Metrik uzaylarda dizilerin yakınsama kavramından bahsedilmi¸sti. Bu kavramın metrik uzayların yapısının anla¸sılmasındaki yeri “her derde deva” bi¸cimindedir.
¨
Orne˘gin metrik uzaylarda bir k¨umenin kapanı¸sı dizilerin yakınsaması terimiyle ifade edilebilirli˘gi ¸cok kullanı¸slıdır. Yani X bir metrik uzay ve A ⊂ X ise
A = {x ∈ X : ∃f ∈ AN, f (n) → x}
olur. Ancak bu kullanı¸slı durum topolojik uzaylar i¸cin genelde do˘gru de˘gildir. ¨
Orne˘gin R’de tabanı
T = {U \ C : U ⊂ R a¸cık ve C ⊂ R sayılabilir }
olan topolojiye g¨ore (0, 1) k¨umesinin kapanı¸sı [0, 1] olmasına kar¸sın x = 0 ve x = 1 noktaları (0, 1) k¨umesindeki bir dizinin limiti olamazlar. Yani (0, 1) aralı˘gında
xn→ 0 ya da xn→ 1
olacak bi¸cimde (xn) dizisi yoktur. Bu ¨ornekten de anla¸sılaca˘gı ¨uzere dizilerin genel topolojik uzaylarda “yetmezlikleri” s¨oz konusudur.
Dizilerin yakınsaklı˘gı ¨uzerinden bir topolojinin, topolojik ¨ozellikleri de be-lirlenemez. ¨Orne˘gin sayılamaz bir X k¨umesi ¨uzerinde,
xn→ x ⇔ f (xn) → f (x)
ifadesini sa˘glayan birbirlerinden farklı τ1 ve τ2 topolojiler ve birebir ve ¨orten f : (X, τ1) −→ (X, τ2) fonksiyonu vardır. Hatta topolojilerin birini ayrık ve di˘gerini t¨umleyeni sayılabilir olan topolojiler olmak ¨uzere f fonksiyonu f (x) = x olarak da alınabilir. Bu y¨on¨uyle de dizilerin yetmezli˘gi s¨oz konusudur.
Bu yetmezliklere ra˘gmen umutsuzlu˘ga kapılmamak gerekir, bu yetmez-likler a¸sılabilir; ne demi¸s atalarımız, “Derdi veren Allah ¸careyi de verir.” Bu olumsuz durum yapılacak uygun genellemelerle giderilebilecektir (Teorem 6.2). Bunun i¸cin dizi kavramı yerine “net” kavramı kullanılacaktır. Yani dizi kav-ramı net kavkav-ramıyla genellenecektir. Ayrıca bu kavkav-ramın “do˘gal e¸si”’ filtre
kavramı verilecektir. Net ve filtre kavramları hemen hemen aynı i¸slevleri ya-parlar. Bir ba¸ska deyi¸sle net terimiyle kanıtlanan her teorem, filtre kavramıyla da kanıtlanabilir. Tersi de do˘grudur. Genelde net kavramını kullanmak daha ¸cok analiz y¨ontemi, filtre kavramını kullanmak daha ¸cok noktasal topolojik y¨ontemdir. Topolojik uzaylarda net ve filtreler hakkında referans alınabilecek temel yayınlardan ikisi [18] ve [24]’dir.
6.1 Net ve Yakınsaklık
N’deki temel sıralamanın ¨ozelliklerinden bazıları, her m, n ve k ∈ N i¸cin m ≤ m, m ≤ n ve n ≤ k olma durumunda m ≤ k olması ve m ≤ t ve n ≤ t olacak bi¸cimde t ∈ N olmasıdır. Bu ¨u¸c ¨ozellik y¨onl¨u k¨ume kavramını tanımlar. Tanım 6.1. I bo¸s olmayan bir k¨ume ve ≤, I ¨uzerinde bir ba˘gıntı a¸sa˘gıdaki ¨
ozellikleri sa˘glasın.
i. Her x ∈ I i¸cin x ≤ x.
ii. x, y,z ∈ I, x ≤ y ve y ≤ z oluyorsa x ≤ z.
iii. Her x,y ∈ I i¸cin x, y ≤ z e¸sitsizli˘gini sa˘glayan olaca bir z ∈ I var. Bu durumda (I, ≤) ikilisine y¨onl¨u k¨ume denir.
Genelde oldu˘gu gibi bir k¨umeye y¨onl¨u k¨ume denildi˘ginde k¨umeyi y¨onl¨u ya-pan bir ba˘gıntının varlı˘gını kabul ediyoruz demektir. Bir kavram karga¸sası olma durumunda bu ba˘gıntı daha a¸cık olarak belirtilir.
Y¨onl¨u k¨umelere temel ¨ornekler a¸sa˘gıdadır.
¨
Ornekler
6.1. R, Q, Q0, Z ve Z k¨umeleri do˘gal sıralamaya g¨ore y¨onl¨u k¨umelerdir.
6.2. X bir y¨onl¨u k¨ume olsun. A ⊂ X k¨umesiyle her y ∈ X i¸cin {x ∈ X : x ≥ y} k¨umesinin arakesiti bo¸sk¨umeden farklıysa (yani A kofinal k¨umeyse) A bir y¨onl¨u k¨umedir.
6.3. Y¨onl¨u k¨umenin temel ¸cıkı¸s noktalarından birisi, yani motivasyonu, Riemann integralle-nebilir fonksiyonların yapısını anlayabilmek i¸cin ortaya ¸cıkan a¸sa˘gıdaki ¨ornektir: R’nin [a, b] kapalı aralı˘gı verilsin. x0= a < . . . < xn= b olmak ¨uzere
P = {xi: i = 0, . . . , n}
k¨umesine [a, b] aralı˘gın bir b¨ol¨unm¨u¸s¨u denir. ℘, [a, b] aralı˘gının b¨ol¨unm¨u¸slerinin bir k¨umesi olsun. ℘,
P ≤ Q ⇔ Q ⊂ P ba˘gıntısına g¨ore y¨onl¨u bir k¨umedir.
6.4. Tamsıralı her k¨ume y¨onl¨u bir k¨umedir.
6.5. I, [0, 1] k¨umesinden R’ye tanımlı polinomların k¨umesi olsun. I, f ≤ g :⇔ her x ∈ [0, 1] i¸cin f (x) ≤ g(x) ba˘gıntısına g¨ore I y¨onl¨u bir k¨umedir.
6.6. X bo¸s olmayan k¨ume olmak ¨uzere F , X’in bo¸s olmayan sonlu altk¨umelerinin k¨umesi kapsama sıralamasına g¨ore y¨onl¨u k¨umedir. Bu ¨ornek bo¸su bo¸suna verilmemi¸stir, ne olabilir acaba?
6.1. Net ve Yakınsaklık 155
Dizi kavramı a¸sa˘gıdaki gibi net kavramına genellenebilir.
Tanım 6.2 (Moore-Smith [115]). Tanım k¨umesi y¨onl¨u k¨ume olan her fonksi-yona net denir1.
De˘ger k¨umesi X olan nete X de˘gerli net ya da X’in bir neti denir. Y¨onl¨u I k¨umesinden X’e tanımlı netlerin k¨umesini net(I, X) ile g¨osterelim. Ayrıca X de˘gerli netlerin toplulu˘gunu net(X) ile g¨osterilsin2 . X k¨umesinde her dizinin bir net oldu˘gu a¸cıktır, yani
XN⊂ net(X)
olur. f ∈ net(I, X) bir net ise f yerine (f (i))i∈I ya da bir index karma¸sası yoksa sadece (f (i)) yazabiliriz.
Dizileri kullanırken genelde kullanılan dizinin kuru˘gudur. Benzer durum net i¸cin ge¸cerlidir. ¨Once bir netin kuyru˘gunu tanımlayalım.
Tanım 6.3. f ∈ net(I, X) verilsin. Her i ∈ I i¸cin Fi= {f (j) : i ≤ j} k¨umesine f ’nin i’inci kuyru˘gu denir.
Bir netin i ∈ I i¸cin i’inci kuyru˘gu olan k¨umeye sadece kuyru˘gu denilebilir. f netinin kuyruklarının k¨umesini kuyruk(f ) ile g¨osterebiliriz. Bir topolojik uzay X’te bir f = (xn) dizisinin x ∈ X noktasına yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, x’i i¸ceren her a¸cık k¨umenin f ’nin bir kuyru˘gunu kapsamasıdır. Bu g¨ozlem bizi a¸sa˘gıda verilen isabetli tanıma y¨onlendirir.
Tanım 6.4 (Kelley [90]). Bir topolojik uzayın verilen bir netinin verilen bir noktaya yakınsaması, noktayı i¸ceren her a¸cık k¨umenin netin en az bir kuyru˘gunu kapsaması olarak tanımlanır.
Yani, f : I −→ X, X topolojik uzayının x noktasına yakınsayan bir neti olması,
U , x noktasını i¸ceren a¸cık k¨umeyse en az bir j ∈ I i¸cin {i ∈ I : i ≥ j} ⊂ U ko¸sulunun sa˘glanmasıdır. Bu durumda f → x yazarız. Ayrıca, her i ∈ I i¸cin f (xi) = xi olmak ¨uzere, f → x yerine xi → x yazabiliriz.
Net terimi ¨uzerinden verilen yakınsama kavramı, bir f : R → R fonksiyonu i¸cin, kalk¨ul¨us anlamında f ’nin bir noktadaki limit ve sonusuzda tanımlanan limit kavramlarınının yanında, integral kavramını geneller. Ger¸cekten, a¸sa˘gıda verilen ¨u¸c ifadenin do˘grulu˘gunu okur kolaylıkla g¨osterebilir.
1
Eski literat¨urde net, “Moore-Simith Convergence” olarak bilinse de g¨un¨um¨uzde kul-lanılmamaktadır.
2
i. R’yi ¨Oklid uzayı olarak alalım. a ∈ R verilsin. I = R \ {a} k¨umesinde |x − a| ≥ |y − a| olmasını x≤∗y ile g¨osterelim. ≤∗sıralamasına g¨ore, I y¨onl¨u bir k¨umedir. f : I → R netinin L ∈ R noktasına yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul limx→af (x) = L olmasıdır.
ii. Yine R’yi ¨Oklid uzayı ve y¨onl¨u k¨ume olarak alalım. f : R → R netinin L ∈ R noktasına yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul limx→∞f (x) = L olmasıdır.
iii. g : [0, 1] → R sınırlı fonksiyon olmak ¨uzere, [0, 1] k¨umesinin, x0 = 0 < x1< ... < xn= 1 olmak ¨uzere, sonlu altk¨umesi F = {xi : 0 ≤ i ≤ n} i¸cin,
xF =Pn
i=1sup g([xi−1, xi])(xi− xi−1)
olarak tanımlansın. F , [0, 1] k¨umesinin 0 ve 1 noktalarını i¸ceren sonlu altk¨ ume-lerinin k¨umesi olsun. F , kapsama sıralamasına g¨ore y¨onl¨u k¨ume olup, f : F → R, f (F ) = xF e¸sitli˘giyle tanımlı net yakınsaktır. f netinin yakınsadı˘gı nokta, kalk¨ul¨usde tanımlanan veR1
0 g(x)dx ile g¨osterilen g’nin alt integralinden ba¸ska bir¸sey de˘gildir. Benzer bi¸cimde g’nin ¨ust integrali de F ’den R’ye tanımlı bir netin yakınsadı˘gı noktadır.
Bir X topolojik uzayında tanımlı f neti x ∈ X noktasına yakınsıyorsa, bu olgu
f → x
olarak g¨osterilir. Ayrıca her i ∈ I i¸cin f (i) = xi olmak ¨uzere xi → x ya da limixi = x
bi¸ciminde de yazılabilir.
¨
Ornekler 6.7. (P
x∈Xf (x)’in tanımı) X bo¸s olmayan bir k¨ume ve f : X −→ R bir fonksiyon olsun. F , X’in bo¸s olmayan sonlu altk¨umelerinin y¨onl¨u (kapsama sıralamasına g¨ore) k¨umesi olsun.
α : F −→ R, α(F ) =P
x∈Ff (x) netinin yakınsadı˘gı nokta (varsa)P
x∈Xf (x) ile g¨osterilir.
6.8. Netin yakınsama terimiyle Riemann integrallenebilme kavramı tanımlanabilir: R’nin [a, b] kapalı aralı˘gının b¨ol¨unm¨u¸slerinin y¨onl¨u k¨umesini (P ≤ Q ⇔ Q ⊂ P sıralamasına g¨ore) ℘ ile g¨osterelim. f : [a, b] −→ R sınırlı fonksiyon olmak ¨uzere her
P = {a = x0, . . . , xn= b} ∈ ℘ i¸cin
U (P ) =Pn
i=1(xi− xi−1) sup f ([xi−1, xi]) L(P ) =Pn
i=1(xi− xi−1) inf f ([xi−1, xi])
U, L : ℘ −→ R netlerini tanımlayalım. U − L : ℘ −→ R neti sıfıra yakınsıyorsa f ’ye Riemann integrallenebilir denir. Bu durumda U ve L netleri yakınsaktır ve yakınsadıkları noktalar e¸sittir. E¸sit olan bu nokta
6.1. Net ve Yakınsaklık 157
Rb af (x)dx
ile g¨osterilir. Bu noktaya f ’nin Riemann integrali denir.
6.9. X, kısmi sıralı uzay (Tanım 3.6) olsun. (xi)i∈I, X uzayında artan ve x’e yakınsayan bir net ise x, A = {xi : i ∈ I} k¨umesinin supremumudur: xi6≤ x olacak bi¸cimde i ∈ I oldu˘gunu varsayalım. Her u ∈ U ve v ∈ V i¸cin u 6≤ v ko¸sulunu sa˘glayan xi noktasını i¸ceren U a¸cık k¨umesi ve x noktasını i¸ceren V a¸cık k¨umesi vardır. xi → x oldu˘gundan i ≤ j ve xj∈ U ko¸sulunu sa˘glayan j ∈ I vardır. Buradan xi6≤ xj¸celi¸skisi elde edilir. O halde x, A k¨umesinin bir ¨ust sınırıdır. Benzer yakla¸sımla x = sup A oldu˘gu kolaylıkla g¨osterilir.
6.10. X bir sıra uzayı, (xi), X’te artan bir net ve supremumu x olsun. Bu net x noktasına yakınsar.
A¸sa˘gıdaki teorem bir topolojik uzayda a¸cık k¨umelerin, netlerin yakınsaması ile betimlenebilece˘gini s¨oyler.
Teorem 6.1. Bir Xtopolojik uzayının bir A altk¨umesinin a¸cık olması i¸cin x ∈ A ve f → x olacak bi¸cimde f ∈net(X \ A) yok
ko¸sulu gerek ve yeterlidir.
Kanıt: (i ⇒ ii). A k¨umesinin a¸cık oldu˘gunda ko¸sulun sa˘glandı˘gı kolaylıkla g¨osterilir. Tersine ko¸sulun sa˘glanmasına kar¸sın A k¨umesinin a¸cık olmadı˘gını varsayalım. Bu durumda ¨oyle bir x ∈ A vardır ki x noktasını i¸ceren her a¸cık U i¸cin U 6⊂ A olur, yani
U ∩ (X \ A) 6= ∅ olur. X ¨uzerindeki topoloji τ olmak ¨uzere
I := τ (x) = {U : x ∈ U a¸cık}
k¨umesi ters kapsamaya g¨ore y¨onl¨u bir k¨umedir. Her i ∈ I i¸cin xi ∈ (X \ A) ∩ i
noktasını se¸cebiliriz. f (i) = xi olarak tanımlanan f : I −→ X \ U fonksiyonu bir net ve f −→ x olur. Bu varsayımla ¸celi¸sir. Kanıt tamamlanır.
X metrikle¸sebilir uzaysa (daha genel olarak birinci dereceden sayılabilir uzaylar i¸cin) her A ⊂ X i¸cin
A = {f ∈ AN: f −→ x} oldu˘gunu biliyoruz.
X = RR ¸carpım uzayındaysa bazı A ⊂ X i¸cin A 6= {x ∈ X : ∃f ∈ AN, f → x}
oldu˘gu biliniyor. Buna kar¸sın a¸sa˘gıdaki kullanı¸slı teoremi verebiliriz.
Teorem 6.2. Bir topolojik uzayın verilen bir altk¨umesinin kapanı¸sından alınan her nokta, o k¨ume de˘gerli bazı netlerin yakınsadı˘gı noktadır. Tersine, o k¨ume de˘gerli bir netin yakınsadı˘gı nokta k¨umenin kapanı¸sındadır.
Kanıt: (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. A ⊂ X verilsin. A = {x ∈ X : ∃f ∈ net(A), f → x}
oldu˘gunu g¨osterece˘giz. x ∈ A verilsin. τ (x), x noktasını i¸ceren a¸cık k¨umelerin k¨umesi olmak ¨uzere
I = {A ∩ U : U ∈ τ (x)},
ters kapsama ba˘gıntısına g¨ore y¨onl¨u k¨umedir. Her i ∈ I i¸cin xi∈ i ⊂ A se¸celim. f : I −→ A, f (i) = xi
olarak tanımlansın.
f ∈ net(I, A) ve f → x
olur. Tersine f ∈ net(I, A) ve f → x olsun. U ∈ τ (x) verilsin. Tanım gere˘gi U , f netinin bir kuyru˘gunu kapsar. Dolayısı ile A ∩ U 6= ∅ dır. B¨oylece x ∈ A
oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
Bu b¨ol¨um¨un giri¸sinde ifade edilen “yetmezlik” yukarıdaki teorem tarafından giderilmi¸s olur. Bir topolojik uzayın Hausdorff aksiyomunu sa˘glayıp sa˘glamadı˘gı netlerle a¸sa˘gıdaki gibi test edilebilir. Bu durum yakınsayan bir netin birden fazla noktaya yakınsayıp yakınsamaması durumuyla ilintilidir. ¨Oncelikle bir netin keyfi iki kuyru˘gunun arakesitinin bo¸sk¨ume olamayaca˘gını not edelim. Teorem 6.3. Bir topolojik uzayın Hausdorff olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, uzayda her netin en fazla bir noktaya yakınsamasıdır.
Kanıt: X topolojik uzay olsun. X uzayında her net en fazla bir noktaya yakınsasın. X’in Hausdorff olmadı˘gını varsayalım. Bu durumda
Her U ∈ τ (x) ve V ∈ τ (y) i¸cin U ∩ V 6= ∅ ifadesini sa˘glayan x, y ∈ X, x 6= y noktaları vardır.
I = {U ∩ V : U ∈ τ (x), V ∈ τ (y)}
k¨umesi ters kapsama ba˘gıntısına g¨ore y¨onl¨u bir k¨umedir. Her i ∈ I i¸cin xi ∈ i se¸celim. f : I −→ X, f (i) = xi netini tanımlayalım. U ∈ τ (x) verilsin.
6.1. Net ve Yakınsaklık 159
U = i0∈ I olmak ¨uzere her i ≥ i0 i¸cin
xi ∈ i ⊂ i0 = U
oldu˘gundan f → x dir. Benzer bi¸cimde f → y dir. Bu varsayımla ¸celi¸sir, dolayısıyla X, Hausdorff uzaydır.
S¸imd de X Hausdorff olsun. X’te iki farklı x ve y noktaya yakınsayan bir f netinin oldu˘gunu varsayalım. X, Hausdorff oldu˘gundan
x ∈ U , y ∈ V ve U ∩ V = ∅
olacak bi¸cimde U ve V a¸cık k¨umeleri vardır. G ⊂ U ve H ⊂ V olacak bi¸cimde f ’nin G ve H kuyrukları vardır ve G ∩ H = ∅ olur. Bu durum netin keyfi iki kuyru˘gunun ayrık olamayaca˘gı ger¸ce˘gi ile ¸celi¸sir. Kanıt tamamlanır. Yukarıdaki teorem g¨ozlemlenerek bir topolojik uzayda bir dizinin en fazla bir noktaya yakınsaması ile Hausdorff olması arasındaki ili¸ski sorulabilir. Alı¸s-tırma 6.14 ve 6.15 bununla ilgilidir.
Alı¸stırmalar
6.1. (Di)i∈I y¨onl¨u k¨umelerin bir ailesi olsun. Bu ailenin kartezyen ¸carpımının D =Q
i∈IDi, (ai) ≤ (bi) ⇔ ai≤ bi
sıralamasına g¨ore y¨onl¨u bir k¨ume oldu˘gunu g¨osterin. 6.2. f : I −→ R ve g : J −→ R iki net olsun. K = I × J,
(i1, j1) ≤ (i2, j2) ⇔ i1≤ i2, j1≤ j2
ba˘gıntısına g¨ore y¨onl¨u bir k¨umedir. f + g, f g : I × J −→ R netlerini (f + g)(i, j) = f (i) + g(j) ve f g(i, j) = f (i)g(j) olarak tanımlayalım.
f −→ x ve g → y ⇒ f + g → x + y, f g → xy oldu˘gunu g¨osterin.
6.3. Bir topolojik X uzayından R’ye tanımlı s¨urekli fonksiyonlar k¨umesi C(X)’in noktasal cebirsel i¸slemler altında bir cebir oldu˘gunu g¨osterin.
6.4. Her dizisi en fazla bir noktaya yakınsayan uzayın T1-uzayı oldu˘gunu g¨osterin. Tersi do˘gru mudur? (Alı¸stırma 19’ya bakınız.)
6.5. Birinci dereceden bir uzayın Hausdorff olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun her dizinin en fazla bir noktaya yakınsaması oldu˘gunu g¨osterin.
6.6. X birinci dereceden uzay olsun. Her A ⊂ X i¸cin
A = {x ∈ E : ∃f ∈ XN, f → x} oldu˘gunu g¨osterin.
6.7. X bir topolojik uzay ve f : I −→ X, x ∈ X noktasına yakınsayan bir net ise f (I)S{x} k¨umesinin kapalı olması gerekmedi˘gini bir ¨ornekle g¨osterin.
6.8. (Xi)i∈I, topolojik uzayların bir ailesi ve her i ∈ I i¸cin fi : Di → Xi bir net olsun. D =Q
i∈IDikartezyen ¸carpım olsun. D’nin
(ai) ≤ (bi) ⇔ ∀i ∈ I, ai≤ bi
sıralamasına g¨ore y¨onl¨u k¨ume oldu˘gunu biliyoruz. f : D −→ X netini f ((di)) = (fi(di))
olarak tanımlayalım. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. f → (xi)
ii. Her i ∈ I i¸cin Pi(f ) → xi.
6.9. Terimleri birbirlerinden farklı her dizinin uzayın her noktasına yakınsayan bir T1-uzay ¨
orne˘gi verin. 6.10. X =Q
n∈NR k¨umesinde (fn) dizisi, fn= (1
n) olarak tanımlansın. C¸ arpım topolojisine g¨ore (fn) dizisinin f = (0) dizisine yakınsamasına kar¸sın kutu topolojisine g¨ore yakınsak olmadı˘gını g¨osterin.
6.11. (X, τ ) bir topolojik uzay ve A = (X, d, A, P ), Teorem 4.13’nin kanıtında tanımlanan s¨urekli uzay olsun. X’te tanımlı bir (xα) netinin bir x noktasına yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun verilen her r ∈ P i¸cin, netin en az bir kuyru˘gunun B[x, r] tarafından kapsanması oldu˘gunu g¨osterin.
6.2 Net ve S¨ureklilik
Net kavramı kullanılarak fonksiyonların s¨ureklili˘gini betimleyebiliriz. ¨ Once-likle f : I −→ X bir net ve σ : X −→ Y bir fonksiyonsa σ ◦ f : I −→ Y fonksiyonunun bir net oldu˘gunu not edelim. A¸sa˘gıdaki teorem metrikle¸sebilir uzaylar i¸cin dizilerin yakınsaması kavramıyla kanıtlanmı¸stı. Topolojik uzaylar i¸cin dizi yerine net alarak genellenebilir.
Teorem 6.4. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X −→ Y bir fonksiyon ve x ∈ X verilsin. f ’nin x noktasında s¨urekli olması i¸cin
(xi), X’te bir net ve xi → x ise f (xi) → f (x) ko¸sulu gerek ve yeterlidir.
Kanıt: f ’nin x noktasında s¨urekli oldu˘gunu varsayalım. (xi), uzayda x ∈ X noktasına yakınsayan bir net olsun. (f (xi)), Y ’de bir nettir. U ⊂ Y a¸cık ve f (x) ∈ U olsun. f−1(U ) a¸cık ve x ∈ f−1(U ) oldu˘gundan f ’nin bir kuyru˘gu Fi = {xj : j ≥ i}, f−1(U ) tarafından kapsanır. Dolayısıyla f (Fi) ⊂ U dır. Bu bize f (xi) → f (x) oldu˘gunu s¨oyler. S¸imdi ko¸sulun sa˘glandı˘gını varsayalım. A ⊂ Y kapalı bir k¨ume olsun. f−1(A) k¨umesinin kapalı oldu˘gunu g¨osterece˘giz. x ∈ f−1(A) olsun. Teorem 6.2. gere˘gi xi → x olacak bi¸cimde f−1(A)’da (xi) neti vardır. Varsayım gere˘gi f (xi) → f (x) olur. (f (xi)), Y ’de bir net oldu˘gundan, yine teorem 6.2. gere˘gi f (x) ∈ A = A olur. Yani x ∈ f−1(A) olur. B¨oylece
6.3. Altnet 161
oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. x noktasını i¸ceren kapalı her k¨umenin f altındaki ters g¨or¨unt¨us¨un¨un kapalı oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. Bu, f ’nin x noktasında s¨urekli
olmasına, Teorem 2.12’den dolayı denktir.
A¸sa˘gıdaki sonu¸c yukarıdaki teoremin do˘grudan bir sonucudur.
Sonu¸c 6.5. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X −→ Y olsun. f ’nin s¨urekli olması i¸cin
(xi), X’te bir net ve xi → x ise f (xi) → f (x) ko¸sulu gerek ve yeterlidir.
Alı¸stırmalar
6.12. Birinici dereceden sayılabilir bir X uzayından bir topolojik uzaya tanımlı f fonksiyonun s¨urekli olması i¸cin, gerek ve yeter ko¸sulunun
xn→ c ⇔ f (xn) → f (x) oldu˘gunu g¨osterin.
6.3 Altnet
Metrik uzaylarda altdizi kavramının bir¸cok ¨onemli teoremin kanıtında kul-lanıldı˘gını biliyoruz. Bu altb¨ol¨umde altdizi kavramının benzeri olarak altnet kavramı tanımlanacaktır. Bu kavram kullanılarak bir uzayın bir¸cok temel so-nucu verilebilecektir.
Bir topolojik uzayda bir dizi yakınsak olmasa da yakınsak olan altdizileri olabilir. Bir (xn) dizisinin altdizilerinin yakınsadı˘gı noktaların k¨umesi, dizinin kuyruklarınının kapanı¸slarının arakesitidir. Buna benzer bir sonucu netler i¸cin yapabilmemiz i¸cin a¸sa˘gıdaki kavramın verilmesi gerekmektedir.
Bir y¨onl¨u I k¨umesinin bir j altk¨umesinin I’da cofinal olması her i ∈ I i¸cin i ≤ j olacak bi¸cimde j ∈ J olmasıdır. ˙Iki y¨onl¨u k¨ume arasında tanımlanan fonksiyonun cofinal olması a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 6.5. I ve J iki y¨onl¨u k¨ume, ve α : I −→ J fonksiyon olsun. i. α(I), J ’de cofinal ise α’ya cofinal ,
ii. a ≤ b oldu˘gunda α(a) ≤ α(b) oluyorsa oluyorsa α’ya artan , denir.
Tanım 6.6 (Moore-Smith [115]). f : I −→ X bir net, J y¨onl¨u bir k¨ume ve, σ : J −→ I artan ve cofinal fonksiyonsa f ◦ σ netine f ’nin bir altneti denir3 .
3
Altnet kavramı standart olmamasına ra˘gmen altnet terimiyle elde edilen sonu¸cların ¸co˘gu bu farklılıklardan ba˘gımsızdır. Bunlardan bazıları: A ve B iki y¨onl¨u k¨ume olmak ¨uzere α :
X bir topolojik uzay, f : I −→ X bir net olmak ¨uzere f ’nin i’ninci kuyru˘gu Fi= {f (j) : j ≥ i}
bi¸ciminde tanımlanmı¸stı. x noktasını i¸ceren a¸cık k¨umelerin k¨umesi τ (x) ile g¨osterilmi¸sti.
f → x ⇒ ∀i ∈ I, ∀U ∈ τ (x), Fi∩ U 6= ∅.
oldu˘gu a¸cıktır. Bir ba¸ska s¨oylemle, f → x ise x, f ’nin her kuyru˘gunun ka-panı¸sındadır. Ama bu gerektirmenin ters y¨on¨u genel olarak do˘gru de˘gildir. Ge-rektirmenin ikinci kısmının sa˘glanması durumunda x noktasına f ’nin yı˘gılma noktası denir. Yani:
Tanım 6.7. Bir topolojik uzayın verilen bir noktasının, verilen bir netinin yı˘gılma noktası ya da limit noktası4olması, noktayı i¸ceren her a¸cık k¨umeyle netin her kuyru˘gunun arakesitinin bo¸sk¨umeden farklı olmasıdır.
Bir X topolojik uzayında bir f netinin yı˘gılma noktalarının k¨umesi Lim(f ) ile g¨osterilir5.
Lim(f ) =T
i{f (j) : j ≥ i}
oldu˘gu kolaylık g¨or¨ul¨ur. Ayrıca a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 6.6. Bir topolojik uzayda verilen bir noktanın, uzayın verilen netinin limit noktası olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, netin o noktaya yakınsayan bir altnetinin olmasıdır.
Kanıt: (X, τ ) topolojik uzay, x ∈ X ve f : I −→ X bir net olsun. x’in f netinin yı˘gılma noktası oldu˘gunu varsayalım, yani x ∈Lim(f ) olsun. J = τ (x) × I k¨umesi,
(U, i) ≤ (V, j) :⇔ V ⊂ U, i ≤ j ba˘gıntısına g¨ore y¨onl¨u bir k¨umedir.
σ : J −→ I, σ(U, i) = i
B −→ A, f : A −→ X ve g = f ◦ α olmak ¨uzere
i. cofinal altneti : B ⊂ A, her b ∈ B i¸cin α(b) = b olmak ¨uzere cofinal ve g = f|B. ii. AA altneti : f ’nin her kuyru˘gu, g’nin en az bir kuyru˘gunu kapsıyorsa. iii. Kelley altneti : α cofinal ise.
Bunlarla ilgili detaylar [1] ve [121]’da bulunabilir.
4
Okur, bir netin limit noktasıyla yakınsadı˘gı nokta kavramını birbirlerine karı¸stırmamalı.
5
Bir X topolojik uzayda her f ∈ net(X) i¸cin Lim(f ) 6= ∅ olmasının X’in kompakt ol-masına denk oldu˘gu kanıtlanacaktır.
6.3. Altnet 163
olarak tanımlayalım. f ◦ σ, f ’nin bir altneti ve f ◦ σ → x oldu˘gu kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. S¸imdi f ◦ σ : J −→ X, f ’nin bir altneti ve f ◦ σ → x olsun. f netinin i’ninci kuyru˘gunu Fi ile g¨osterelim, yani her i ∈ I i¸cin
Fi= {f (j) : j ≥ i}
olsun. U a¸cık ve x ∈ U olsun. i0∈ I verilsin. σ(j0) ≥ i0 olacak bi¸cimde j0 ∈ J se¸celim.
G = {(f ◦ σ)(j) : j ≥ j0} olmak ¨uzere
G ⊂ Fσ(j0) ⊂ Fi0
Fi0, f ◦σ netinin kuyru˘gu oldu˘gundan U ∩Fi0 6= ∅ olur. B¨oylece x ∈ Fi0 oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. i0 ∈ I’nın keyfi olmasından (i) elde edilir. Bir topolojik uzayda yakınsak her netin altneti de aynı noktaya yakınsar. Tersi durum i¸cin a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 6.7. Bir topolojik uzayda verilen bir netin, verilen bir noktaya yakınsa-ması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, netin her altnetinin en az bir altnetinin o nok-taya yakınsamasıdır. Yani, X bir topolojik uzay, f : I → X bir net ve x ∈ X verilsin. A¸sa˘gıdakiler denktir.
i. f → x.
ii. g, f ’nin bir altnetiyse h → x ¨ozelli˘ginde g’nin altneti h vardır.
Kanıt: X topolojik uzay, x ∈ X ve f , X’nin bir neti olsun. f → x ise, yani (i) gere¸cekle¸sirse f ’nin her altnetinin altneti de x’e yakınsayaca˘gından, kanıtın (i ⇒ ii) y¨on¨u ger¸cekle¸smi¸s olur. S¸imdi f ’nin her altnetinin x’e yakınsayan bir altneti olmasına kar¸sın, yani (ii)’nin ger¸cekle¸smesine kar¸sın , (i)’nin ger¸ cek-le¸smedi˘gini, yani f 6→ x oldu˘gunu varsayalım. Hipotezden her i ∈ I i¸cin
i ≤ k(i), f (k(i)) 6∈ U
ko¸sulunu sa˘glayan k(i) ∈ I (bunu se¸celim) ve x’i i¸ceren a¸cık U k¨umesi vardır. J = {(i, k(i)) : i ∈ I}
k¨umesi
(i, k(i)) ≤ (j, k(j)) ⇔ i ≤ j, k(i) ≤ k(j) sıralamasına g¨ore y¨onl¨u bir k¨umedir.
olmak ¨uzere g = f ◦ σ, f ’nin bir altnetidir. Varsayım gere˘gi g’nin h → x olacak bi¸cimde altneti h vardır. α : M −→ J olmak ¨uzere
h = g ◦ α = f ◦ σ ◦ α
bi¸cimindedir. Her m ∈ M i¸cin h(m) 6∈ U olur. Bu, h → x olmasıyla ¸celi¸sir. O
halde f → x elde edilir. Kanıt tamamlanır.
Alı¸stırmalar
6.13. Bir topolojik uzayda bir dizinin altnetinin bir altdizi olması gerekmedi˘gini g¨osterin. (Bir f : N −→ X dizisi verilsin. (0, 1) a¸cık aralı˘gını y¨onlenmi¸s k¨ume olarak alalım. g : (0, 1) −→ N fonksiyonunu 1
n+1 ≤ x < 1
n i¸cin g(x) = n + 1 olarak tanımlayalım. f ◦ g, f ’nin bir altneti fakat bir altdizisi de˘gildir.)
6.14. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. A a¸cıktır.
ii. f , X’te bir net ve f → x ∈ A ise A, f ’nin en az bir kuyru˘gunu kapsar. X birinci dereceden sayılabilir ise, net yerine dizi alınabilece˘gini g¨osterin. 6.15. I = N2 k¨umesini
(n, m) ≤ (n0, m0) :⇔ n ≤ n0, m ≤ m0 ba˘gıntısına g¨ore y¨onl¨u k¨ume olarak alalım.
f : I −→ R2, f (n, m) = (1 n, 1
m)
netini tanımlayalım. J = N × {1} olsun. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin. i. f → (0, 0).
ii. (0, 0), f ’nin bir yı˘gılma noktasıdır. iii. (0, 0), f|J netinin yı˘gılma noktası de˘gildir. 6.16. X = N ∪ {∞} olmak ¨uzere, A ⊂ N k¨umesi i¸cin
δ(A) = limn|A ∩ {1, 2, . . ., n}|n−1
(limit varsa) olarak tanımlansın. X, ¨uzerinde
B = {{n} : n ∈ N} ∪ {A ⊂ N : δ(X \ A) = 0}
tarafından topolojiyle donatılmı¸s topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨ oste-rin.
i. X Hausdorff. ii. ∞ ∈ N.
iii. (n) dizisinin ∞ noktasına yakınsayan altdizisi yoktur. iv. (n) dizisinin ∞ noktasına yakınsayan altneti vardır.
6.17. (Levine [103]) Bir topolojik uzayda bir diziye, dizinin altdizisini i¸ceren her a¸cık k¨ume aynı zamanda dizinin bir kuyru˘gunu kapsıyorsa, O-dizi denir.
i. Bazı topolojik uzaylarda yakınsak dizinin 0-dizisi olması gerekmeyece˘gine ¨ornek verin. ii. Bazı topolojik uzaylarda 0-dizinin yakınsak olması gerekmeyece˘gine ¨ornek verin. iii. T1 uzayında her O-dizinin yakınsak oldu˘gunu g¨osterin.
iv. Kompakt uzayda her O dizinin yakınsak oldu˘gunu g¨osterin.
6.4. Ultranet 165
6.4 Ultranet
Bir topolojik uzayda bir netin yakınsadı˘gı nokta aynı zamanda yı˘gılma nok-tasıdır. Fakat bunun tersi genelde do˘gru de˘gildir. “Hangi ¨ozellikteki netlerin yı˘gılma noktaları ile yakınsadıkları noktalar aynıdır? Hangi t¨ur netlerin en az bir yı˘gılma noktası vardır?” soruları anlamlıdır. A¸sa˘gıda tanımı verilen ultra-net kavramı, bir¸cok ¸seyin yanında, bu t¨ur soruları da yanıtlar.
Tanım 6.8. Bir k¨umede tanımlı bir net, k¨umenin verilen her altk¨umesinin kendisi ya da t¨umleyeni netin en az bir kuyru˘gunu kapsıyorsa, o nete ultranet denir.
Tanımı simgesel olarak ifade edecek olursak: X bo¸s olmayan bir k¨ume ve f , X’in bir neti olsun. Her A ⊂ X i¸cin f ’nin en az bir kuyru˘gu A ya da X \ A tarafından kapsanıyor ise f ’ye ultranet denir6.
Teorem 6.8. Bir topolojik uzayda her ultranet yı˘gılma noktasına yakınsar.