Bir Yar¬Eksen Üzerinde Sal¬n¬ml¬Çözümler:

Bir Yar¬Eksen Üzerinde Sal¬n¬ml¬Çözümler:

L [y] = d

dx p(x) dy

dx + q(x)y = 0 olmak üzere,

Teorem: 0 < x < 1 yar¬sonsuz aral¬¼ g¬nda p(x) ve q(x) sürekli fonksiyonlar ve de p(x) > 0 olsun. E¼ ger a¸ sa¼ g¬daki genelle¸ stirilmi¸ s integraller ile ilgili

Z

1

dx

p(x) = + 1 ; Z

1

q(x)dx = + 1

e¸ sitlikleri geçerli oluyorsa, o takdirde (1) denkleminin her y(x) çözümü 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda sonsuz say¬da s¬f¬r yerine sahiptir. Benzer ¸ sekilde e¼ ger,

Z

0

dx

p(x) = + 1 ; Z

0

q(x)dx = + 1

e¸ sitlikleri geçerli oluyorsa, o takdirde (1) denkleminin herbir çözümü 0 < x < 1 aç¬k aral¬¼ g¬nda sonsuz say¬da s¬f¬r yerine sahiptir.

Örnek 1. d

dx x

: dy

dx + x

y = 0 denkleminin çözümlerinin 1 < x < 1 aral¬¼ g¬ndaki sal¬n¬ml¬l¬k durumunu inceleyiniz.

Çözüm: Verilen diferensiyel denklemde p(x) = x

; q(x) = x

olmak üzere, verilen aral¬kta p(x) ve q(x) sürekli olup, p(x) = x

> 0 sa¼ glan¬r.

Z

1

dx p(x) =

Z

1

q(x)dx = Z

1

x

dx = + 1

oldu¼ gundan, Teorem den dolay¬verilen denklemin a¸ sikar olmayan her y(x) reel çözümü, 1 <

x < 1 aral¬¼ g¬nda sonsuz say¬da s¬f¬r yerine sahiptir. Bu aral¬kta ikiden fazla s¬f¬r yerine sahip çözümler sal¬n¬ml¬oldu¼ gundan, bu denklemin çözümleri de sal¬n¬ml¬d¬r.

Örnek 2. d

dx (3x + 2x

) dy dx +

"

arctan x

1 + x

+ (ln x)

x

#

y = 0 denkleminin reel çözümleri 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda sal¬n¬ml¬m¬d¬r? · Inceleyiniz.

1

Çözüm: Verilen diferensiyel denklemde p(x) = (3x + 2x

), q(x) = arctan x

1 + x

+ (ln x)

x olup 1 < x < 1 için p(x) > 0 olup p(x) ve q(x) süreklidir.

Z

1

dx p(x) =

Z

1

dx

(3x + 2x

) = + 1 Z

1

q(x)dx = Z

1

( arctan x

1 + x

+ (ln x)

x )dx = + 1

olduklar¬ndan Teorem den dolay¬, verilen denklemin herbir reel çözümü 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda sonsuz say¬da s¬f¬r yerine sahiptir. Dolay¬s¬yla çözümler sal¬n¬ml¬d¬r.

Örnek 3. y

+ a

y = 0 denkleminin çözümlerinin 1 < x < 1 aral¬¼ g¬ndaki sal¬n¬ml¬l¬k durumunu inceleyiniz.

Çözüm:

y

+ a

y = d dx

dy

dx + a

y = 0

oldu¼ gundan p(x) = 1, q(x) = a

den 1 < x < 1 için p(x) ve q(x) sabit fonksiyonlar olup süreklidir ve p(x) = 1 > 0 d¬r.

Z

1

dx p(x) =

Z

1

dx = lim

t!1

Z

1

dx = + 1

Z

1

q(x)dx = Z

1

a

dx = lim

t!1

Z

1

a

dx = + 1

sa¼ gland¬¼ g¬ndan, verilen denklemin herbir reel çözümü 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda sonsuz say¬da s¬f¬r yerine sahiptir. Dolay¬s¬yla çözümler sal¬n¬ml¬d¬r.

Örnek 2. d

dx (4x + 3x

) dy

dx + (x

+ 3x

+ 1)y = 0 denkleminin reel çözümleri 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda sal¬n¬ml¬m¬d¬r? · Inceleyiniz.

Çözüm: Verilen diferensiyel denklemde p(x) = (4x + 3x

), q(x) = (x

+ 3x

+ 1) olup

2

1 < x < 1 için p(x) > 0 sa¼ glan¬r.

Z

1

dx p(x) =

Z

1

dx

(4x + 3x

) = + 1 Z

1

q(x)dx = Z

1

(x

+ 3x

+ 1)dx = lim

t!1

Z

1

(x

+ 3x

+ 1)dx = + 1

oldu¼ gundan yukar¬daki teoremden ötürü, verilen denklemin her bir reel çözümü 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda sonsuz say¬da s¬f¬r yerine sahiptir. Dolay¬s¬yla sal¬n¬ml¬d¬r.

3