Bir topolojik uzayın hem a¸cık hem de kapalı olan altk¨umesine, a¸cık-kapalı k¨ume denir. Bir k¨ume ¨uzerinde tanımlanan topolojiye g¨ore bo¸sk¨ume ve k¨ ume-nin kendisi a¸cık-kapalı k¨umelerdir. Ayrık uzayda her altk¨ume hem a¸cık hem de kapalıdır. Buna kar¸sın temel topolojik uzay ¨orneklerimizden olan R ¨Oklid uzayında a¸cık-kapalı k¨umeler sadece ve sadece bo¸sk¨ume ve R dir. Bir to-polojik uzayın a¸cık-kapalı k¨umeleri sadece ve sadece bo¸sk¨ume ve topoloji-nin tanımlandı˘gı k¨umenin kendisiyse bu uzaya ba˘glantılı uzay denilecektir. Ba˘glantılı olmayan uzaya kopuk uzay denir.
Bir topolojik uzayın ba˘glantılı olup olmadı˘gı s¨urekli fonksiyonlar terimiyle karakterize edilebilir. Bunun sonucunda R ¨Oklid uzayının altk¨umelerinin ba˘ g-lantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun bir aralık olması gerekti˘gi kanıt-lanabilecektir. Aslında daha fazlası sıra topolojik uzaylar i¸cin kanıtlanacaktır. R Oklid uzayından bir nokta atılarak elde edilen altuzayın kopuk uzay ol-¨ masına kar¸sın bu durum R2 Oklid uzayında ge¸¨ cerli de˘gildir. Bunun bir sonucu olarak R ve R2 uzaylarının homeomorfik olmadı˘gı sonucuna varılabilecektir.
5.1 Ba˘glantılılık
A¸sa˘gıdaki tanımla ba¸slayalım.
Tanım 5.1 (Hausdorff [70], Riesz [132], Lennes [102]). A¸cık-kapalı k¨umeleri sadece ve sadece bo¸sk¨ume ve topolojinin tanımlandı˘gı k¨ume olan topolojiye ba˘glantılı topoloji denir1. Ba˘glantılı olmayan topolojiye kopuk topoloji de-nir2 3.
Topolojisi ba˘glantılı uzaya ba˘glantılı uzay denir. Benzer bi¸cimde topolo-jisi kopuk olan topolojik uzaya da kopuk uzay denir.
A¸sa˘gıdaki ¨ornek okura ¸simdilik alı¸stırma olarak bırakılmı¸stır. Bunların do˘grulu˘gu ilerleyen b¨ol¨umlerde g¨osterilecektir.
1˙Ingilizcesi:connected space.
2
Bu tanım ilk olarak 1893 tarihinde d¨uzlemin kompakt altuzayları i¸cin Jordan tarafından verilmi¸stir.
¨
Ornekler
5.1. R ¨Oklid uzayı ba˘glantılıdır.
5.2. R ¨Oklid uzayında bo¸sk¨umeden ve X’ten farklı ayrık A ve B altk¨umeleri verilsin. X’in Y altuzayı Y = A ∪ B kopuk uzaydır.
5.3. Sonsuz bir X k¨umesi ¨uzerinde t¨umleyeni sonlu k¨umelerden olu¸san topoloji kopuktur.
A¸sa˘gıdaki teorem beklenen sonu¸clardandır.
Teorem 5.1. Ba˘glantılı uzayın s¨urekli fonksiyon altındaki g¨or¨unt¨u k¨umesi ba˘glantılıdır.
Kanıt: X ve Y iki topolojik uzay, X ba˘glantılı ve f : X −→ Y s¨urekli fonksiyon olsun. Z = f (X) uzayının ba˘glantılı olmadı˘gını varsayalım, yani kopuk olsun. Z’nin U ve V ’ler Y ’de a¸cık olmak ¨uzere
A = Z ∩ U 6= ∅ ve Z \ A = Z ∩ V 6= ∅
e¸sitliklerini sa˘glayan A ⊂ Z vardır. f−1(U ) ve f−1(V ) k¨umeleri ayrık ve a¸cık olmasının yanında bile¸simleri X olur. X ba˘glantılı uzay oldu˘gundan
f−1(U ) = ∅ ya da f−1(V ) = ∅
olur. Buradan da A = ∅ ya da Z \ A = ∅ olur. Bu ¸celi¸skidir ve b¨oylece kanıt
tamamlanır.
A¸sa˘gıdaki teorem olduk¸ca kullanı¸slıdır. Teoremde yer alan {0, 1}, ayrık topolojiyle donaltılmı¸s topolojik uzayı g¨ostermektedir.
Teorem 5.2. Bir topolojik uzayın ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul uzaydan, {0, 1} ayrık uzaya tanımlı s¨urekli her fonksiyonun sabit olmasıdır. Kanıt: X topolojik uzayı ba˘glantılı ve f : X −→ {0, 1} s¨urekli fonksiyon ol-sun. f ’nin sabit olmadı˘gını varsayalım. Bu durumda f−1({0}), X’in bo¸sk¨ ume-den ve X’ten farklı a¸cık-kapalı altuzayıdır. Bu X’in ba˘glantı olmasıyla ¸celi¸sir. S¸imdi X topolojik uzayından {0, 1} uzayına tanımlı s¨urekli her fonksiyonun sabit olmasına kar¸sın X’in ba˘glantılı olmadı˘gını varsayalım. Yani kopuk ol-sun. X’in bo¸sk¨umeden ve kendisinden farklı a¸cık-kapalı U ⊂ X k¨umesi vardır. Bu durumda χU fonksiyonu sabit olmayan s¨urekli bir fonksiyondur ve bu
var-sayımla ¸celi¸sir. Kanıt tamamlanır.
Teorem 5.3. Bir topolojik uzayın ba˘glantılı altuzayının kapanı¸sı da ba˘glantılıdır. Kanıt: X topolojik uzay ve A, X’in ba˘glantılı altuzayı olmak ¨uzere f : A −→ {0, 1} s¨urekli fonksiyonu verilsin. A ba˘glantılı oldu˘gundan f|A sabit fonksiyon-dur. f ’nin s¨ureklili˘ginden dolayı f sabittir. Teorem 5.2 gere˘gi A ba˘glantılıdır.
5.1. Ba ˘glantılılık 141
Teorem 5.4. Bir topolojik uzayın ba˘glantılı olan altuzaylar ailesinin arakesiti bo¸sk¨ume de˘gilse bu ailenin bile¸simi ba˘glantılıdır.
Kanıt: X ba˘glantılı uzay, her i ∈ I i¸cin Xi, X’in ba˘glantılı altuzay olmak ¨
uzere T
iXi 6= ∅ olsun. f : Y −→ {0, 1} s¨urekli fonksiyon olsun. a ∈ T
iXi
se¸celim. Her i i¸cin f|Xi : Xi−→ {0, 1} s¨urekli ve Xi ba˘glantılı oldu˘gundan her x ∈ Xi i¸cin
f (x) = f|Xi(x) = f|Xi(a) = f (a) olur. Y =S
iXi olmasından da her x ∈ Y i¸cin f (x) = f (a) olur. Yani f sabit-tir. Yukarıdaki teorem gere˘gi Y ba˘glantılıdır.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu olarak a¸sa˘gıdaki teorem elde edilir. Teorem 5.5. X bir topolojik uzay, a ∈ A ⊂ X verilsin. a noktasını i¸ceren ve A tarafından kapsanan b¨ut¨un ba˘glantılı altuzayları kapsayan ve
a ∈ Ca,A⊂ A ifadesını sa˘glayan ba˘glantılı altuzay Ca,A vardır. Kanıt: B k¨umesi a¸sa˘gıdaki gibi tanımlansın.
B = {Y ⊂ X : Y ba˘glantılı ve Y ⊂ A}.
{a} ∈ B oldu˘gundan B bo¸sk¨umeden farklıdır. Ayrıca B k¨umesinin arakesiti de bo¸sk¨umeden farklıdır. Teorem 5.4’ten
Ca,A=S B
olur. Kanıt tamamlanır.
X topolojik uzayında yukarı teoremde ge¸cen Ca,A k¨umesine, a’nın A’ya g¨ore ba˘glantılı birle¸seni denir. Bir yanlı¸s anlama durumu olu¸smadı˘gı s¨urece Ca,X yerine kısaca Ca yazarız. X topolojik uzayında her a ∈ X i¸cin Ca = {a} olabilir. Bu t¨ur uzaylara t¨umden kopuk uzay denir. Rasyonel sayılar uzayı t¨umden kopuk uzaya bir ¨ornektir.
Teorem 5.6. Bir topolojik uzayın bir altk¨umesinin farklı iki noktasının bu k¨umeye g¨ore ba˘glantılı bile¸senleri ayrık ya da birbirlerine e¸sittir.
Kanıt: X topolojik uzay ve A ⊂ X olmak ¨uzere a,b ∈ A ve a 6= b verilsin. Ca,Ave Ca,Ak¨umelerinin ayrık olmadıklarını varsayalım. Yukarıdaki teoremin sonucu olarak Ca,A∪ Cb,A k¨umesinin ba˘glantılı oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
Ca,A, Cb,A ⊂ Ca,A∪ Cb,A oldu˘gundan
Ca,A = Ca,A∪ Cb,A ve Cb,A = Ca,A∪ Cb,A
olur ve Ca,A= Cb,A sonucu elde edilir.
Sonu¸c 5.7. Bir topolojik uzayın her noktasının ba˘glantı bileseni¸ (uzaya g¨ore) kapalıdır.
Kanıt: X topolojik uzay olsun. a ∈ X verilsin. Cak¨umesinin kapalı oldu˘gunu g¨osterece˘giz. Ca ba˘glantılı oldu˘gundan, Teorem 5.3 gere˘gi Ca, X’in ba˘glantılı altuzayıdır. Yine Teorem 5.5 gere˘gi, Ca, a’yı i¸ceren ba˘glantılı her altuzayı kapsayaca˘gından Ca= Ca oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Yani Ca kapalıdır. Tanım 5.2. Bir topolojik uzayın ba˘glantılı bir altuzayı kendisinden ba¸ska ba˘glantılı altuzay tarafından kapsanmıyorsa o altuzaya maksimal ba˘glantılı altuzay denir.
A¸sa˘gıdaki iki teoremin kanıtı kolaydır ve okura bırakılmı¸stır.
Teorem 5.8. Bir topolojik uzayın maksimal ba˘glantılı altuzayı Ca formun-dadır ve kapalıdır.
Teorem 5.9. Her topolojik uzay, ayrık maksimal ba˘glantılı altuzayların birle¸si-mine e¸sittir.
Alı¸stırmalar
5.1. X bir topolojik uzay olsun. E˘ger C, X’in ba˘glantılı bir altk¨umesi ve A ⊂ C ⊂ A oluyorsa A’nın ba˘glantılı oldu˘gunu g¨osterin.
5.2. X ba˘glantılı uzaysa her a ∈ X i¸cin Ca= X oldu˘gunu g¨osterin. 5.3. Ba˘glantılı uzayın b¨ol¨um uzayının ba˘glantılı oldu˘gunu g¨osterin.
5.4. Rasyonel sayılar uzayı Q’nın t¨umden kopuk oldu˘gunu g¨osterin. Yani Q uzayında her q ∈ Q i¸cin Cq= {q} oldu˘gunu g¨osterin.
5.5. X bir topolojik uzay olmak ¨uzere, X’in
H ∩ K = H ∩ K = ∅
ko¸sullarını sa˘glayan H ve K k¨umelerine X’te kar¸sılıklı ayrı¸sık k¨umeler denir4. E ⊂ X i¸cin a¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin.
i. E ba˘glantılıdır.
ii. Bo¸sk¨umeden farklı, X’te kar¸sılıklı ayrı¸sık ve E = H ∪ K olacak bi¸cimde H, K ⊂ E k¨umeleri yok.
5.6. X bir topolojik uzay ve Y , X’in altuzayı olsun. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. Y ba˘glantılıdır.
ii. H ve K, X’te kar¸sılıklı ayrı¸sabilir k¨umeler ve Y = H ∪ K ise H = ∅ ya da K = ∅ olur.
5.2. Sıra Topolojik Uzayda Ba ˘glantılılık 143
5.2 Sıra Topolojik Uzayda Ba˘glantılılık
ROklid uzayı ba˘¨ glantılı mıdır? Bu uzayın ne t¨ur altuzayları ba˘glantılıdır? Bu soruların yanıtı a¸sa˘gıdaki teoremin bir sonucu olarak verilebilir. Ancak okurun bu teoremi ¨oncelikle R i¸cin kanıtlaması ¨onerilir.
Kısmi sıralı bir X k¨umesinin altk¨umesi A ⊂ X, her a, b ∈ A i¸cin [a, b] ⊂ A ko¸sulunu sa˘glıyorsa A’ya konveks k¨ume denir. A¸sa˘gıdaki teoremi vermeden ¨
once bir ¨onsava ihtiyacımız var. ¨
Onsav 5.10. A bir sıra uzayı olsun. Her a, b ∈ A, a < b i¸cin a < x < b olacak bi¸cimde x ∈ A varsa her a < b i¸cin [a, b] altuzayının izole noktası yoktur5. Kanıt: Varsayalım ki x ∈ [a, b] bir izole nokta. a < x < b olma durumunda x ∈ (u, v) ⊂ {x} olacak bi¸cimde u, v ∈ [a, b] vardır. Varsayım gere˘gi u < y < x bi¸ciminde y ∈ A’da vardır ki bu ¸celi¸skidir. Aynı bi¸cimde a ve b noktalarının da izole nokta olamayaca˘gı kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. Teorem 5.11. X bir sıra uzay olsun. X’in ba˘glantılı altuzayları konvekstir. Ayrıca, X Dedekind tam ve her a, b ∈ X, a < b i¸cin a < x < b e¸sitsizli˘gini sa˘glayan x ∈ X varsa her konveks k¨ume ba˘glantılıdır.
Kanıt: A ⊂ X k¨umesi ba˘glantılı olsun. A’nın konveks olmadı˘gını varsayalım. Bu durumda
a,b ∈ A ve a ≤ x ≤ y
olacak bi¸cimde x 6∈ A vardır. (−∞, x) ∩ A ve (x, ∞) ∩ A k¨umeleri A’da a¸cık, bo¸sk¨umeden ve A’dan farklı ve bile¸simleri A olur. Bu A’nın ba˘glantılı olmasıyla ¸celi¸sir. Dolayısıyla A konveks k¨umedir.
S¸imdi X Dedekind tam ve her a, b ∈ X, a < b i¸cin a < x < b e¸sitsizli˘gini sa˘glayan x ∈ X olsun. A ⊂ X konveks olsun. A tek elemanlı ise istenen a¸cıktır. A, tek elemanlı olmasın. A’nın ba˘glantılı olmadı˘gını varsayalım. Teorem 5.2 gere˘gi sabit olmayan s¨urekli f : A −→ {0, 1} fonksiyonu vardır. Dolayısıyla
f (a) = 0 ve f (b) = 1
e¸sitliklerini sa˘glayan a, b ∈ A vardır. a < b oldu˘gunu varsayabiliriz. C = {c ∈ [a, b) : f ([a, c]) ⊂ {0}}
diyelim. a ∈ C oldu˘gu a¸cıktır. X Dedekind tam ve C ¨ustten sınırlı oldu˘gundan c = sup C vardır.
i. a < c olur: Olmadı˘gını varsayalım. Bu durumda a ≤ c oldu˘gundan a = c olur. c ∈ f−1(0) ∩ [a, b], [a, b] altuzayında a¸cık oldu˘gundan ve [a, b] altuzayının
¨
Onsav 5.10 gere˘gi, izole noktasının olmamasından, 5
[c, x) ⊂ f−1(0) ∩ [a, b]
olacak bi¸cimde c < x ≤ b vardır. Buradan x ∈ C olur ve buradan da x ≤ c ¸celi¸skisi elde edilir.
ii. f (c) = 0: Tersine f (c) = 1 oldu˘gunu varsayalım. (i)’deki aynı nedenler-den dolayı
f ((x, c]) ⊂ {1}, a < x < c
olacak bi¸cimde x vardır. Buradan x, C’nin bir ¨ust sınırı olmu¸s olur ki bu c = sup C olmasıyla ¸celi¸sir.
iii. a < c < b: a¸cıktır.
iv. f ([a, y]) ⊂ {0} ve a < x < c < y < b kapsama ve e¸sitsizlikleri sa˘glayan x ve y elemanları vardır: Bu da a¸cıktır (Neden?).
Buradan da y ∈ C olması elde edilir ama bu c = sup C olmasıyla ¸celi¸sir. B¨oylece f ’nin sabit olmaması ¸celi¸ski yaratmı¸s olur. Teorem 5.2 gere˘gi kanıt
tamamlanır.
Teorem 5.12. X bir sıra uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir. i. X ba˘glantılıdır.
ii. X Dedekind tam ve her a, b ∈ X ve a < b i¸cin a < x < b olacak bi¸cimde x ∈ X vardır.
Kanıt: (i ⇒ ii). ¨Oncelikle a¸sa˘gıdaki iki g¨ozlemle X’in Dedekind tam oldu˘gunu g¨osterelim.
- S ⊂ X bo¸sk¨umeden farklı ¨ustten sınırlıysa S’nin supremumu vardır: Ol-madı˘gını varsayalım. U , S’nin ¨ust sınırlarının k¨umesi olsun. x ∈ U verilsin. x, S nin supremumu olmadı˘gından x 6≤ y olacak bi¸cimde y ∈ U vardır. Yani y ∈ U ve y < x dir. x ∈ (y, ∞) ⊂ U olaca˘gından U a¸cıktır. S¸imdi X \ U k¨umesinin a¸cık oldu˘gunu g¨osterelim. x ∈ X \ U verilsin. x, S’nin bir ¨ust sınırı de˘gildir. O halde x < y olacak bi¸cimde y ∈ S vardır.
x ∈ (−∞, y) ⊂ X \ U
olur. B¨oylece X \U a¸cıktır. U ve X \U k¨umelerinin bo¸sk¨umeden farklı oldukları a¸cıktır. Bu, X’in ba˘glantılı olmasıyla ¸celi¸sir.
- S ⊂ X bo¸sk¨umeden farklı alttan sınırlıysa S’nin infimumu vardır: Yu-karıdaki gibi g¨osterilir.
B¨oylece X’in Dedekind tam oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
S¸imdi a, b ∈ X verilsin ve a < b olsun. (a, b) = ∅ oldu˘gunu varsayalım. Bu durumda (−∞, b) ve (a, ∞) k¨umeleri bo¸sk¨umeden farklı, a¸cık ve bile¸simleri X olur. Bu X’in ba˘glantılı olmasıyla ¸celi¸sir.
(ii ⇒ i). X’in kendisi konveks oldu˘gundan istenilen Teorem 5.10’un bir
5.2. Sıra Topolojik Uzayda Ba ˘glantılılık 145
X = Q sıra topolojik uzay fakat Dedekind tam olmadı˘gından ba˘glantılı de˘gildir. Ayrıca her r ∈ Q, Cr = {r} olur. Ger¸cekten di˘ger durumda Cr bir konveks k¨ume oldu˘gundan x, y ∈ Q i¸cin x < q < y e¸sitsizli˘gini sa˘glayan q irrasyonel sayısı var olaca˘gından ve
Cr= ((−∞, q) ∩ Cr)S((q, ∞) ∩ Cr) yazılabilece˘ginden ¸celi¸ski elde edilir.
Yukarıdaki teoremin direkt sonu¸clarından biri a¸sa˘gıdadır.
Sonu¸c 5.13. R ba˘glantılı uzaydır. ¨Ustelik A ⊂ R altuzayının ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul bir aralık olmasıdır.
Klasik anlamda Ara De˘ger Teoremi olarak bilinen teorem a¸sa˘gıdaki gibi genellenebilir.
Teorem 5.14. X ve Y iki sıra uzay olsun. X Dedekind tam ve her x,y ∈ X i¸cin x < t < y ¨ozelli˘ginde t ∈ X olsun. f : X −→ Y s¨urekli fonksiyon olsun. a, b ∈ X olmak ¨uzere f , f (a) ve f (b) arasındaki b¨ut¨un de˘gerleri alır. Yani
[min{f (a), f (b)}, max{f (a), f (b)}] ⊂ f ([min{a, b}, max{a, b}]) olur.
Kanıt: a ≤ b oldu˘gunu varsayalım. [a, b] ba˘glantılı oldu˘gundan f ([a, b]) ba˘glantılı ve dolayıyla konvekstir. z ∈ Y , f (a) ve f (b) arasında olsun. f (a), f (b) ∈ f ([a, b]) ve f ([a, b]) konveks oldu˘gundan z ∈ f ([a, b]) olur.
Temel uzay ¨orneklerimizden biri n-boyutlu ¨Oklid uzayıdır. Bu uzayın ba˘ glantılı-lı˘gı ile s¨oyleyebilece˘gimiz ¸sudur:
Teorem 5.15. n-boyutlu X = Rn Oklid uzayı ba˘¨ glantılıdır. Kanıt: Bu uzayın metri˘gi
d(x, y) = Pn
i=1|xi− yi|21 2
olarak tanımlanmı¸stı. x ∈ Rn i¸cin
fx: [0, 1] −→ Rn, fx(t) = tx
olarak tanımlansın. fxs¨urekli fonksiyondur. [0, 1] ba˘glantılı oldu˘gundan fx([0, 1]), X uzayında ba˘glantılıdır. Ayrıca her x ∈ X i¸cin 0 ∈ fx([0, 1]) oldu˘gundan S
x∈Xfx([0, 1]) ba˘glantılıdır. Di˘ger taraftan X =S
olmasından dolayı X ba˘glantılıdır.
Alı¸stırmalar
5.7. R ¨Oklid uzayının altuzayları Q ve Q0 altk¨umelerinin ba˘glantılı olmadıklarını g¨osterin. 5.8. R ¨Oklid uzayı i¸cin a¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osteriniz.
i. Bo¸sk¨umeden farklı her a¸cık k¨ume iki¸ser iki¸ser ayrık olan sayılabilir tane a¸cık aralıkların bile¸simi olarak yazılabilir.
ii. τ , R’nin topolojisi olmak ¨uzere |τ | = c.
5.9. C ⊂ R bo¸sk¨umeden farklı kapalı bir k¨umeyse s¨urekli her fonksiyon f : C −→ R nin, R’ye s¨urekli geni¸slemesinin oldu˘gunu g¨osterin.
5.10. f : [0, 1] −→ [0, 1] s¨urekli fonksiyon olsun. f ’nin sabit noktasının oldu˘gunu ba˘glantılılık terimiyle g¨osterin.
5.3 Ba˘glantılı Uzayların C¸ arpım Uzayı
Temel sorulardan biri ba˘glantı ¨ozelli˘ginin ¸carpım uzayına nasıl ge¸cti˘gidir? M¨ujde: yanıt olumludur. Yani ba˘glantılı uzayların ¸carpım uzayı ba˘glantılıdır. Bunu g¨osterebilmek i¸cin ¨once a¸sa˘gıdaki ¨onsava ihtiyacımız var.
¨
Onsav 5.16 (van Dantzig [159]). ˙Iki ba˘glantılı uzayın ¸carpım uzayı ba˘glantılıdır. Kanıt: X ve Y ba˘glantılı uzay olsun. a ∈ X ve b ∈ Y verilsin. {a} × Y altuzayı Y uzayına homeomorfik oldu˘gundan ba˘glantılıdır. Benzer bi¸cimde X × {b} altuzayı ba˘glantılıdır. Her x ∈ X i¸cin
Tx= (X × {b})S({a} × Y ) olmak ¨uzere
(a, b) ∈T
x∈XTx oldu˘gundan Teorem 5.4 sonucu
S
x∈XTx= X × Y
ba˘glantılıdır.
Yukarıdaki ¨onsav sonucu, sonlu tane ba˘glantılı uzayın ¸carpım uzayı ba˘ glan-tılıdır. Aslında ¸cok daha geneli de do˘grudur.
Teorem 5.17. Topolojik uzayların ¸carpım uzayının ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her fakt¨or¨un ba˘glantılı olmasıdır.
Kanıt: X, (Xi) topolojik uzayların ¸carpım uzayı olsun. Her i i¸cin Xiuzayının ba˘glantılı oldu˘gunu varsayalım. c = (ci) ∈ X verilsin. I’nın sonlu altk¨ umeleri-nin k¨umesini J ile g¨osterelim. Her J ∈ J i¸cin
5.4. Yol Ba ˘glantılılık 147
XJ =Q
i∈JXi
olmak ¨uzere XJ ¸carpım uzayı ba˘glantılıdır. X uzayının altuzayı YJ = {f ∈ X : her i 6∈ J i¸cin f (i) = ci}, XJ uzayına homeomorfik oldu˘gundan YJ uzayı da ba˘glantılıdır.
c ∈T
J ∈J YJ 6= ∅ oldu˘gundan
Y =S
J ∈J YJ
uzayı ba˘glantılıdır. Dolayısıyla Y uzayı ba˘glantılıdır. Y = X oldu˘gunu g¨ oster-mek kanıtı tamamlayacaktır. f ∈ X verilsin. J ∈ J i¸cin
f ∈T
i∈JPi−1(Ui)
(Ui, Xi’de a¸cık) olsun. g ∈ X, i 6∈ J i¸cin g(i) = ci ve di˘ger durumlar i¸cin g(i) = f (i) olarak tanımlansın.
g ∈ (T
i∈JPi−1(Ui))T YJ ⊂ (T
i∈JPi−1(Ui))T Y olur. B¨oylece Y = X oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
S¸imdi X uzayının ba˘glantılı oldu˘gunu varsayalım. i ∈ I verilsin. Piizd¨u¸s¨um fonksiyonu s¨urekli oldu˘gundan, Teorem 5.1 gere˘gi, Pi(X) = Xi uzayı ba˘
glantı-lıdır. Kanıt tamamlanır.
Alı¸stırmalar
5.11. X, (Xi) topolojik uzaylar ailesinin ¸carpım uzayı olsun. a ∈ X verilsin. Ca=Q
i∈ICPi(a)
oldu˘gunu g¨osterin.
5.4 Yol Ba˘glantılılık
Bu altb¨ol¨umde yol ba˘glantılılık kavramı tanımlanacak. “Ne i¸se yarar, hacım?” sorusuna verilebilecek yanıtlardan biri “ en azından n 6= m do˘gal sayıları i¸cin
¨
Oklid Rn ve Rm uzaylarının homeomorfik olmadıklarını g¨ostermeye yarar” olacaktır.
Tanım 5.3. X topolojik uzay olsun. Her x, y ∈ X olmak ¨uzere f (a) = x ve f (b) = y
olacak bi¸cimde s¨urekli f : [a, b] ⊂ R −→ X fonksiyonuna x’ten y’ye yol denir6. X’in her iki noktası arasında bir yol varsa X’e yol ba˘glantılı denir7.
Bu tanımda [a, b] aralı˘gı yerine [0, 1] almak genelli˘gi bozmayacaktır. Yol ba˘glantılılık ve ba˘glantılılık arasındaki temel ili¸ski ¸sudur:
Teorem 5.18. Yol ba˘glantılı uzay ba˘glantılıdır.
Kanıt: X yol ba˘glantılı uzay ve g : X −→ {0, 1} s¨urekli fonksiyon olsun. g’nin sabit oldu˘gunu g¨osterece˘giz. x, y ∈ X verilsin.
f (a) = x ve f (b) = y
e¸sitliklerini sa˘glayan f yolu vardır. [a, b] aralı˘gı ba˘glantılı oldu˘gundan g ◦ f fonksiyonu sabittir. Dolayısıyla
(g ◦ f )(a) = (g ◦ f )(b) yani
g(x) = g(y)
olur. Bu g’nin sabit oldu˘gunu g¨osterir. Teorem 5.2 gere˘gi X ba˘glantılıdır. Teorem 5.19. X topolojik uzayında f1 : [0, 1] −→ X, a’dan b’ye bir yol ve f2 : [0, 1] −→ X, b’den c’ye bir yolsa a’dan c’ye giden bir yol vardır.
Kanıt: f : [0, 1] −→ X fonksiyonu f (x) =
f1(2x) , 0 ≤ x ≤ 12 f2(2x − 1) , 12 ≤ x ≤ 1
e¸sitli˘giyle tanımlansın. f ’nin a’dan c’ye bir yol oldu˘gu kolaylıkla g¨osterilir.
¨
Ornekler
5.4. n-boyutlu X = RnOklid uzayının Y = B[0, 1] kapalı k¨¨ uresi yol ba˘glantılıdır. Ger¸cekten de x, y ∈ B[0, 1] olmak ¨uzere
f : [0, 1] −→ Y , f (x) = (1 − t)x + ty fonksiyonu x’ten y’ye bir yoldur.
5.5. n > 1 ve a ∈ Rnolmak ¨uzere X = Rn\ {a} uzayı yol ba˘glantılıdır.
Sonu¸c 5.20. n > 1 olmak ¨uzere R ve Rn uzayları homeomorfik de˘gillerdir. 6˙Ingilizce:path
5.4. Yol Ba ˘glantılılık 149
Kanıt: Varsayalım ki f : R −→ Rn bir homeomorfizma. a ∈ R verilsin. Bu durumda R \ {a} ve Rn\ {f (a)} uzayları homeomorfiktir. Ama bu, R \ {a} uzayının kopuk uzay ve Rn\ {f (a)} uzayının ba˘glantılı olmasıyla ¸celi¸sir. Teorem 5.21. Yol ba˘glantılı bir uzayın s¨urekli fonksiyon altındaki g¨or¨unt¨u k¨umesi yol ba˘glantılıdır.
Kanıt: X ba˘glantılı uzay ve Y bir topolojik uzay ve f : X −→ Y s¨urekli fonksiyon olsun. a, b ∈ f (X) verilsin.
a = f (u), b = f (v)
olacak bi¸cimde u, v ∈ X se¸celim. X ba˘glantılı oldu˘gundan g(0) = u ve g(1) = v
olacak bi¸cimde s¨urekli g : [0, 1] −→ X fonksiyonu vardır. f ◦ g : [0, 1] −→ f (X) s¨urekli ve
f ◦ g(0) = a ve f ◦ g(1) = b
olur. Kanıt tamamlanır.
Yukarıdaki teorem sonucu olarak a¸sa˘gıdaki ¨orne˘gi verebiliriz.
¨
Ornekler
5.6. n > 1 olmak ¨uzere RnOklid uzayında x noktasının normu¨ ||x|| = d2(x, 0) olarak tanımlanır. Rnuzayının birim k¨uresi
Sn−1= {x ∈ Rn: ||x|| = 1} olarak tanımlanır.
f : Rn\ {0} −→ Sn−1
, g(x) =||x||x
fonksiyonu s¨urekli ve ¨ortendir. Rn yol ba˘glantılı oldu˘gundan yukarıdaki teorem gere˘gi Sn−1yol ba˘glantılıdır.
Alı¸stırmalar
5.12. (0, 1), (0, 1], ve [0, 1] uzaylarının birbirlerine homeomorfik olamayacaklarını g¨osterin. 5.13. R2 uzayında do˘gru ve ¸cember (=S1) altuzayların homeomorfik olmadıklarını g¨osterin. 5.14. A ⊂ R2 sayılabilir sonsuz k¨ume olsun. (a, b) ∈ X = R2\ A ise (a, b) ∈ `1, `2⊂ X olacak
bi¸cimde birbirlerinden farklı `1ve `2do˘gruların oldu˘gunu g¨osterin. Bunun sonucu olarak da X uzayının yol ba˘glantılı oldu˘gunu g¨osterin.
5.15. Topolojik uzayların bir ailesinin ¸carpım uzayının yol ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun herbir fakt¨or¨un yol ba˘glantılı olması oldu˘gunu g¨osterin.
5.16. (Xi), X uzayının yol ba˘glantılı altuzaylarının bir ailesi olsun.T
iXi6= ∅ ise Y =S
iXi
5.17. X topolojik uzay ve her x, y i¸cin f (0) = x, f (1) = y e¸sitliklerini sa˘glayan f : [0, 1] −→ f ([0, 1]) ⊂ X homeomorfizması varsa X’e ergisel ba˘glantılı denir8. Hausdorff uzayın ergisel ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun yol ba˘glantılı olması gerekti˘gini g¨osterin. (Biraz zor olacak, ben de zorlandım!)
5.4.1 Topolojicinin Sin¨us E˘grisi
Yol ba˘glantılı uzayın ba˘glantılı oldu˘gunu biliyoruz. Ancak bunun tersi do˘gru de˘gildir. Buna ili¸skin me¸shur ¨ornek a¸sa˘gıdadır.
Tanım 5.4. S = {(x, sin1x) : x ∈ (0, 1]} olmak ¨uzere, R2’de S’nin kapanı¸sı S’ye topolojicinin sin¨us e˘grisi denir.
Aslında
S = SS{(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}
olur. Ger¸cekten, −1 ≤ y ≤ 1 verilsin. sin x = y olacak bi¸cimde x ∈ [0, 2π] alalım. Her n ∈ N i¸cin
xn= x+2nπ1 olarak tanımlıyalım.
(xn, sin xn) −→ (0, y)
oldu˘gu a¸cıktır. B¨oylece (0, y) ∈ S olur. Kapsamanın di˘ger y¨on¨u a¸cıktır. Teorem 5.22. Topolojicinin sin¨us e˘grisi ba˘glantılı fakat yol ba˘glantılı de˘gildir. Kanıt: S’nin ba˘glantılı oldu˘gu a¸cıktır. Teorem 5.3 gere˘gi S ba˘glantılıdır. S’nin ba˘glantılı oldu˘gunu varsayalım. s ∈ S olmak ¨uzere
f : [0, 1] −→ S, f (0) = (0, 0) ve f (1) = s e¸stliklerini sa˘glayan s¨urekli f fonksiyonu vardır.
b = max{t ∈ [0, 1] : f (t) ∈ {0} × [−1, 1]} olmak ¨uzere
f (b) ∈ {0} × [−1, 1] ve f ((b, 1]) ⊂ S olur. f fonksiyonu b ≤ t i¸cin
f (t) = (x(t), y(t)) bi¸ciminde yazılabilir.
5.5. Yerel Ba ˘glantılılık ve Yerel Yol Ba ˘glantılılık 151
x(b) = 0, t > b i¸cin x(t) > 0 ve y(t) = sinx(t)1
olur. (b, 1]’de tn−→ b ve y(tn) = (−1)nolacak bi¸cimde bir (tn) dizisinin varlı˘gı ¸celi¸ski yaratacaktır. Ger¸cekten de bu durumda
f (tn) = (x(tn), y(tn)) → f (0) = (x(0), y(0))
olur ki bu (−1)n → y(0) ¸celi¸skisini verir. S¸imdi bu ¨ozellikte (tn) dizisinin varlı˘gını g¨osterelim: Belli bir n0 ∈ N’den b¨uy¨uk verilen n i¸cin
x(b) = 0 < u < x(b +n1) ve sin(1u) = (−1)n
olacak bi¸cimde u’nın olması ve x fonksiyonu (b, 1] aralı˘gında s¨urekli oldu˘gundan, Ara De˘ger Teoremini kullanarak
b < tn≤ b +1
n ve x(tn) = u
olacak bi¸cimde tn se¸cebiliriz. Kanıt tamamlanır.
5.5 Yerel Ba˘glantılılık ve Yerel Yol Ba˘glantılılık
Bir topolojik uzay ba˘glantılı ya da yol ba˘glantılı olmasa bile yerel anlamda ben-zer ¨ozelliklere sahip olabilir. Bu altb¨ol¨umde kısaca da olsa bunlara de˘ginece˘giz. Tanım 5.5. X topolojik uzay olmak ¨uzere her a¸cık U ⊂ X ve x ∈ U i¸cin x ∈ V ⊂ U olacak bi¸cimde ba˘glantılı ve a¸cık V k¨umesi varsa X’e yerel ba˘glantılı denir 9.
A¸sa˘gıdaki ¨ornekten de anla¸sılaca˘gı gibi yerel ba˘glantılılık ba˘glantılılı˘gı ge-rektirmeyece˘gi gibi tersi gerektirme de yoktur.
¨
Ornekler
5.7. X = [0, 1) ∪ (1, 2] uzayı ba˘glantılı olmayan yerel ba˘glantılı uzaydır. 5.8. R2’nin
X = {(0, y) : y ∈ R}S{(1, y) : y ∈ R} S{(x,1
n) : x ∈ [0, 1], n ∈ N}S{(x, 0) : x ∈ [0, 1]} altuzayı ba˘glantılı ama yerel ba˘glantılı de˘gildir.
Yerel ba˘glantılı uzaylar a¸sa˘gıdaki gibi karakterize edilebilir. C¸ ok kolay oldu˘gundan kanıtınının verilmesi okura saygızlık olur.
Teorem 5.23. Bir topolojik uzayın yerel ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun ba˘glantı k¨umelerden olu¸san bir tabanının olmasıdır. Teorem 5.24. Yerel ba˘glantılı uzaylarda her noktanın ba˘glantılı bile¸seni a¸cıktır.
Kanıt: X topolojik uzay ve x ∈ X verilsin. a ∈ Cx olsun. X yerel ba˘glantılı oldu˘gundan ba˘glantılı ve a¸cık a ∈ U vardır. Cx, x’i i¸ceren ba˘glantılı k¨umelerin bile¸simi oldu˘gundan U ⊂ Cx olur. B¨oylece Cx a¸cıktır. Tanım 5.6. X topolojik uzay olsun. Her a¸cık k¨ume U ve x ∈ U i¸cin x ∈ V ⊂ U bi¸ciminde yol ba˘glantılı V k¨umesi varsa X’e yerel yol ba˘glantılı uzay denir. Bir uzayın yerel yol ba˘glantılı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun, elemanları ba˘glantılı olan bir tabanının olması gerekti˘gi a¸cıktır.
Teorem 5.25. Ba˘glantılı ve yerel yol ba˘glantılı uzay yol ba˘glantılıdır.
Kanıt: X ba˘glantılı ve yerel yol ba˘glantılı olsun. a ∈ X verilsin. H, a’dan bir yol ile ba˘glanabilen x’lerin k¨umesini g¨ostersin. a ∈ H’nın a¸cık-kapalı olmasını kanıtlamak yeterlidir, ¸c¨unk¨u bu durumda X ba˘glantılı oldu˘gundan H = X olacaktır.
i. H a¸cıktır: b ∈ H verilsin. Varsayım gere˘gi b ∈ U olacak bi¸cimde yol ba˘glantılı U ⊂ X vardır. z ∈ U verilsin. z’den b’e giden bir yol ve b’den a’ya giden yol oldu˘gundan z’den a’ya giden yol vardır. U ⊂ H oldu˘gu ve dolayısıyla H a¸cık oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
ii. H kapalıdır: b ∈ H verilsin. b ∈ U a¸cık ve yol ba˘glantılı U ⊂ X vardır. z ∈ H ∩ U se¸cebiliriz. U yol ba˘glantılı oldu˘gundan b’den z’ye giden yol vardır.