Bir topolojik uzayın bir altk¨umesinin dizisel a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, altk¨umenin bir elemanına yakınsayan her dizinin en az bir kuyru˘gunun o altk¨ume tarafından kapsanmasıdır.
Kanıt: X topolojik uzay olsun. A ⊂ X k¨umesi dizisel a¸cık olsun. X’in bir f dizisi x ∈ A noktasına yakınsasın. f ’nin hi¸cbir kuyru˘gunun A tarafından kapsanmadı˘gını varsayalım. Bu durumda f ’nin g → x olacak bi¸cimde g ∈ (X \ A)N altdizisi vardır. Buradan x ∈sqc(X \ A) olur. Buradan da x 6∈ A ¸celi¸skisi elde edilir.
S¸imdi ko¸sulun ger¸ceklendi˘gini varsayalım. A dizisel a¸cık olmasın, yani A 6= X\sqc(X \ A))
olsun.
a ∈ A ve a 6∈ X\sqc(X \ A)) ¨
ozelli˘ginde a se¸celim. xn → x, xn ∈ X \ A olacak bi¸cimde bir (xn) dizisi se¸cebiliriz. Varsayım gere˘gi her n ≥ n0 i¸cin xn∈ A olacak bi¸cimde n0 vardır.
Bu, bir ¸celi¸skidir. Kanıt tamamlanır.
Teorem 7.8. X bir topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir. i. X dizisel uzaydır.
ii. Her bir Y topolojik uzayı ve her f : X −→ Y fonksiyonunun s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, X’te xn → x oldu˘gunda Y ’de f (xn) → f (x) olmasıdır.
Kanıt: (i =⇒ ii). Y topolojik uzay ve f : X −→ Y fonksiyonu verilsin. f ’nin s¨urekli olma durumunda,
xn→ x =⇒ f (xn) → f (x)
oldu˘gu a¸cıktır. S¸imdi gerektirmenin do˘grulu˘gunu kabul edelim. f ’nin s¨urekli olmadı˘gını varsayalım. f−1(U ) a¸cık olmayacak bi¸cimde a¸cık U k¨umesi vardır. X dizisel a¸cık oldu˘gundan f−1(U ) dizisel a¸cık de˘gildir ve dolayısıyla
xn→ x ∈ f−1(U ) ¨
ozelli˘ginde X \ f−1(U )’da (xn) dizisi vardır. Varsayım gere˘gi f (xn) → f (x) ∈ U .
(f (xn)) dizisi Y \ U kapalı k¨umesinde oldu˘gundan f (x) ∈ Y \ U elde edilir. Bu, bir ¸celi¸skidir.
(ii =⇒ i). X’in dizisel uzay olmadı˘gını varsayalım. X ¨uzerindeki topolojiyi θ ile g¨osterelim. Dizisel a¸cık k¨umelerin k¨umesi θsqc olmak ¨uzere θ ⊂ θsqc oldu˘gunu biliyoruz. X dizisel topolojik uzay olmadı˘gından
I : (X, θ) −→ (X, θsqc), I(x) = x
olarak tanımlanan fonksiyon s¨urekli de˘gildir. Di˘ger taraftan (X, θ) uzayında xn→ x ise bu yakınsama (X, θsqc) uzayında da do˘grudur. (ii) gere˘gi I s¨ urek-lidir. Halbuki de˘gil. Bu ¸celi¸ski kanıtı tamamlar. Teorem 7.9. Dizisel topolojik uzayın her a¸cık altuzayı dizisel topolojik uzaydır. Kanıt: X dizisel topolojik uzay ve Y , X’in a¸cık altuzayı olsun. Z bir topolojik uzay olmak ¨uzere f : Y −→ Z fonksiyonu
xn→ x =⇒ f (xn) → f (x) ¨
ozelli˘ginde olsun. Teorem 7.8 gere˘gi f fonksiyonunun s¨urekli oldu˘gunu g¨ oster-mek kanıtı tamamlayacaktır. f ’nin s¨urekli olmadı˘gını varsayalım. f−1(U ), X’te a¸cık olmayacak bi¸cimde Z’nin a¸cık altk¨umesi U vardır. f−1(U ), X’te de a¸cık de˘gildir. X dizisel oldu˘gundan f−1(U ), X’te dizisel a¸cık olamaz. Yani
f−1(U ) 6= X\sqc(X \ f−1(U )) olur.
x ∈ f−1(U ) ve x ∈sqc(X \ f−1(U ))
se¸cebiliriz. Ayrıca xn→ x olacak bi¸cimde, X \ f−1(U ) k¨umesinde (xn) dizisi vardır.
7.4. Dizisel Uzaylar Metrik Uzayların B ¨ol ¨um Uzaylarıdır. 187
oldu˘gundan (xn)’nin en az bir altdizisi (xnk) ya Y ’de ya da X \Y k¨umesindedir. 1. Durum: Her n i¸cin xkn∈ Y olma durumu: Y uzayında xkn → x olaca˘gından, varsayım gere˘gi f (xkn) → f (x) olacaktır. f (x) ∈ U oldu˘gundan (f (xkn)) di-zisinin en az bir kuyru˘gu U tarafından kapsanır ve dolayısıyla (xkn) dizisinin en az bir kuyru˘gu f−1(U ) tarafından kapsanır ki bu, ¸celi¸skidir.
O halde a¸sa˘gıdaki durum ger¸cekle¸sir.
2. Durum: Her n i¸cin xkn ∈ X \ Y olma durumu: Y a¸cık oldu˘gundan X \ Y kapalıdır. Dolayısıyla (xkn) dizisinin limiti olan x ∈ f−1(U ) ⊂ Y , X \ Y ’nin bir elemanıdır ki bu durum, ¸celi¸skidir.
Sonu¸c olarak f ’nin s¨urekli olmadı˘gı varsayımı ¸celi¸ski ¨uretmi¸stir. O halde f
s¨ureklidir. Kanıt tamamlanır.
Alı¸stırmalar
7.6. Dizisel topolojik uzayın her kapalı altuzayının dizisel topolojik uzay oldu˘gunu g¨osterin. 7.7. X = C([0, 1]) k¨umesi ¨uzerinde,
d(f, g) =R |f (x)−g(x)| 1+|f (x)−g(x)|dx
metri˘gi tarafından ¨uretilen topolojiyi τd ve, her x ∈ [0, 1] i¸cin, px : C([0, 1]) −→ R, px(f ) = |f (x)| olmak ¨uzere {px : x ∈ [0, 1]} fonksiyonlar k¨umesi tarafından ¨uretilen topolojiyi τpile g¨osterelim.
i : (C([0, 1]), τp) −→ (C([0, 1]), τd), i(f ) = f
birim fonksiyonun s¨urekli olmamasına kar¸sın dizisel s¨urekli (fn → f ⇒ i(fn) → i(f )) oldu˘gunu g¨osterin. Bunun sonucu olarak τptopolojisinin dizisel topoloji olmadı˘gı sonu-cuna varın.
7.4 Dizisel Uzaylar Metrik Uzayların B¨ol¨um
Uzay-larıdır.
Metrik uzaylar dizisel uzaydır. Ama tersi do˘gru de˘gildir. Buna kar¸sın dizisel uzaylar metrik uzayların tanıdık bir ¸seyi olur. Bu altb¨ol¨umde bu “bir¸seyi” belirleyece˘giz.
Dizisel uzaylarla metrik uzaylar arasındaki birebir ili¸ski net bir ¸sekilde verilebilir: Her dizisel topoloji en azıyla bir metrik uzayın b¨ol¨um topoloji-sine homeomorfiktir. Bundan daha iyisi “can sa˘glı˘gı”, daha ne olsun! Bunu kanıtlamak i¸cin ¨once topolojik uzayların toplam uzayını tanımlayalım.
Her i, j ∈ I ve i 6= j i¸cin XiT Xj = ∅ olmak ¨uzere ((Xi, θi))i∈I topolojik uzayların bir ailesi verilsin. X =S
i∈IXi olmak ¨uzere τ = {U ⊂ X : ∀i ∈ I, UT Xi ∈ θi},
X ¨uzerinde bir topoloji oldu˘gu a¸cıktır. (X, θ) topolojik uzayına ((Xi, θi))i∈I uzay ailesinin toplam uzayı denir ve ⊕i∈IXi ile g¨osterilir.
Teorem 7.10. (Franklin [47]) (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
i. X dizisel topolojidir.
ii. X bir metrik uzayın b¨ol¨um uzayıdır.
iii. X birinci dereceden sayılabilir topolojik uzayın b¨ol¨um uzayıdır. iv. X bir dizisel topolojik uzayın b¨ol¨um uzayıdır.
Kanıt: (i ⇒ ii). R ¨Oklid uzayının Y = {0}S{1
n : 2 ≤ n ∈ N} altuzayını ele alalım. Y uzayının topolojisinin
τY = {A ⊂ Y : 0 6∈ A ya da Y \ A sonlu } oldu˘gunu not edelim.
C = {f ∈ XN: f → f (1)} olarak tanımlansın. Her f ∈ C i¸cin
Zf = {f } × Y olarak tanımlayalım. Her f , g ∈ C ve f 6= g i¸cin
ZfT Zg = ∅ olur. Her f ∈ Zf i¸cin Zf uzerine¨
df((f, y1), (f, y2)) = |y1− y2|
metri˘gini koyalım ve Zf’yi metrik topolojik uzay olarak g¨orelim. (Zf uzayı ile Y uzayının izometrik oldu˘gu a¸sikar!) Z, (Zf)f ∈C topolojik uzayların toplamı, yani
Z = ⊕f ∈CZf
olsun. Z’nin topolojisini θZile g¨osterelim. θZbir metrik topolojidir. (Ger¸cekten d((f, y1), (g, y2) =
|y1− y2| ;f = g, 1 ;f 6= g.
olarak tanımlanan d : Z × Z −→ R fonksiyonu Z’de bir metriktir ve ¨uretti˘gi topoloji θZ’e e¸sittir.)
7.4. Dizisel Uzaylar Metrik Uzayların B ¨ol ¨um Uzaylarıdır. 189
oldu˘gunu not edelim. π : Z −→ X fonksiyonu π(f, y) =
f (1) ; y = 0 f (i) ;y = 1i, i ≥ 2
e¸sitli˘gi ile tanımlansın. π’nin ¨orten oldu˘gu a¸cık. (Ger¸cekten x ∈ X verilsin. f : N −→ X dizisi f (x) = x olarak tanımlansın. π(f, 0) = x olur.)
τ = {A ⊂ X : π−1(A) ∈ τZ}
oldu˘gunu g¨ostermek (e¸sitli˘gin sa˘g tarafı Z’nin π’ye b¨ol¨um uzayıdır) kanıtı tamamlayacaktır. A ∈ τX verilsin. Her f ∈ C i¸cin
Af = {y ∈ Y : (f, y) ∈ π−1(A)} ∈ τY
diyelim. Iki durum s¨oz konusudur.
1. durum. 0 ∈ Af: Bu durumda π(f, 0) = f (1) ∈ A dır. f (n) → f (1) oldu˘gunda her n ≥ n0i¸cin f (n) ∈ A olacak bi¸cimde n0vardır. Dolayısıyla Y \Af sonludur. B¨oylece Af, Y ’de a¸cıktır.
2. durum. 0 6∈ Af: Bu durumda her n ∈ N i¸cin {1n}, Y ’de a¸cık oldu˘gundan Af yine a¸cıktır.
B¨oylece her f ∈ C i¸cin ZfT π−1(A), Zf’de a¸cıktır. Dolayısıyla τ ⊂ {A ⊂ X : π−1(A) ∈ τZ}
oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. S¸imdi A ⊂ X ve A 6∈ θ olsun. X dizisel a¸cık oldu˘gundan A dizisel a¸cık de˘gildir. Bu nedenle
f → a ∈ A
olacak bi¸cimde f (1) = a ve n ≥ 2 i¸cin f (n) 6∈ A olacak bi¸cimde f dizisi vardır. Bu durumda
{y ∈ Y : (f, y) ∈ π−1(A)} = {0}
k¨umesi Y ’de a¸cık de˘gildir. Buradan π−1(A) 6∈ θZ elde edilir. Istenilen g¨ oste-rilmi¸s olur.
(ii =⇒ iii). Metrik uzaylar topolojisi birinci dereceden sayılabilir oldu˘gundan istenilen a¸cıktır.
(iii =⇒ iv). Birinci dereceden topolojinin dizisel topoloji olmasındandır. (iv =⇒ i). τ , dizisel topolojik uzay (Y, τY)’nın b¨ol¨um toplojisi olsun. Yani f : Y −→ X ¨orten bir fonksiyon olmak ¨uzere
olsun. A ⊂ X dizisel kapalı olsun. A’nın kapalı oldu˘gunu g¨osterece˘giz. Bunun i¸cin f−1(A)’nın dizisel Y ’de dizisel kapalı oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir. (xn), f−1(A) da bir dizi ve xn→ x olsun. f s¨urekli oldu˘gundan f (xn) → f (x) olur. A’nın dizisel kapalı olmasından f (x) ∈ A, yani x ∈ f−1(A) dır. f−1(A)’nın dizisel kapalı oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur ve kanıt biter.
Alı¸stırmalar
7.8. (Xi)i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve i 6= j i¸cin XiT Xj = ∅ olsun. X = ⊕i∈IXi
uzayının metrikle¸sebilir olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun her i ∈ I i¸cin Xi uzayının metrikle¸sebilir olması gerekti˘gini g¨osterin.
7.9. Bir topolojik uzayda bir dizi en fazla bir noktaya yakınsıyorsa o uzay T1-uzayıdır. Birinci dereceden sayılabilir bir uzayda bir dizi en fazla bir noktaya yakınsayabiliyorsa, o uzayın T2-uzay oldu˘gunu g¨osterin.
7.10. Birinci dereceden sayılabilir topolojik uzayın Hausdorff olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, uzayda verilen her dizinin en fazla bir tane noktaya yakınsaması oldu˘gunu g¨osterin. 7.11. Fr´echet-Urysohn uzayın altuzaylarının Fr´echet-Urysohn oldu˘gunu g¨osterin.
7.5 Ornekler¨
Birinci dereden sayılabilir uzay=⇒ Fr´echet-Urysohn =⇒ Dizisel uzay oldu˘gunu biliyoruz. Bunların terslerinin olmadı˘gına ili¸skin iki ¨ornek a¸sa˘gıda.
¨
Ornekler
7.5. Birinci dereceden sayılabilir olmayan Fr´echet-Urysohn uzayı : S1= N × {1
n : n ∈ N} ve S2= N × {0} olmak ¨uzere R2 Oklid uzayının¨
X = S1S S2
altuzayını ele alalım. S1 ve S2 k¨umeleri ayrıktır. S1k¨umesine X’te olmayan p noktasını ekleyerek
Y = S1S{p} k¨umesini tanımlayalım. q : X −→ Y fonksiyonu
p(x) =
x ;x ∈ S1, p ;x ∈ S2.
olarak tanımlansın. Y k¨umesi ¨uzerine X uzayının p fonksiyonuna g¨ore b¨ol¨um topolojisini koyalım. Bu topolojiyi τ ile g¨osterelim. Y uzayında her x ∈ S1 noktası bir izole nokta ve
τ (p) = {{p}S(Y T U ) : U ⊂ R2
a¸cık ve S2 ⊂ U } olur. Her i, j ∈ N i¸cin
Vi,j= {(i,1k) : k ≥ j} olmak ¨uzere Y ’de p noktasının bir a¸cık k¨umeler tabanı