4. Metrik Topoloji
4.7 Baire Uzayı
X topolojik uzay ve U ⊂ X a¸cık k¨ume olmak ¨uzere her A ⊂ X i¸cin A ∩ U ⊂ A ∩ U
oldu˘gundan (kolaylıkla g¨osterilir) X’in yo˘gun ve a¸cık iki altk¨umesinin arakesiti de yo˘gundur. Tam metrik uzaylarda bunun daha fazlası do˘grudur.
Bu altb¨ol¨umde bir tam metrik uzayda sayılabilir tane a¸cık ve yo˘gun altk¨ ume-lerinin arakesitinin de yo˘gun oldu˘gu g¨osterilecektir. Bu sonu¸c oldukca ¨ onemli-dir, ¸c¨unk¨u bunun bir uygulaması sonucu, Fonksiyonel Analizin esas toremlerin-den ikisi olan Banach-Steinhaus Teoremi (D¨uzg¨un Sınırlılık Prensibi) ve A¸cık G¨onderim Teoremi kanıtlanabilir. Ayrıca s¨urekli fakat hi¸cbir yerde t¨ urevlene-meyen fonksiyonunun varlı˘gı da bu sonu¸c kullanılarak kanıtlanabilir (Alı¸stırma 4.53).
X topolojik uzayında
A◦= ∅
e¸sitli˘gini sa˘glayan A ⊂ X k¨umesine hi¸cbir yerde yo˘gun olmayan denir. Tanım 4.12. Bir topolojik uzayın bo¸sk¨umeden farklı hi¸cbir a¸cık k¨umesi, hi¸cbir yerde yo˘gun olmayan sayılabilir tane k¨umelerin bile¸simi olamıyorsa o uzaya Baire Uzay denir.
Yukarıdaki tanımlamanın anla¸sılması zor olabilir ama a¸sa˘gıdaki teoremde verilen denklikler anlamayı kolayla¸stıracaktır.
Teorem 4.20. X topolojik uzayı i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir. i. X Baire uzayıdır.
ii. Sayılabilir tane yo˘gun a¸cık k¨umenin arakesiti yo˘gundur. iii. Fn’ler kapalı olmak ¨uzere X =S
nFn iseS
nFn◦ a¸cık k¨umesi yo˘gundur. Kanıt: (i ⇒ ii). Her n ∈ N i¸cin On, X uzayında a¸cık ve yo˘gun olsun.
A =T
nOn
diyelim. A = X oldu˘gunu g¨osterece˘giz. Bunun i¸cin bo¸sk¨umeden farklı her O a¸cık k¨umesi i¸cin O ∩A 6= ∅ oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir. O 6= ∅ a¸cık olmasına kar¸sın A ∩ O = ∅ oldu˘gunu varsayalım.
O = X ∩ O = Oc∩ O = (T
nOn)c∩ O =S
n(Onc∩ O)
olur. Di˘ger taraftan her n i¸cin Onc hi¸cbir yerde yo˘gun olmadı˘gından (U a¸cık ve yo˘gunsa Uc hi¸cbir yerde yo˘gun olmayan bir k¨umedir) Onc∩ A hi¸cbir yerde yo˘gun olmayan k¨umedir. Bu, X uzayının bir Baire uzay olmasından dolayı ¸celi¸skidir. Buradan O = ∅ elde edilir. B¨oylece A ∩ O 6= ∅ olmak zorundadır.
4.7. Baire Uzayı 121
A’nın yo˘gun oldu˘gu g¨osterilmi¸s olunur.
(ii ⇒ iii). Her n i¸cin Fn kapalı olmak ¨uzere X = S
nFn olsun. O = S
nFn◦ diyelim. Her n i¸cin
En= Fn\ Fn◦
k¨umesi kapalı, hi¸cbir yerde yo˘gun olmayan k¨umedir ve dolayısıyla Enc, a¸cık ve yo˘gun k¨umedir.
E =S
nEn diyelim. Varsayım gere˘gi
Ec=T nEnc yo˘gundur. Oc= (S nFn) \ (S n(Fn)◦) ⊂S n[Fn\ (Fn)◦] = E
oldu˘gundan Ec ⊂ O olur. Ec yo˘gun olmasından da O’nun yo˘gun oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
(iii ⇒ i). X’in Baire uzay olmadı˘gını varsayalım. Bu durumda V =S
nAn, (An)◦ 6= ∅ olacak bi¸cimde An’ler ve V 6= ∅ a¸cık k¨umesi vardır.
X = VcS(SnAn) oldu˘gundan varsayım gere˘gi,
(Vc)◦= (Vc)◦S(Sn(An)◦
k¨umesi yo˘gundur, dolayısıyla V ∩ Vc 6= ∅ olur. Bu, ¸celi¸skidir. Kanıt
tamam-lanır.
Teorem 4.21. Tam metrik uzay Baire uzaydır11.
Kanıt: (X, d) tam metrik uzay olsun. Her n ∈ N i¸cin An, X uzayında yo˘gun a¸cık olsun. A = T
nAn diyelim. x ∈ X ve r > 0 verilsin. T¨umevarımla her n i¸cin
B[xn+1, rn+1] ⊂ B(xn, rn) ∩ An+1
olacak bi¸cimde X uzayında (xn) dizisi ve her n i¸cin 0 < rn ≤ 1
n e¸sitsizli˘gini sa˘glayan bir (rn) dizisinin oldu˘gu g¨osterilebilir.
11
Bu teorem Ree´e-Louis Baire (1874-1932) tarafından 1989 tarihli doktora tezinde Rni¸cin kanıtlanmı¸stır. Genelle¸stirilmi¸s hali Hausdorff’a aittir.
Cn= B[xn, rn]
diyelim. Cn’ler kapalı, bo¸sk¨umeden farklı ve azalan, yani Cn+1⊂ Cn olur. d(Cn) ≤ 2rn≤ 2
n → 0 oldu˘gundan Cantor Teoremi (Teorem 4.19) gere˘giT
nCn6= ∅ olur. y ∈T
nCn alalım. y ∈ B(x, r) ∩ A olur. Yani
B(x, r) ∩ A 6= ∅
olur. B¨oylece A’nın yo˘gun oldu˘gu kanıtlanmı¸s olur. Yukarıdaki teoremin bir sonucu olarak son derece ¨onemli uygulamaları olan a¸sa˘gıdaki teorem elde edilir. Kanıtı okurlara bırakıyoruz.
Teorem 4.22. X tam metik uzay olsun. X = S
nAn ise en az bir m i¸cin Am
◦
6= ∅ olur.
Alı¸stırmalar
4.41. Q’nun Baire uzay olmadı˘gını g¨osterin.
4.42. ˙Izole noktası olmayan tam metrik uzayın sayılamaz oldu˘gunu g¨osterin.
4.43. R ¨Oklid uzayında irrasyonel sayılar k¨umesinin sayılabilir tane kapalı k¨umelerin bile¸simi olarak yazılayamaca˘gını g¨osterin.
4.44. Baire uzayın a¸cık altuzayının Baire uzay oldu˘gunu g¨osterin. 4.45. X = [0, 1] olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.
i. S¨urekli her fonksiyon f : X −→ R sınırlıdır. Yani supx∈X|f (x)| < ∞. ii. C([0, 1]), ¨uzerinde tanımlı
d∞(f, g) = supx∈X|f (x) − g(x)| metri˘ge g¨ore tamdır.
iii. Her n ∈ N i¸cin
An= {f ∈ C(X) : 0 < h <n1 ⇒ supx∈[0,1−1 n]|f (x + h) − f (x)| ≤ nh} ve Bn= {f ∈ C(X) : 0 < h < 1 n ⇒ supx∈[1 n,1]|f (x − h) − f (x)| ≤ nh} k¨umeleri hi¸cbir yerde yo˘gun de˘gildir.
iv. C(X) 6= (S
nAn)S(SnBn)
v. S¨urekli fakat hi¸cbir noktada t¨urevlenemeyen f ∈ C(X) fonksiyonun var oldu˘gunu g¨osterin.
4.8 Metrik Uzayın Tamlaması
(X, d) ve (Y, p) metrik uzaylar ve f : X −→ Y fonksiyonu her x, y ∈ X i¸cin p(f (x), f (y)) = d(x, y)
4.8. Metrik Uzayın Tamlaması 123
e¸sitli˘gini sa˘glayan f fonksiyonuna izometri denir. Bir metrik uzay tam olmasa bile tam olan bir metrik uzayın yo˘gun altuzayına izometriktir. Daha da fazlası: Teorem 4.23 ( Hausdorff [70]). (X, d) bir metrik uzay olsun. u : X −→ Y ve u(X) = Y olacak bi¸cimde tam metrik uzay (Y, p) ve izometri u vardır.
Kanıt: [Kuratowski [100]] B, X’ten R’ye tanımlı sınırlı fonksiyonlar k¨umesini g¨ostersin. p, B k¨umesi ¨uzerinde, her f ,g ∈ B i¸cin
p(f, g) = supx∈X|f (x) − g(x)|
e¸sitli˘giyle tanımlı fonksiyon olsun. (B, p)’nin tam metrik uzay oldu˘gunu g¨ oster-mek zor de˘gil. x0 ∈ X noktasını sabitleyelim. u : X −→ B fonksiyonu
u(x)(y) = d(x, y) − d(x0, y) e¸sitli˘giyle tanımlansın.
p(u(x), u(y)) = supt∈X|u(x)(t) − u(y)(t)|
= supt∈X|(d(x, t) − d(x0, t)) − (d(y, t) − d(x0, t))| = supt∈X|d(x, t) − d(y, t)| ≤ d(x, y) = |d(x, x) − d(y, x)| ≤ supt∈X|(d(x, t) − d(y, t)| = p(u(x), u(y))
e¸sitsizliklerinden u’nun izometri oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Tam metrik uzayın kapalı al-tuzayı tam oldu˘gundan Y = u(X) alınarak kanıt tamamlanır. Bir metrik uzayın Tanım 4.13’te verilen anlamda tamlamasının (izometrik olarak) tek bir tane oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin a¸sa˘gıdaki teoreme ihtiyacımız var.
Teorem 4.24 (Hausdorff [71]). Y ve Z tam olmak ¨uzere (X, d), (Y, p), (Z, q) metrik uzayları verilsin. f : X −→ Y ve g : X −→ Z fonksiyonları
Y = f (X) ve Z = g(X)
e¸sitliklerini sa˘glayan iki izometri olsun. Birebir ve ¨orten olan h : Y −→ Z izometri vardır.
Kanıt: X uzayında (an) ve (bn) dizileri verilsin.
i. f (an) dizisinin yakınsaması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul (g(an)) dizisinin yakınsamasıdır.
ii. lim f (an) = lim f (bn) ⇔ lim g(an) = lim g(bn)
oldu˘gunu g¨ostermek zor de˘gildir. Bu g¨ozlemlerin sonucu olarak, h : Y −→ Z fonksiyonu, f (xn) → y i¸cin
h(y) = lim g(xn)
olarak tanımlansın. h’nin ¨orten ve izometri oldu˘gunu g¨ostermek zor de˘gildir.
Geri kalan detaylar okura bırakılmı¸stır.
X ve Y metrik uzayları arasında ¨orten izometri varsa bu uzaylara izomet-rik uzaylar denir.
Tanım 4.13. Y tam metrik uzay olmak ¨uzere, X metrik uzayından Y metrik uzayına tanımlı f (X) = Y olacak bi¸cimde bir izometri varsa Y uzayına X’in metrik uzay tamlaması denir.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu olarak bir metrik uzayın metrik uzay tam-lamaları (¨orten izometrik olarak) vardır. Teorem 4.23 ve Teorem 4.24 gere˘gi her metrik uzayın tek bir tane metrik tamlaması vardır.
Bir metrik uzayın tamlamasının var oldu˘gunun klasik sayılabilen bir ba¸ska kanıtı a¸sa˘gıda verilmi¸stir.
Teorem 4.25 (Hausdorff [70]). Her metrik uzayın metrik uzay tamlaması vardır.
Kanıt: Y0, X ¨uzerindeki Cauchy dizilerinin k¨umesi olsun. Her f ,g ∈ Y0 i¸cin f ≡ g :⇔ limnd(f (n), g(n)) = 0
olarak tanımlansın. ≡, Y0 k¨umesinde bir denklik ba˘gıntısı oldu˘gu a¸cıktır. Bu denklik ba˘gıntısına g¨ore Y , Y0’nın elemanlarının denklik sınıflarının k¨umesi olsun. Yani her f ∈ Y0 i¸cin
[f ] = {g ∈ Y0: f ≡ g} olmak ¨uzere
Y = {[f ] : f ∈ Y0} diyelim. Her x ∈ X i¸cin
π0(x)(n) = x
olarak tanımlanan π0(x) dizisi Y0’nın elemanıdır. A¸sa˘gıdakilerin ilk ¨u¸c¨u ko-laylıkla g¨or¨ul¨ur.
i. Her f , g ∈ Y0 i¸cin (d(f (n), g(n)) dizisi yakınsaktır.
ii. p : Y × Y −→ R, p([f ], [g]) = limnd(f (n), g(n)) olarak tanımlanan fonksiyon bir metriktir.
iii. π : X −→ Y , π(x) = [π0(x)] olarak tanımlanan fonksiyon bir izometri-dir.
4.8. Metrik Uzayın Tamlaması 125
p(π(f (n)), [f ]) = limkd(π0(f (n))(k), f (k)) = limkd(f (n), f (k)) → 0 istenilendir.
iv. (Y, p) tam metrik uzaydır: Kanıt: (Gn), (Y, p) metrik uzayında bir Ca-uchy dizisi olsun. π(X) = Y oldu˘gundan her n i¸cin
p(Gn, π(xn)) < n1 e¸sitsizli˘gini sa˘glayan, X’te (xn) dizisi vardır.
d(xn, xm) = p(π(xn), π(xm)) ≤ p(π(xn), Gn) + p(π(xm), Gm) + p(Gn, Gm) e¸sitsizli˘ginden (xn) dizisinin X’te bir Cauchy dizisi oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. f (n) = xn olmak ¨uzere
[f ] ∈ Y ve π(xn) → [f ] olur.
p(Gn, [f ]) ≤ p(Gn, π(xn)) + p(π(xn), [f ]) ≤ 1n+ p(π(xn), [f ]) → 0
oldu˘gundan Gn→ [f ] dir. Kanıt tamamlanır.
Alı¸stırmalar
4.46. R ¨Oklid metrik uzayın altuzayları Q ve R \ Q’nun metrik tamlamalarının R oldu˘gunu g¨osterin.
4.47. R’nin altuzayları (0, 1), [0, 1) ve (0, 1]’in tamlamalarını belirleyin. 4.48. Bir metrik uzayın tam altuzayının kapalı oldu˘gunu g¨osterin. 4.49. Ayrık metrik uzayın tam oldu˘gunu g¨osterin.
4.50. (X, d) metrik uzayında bir (xn) dizisi i¸cin a¸sa˘gıdakilerin denkli˘gini g¨osterin. i. (xn) Cauchy dizisidir.
ii.P
nd(xn, xn+1) < ∞. 4.51. (X, d) tam metrik uzay olsun.
p : X × X −→ R, p(x, y) = min{1, d(x, y)} olarak tanımlansın. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin. i. p, X ¨uzerinde tam metriktir.
ii. d ve p, X ¨uzerinde aynı topolojiyi ¨uretirler.
4.52. X = C[0, 1], [0, 1]’dan R’ye tanımlı s¨urekli fonksiyonların k¨umesi ve X ¨uzerinde d ve p metrikleri
d(f, g) = supx∈[0,1]|f (x) − g(x)| ve
p(f, g) =R1
0 |f (x) − g(x)|dx
olarak tanımlansın. (X, d)’nin tam fakat (X, p) uzayının tam olmadı˘gını g¨osterin. (X, p) uzayının tamlamasını belirleyin.
4.53. [0, 1]’den R’ye tanımlı polinomlar k¨umesi P ([0, 1])’in d(f, g) = supx∈[0,1]|f (x) − g(x)|
metri˘gine g¨ore tam olmadı˘gını g¨osterin ve tamlamasını belirleyin.
4.54. [0, 1]’den R’ye tanımlı Riemann integrallenebilir fonksiyonlar k¨umesi R([0, 1]) ¨uzerinde tanımlı,
f ≡ g ⇔R1
0 |f (x) − g(x)|dx = 0
denklik ba˘gıntısına g¨ore R([0, 1])’in elemanlarının denklik sınıflarının k¨umesini R ile g¨osterelim. R’nin
d([f ], [g]) =R1
0 |f (x) − g(x)|dx metri˘gine g¨ore tam olmadı˘gını g¨osterin ve tamlamasını belirleyin.
4.55. ((Xn, dn)) metrik uzayların dizisi ve her n ve x,y ∈ Xn i¸cin dn(x, y) ≤ 1 oldu˘gunu varsayalım. X =Q nXnolarak tanımlansın. d : X × X −→ R, d((xn), (yn)) =P n 1 2ndn(xn, yn) olarak tanımlansın. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨osterin.
i. (X, d) bir metrik uzaydır.
ii. (X, d) metrik uzayının tam olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, her n ∈ N i¸cin (Xn, dn) uzayının tam olmasıdır.
4.9 S¨urekli Fonksiyonların Geni¸slemesi
X ve Y iki topolojik uzay ve ∅ 6= A ⊂ B ⊂ X olmak ¨uzere f : A −→ Y ve g : B −→ Y fonksiyonları s¨urekli ve
her x ∈ A i¸cin g(x) = f (x) e¸sitli˘gi sa˘glanıyorsa g’ye f ’nin s¨urekli geni¸slemesi denir.
X bir topolojik uzay olsun. X uzayının sayılabilir tane a¸cık k¨umelerin arakesiti olarak yazılabilen k¨umeye Gδ-k¨ume ve Gδ-k¨umenin t¨umleyenine Fδ -k¨ume denildi˘gini hatırlayalım. Her a¸cık k¨ume bir Gδ-k¨ume ve her kapalı k¨ume bir Fδ-k¨umedir.
¨
Ornekler
4.11. Metrikle¸sebilir topolojik uzayın kapalı her altk¨umesi Gδ-k¨umedir. Ger¸cekten de X uzayının topolojisi d metri˘gi tarafından ¨uretilen topoloji ve A ⊂ X kapalı k¨ume olsun.
f : X −→ R, f (x) = d(x, A) olmak ¨uzere f s¨urekli ve
A =T
nf−1(−1n,n1)
ve sa˘glanır. Her n i¸cin f−1((−n1,1n)) a¸cık k¨ume oldu˘gundan istenilen elde edilmi¸s olur.
Bir metrik uzayın altuzayında tam metrik uzaya tanımlı s¨urekli bir fonksiyo-nun uzayın kapanı¸sına s¨urekli geni¸slemesinin olması gerekmese de altuzayla kapanı¸sı arasında kalan bir Gδ-k¨umesine s¨urekli olarak geni¸sleyebilir.
Teorem 4.26. Bir metrik uzayın bir altk¨umesinden bir tam metrik uzaya tanımlı s¨urekli her fonksiyonun, altk¨umeyle onun kapanı¸sı arasında kalan bir Gδ-k¨umeye s¨urekli geni¸slemesi vardır.
4.9. S ¨urekli Fonksiyonların Genis¸lemesi 127
Kanıt: d tarafından ¨uretilen topolojiyi τ ile g¨osterelim. f fonksiyonu s¨urekli oldu˘gundan her x ∈ X i¸cin
supy,z∈A∩Uxp(f (y), f (z)) < ∞
olacak bi¸cimde Ux∈ τ (x) vardır. Dolayısıyla u : A −→ R fonksiyonu u(x) = infU ∈Uxsupy,z∈A∩Up(f (y), f (z))
e¸sitli˘giyle tanımlanabilir. Ayrıca
A∗= {x ∈ A : u(x) = 0} olsun.
i. x ∈ A∗ verilsin. xn→ x ve u(x) = 0 ise (f (xn)) yakınsaktır: Bu ¨ ozellik-teki dizinin Cauchy dizisi oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir. Y tam oldu˘gundan dizi yakınsaktır.
ii. x ∈ A∗, xn → x ve yn → x ise limnf (xn) = limnf (yn): Her n ∈ N i¸cin z2n= xn ve z2n−1= ynolmak ¨uzere (zn), A’da x’e yakınsayan bir dizidir. Dolayısıyla
limnf (xn) = limnf (z2n) = limnf (z2n−1) = limnf (yn) elde edilir.
B¨oylece
f∗: A∗−→ Y , f (x) = limnf (xn) (xn∈ A, xn→ x) fonksiyonunu tanımlayabiliriz.
iii. f∗ fonksiyonu s¨ureklidir: A∗ altuzayında xn→ x olsun. > 0 verilsin. supy,z∈U ∩Ap(f (y), f (z)) <
olacak bi¸cimde U ∈ τ (x) vardır. Buradan
supy,z∈U ∩Ap(f∗(y), f∗(z)) ≤
olur. Aynı zamanda her n ≥ n0 i¸cin xn ∈ U olacak bi¸cimde n0 ∈ N vardır. Ayrıca xn∈ A oldu˘gundan her n ≥ n0 i¸cin
p(f∗(xn), f∗(x)) ≤ olur. B¨oylece f∗’nin s¨urekli oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
iv. A∗, Gδ-k¨umedir: Her n ∈ N i¸cin
An= {x ∈ A : u(x) < n1}, k¨umesi A altuzayında a¸cıktır. Ger¸cekten x ∈ Anise
sup{p(f (y), f (z)) : y, z ∈ U ∩ A} < n1 e¸sitsizli˘gini sa˘glayan U ∈ τ (x) vardır. Buradan
x ∈ U ∩ A ⊂ An
elde edilir. U ∩ A k¨umesinin A’da a¸cık oldu˘gu dikkate alınarak, An’nin, A altuzayında a¸cık oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
A∗=T
nAn
oldu˘gundan A∗, A’da Gδ-k¨umesidir. Metrik uzayda kapalı her k¨ume Gδ-k¨ume oldu˘gundan A∗, X’te Gδ-k¨umedir. Kanıt tamamlanır. Yukarıdaki teoremde f fonksiyonuna eklenecek hangi ek ko¸sul altında A∗ yerine A alınabilir? Bunun bir yanıtını vermeden ¨once a¸sa˘gıdaki tanıma ihti-yacımız var.
Tanım 4.14. (X, d) ve (Y, p) iki metrik uzay olsun. f : X −→ Y fonksiyonu verilsin. Her > 0 i¸cin
d(x, y) < δ ⇒ p(f (x), f (y)) < olacak bi¸cimde δ > 0 varsa f ’ye d¨uzg¨un s¨urekli12 denir13.
Hen¨uz kompaktlık kavramı verilmemi¸s olsa da bir kompakt metrik uzayda tanımlı reel de˘gerli s¨urekli her fonksiyonun d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gunu ¸simdiden s¨oyleyelim. Bunun bir sonucu olarak reel sayıların kapalı ve sınırlı her altk¨ ume-sinden R’ye tanımlı s¨urekli her fonksiyon d¨uzg¨un s¨ureklidir. Bunun i¸cin Alı¸stırma 11.10’a bakınız.
Teorem 4.27. Bir metrik uzayın bir altk¨umesinden bir tam metrik uzaya tanımlı d¨uzg¨un s¨urekli her fonksiyonun, altk¨umenin kapanı¸sına d¨uzg¨un s¨urekli geni¸slemesi vardır.
Kanıt: Fonksiyonun d¨uzg¨un s¨urekli olma durumunda bir ¨onceki teoremin kanıtında ge¸cen A∗ = A oldu˘gu kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. Ayrıca yine o teoremde yer alan s¨urekli fonksiyonun geni¸slemesinin d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gu da kolaylıkla g¨or¨ul¨ur.
Alı¸stırmalar
12
X metrik uzayından her metrik uzaya tanımlı s¨urekli fonksiyon d¨uzg¨un s¨urekli oluyorsa, X’e Atsuji uzay denir.
13
Bu kavram Bolzano’nın bir ¸calı¸smasında yer almı¸s olsa da ilk olarak 1870 yılında Heine tarafından tanımlanmı¸stır. 1972 yılında Heine, bir a¸cık aralıkta tanımlı s¨urekli fonksiyonun d¨uzg¨un s¨urekli olması gerekmedi˘gine ili¸skin ¨ornek vermi¸stir. Ayrıca Bolzano ¸calı¸smalarında tam olarak kanıtı vermeden, kapalı aralıkta tanımlı s¨urekli fonksiyonun d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gunu ifade etmi¸stir.
4.10. Tam Metrikles¸ebilir Topolojik Uzaylar 129
4.56. (X, d) bir merik uzay ve ∅ 6= A ⊂ X verilsin.
f : X −→ Y , f (x) = d(x, A) olarak tanımlanan fonksiyonun d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.
4.57. f : R \ {0} −→ R, f (x) = 1x olarak tanımlanan s¨urekli fonksiyonun R’ye s¨urekli geni¸slemesinin olmadı˘gını g¨osterin.
4.58. f ,g : (0, 1] −→ R fonksiyonları
f (x) = x2ve g(x) = 1 x
e¸sitlikleri ile tanımlansın. f ’nin d¨uzg¨un s¨urekli, g’nin d¨uzg¨un s¨urekli olmayan fonksiyon-lar oldu˘gunu g¨osterin.
4.10 Tam Metrikle¸sebilir Topolojik Uzaylar
Bu b¨ol¨umde topolojisi bir tam metrik tarafından ¨uretilebilen topolojileri ka-rakterize edece˘giz. (X, d) ve (Y, p) metrik uzayları homeomorfik olsun. p tam metrik ise f : X −→ Y bir homeomorfizma olmak ¨uzere, X ¨uzerinde tanımlı
q(x, y) = p(f (x), f (y))
metri˘gin tam ve (X, d) ve (X, q) metrik uzaylarının homeomorfik olduklarını not edelim.
X = (−1, 1) uzayındaki d metri˘gini d(x, y) = |x − y| olarak tanımlayalım. d metri˘gi tam de˘gildir! Buna kar¸sın X ¨uzerinde
p(x, y) = |arctanx − arctany|
e¸sitli˘gi ile tanımlanan metrik tamdır. Ayrıca d ve p metrikleri aynı topolojiyi ¨
uretirler. Bu g¨ozlem bizi a¸sa˘gıdaki tanıma y¨onlendirir.
Tanım 4.15. (Fr´echet [49]) Topolojisi bir tam metrik uzay tarafından ¨uretilen topolojik uzaya tam metrikle¸sebilir14 uzay denir.
Tam metrik uzayın altuzaylarının tam metrikle¸sebilir olması i¸cin bazı gerek ve yeter ko¸sulu belirleyebiliriz. Bunun i¸cin a¸sa˘gıdaki teoreme ithiyacımız var.
¨
Oncelikle not edelim: K bir topolojik uzay, T , K’de bir Gδ-k¨ume ve M , T ’de bir Gδ-k¨ume ise M , K’de bir Gδ-k¨umedir. Ayrıca bir metrik uzayın kapalı altk¨umesi Gδ-k¨umedir.
Teorem 4.28 (Lavrentieff [101]). X ve Y tam metrik uzaylar, A ⊂ X ve B ⊂ Y olmak ¨uzere f : A −→ B bir homeomorfizma olsun. u : A∗ −→ B∗ homeomorfizma, f ’nin s¨urekli geni¸slemesi, A ⊂ A∗ ⊂ X, B ⊂ B∗ ⊂ Y olacak bi¸cimde Gδ-k¨umeler A∗ ve B∗ vardır.
Kanıt: Yukarıdaki g¨ozlem nedeniyle A = X ve B = Y oldu˘gunu varsayabili-riz. Teorem 4.26 gere˘gi
A ⊂ A1 ⊂ X ve B ⊂ B1⊂ Y
k¨umeleri sırasıyla X ve Y ’de Gδ-k¨umeler olmak ¨uzere f ’nin s¨urekli geni¸slemesi f∗ : A1 −→ Y ve g = f−1 fonksiyonunun s¨urekli geni¸slemesi g∗ : B1 −→ X vardır.
A∗= {x ∈ A1 : f∗(x) ∈ B1} ve
B∗= {y ∈ B1: g∗(y) ∈ A1}
k¨umeleri sırasıyla X ve Y ’de Gδ-k¨umelerdir. Ayrıca A ⊂ A∗ ve B ⊂ B∗oldu˘gu a¸cıktır. x ∈ A ve y ∈ B i¸cin
g∗(f∗(x)) = g∗(h(x)) = g(h(x)) = x ve
f∗(g∗(y)) = f∗(g(y)) = f (g(y)) = y
olur. x ∈ A∗ verilsin. A’nın kapanı¸sı X oldu˘gundan A’nın A∗ daki kapanı¸sı A∗ olur. x ∈ A∗ verilsin. xn→ x olacak bi¸cimde A’da (xn) dizisi vardır. f∗ ve g∗’nin s¨ureklili˘ginden
x = lim xn= lim g∗(f∗(xn)) = g∗(f∗(x)) olur. Benzer bi¸cimde her y ∈ B∗ i¸cin
y = f∗(g∗(y))
dir. S¸imdi u = f∗|A∗’nin istenilen ¨ozellikte homeomorfizma oldu˘gunu s¨
oyleye-biliriz.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu a¸sa˘gıdadır. Bu sonu¸c n-boyutlu ¨Oklid uzay-ları i¸cin Mazurkiewicz [114] tarafından verilmi¸stir.
Sonu¸c 4.29. Bir metrik uzayın tam metrikle¸sebilir altuzayı Gδ-k¨umedir. Kanıt: ˙Iki farklı kanıt verebiliriz.
Birinci kanıt. (X, d) bir metrik uzay ve A ⊂ X tam metrikle¸sebilir uzay olsun. Yani A ¨uzerinde tanımlı bir tam metrik p tarafından ¨uretilen topolojiyle A altuzayının metrik topolojisi aynı olsun. K, X uzayının metrik tamlaması olsun. i : (A, p) −→ (A, d) bir homeomorfizmadır. Yukarıdaki teorem gere˘gi, i’nin tanım k¨umesi A’da olan A∗, Gδ-k¨ume ve de˘ger k¨umesi K’de Gδ-k¨ume B∗ olan bir homeomorfizma geni¸slemesi i∗ vardır. Ancak i = i∗ olaca˘gından,
4.10. Tam Metrikles¸ebilir Topolojik Uzaylar 131
A = i(A) = i(A∗) = B∗,
K’da bir Gδk¨umedir. A ⊂ X oldu˘gundan da A k¨umesi X’in bir Gδ-k¨umesidir. ˙Ikinci kanıt. (Y, d) metrik uzayının topolojisi τ olsun. X, tam (Y, d) metrik uzayın tam metrikle¸sebilir altuzayı olsun. Yani p, X ¨uzerinde bir tam metrik ve (X, p) ve (X, dX×X) uzayları homeomorfik olsun. Her n ∈ N i¸cin
Gn=y ∈ Y : d(y, X) < 1
n}T{y ∈ Y : ∃V ∈ τ (y), r(X ∩ V ) < 1 n
olsun.
i. Gn a¸cıktır: y0 ∈ Gn verilsin. V ∈ τ (y0) olmak ¨uzere r(X ∩ V ) < n1 olsun. W = V ∩ {y ∈ Y : d(y, X) < n1} ∈ τ (y0) ve W ⊂ Gn dir. ii. X ⊂T nGn: x ∈ X ve n ∈ N verilsin. d(x, X) = 0 olur. U = {y ∈ X : p(x, y) < 3n1 }
k¨umesi X’te a¸cık oldu˘gundan U = X ∩ O olacak bi¸cimde a¸cık O ⊂ Y vardır. x ∈ O ve r(X ∩O) < n1 oldu˘gu a¸cıktır. B¨oylece x ∈ Gnolur. n keyfi oldu˘gundan x ∈T
nGn oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. iii. X = T
nGn: x ∈ T
nGn verilsin. d(x, X) = 0 ve dolayısıyla x ∈ X. d(xn, x) → 0 olacak bi¸cimde X’te (xn) dizisi se¸cebiliriz. Ayrıca τ (x)’te
r(Vn∩ X) < 1 n
olacak bi¸cimde (Vn) dizisi vardır. (Y, d) uzayında xn→ x ve her n i¸cin x ∈ Vn oldu˘gundan
m ≥ kn⇒ xm ∈ Vn
olacak bi¸cimde (kn) dizisi vardır. Her n i¸cin r(X ∩ Vn) < n1 olmasından dolayı (xn) dizisi (X, p) tam metrik uzayında Cauchy ve dolayısıyla bu uzayda bir z ∈ X i¸cin xn→ z olur. Aynı zamanda (Y, d) uzayında xn→ z olur. Buradan x = z ∈ X elde edilir. B¨oylece ikinci kanıt verilmi¸s olur.
Yukarıdaki teoremin tersi tam metrik uzaylar i¸cin do˘grudur.
Teorem 4.30 (Alexandroff ¨Onteoremi). Bir metrik uzayın tam metrikle¸sebilir olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, bir tam metrik uzayın Gδ-altuzayına home-omorfik olmasıdır.
Kanıt: X metrikle¸sebilir uzay olsun. X tam metrikle¸sebilir uzaysa her¸sey a¸cık. S¸imdi X’in bir tam metrikle¸sebilir Y uzayın Gδ-altuzayına homeomor-fik oldu˘gunu varsayalım. Y ¨uzerindeki metri˘gi d ile g¨osterelim. X uzayını Y uzayının bir altuzayı olarak g¨orebiliriz, dolayısıyla X ¨uzerindeki metri˘gi d|X×X
alabiliriz. X 6= Y oldu˘gunu varsayalım. X =T
nGn
olacak bi¸cimde Y ’de a¸cık k¨umelerin dizisi (Gn) vardır. Her k ∈ N ve x ∈ X i¸cin
dk(x) = d(x,Y \G1 k)
olmak ¨uzere X ¨uzerinde
p(x, y) = d(x, y) +P
nmin{21n, |dn(x) − dn(y)|} metri˘gini tanımlayalım.
i. (X, d) ve (X, p) metrik uzayları homeomorfiktir: A¸cıktır.
ii. (X, p) metrik uzayı tamdır: (xn) dizisi (X, p) uzayında Cauchy olsun. Aynı zamanda (xn) dizisi Y uzayında Cauchy olur. Y uzayı tam oldu˘gundan xn → x (d(xn, x) → 0) olacak bi¸cimde x ∈ Y vardır. k ∈ N verilsin. dY \Gk fonksiyonu s¨urekli oldu˘gundan
d(xn, Y \ Gk) → d(x, Y \ Gk) olur. Ayrıca limn,m→∞p(xn, xm) = 0 olmasından dolayı
|dk(xn) − dk(xm)| → 0
olur. B¨oylece (dk(xn)) dizisinin limiti (n → ∞) vardır. Buradan limnd(xn, Y \ Gk) = d(x, Y \ Gk)
olur. B¨oylece d(x, Y \ Gk) > 0, yani x ∈ Gk olur. k keyfi oldu˘gundan x ∈ T
nGn= X olur. p(xn, x) → 0 oldu˘gu g¨osterilmi¸s olunur. Sonu¸c olarak (X, p) metrik uzayının tam oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
Alı¸stırmalar
4.59. Tam metrikle¸sebilir bir uzayın kapalı altuzayının tam metrikle¸sebilir oldu˘gunu g¨osterin. 4.60. Sayılabilir tane tam metrikle¸sebilir uzayın ¸carpım uzayının tam metrikle¸sebilir olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun her bir fakt¨or¨un tam metrikle¸sle¸sebilir olması gerekti˘gini g¨osterin.
4.11. S ¨ureklilik Uzayı 133
4.11 S¨ureklilik Uzayı
Her metrik uzayın bir topoloji ¨uretti˘gini ama her topolojik uzayın bir metrik tarafından ¨uretilemeyece˘gini biliyoruz. ¨Orne˘gin en az iki elemanlı bir k¨ume ¨
uzerindeki en kaba topoloji, RR ¸carpım topolojisi metrik topoloji de˘gillerdir. X, bo¸s olmayan k¨ume olmak ¨uzere f : X × X −→ R fonksiyonu verilsin. Her x ∈ X ve r > 0 i¸cin
B(x, r) = {y ∈ X : f (x, y) < r}
k¨umesine x merkezli ve r yarı¸caplı a¸cık k¨ure diyelim. S¸u soru olduk¸ca yerin-dedir:
τf = {U ⊂ X : her x ∈ U i¸cin B(x, r) ⊂ U olacak bi¸cimde r > 0 var } k¨umesinin X ¨uzerinde bir topoloji olabilmesi i¸cin f ’nin hangi ¨ozellikleri ge-rek ve yeterlidir? Yanıtın olumsuzlu˘gu durumunda R yerine belirli ¨ozellikleri sa˘glayan kısmi sıralı bir cebir yapısı alınabilir mi? Elbette f bir metrik ise (hatta s¨ozde metrikse) τf bir topolojidir. Bu altb¨ol¨umde yukarıdaki soruların yanıtını verece˘giz.
De˘gi¸smeli bir (A, +) yarıgrubun yutan elemanı (∞ ile g¨osterilecek ve varsa da tektir), her x ∈ A i¸cin x + ∞ = ∞ ko¸sulunu sa˘glayan elemandır. Yarıgrubun birim elemanı 0 ile g¨osterilecek. Bu altb¨ol¨umde yarıgrubun 0’dan farklı yutan elemanının olmasının yanında,
her a, b ve x i¸cin a + x = b ve b + y = a ise a = b ko¸sulunu sa˘glandı˘gını varsayaca˘gız. Bu durumda okur,
a ≤ b ⇔ b = a + x olacak bi¸cimde x vardır
sıralamasına g¨ore A’nın bir kısmi sıralı k¨ume oldu˘gunu kolaylıkla g¨orebilir. Tanım 4.16 (Kopperman [95]). A¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glayan ve birim ele-mandan farklı yutan eleman bulunduran (A, +) yarıgruba de˘gerli yarıgrup denir.
i. Her a ∈ A i¸cin b + b = a olacak bi¸cimde tek bir tane b vardır.
ii. Verilen her a, b ∈ A noktalarının infimumu vardır ve a ∧ b ile g¨osterilir. iii. Her a, b, c ∈ A i¸cin a ∧ b + c = (a + c) ∧ (b + c) olur.
De˘gerli yarıgrupta b + b = a e¸sitli˘gini sa˘glayan b, 12a ya da a2 ile g¨osterilir. Ayrıca her x i¸cin x ≤ ∞ oldu˘gu kolaylıkla g¨osterilir.
Her topolojinin metrikle¸semez oldu˘gunu biliyor olsak da, her topoloji-nin de˘gerli yarıgruba tanımlı metrik aksiyomlarının bazılarını sa˘glayan fonk-siyonlarla tanımlanabilece˘gini g¨osterece˘giz. Metrik uzaylarda a¸cık k¨urelerin yarı¸capının (0, ∞)’de olması g¨ozleminin yanında bazı teknik ayrıntılar nede-niyle a¸sa˘gıdaki tanımı verme gereklili˘gi vardır.
Tanım 4.17 (Kopperman [95]). (A, +) yarıgrubunun a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glayan P ⊂ A altk¨umesine A’nın bir pozitif k¨umesi denir.
i. Her r, s ∈ P elemanın infimumu vardır ve r ∧ s ile g¨osterilir. ii. r ∈ P ve r ≤ s ise s ∈ P .
iii. Her r ∈ P i¸cin r2 ∈ P .
iv. Verilen a, b elemanı i¸cin, her r ∈ P i¸cin a ≤ b + r e¸sitsizli˘gi sa˘glanıyorsa, a ≤ b olur.
De˘gerli yarıgrup A’nın her pozitif k¨umesi bo¸s k¨umeden farklı ve yutan ele-man ∞’yi i¸cerir. Ger¸cekten, her x ∈ A i¸cin x ≤ ∞ oldu˘gu dikkate alındı˘gında, e˘ger P = ∅ olsaydı, her p ∈ P i¸cin, ∞ ≤ 0 + p olurdu. Yukarıki tanımda ge¸cen (iv) ko¸sulundan ∞ ≤ 0 ≤ ∞ ve buradan da 0 = ∞ ¸celi¸skisi olu¸surdu. O halde en az bir x ∈ A i¸cin x ∈ P olur. x ≤ ∞ olmasından da ∞ ∈ P our.
(Ai)i∈I de˘gerli yarıgrupların bir ailesi ve her i i¸cin Pi ⊂ Ai’nin bir pozitif k¨umesi olsun. A =Q
i∈IAi noktasal toplama i¸slemi altında bir yarıgrup olur. Her i ∈ I i¸cin ∞i, Ai’nin yutan elemanı olmak ¨uzere,
P = {(xi) ∈ A : {i ∈ I : xi6= ∞i} sonlu }
k¨umesi, A’nın bir pozitif k¨umesi olur. Bunun g¨osterilmesini okura bırakıyoruz. Tanım 4.18 (Kopperman [95]). X, bo¸s olmayan bir k¨ume ve A bir yarıgrup olsun, ve P , A’nın bir pozitif k¨umesi olsun. d : X × X ⇒ A, fonksiyonu, her x, y ∈ X i¸cin
i. d(x, x) = 0,
ii. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
ko¸sulunu sa˘glarsa, (X, d, A, P ) d¨ortl¨us¨une, s¨ureklilik uzayı denir.
(X, d, A, P ) s¨ureklilik uzayına, her x, y i¸cin d(x, y) = d(y, x) ko¸sulu sa˘glanıyorsa simetri ve d(x, y) = 0 ⇒ x = y ko¸sulu sa˘glanırsa ayrık denir.
¨
Ornekler
4.12. d : X × X −→ [0, ∞) fonksiyonu, her x, y ve z ∈ X i¸cin d(x, x) = 0 ve d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) e¸sitsizli˘gini sa˘glasın. (X, d, [0, ∞], (0, ∞]) bir s¨ureklilik uzayıdır. 4.13. Bo¸s olmayan her I k¨umesi i¸cin noktasal toplama i¸slemi altında AI= [0, ∞]I bir de˘gerli
yarıgrup olur. Bu yarıgrubun pozitif k¨umelerinden biri PI= (0, ∞]Idir. Bu yarıgrubun sıfırı, sıfır sabit fonksiyonu ve yutan elemanı sonsuz sabit fonksiyonudur. X bo¸solmayan bir k¨ume ve τ ⊂ P(X) olmak ¨uzere A = Aτ ve P = Pτ, 0 < q olmak ¨uzere, d : X ×X −→ A fonksiyonu,
d(x, y)(U ) =
0 ; x ∈ U ⇒ y ∈ U q ;di˘ger durumda e¸sitli˘giyle tanımlansın. Aτ,q= (X, d, A, P ) bir s¨ureklilik uzayıdır.
Metrik topolojiye benzer bir topoloji, s¨ureklilik uzayı i¸cin tanımlanabilir. Tanım 4.19. A = (X, d, A, P ) bir s¨ureklilik uzayı olmak ¨uzere,
4.11. S ¨ureklilik Uzayı 135
B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} k¨umesine x merkezli r yarı¸caplı k¨ure denir. Ayrıca