1. Topoloji Nedir?
3.6 C ¸ arpım Uzayı
Hi¸cbir elemanı bo¸s olmayan (Xi)i∈I k¨umeler ailesinin kartezyen ¸carpımının Q
i∈IXi = {f : f ∈ (S
iXi)I, ∀i, f (i) ∈ Xi}
olarak tanımlandı˘gını hatırlayalım. Bu k¨umenin her elemanına se¸cim fonk-siyonu denir. Kartezyen ¸carpım k¨umesi se¸cim aksiyomu altında bo¸sk¨umeden farklıdır. Ayrıca verilen f se¸cim fonksiyonu, her i ∈ I i¸cin f (i) = ai olmak ¨
uzere, f = (ai) g¨osterimi zaman zaman kullanılır.
((Xi, θi))i∈I topolojik uzayların bir ailesi olsun. (Xi) ailesinin kartezyen ¸
carpım k¨umesi
X =Q
i∈IXi ¨
uzerinde ¸carpım topoloji olarak adlandırılacak bir topoloji tanımlayaca˘gız. ˙Ilk bakı¸sta okurda, X k¨umesi ¨uzerinde tanımlanacak bu topolojinin tabanının
B = {Q
iUi : Ui ∈ θi}
olaca˘gı benklentisi olu¸sabilir (B’nin sonlu arakesit i¸slemi altında kapalı oldu˘gu a¸cıktır). Ancak ¨oyle olmayacak. Di˘ger taraftan kaynakcalarda hatırı sayılır ve tabanı B olan topoloji de vardır. B tarafından ¨uretilen topolojiye bir kutu to-poloji denir. Toto-polojisi kutu toto-polojisi olan (X, θ) toto-polojik uzayına kutu topolojik uzayı (ya da kutu uzayı) denir. Kutu uzayı bazı ters ¨ornek olu¸sumlarında olduk¸ca kullanı¸slı olsa da, en azından birazdan tanımlanacak olan ¸carpım uzayı kadar, topoloji alanında pek ¸calı¸sılan konu de˘gildir. Bu ¸carpım uzayı, X k¨umesinden Xi uzaylarına tanımlı izd¨u¸s¨um fonksiyonlarının hepsini s¨urekli yapan topolojilerin en k¨u¸c¨u˘g¨u olacak. ¨Oncelikle izd¨u¸s¨um fonk-siyonlarını hatırlayalım: j ∈ I olmak ¨uzere
Pj :Q
i∈IXi −→ Xk, Pj(f ) = f (j)
olarak tanımlanan fonksiyona j’ninci izd¨u¸s¨um denir. Herhangi bir j’ninci izd¨u¸sum fonksiyonuna izd¨u¸s¨um fonksiyonu denir.
Tanım 3.9 (Tychonoff [154]). (Xi, τi)i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve X =Q
i∈IXi olsun. X ¨uzerinde
℘ = {Pi: i ∈ I}
fonksiyonlar k¨umesi tarafından ¨uretilen topolojiye ¸carpım topolojisi ya da Tychonoff topolojisi , X topolojik uzayına ¸carpım uzayı denir13.
13
C¸ arpım uzaylarından ilk kez Steinitz’in 1908 tarihli makalesinde bahsedilmi¸stir. Daha soyut olarak, sonlu indeksli k¨ume ¨uzerinde ¸carpım uzayları 1910 yılında Fr´echet tarafından tartı¸sılmı¸stır. C¸ arpım uzayının genel tanımı Tychonoff tarafından [154]’da verilmi¸stir.
3.6. C¸ arpım Uzayı 83
X, ((X, θi))i∈Itopolojik uzaylar ailesinin ¸carpım uzayı olsun. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gu hemen hemen a¸cıktır.
i. Her i ∈ U i¸cin Pi izd¨u¸s¨um¨u s¨ureklidir.
ii. {f−1(Ui) : i ∈ I, Ui∈ θi}, X uzayının bir ¨ontabanıdır. iii. B = {Q
i∈IUi : Ui ∈ θi, {j ∈ I : Uj 6= Xj} sonlu}, X uzayının bir tabanıdır.
A¸sa˘gıdaki sonu¸c beklenen bir sonu¸ctur.
Teorem 3.15. Bir topolojik uzay ailesinin her bir fakt¨or¨u (yani uzay ailesinin elemanı), ailenin ¸carpım uzayının bir altuzayına homeomorfiktir.
Kanıt: X, ((X, θi))i∈I topolojik uzaylarının ¸carpım uzayı olsun. Verilen her j ∈ I i¸cin Xj uzayını, X’in bir altuzayına homeomorfik oldu˘gunu g¨osterece˘giz. j ∈ I verilsin. Her i ∈ I \ {j} i¸cin ai∈ Xi se¸celim.
Y = {(xi) : ∀i, i 6= j, xi = ai}
olarak tanımlansın. Xj uzayının Y altuzayına homeomorfik oldu˘gu a¸cıktır. Teorem 3.16. (Xi)i∈I topolojik uzayların bir ailesi olsun veQ
iXi bu ailenin ¸
carpım uzayı olsun. Her Q
iAi ⊂Q iXi i¸cin Q i∈IAi =Q iAi olur.
Kanıt: En az bir i i¸cin Ai = ∅ olması durumunda e¸sitlik a¸cıktır. Her i i¸cin Ai 6= ∅ oldu˘gunu varsayalım.
x = (xi) ∈Q
i∈IAi
verilsin. U a¸cık bir k¨ume ve x ∈ U verilsin. x ∈T
i∈JPi−1(Ui) ⊂ U
olacak bi¸cimde sonlu J ⊂ I k¨umesi vardır. Burada ge¸cen Ui’ler Xi topolojik uzayında a¸cık ve her i ∈ J i¸cin xi∈ Uiolur. Her i ∈ J i¸cin xi ∈ Aioldu˘gundan yi ∈ A ∩ Ui noktaları se¸cilebilir. Her i ∈ I \ J i¸cin bir yi ∈ Ai noktası se¸cerek sabitleyelim. y = (yi) olmak ¨uzere
y ∈ (T
i∈JPi−1(Ui)) ∩Q
i∈IAi
olmasından dolayı x ∈Q
iAi oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. B¨oylece Q
i∈IAi⊂Q
i∈IAi
x = (xi) ∈Q
iAi
verilsin. j ∈ I i¸cin Uj, Xj topolojik uzayında a¸cık ve xj ∈ Uj olsun. x ∈ Pj−1(Uj) olur. Varsayım gere˘gi
(Pi−1(Uj))T Q
iAi 6= ∅
oldu˘gundan Uj∩ Aj 6= ∅ oldu˘gu a¸cıktır. B¨oylece xj ∈ Ai oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. j ∈ I keyfi oldu˘gundan x ∈ Q
iAi oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. Bu kanıtı
tamamlar.
Teorem 3.17. ((Xi, θi))i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve ∅ 6= J , K ⊂ I k¨umeleri ayrık ve J ∪ K = I olsun. X, ((Xi, θi))i∈I’nın ¸carpım uzayı, Y , ((Xi, θi))i∈J’nin ¸carpım uzayı ve Z, ((Xi, θi))i∈K’nin ¸carpım uzayı olsun. Y ve Z’nin ¸carpım uzayı X uzayına homeomorfikdir.
Kanıt:
X =Q
i∈IXi, Y =Q
i∈JXi ve Z =Q
i∈KXi uzayları ¸carpım uzaylar olsun.
π : X −→ Y × Z, π(f ) −→ (f|J, f|K)
olarak tanımlansın. π’nin birebir, ¨orten ve s¨urekli oldu˘gu a¸cıktır. Ayrıca, π’nin ve tersinin s¨urekli oldu˘gu da a¸cıktır. Bu, kanıtı tamamlar.
C¸ arpım uzay kavramının ¸ce¸sitli genellemeleri vardır. Bunlardan biri Altb¨ol¨um 10.11’de kompakt-a¸cık topoloji terimiyle verilmi¸stir.
Alı¸stırmalar
3.47. (Xi, θi) (i = 1, 2, . . . , n) topolojik uzaylar olsun.
X = X1× X2. . . × Xn= {(x1, . . . , xn) : xi∈ Xi} ve
B = {U1× U2. . . × Un: Ui∈ θi}
olarak tanımlayalım. X, B tarafından ¨uretilen topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.
i. B, X uzayının bir tabanıdır. ii. (X, τ ) topolojik uzayı, Q
i∈{1,2,...,n}Xi ¨uzerinde tanımlı kutu ve ¸carpım uzaylarına homeomorfiktir.
3.48. (Xi)i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve her i ∈ I i¸cin Yi, Xi uzayının altuzayı olsun. Q
iYi carpım uzayının topolojisinin,¸ Q
iXi ¸carpım uzayının topolojisininQ
iYi’ye in-dirgenen topoloji oldu˘gunu g¨osterin.
3.49. (Xi, θi) (i = 1, 2, . . . , n) topolojik uzaylar olsun. (Yukarıdaki problemde oldu˘gu gibi tanımlanan topolojik uzaylar)
3.6. C¸ arpım Uzayı 85
uzaylarının homeomorfik olduklarını g¨osterin.
3.50. (Xi, θi) topolojik uzayların bir ailesi olsun. θ bu ailenin ¸carpım topolojisi ve T kutu topolojisi olsun. θ ⊂ T oldu˘gunu g¨osterin.
3.51. R ¨Oklid uzay olmak ¨uzere X =Q
n∈NR kutu topolojisiyle donatılsın. f : R −→ X, f (x) = (x)
olarak tanımlanan fonksiyonun hi¸cbir noktada s¨urekli olmadı˘gını g¨osterin. Kanıt: f ’nin x0∈ R noktasında s¨urekli oldu˘gunu varsayalım.
U =Q
n(x0−1
n, x0+n1) f (x0) noktasını i¸ceren a¸cık k¨umedir.
f ((x0− , x0+ )) ⊂ U olacak bi¸cimde > 0 vardır. Buradan her n ∈ N i¸cin
x0+2 < x0+n1 elde edilir ki bu ¸celi¸skidir.
3.52. Q
n∈N(−1 n,1
n) k¨umesininQ
n∈NR ¸carpım uzayında a¸cık olmadı˘gını g¨osterin.
3.53. X, (Xi)i∈I topolojik uzayların ¸carpım uzayı olsun. Y bir topolojik uzay ve f : Y −→ X bir fonksiyon olsun. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin.
i. f s¨ureklidir.
ii. Her i ∈ I i¸cin Pi◦ f : Y −→ Xis¨ureklidir.
3.54. X, (Xi)i∈I topolojik uzayların ¸carpım uzayı olsun. Her k = 0, 1, 2 i¸cin a¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin.
i. X bir Tkuzayıdır.
ii. Her i ∈ I i¸cin Xi, Tk uzayıdır.
3.55. X, (Xi)i∈I topolojik uzayların ¸carpım uzayı olsun. Her i ∈ I i¸cin Pi : X −→ Xi
izd¨u¸s¨um¨un¨un a¸cık oldu˘gunu g¨osterin.
Kanıt: i ∈ I verilsin. k ∈ I ve U ⊂ Xka¸cık olsun. i = k i¸cin Pi(Pk−1(U )) = U ve i 6= k i¸cin Pi(Pk−1(U )) = Xi oldu˘gu a¸cıktır. {Pi−1(U ) : i ∈ I, U ⊂ Xi a¸cık } k¨umesinin X’in ¨
ontabanı oldu˘gundan istenilen a¸cıktır.
3.56. X bo¸s olmayan bir k¨ume olmak ¨uzere her f ∈ RX ve > 0 i¸cin [f, ] = {g ∈ RX: supx∈X|f (x) − g(x)| < } olmak ¨uzere
B = {[f, ] : f ∈ RX
, > 0}
k¨umesinin RX k¨umesi ¨uzerindeki kutu topolojisinin alttabanı oldu˘gunu g¨osterin. 3.57. X, (Xi)i∈I topolojik uzayların kutu uzayı olsun ve her i ∈ I i¸cin Ai⊂ Xi verilsin.
Q iAi=Q iAi veQ iAi ◦ =Q iA◦i oldu˘gunu g¨osterin.
3.58. R, ¨Oklid uzay olmak ¨uzere X =Q
n∈NR k¨umesi ¨uzerindeki ¸carpım topolojisini τny, kutu topolojisini τk ve X ¨uzerinde
d(f, g) = supn(min{|f (n) − g(n)|, 1})
metri˘gi (d¨uzg¨un metrik denir) tarafından ¨uretilen topolojiyi τdile g¨osterelim. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.
i. τny⊂ τd⊂ τk.
ii. c00= {(xn) : ∃n∀i ≥ n, xi= 0}, c0= {(xn) : limnxn= 0} olmak ¨uzere a. c00τk= c00(yani, c00kutu topolojisine g¨ore kapalı).
b. c00τd= c0. c. c00τny = X.
3.59. C¸ arpım topolojisi ile kutu topolojisi i¸cin birle¸stirici bir tanım verilebilir. α bir sonsuz kardinal sayı, I sonsuz bir k¨ume ve (Xi)i∈I olmak ¨uzere X =Q
i∈IXik¨umesi ¨uzerinde B = {Q
iUi: ∀i, Ui⊂ Xia¸cık ve |{i ∈ I : Ui6= Xi}| < α}
bir topolojik tabandır. Tabanı B olan uzaya α-¸carpım uzayı diyelim. α-¸carpım uzayının ¸
carpım uzayı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun ℵ0 ≤ α olması gerekti˘gini g¨osterin. Ayrıca X’in kutu uzayı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun |I| + 1-¸carpım uzayı olması gerekti˘gini g¨osterin.
3.60. X = RR¸carpım uzayının birinci dereceden olmadı˘gını g¨osterin. Dahası 0 ∈ X noktasının kapsama sıralamasına g¨ore tamsıralı olan tabanının olmadı˘gını g¨osterin. Kanıt: B = {Ui
: i ∈ N}’in 0 noktasının tabanı oldu˘gunu varsayalım. Her i i¸cin Ui=Q
r∈RWi r, Ri
= {r ∈ R : Wi
r6= R} sonlu oldu˘gunu yazabiliriz. R =S
iRidiyelim. R sayılabilir oldu˘gundan r0∈ R \ R se¸cebiliriz. Ayrıca her i i¸cin Wi
r06⊂ (−1, 1). Buradan her i i¸cin Ui=Q
r∈RWi
s 6⊂ (−1, 1) ×Q
r6=r0R = Pr−1((−1, 1)) = U
olur. Burada, Pr, r’inci projeksiyonu g¨osteriyor. U a¸cık ve sıfır noktasını i¸cerdi˘ginden, ¸
celi¸ski elde edilir. ˙Ikinci kısım i¸cin, f = 0, fn= n1 ∈ X olsun. B’nin f noktasının kap-sama sıralamasına g¨ore tamsıralı tabanı oldu˘gunu varsayalım. Uzayın Hausdorff olmasını kullanarak
Her n i¸cin fn6∈ Un∈ B
olacak bi¸cimde (Un) dizisi bulabiliriz. U ∈ B verilsin. fn−→ f oldu˘gundan her n i¸cin U ⊂ Unolacak bi¸cimde U ∈ B yoktur. Yine U ∈ B verilsin. B tamsıralı oldu˘gundan her Un⊂ U olacak bi¸cimde n vardır. Bu, {Un: n ∈ N}’nin f noktasının sayılabilir kom¸suluk tabanı oldu˘gunu s¨oyler. Bu, birinci kısımla ¸celi¸sir.
3.61. E, sıfırdan farklı vekt¨or uzayı olmak ¨uzere ayrık topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.
i. Toplama i¸slemi, yani E × E −→ E, (x, y) 7→ x + y fonksiyonu s¨ureklidir.
ii. Skalerle ¸carpma i¸slemi, yani R × E −→ E, (λ, x) 7→ λx, fonksiyonu s¨urekli de˘gildir. 3.62. (0, 1) aralı˘gından R’ye tanımlı s¨urekli fonksiyonların vekt¨or uzayı X = C((0, 1)), her
f ∈ X ve r > 0 i¸cin,
B(f, r) = {g ∈ X : supx∈(0,1)|f (x) − g(x)| < r}
olmak ¨uzere, {B(f, r) : f ∈ X, r > 0} k¨umesi tarafından ¨uretilen topolojik uzay ol-sun. X uzayında toplama i¸sleminin s¨urekli, skalerle ¸carpma i¸sleminin s¨ureksiz oldu˘gunu g¨osterin.
3.63. X, boyutu 2’den b¨uy¨uk vekt¨or uzay ve Y , X’in X’ten farklı vek¨or altuzayı olmak ¨uzere, topolojisi τ = {∅, Y \ {0}, X} olan topolojik uzay olsun. X uzayının skalerle ¸carpma i¸sleminin s¨urekli, toplama i¸slemin s¨ureksiz oldu˘gunu g¨osterin.
3.64. X sonsuz ayrık uzay olsun. Y =Q
x∈XX olmak ¨uzere Y veQ
x∈XY uzaylarının ho-meomorfik oldu˘gunu g¨osterin. Benzer bi¸cimde her n ∈ N i¸cin Y ve Yn uzaylarının homeomorfik oldu˘gunu da g¨osterin. Bunun bir sonucu olarak NN ve (NN)N¸carpım uzay-larının homeomorfik oldu˘gunu g¨osterin.
Kanıt . ϕ : X × X −→ X birebir ve ¨orten fonksiyonu vardır. (ϕ(x, X))x∈X k¨umeler ailesinin bile¸simi X olan ayrık k¨umeler oldu˘gunu not edelim. Ayrıca her x ∈ X i¸cin |ϕ(x, X)| = |X| olur. Her x ∈ X i¸cin fx: X −→ X fonksiyonunu fx(y) = ϕ(x, y) olarak tanımlayalım.Q
x∈XX uzayındanQ
x∈X(Q
x∈XX) uzayına tanımlı π(f )(x) = f ◦ fx
3.7. B ¨ol ¨um Uzayı 87
3.65. ( ˙Irrasyonel sayılar uzayı ) x ∈ R i¸cin [x], x’in tam de˘gerini, yani n ≤ x e¸sitsizli˘gini sa˘glayan en b¨uy¨uk tamsayıyı g¨ostersin. x ∈ (0, 1) irrasyonel sayı olsun. Arka arkaya tanımlamalarla, x0= x olmak ¨uzere,
1
xm = nm+1+ xm+1
e¸sitli˘gini ger¸cekleyen (nm) do˘gal sayılar dizisi ve (0, 1)’de (xn) irrasyonel sayılar dizisini tanımlayabiliriz. (Burada, nm+1= [x1 m] alıyoruz.) Bu tanımlamayla x = x0= 1 n1+x1 = 1 n1+ 1 n2+x2 = 1 n1+ 1 n2+ 1 n3+ · · · oldu˘gunu not edelim. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.
i. Yukarıda verien x ∈ (0, 1)’e kar¸sılık getirilen (nm) dizisi tektir. B¨oylece f (x) = (nm) kuralıyla f : (0, 1) ∩ Q0−→ NN fonksiyonu tanımlanabilir.
ii. f , birebir fonksiyondur. iii. N’de (nm) dizisi verilsin.
c1= 1
n1, c2= 1 n1+ 1
n2
, . . . olarak tanımlanan (cn) dizisi i¸cin
0 < c2< c4< . . . < c3< c1< 1
e¸stsizli˘gi sa˘glanır ce ck− ck−1 → 0 olur. Bunun bir sonucu olarak (cn) bir noktaya yakınsar. Bu nokta irrasoyonel sayıdır. B¨oylece f fonksiyonu ¨ortendir.
iv. f fonksiyonu homeomorfizmadır.
3.7 B¨ol¨um Uzayı
Matematikte genel olarak “uzay” kelimesini i¸ceren bir yapı, altuzay, ¸carpım uzayı ve b¨ol¨um uzayı kavramlarıyla anla¸sılır. Aynı durum cebirsel yapılar i¸cinde ge¸cerlidir. Bir topolojik uzayın altuzayı ve ¸carpım uzayı tanımlanmı¸stı. Bu b¨ol¨umde b¨ol¨um uzayı yapısı kısaca tanımlanıp birka¸c uygulaması verilecek. Bir X k¨umesi ¨uzerinde tanımlı ≡ denklik ba˘gıntısına g¨ore x ∈ X ele-manının denklik sınıfını [x] ile, ve denklik sınıfların k¨umesi X/≡ ile g¨osterelim. f : X → Y bir fonksiyon olmak ¨uzere, X ¨uzerine f ’den gelen denklik ba˘gıntısı
x≡(f )y ⇔ f (x) = f (y) olarak tanımlansın.
X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y s¨urekli fonksiyon olsun. f ¨uzerinde yapılacak en az “maliyetle”, f ’yi homeomorfizmaya d¨on¨u¸st¨urmeye ¸calı¸salım.
¨
Oncelikle f ¨orten olmalı. Bu nedenle Y = f (X) alalım. f birebir olmayabilir. Bu nedenle X yerine X/≡(f ) olarak
f : X/≡(f ) → Y , f ([x]) = f (x)
fonksiyonunu tanımlayalım. f birebir ve ¨orten ama X/≡(f ) k¨umesinde hen¨uz “uygun” bir topoloji yok, tanımlamak gerekiyor.
Tanım 3.10. X ve Y iki topolojik uzay ve p : X → Y ¨orten fonksiyonu U ⊂ Y a¸cık ⇔ q−1(U ) a¸cık
¨
onermesini sa˘glıyorsa p’ye b¨ol¨um fonksiyonu denir.
Okurun bir an i¸cin kompkatlık kavramını temel d¨uzeyde bildi˘gini varsa-yalım. Bir kompakt uzaydan bir Hausdorff uzaya tanımlı ¨orten s¨urekli fonksi-yon bir b¨ol¨um fonksiyonudur. Ger¸cekten, X kompakt Hausdorff ve Y Haus-dorff uzay olmak ¨uzere, f : X → Y s¨urekli ve ¨orten fonksiyon olsun. U ⊂ X a¸cık olsun. X \ U kapalı ve X kompakt oldu˘gundan f (X \ U ) kompakt ve Y Hausdorff oldu˘gundan da kapalıdır. f (X \ U ) = Y \ f (U ) olaca˘gından f (U ) a¸cıktır.
Tanım 3.11 (Bear ve Levi [15]). X bir topolojik uzay olmak ¨uzere q : X → A bir fonksiyon olsun. A ¨uzerine p’yi bir b¨ol¨um fonksiyonu yapacak topoloji konulabilir ve tektir. Bu topoloji
τA= {U ⊂ A : q−1(U ) a¸cık} olup, p’den gelen b¨ol¨um topolojisi denir14.
X bir topolojik uzay ve ≡, X ¨uzerinde bir denklik ba˘gıntısı olsun. q : X → X/≡, q(x) = [x]
fonksiyonu ¨ortendir. X/≡ ¨uzerine konan q’dan gelen b¨ol¨um topolojisine X’in ≡ denklik ba˘gıntısına g¨ore b¨ol¨um topolojisi diyelim. Aslında denklik ba˘gıntısına g¨ore kurulan b¨ol¨um uzayı ile ¨orten fonksiyon ¨uzerinden gelen b¨ol¨um uzayı homeomorfik olarak ¸cakı¸sır: f : X → A ¨orten fonksiyon olsun. A ¨uzerine f ’den gelen topolojiyi ve X/≡(f ) ¨uzerine ≡(f ) denklik ba˘gıntısından gelen topolojiyi koyalım.
f : X/≡(f ) → A, f ([x]) = f (x) fonksiyonu bir homeomorfizma olur.
Giri¸ste f fonksyiyonu ¨uzerinde yapılacak ne t¨ur d¨on¨u¸s¨umlerle f ’nin bir homeomorfizmaya evriltilebilece˘gi sorulmu¸stu. Bir yanıt a¸sa˘gıdaki teoremdeki gibi olup kanıt okura bırakılmı¸stır.
Teorem 3.18. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X −→ Y bir ¨orten fonksiyon olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
i. f b¨ol¨um fonksiyonu. 14
B¨ol¨um uzayı ilk kez Moore [1925] ve Alexandroff [1926] tarafında ¸calı¸sılmaya ba¸slanmı¸stır.
3.7. B ¨ol ¨um Uzayı 89
ii. U ⊂ Y k¨umesinin a¸cık olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul f−1(U ) k¨ umesi-nin a¸cık olması.
iii. K ⊂ Y k¨umesinin kapalı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul f−1(K) k¨ ume-sinin kapalı olması.
iv. f : X/≡(f ) −→ Y , f ([x]) = f (x) fonksiyonu bir homeomorfizma. Kompakt uzay kavramı hen¨uz tanımlanmamı¸s olsa da: Bir kompakt Haus-dorff X uzayından bir HausHaus-dorff Y uzayına tanımlı s¨urekli ve ¨orten f fonksi-yonu bir b¨ol¨um fonksiyonu olaca˘gından yukarıdaki teorem gere˘gi,b¨ol¨um uzayı X/≡(f ) ve Y uzayı homeomorfik olur.
Altb¨ol¨um 1.3’in sonunda yapılan bir uyarıda hata vurgusu yapılmı¸stı. O hata a¸sa˘gıda yapılan anlamda giderilir. Ornekler¨
3.2. X = [0, 2π], R ¨Oklid uzayının bir altuzayı ve
S1= {(x, y) : x2+ y2= 1} k¨umesini R × R ¸carpım uzayının altuzayı olarak ele alalım.
f : [0, 2π) −→ S1, f (x) = (cosx, sinx)
fonksiyonu birebir, ¨orten ve s¨urekli olmasına kar¸sın tersi f−1 s¨urekli de˘gildir. Buna kar¸sın
g : [0, 2π] −→ S1, g(x) = (cosx, sinx) olarak tanımlanan fonksiyon bir b¨ol¨um fonksiyonudur. Ayrıca
x ≡ y ⇔ g(x) = g(y) ⇔ 0 < x = y < 2π ya da x, y ∈ {0, 2π} denklik ba˘gıntısına ve X/≡ b¨ol¨um uzayına g¨ore
g : X/≡ −→ S1, g([x]) = (cosx, sinx)
bir homeomorfizmadır. Yani X/≡ ve S1uzayları homeomorfik uzaylardır.
3.3. [0, 2π], R ¨Oklid uzayının altuzayı olmak ¨uzere X = [0, 2π] × [0, 2π] ¸carpım uzayından S1× [0, 2π] uzayına
f ((x, y)) = ((cosx, sinx), y)
e¸sitli˘giyle tanımlanan f fonksiyonu bir b¨ol¨um fonksiyonudur. f tarafından ¨uretilen denk-lik ba˘gıntısı ≡’ye g¨ore b¨ol¨um uzayı X/≡’den S1× [0, 2π] uzayına
f ([(x, y)]) = f (x, y)
e¸sitli˘giyle tanımlanan fonksiyon bir homeomorfizmadır. Yani X/≡ ve S1×[0, 2π] uzayları homeomorfiktir.
3.4. f : X = [0, 2π] × [0, 2π] −→ S1× S1
fonksiyonu
f ((x, y), (a, b)) = ((cosx, sinx), (cosa, sina))
e¸sitli˘gi ile tanımlansın. f ’nin bir b¨ol¨um fonksiyonu oldu˘gu a¸cıktır. Bu fonksiyon ta-rafından [0, 2π]×[0, 2π] ¨uzerinde ¨uretilen denklik ba˘gıntısı ≡ olmak ¨uzere X/≡ ve S1×S1
uzayları homeomorfiktir. S1× S1
uzayına Torus denir. Alı¸stırmalar
3.66. X ve Z iki topolojik uzay ve f : X −→ Y ¨orten fonksiyon olsun. θY, Y ¨uzerinde f -topoloji olsun. Verilen bir g : Y −→ Z fonksiyonu i¸cin a¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. g s¨ureklidir.
ii. g ◦ f s¨ureklidir.
3.67. X bir topolojik uzay ve Y = X × X ¸carpım uzayı olsun. Y ¨uzerinde tanımlanan denklik ba˘gıntısı
(x, y)≡(a, b) ⇔ y = b
olmak ¨uzere b¨ol¨um uzayı Y /≡ ve X’in homeomorfik oldu˘gunu g¨osterin.
3.68. f : [0, 2π] −→ S1, f (x) = (cosx, sinx) olarak tanımlanan fonksiyonun s¨urekli, ¨orten ve kapalı olmasına kar¸sın a¸cık olmadı˘gını g¨osterin.
3.69. P : R2 −→ R, P ((x, y)) = x olarak tanımlanan fonksiyonun ¨orten, s¨urekli ve a¸cık olmasına kar¸sın kapalı olmadı˘gını g¨osterin.
3.70. f : X −→ Y bir b¨ol¨um fonksiyonu olsun. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. f a¸cıktır.
ii. Her a¸cık U ⊂ X i¸cin f−1(f (U )) a¸cıktır.
3.71. X bir topolojik uzay ve ≡, X ¨uzerinde denklik ba˘gıntısı olsun. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin.
i. U , X/≡ b¨ol¨um uzayında a¸cıktır. ii.S{[x] : [x] ∈ U }, X’te a¸cıktır.
3.72. X bir topolojik uzay, ≡, X ¨uzerinde denklik ba˘gıntısı olmak ¨uzere q : X −→ X/≡, q(x) = [x]
olarak tanımlansın. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. q kapalıdır.
ii. A ⊂ X kapalı iseS{[x] : [x] ∩ A 6= ∅} kapalıdır. iii. A ⊂ X a¸cık iseS{[x] : [x] ⊂ A} a¸cıktır.
Problemde ge¸cen kapalılık ifadesi a¸cık olma ile de˘gi¸stirilirse problem yine ge¸cerlidir. Kanıt: (i ⇒ ii).
S{[x] : [x] ∩ A 6= ∅} = X \ q−1
(Y \ q(A)) olmasından istenilen elde edilir.
(ii ⇒ iii). A¸cıktır.
3.73. f : X −→ Y ve g : Y −→ Z iki b¨ol¨um fonksiyonu ise g ◦ f ’nin b¨ol¨um fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin.
3.74. f : X −→ Y ve g : Y −→ Z, g ◦ f b¨ol¨um fonksiyonu olacak bi¸cimde iki s¨urekli fonksiyon ise g’nin b¨ol¨um fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterin.
3.75. X bir topolojik uzay ve D, elemanları bo¸s k¨umeden farklı, ayrık ve bile¸simleri X olan ℘(X)’in bir altk¨umesi olsun. Her x ∈ X i¸cin x ∈ D(x) olan sadece bir tane D(x) ∈ D vardır.
f : X −→ D, f (x) = Dx
olarak tanımlanan fonksiyon, ¨orten fonksiyondur. D ¨uzerindeki f -b¨ol¨um topolojini θf
ile g¨osterelim. F ⊂ D verilsin. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. F ∈ θf.
ii.S
U ∈FU , X’te a¸cıktır.
D’ye X’te bir ayrı¸sım, D ¨uzerinde tanımlanan f -b¨ol¨um topolojisine ayrı¸sım uzayı ve f ’ye ayrı¸sım fonksiyonu denir.
3.7. B ¨ol ¨um Uzayı 91
3.76. (X, θ) bir topolojik uzay, D ⊂ ℘(X), X’in bir ayrı¸sımı ve P : X −→ D, x ∈ P (x) olacak bi¸cimde ¨orten fonksiyon olsun. θD, D ¨uzerinde P -b¨ol¨um topolojisi olsun. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin.
i. P kapalıdır.
ii. F ∈ D, U ∈ θX ve F ⊂ U ise F ⊂ P−1(W ) ⊂ U olacak bi¸cimde W ∈ θD vardır. Kanıt: (i) =⇒ (ii) P (X \ U ) kapalıdır.
W = D \ P (X \ U ) ∈ θDve F ⊂ P−1(W ) ⊂ U olur.
(i) ⇒ (ii) K ⊂ X kapalı olsun. D \ P (K)’nın a¸cık oldu˘gunu g¨osterece˘giz. F ∈ D \ P (K) verilsin. D’nin elemanlarının ayrık olması ve her x ∈ X i¸cin x ∈ P (x) olmasından dolayı F ⊂ X \ K’dır. Varsayımdan dolayı,
F ⊂ P−1(W ) ⊂ X \ K ifadesini sa˘glayan W ⊂ D a¸cık k¨umesi vardır. Ayrıca
P (P−1(W )) = W.
(Ger¸cekten P (P−1(W )) ⊂ W oldu˘gu a¸cıktır. U ∈ W verilsin. P ¨orten oldu˘gundan P (x) = U olacak bi¸cimde x ∈ X alabiliriz. x ∈ P (x) = U ∈ W oldu˘gundan x ∈ P−1(W ). Dolayısıyla U = P (x) ∈ P (P−1(W )) oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.) x ∈ F verilsin.
F = P (x) ∈ P (P−1(W )) ⊂ P (X \ K) ⊂ D \ P (K). Bu kanıtı tamamlar.
3.77. (X, θX) ve (Y, θY) iki topolojik uzay ve f : X −→ Y b¨ol¨um fonksiyonu olsun. D = {f−1
(y) : y ∈ Y } k¨umesi ¨uzerine
P : X −→ D, P (x) = f−1(f (x))
olmak ¨uzere P -b¨ol¨um topolojisini θDkoyalım. A¸sa˘gıdakilerin denk oldu˘gunu g¨osterin. i. f kapalıdır.
ii. F ∈ D, U ∈ θX ve F ⊂ U ise F ⊂ P−1(W ) ⊂ U ifadesini sa˘glayan W ∈ θD vardır. 3.78. X bir topolojik uzay olsun.
x≡y ⇔{x} = {y}
olarak tanımlanan denklik ba˘gıntısına g¨ore tanımlanan X/≡ b¨ol¨um uzayının T0oldu˘gunu g¨osterin.
3.79. X bir topolojik uzay ve X/≡, X’in bir b¨ol¨um uzayı olsun. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin.
i. X/≡ T1uzaydır.
ii. Her x ∈ X i¸cin [x] ⊂ X kapalıdır.
3.80. (Xi)i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve her i ∈ I i¸cin ≡i, Xi¨uzerinde denklik ba˘gıntısı olsun ve [x]i, x ∈ Xi’nin denklik sınıfını g¨ostersin. Xi’lerin ¸carpım uzayı X = Q
iXi
¨ uzerinde
f ≡ g ⇔ ∀i, f (i)≡ig(i) ba˘gıntısını tanımlayalım. A¸sa˘gıdakileri kanıtlayın. i. ≡ bir denklik ba˘gıntısıdır.
ii. Her i ∈ I i¸cin
qi: Xi−→ Xi/≡i, qi(x) = [x]i
d¨on¨u¸s¨um¨u a¸cık olsun.Q
iXi/≡ veQ