Grünwald-Letnikov Kesirli Türevi

3.2.1. Tamsayı Basamaktan Türevlerin ve İntegrallerin Birleştirilmesi

Bu bölümde klasik analizde farklı olarak verilen iki notasyonun ortak ifadesine yaklaşımlar ele alınacaktır. Bunlar 𝑛 yinci basamaktan türev ve 𝑛 katlı integrallerdir.

Aşağıda göstereceğimiz gibi bu notasyonlar zannedilenin aksine birbirlerine daha yakındır.

Şimdi sürekli bir 𝑦 = 𝑓(𝑡) fonksiyonunu göz önüne alalım. Bilindiği gibi 𝑓(𝑡) fonksiyonunun birinci basamaktan türevi

𝑓^′(𝑡) =𝑑𝑓 𝑑𝑡 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡 − ℎ)

ℎ (3.1) şeklinde tanımlanır. (3.1) in bir kez daha türevi alınırsa

𝑓^′′(𝑡) =𝑑²𝑓 𝑑𝑡² = lim

ℎ→0

𝑓^′(𝑡) − 𝑓^′(𝑡 − ℎ) ℎ

22

bulunur. Bu işlem 𝑛 kez tekrarlanırsa

𝑓^(𝑛)(𝑡) =𝑑^𝑛𝑓

şeklindeki genellemesini göz önüne alalım. Burada 𝑝 keyfi bir tamsayı ve 𝑛 de (3.4) deki gibi bir tamsayıdır.

Açık olarak (3.5) den (𝑝

𝑝) den sonraki tüm katsayıların sıfıra eşit olmasından dolayı, 𝑝 ≤ 𝑛 için

23 lim

ℎ→0𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = 𝑓^(𝑝)(𝑡) =𝑑^𝑝𝑓

𝑑𝑡^𝑝 (3.7)

dir. Şimdi 𝑝 nin negatif değerlerini alalım. Uygunluk için

[𝑝

𝑟] =𝑝(𝑝 + 1)(𝑝 + 2) … (𝑝 + 𝑟 − 1)

𝑟! (3.8) şeklinde tanımlanırsa

(−𝑝

𝑟 ) =−𝑝(−𝑝 − 1) … (−𝑝 − 𝑟 + 1)

𝑟! = (−1)^𝑟[𝑝

𝑟] (3.9)

bulunur. (3.6) da 𝑝 yerine −𝑝 alınırsa 𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) = 1

ℎ^−𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.10)

𝑛

𝑟=0

yazılabilir. Burada 𝑝 pozitif bir tam sayıdır.

Eğer 𝑛 sabit tutulursa, 𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) ifadesi ℎ → 0 için sıfır olur. Sıfırdan farklı bir limite ulaşmak için ℎ → 0 iken 𝑛 → ∞ kabul etmemiz gerekir. Böylece 𝑎 reel sabit olmak üzere ℎ =^𝑡−𝑎

𝑛 alınabilir ve 𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) nın sonlu ya da sonsuz olan limit değerleri göz önüne alınırsa bu ifade

lim

𝑛ℎ=𝑡−𝑎ℎ→0

𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^(−𝑝)𝑓(𝑡)

(3.11)

ile gösterilebilir.

Şimdi aşağıdaki birkaç özel durumu düşünelim: İlk olarak 𝑝 = 1 için

𝑓_ℎ⁽⁻¹⁾(𝑡) = ℎ ∑ [1 𝑟]

𝑛

𝑟=0

𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.12)

24

dir. 𝑡 − 𝑛ℎ = 𝑎 olduğu dikkate alınır ve 𝑓(𝑡) fonksiyonunun sürekli olduğu göz önüne alınırsa

lim

ℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎

𝑓_ℎ⁽⁻¹⁾(𝑡) = 𝐷_𝑡⁻¹𝑓(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.13)

𝑡

𝑎 𝑡−𝑎

0 𝑎

elde edilir.

Şimdi 𝑝 = 2 alalım. Bu durumda

[2

𝑟] =2.3 … (2 + 𝑟 − 1)

𝑟! = 𝑟 + 1

olup

𝑓_ℎ⁽⁻²⁾(𝑡) = ℎ ∑(𝑟 + 1)ℎ𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.14)

𝑛

𝑟=0

elde edilir. 𝑡 + ℎ = 𝑦 alınırsa

𝑓_ℎ⁽⁻²⁾(𝑡) = ℎ ∑ 𝑟ℎ𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) (3.15)

𝑛+1

𝑟=1

yazılabilir ve ℎ → 0 için

limℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎

𝑓_ℎ⁽⁻²⁾(𝑡) = 𝐷_𝑡⁻²𝑓(𝑡) = ∫ 𝑧𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = ∫(𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑎 𝑡−𝑎

0 𝑎

(3.16)

elde edilir. Burada ℎ → 0 için 𝑦 → 𝑡 dir.

𝑝 = 3 durumu bize 𝐷_{𝑎 𝑡}^−𝑝 için genel ifadeyi gösterecektir.

25

(3.13) − (3.20) den genel gösterim

26

(3.21) formülü tümevarımla ispatlanabilir. 𝑝 için doğruluğunu kabul edip 𝑝 + 1 için doğruluğunu gösterelim. Açıktır ki

𝑓₁(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.22)

𝑡

𝑎

fonksiyonu 𝑓₁(𝑎) = 0 özelliğine sahiptir.

𝐷_𝑡^−𝑝−1𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

eşitliğini göz önüne alalım. (3.8) i kullanarak

[𝑝 + 1

dır. (3.24) deki ilişki (3.23) deki ilk toplama uygulanırsa ve ikinci toplamda 𝑟 yerine (𝑟 − 1) yazılırsa

27

elde edilir ve (3.22) deki 𝑓₁(𝑡) fonksiyonunun tanımından

𝑛→∞lim 𝑓₁(𝑎 −𝑡 − 𝑎 𝑛 ) = 0

bulunur. (2.13) deki Gamma fonksiyonunun tanımından

𝑛→∞lim [𝑝 + 1

28 bulunur. Böylece (3.21) formülü ispatlanmış olur.

Şimdi (3.21) deki formülün 𝑝 −katlı integrali temsil ettiğini gösterelim.

𝑑

𝑑𝑡( 𝐷_{𝑎 𝑡}^−𝑝𝑓(𝑡)) = 1

(𝑝 − 2)!∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝−2𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 𝐷_{𝑎 𝑡}^−𝑝+1𝑓(𝑡)

𝑡

𝑎

ifadesinin 𝑎 dan 𝑡 ye integre edilmesiyle

𝐷_{𝑎 𝑡}^−𝑝𝑓(𝑡) = ∫ ( 𝐷_{𝑎 𝑡}^−𝑝+1𝑓(𝑡)) 𝑑𝑡

29

𝑓(𝑡) sürekli fonksiyonunun 𝑛 tamsayı basamaktan (3.4) türevinin ve 𝑝 −katlı (3.21) integralinin

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡) = lim

ℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝

𝑟) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0

(3.27)

genel ifadesinin birer özel durumları olduğu görülebilir. Eğer 𝑝 = 𝑚 alınırsa 𝑚. basamaktan türevi ve 𝑝 = −𝑚 alırsak 𝑚 −katlı integrali elde edilir.

Bu gözlem doğal olarak (3.27) deki 𝑝 nin keyfi reel veya kompleks sayı olması durumunda diferensiyel ve integral gösteriminin genel düşüncesi hakkında yol göstermektedir. Biz dikkatimizi 𝑝 nin reel olması durumuna kısıtlayacağız.

3.2.2. Keyfi Basamaktan İntegraller

𝑝 < 0 olma durumunu göz önüne alalım. Uygunluk için (3.27) de 𝑝 yerine −𝑝 yazarsak

𝐷_{𝑎 𝑡}^−𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.28)

𝑛

𝑟=0

sonucuna ulaşırız. Burada, yukarıdaki gibi ℎ ve 𝑛 değerleri 𝑛ℎ = 𝑡 − 𝑎 ifadesi ile birbirine bağlıdır. (3.28) deki limitin varlığını ispatlamak ve bu limit değerini hesaplayabilmek için aşağıdaki teoreme ihtiyaç vardır:

Teorem 3.1. (3.29) − (3.32) özelliklerine sahip 𝛽_𝑘, (𝑘 = 1,2, … ) serisini göz önüne alalım.

lim

𝑘→∞𝛽_𝑘 = 1 (3.29)

30 lim

𝑛→∞𝛼_𝑛,𝑘 = 0 , ℎ𝑒𝑟 𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 (3.30)

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝐴 , ℎ𝑒𝑟 𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 (3.31)

∑|𝛼_𝑛,𝑘| < 𝐾 , ℎ𝑒𝑟 𝑛 𝑖ç𝑖𝑛 (3.32)

𝑛

𝑘=1

Bu durumda,

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝛽_𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝐴 (3.33)

dır.

İspat. (3.29) dan

𝛽_𝑘= 1 − 𝛿_𝑘 , lim

𝑘→∞𝛿_𝑘= 0 (3.34) dır. (3.30) dan her sabit 𝑟 için (1 < 𝑟 < 𝑛)

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝛽_𝑘

𝑟−1

𝑘=1

= 0 (3.35)

ve

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘

𝑟−1

𝑘=1

= 0 (3.36)

yazılabilir. (3.35), (3.34), (3.31) ve (3.36) yı kullanarak

31

elde edilir. Şimdi (3.36) ve (3.32) yi kullanarak,

|𝐴 − lim

olur. Buradan görülmektedir ki (3.33) sağlanmaktadır.

Teorem 3.1. basit bir sonuca sahiptir. Şöyle ki, eğer

32

özelliklerine sahip 𝛽̃ serisini göz önüne alalım. Son ifadeye Teorem 3.1. uygulanırsa _𝑘

𝑛→∞lim ∑ 𝛼_𝑛,𝑘

olur. Bu da bize (3.37) ifadesini verir.

(3.28) deki limiti hesaplamak için Teorem 3.1. uygulanırsa

𝐷_𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

33

Diğer taraftan, eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonu [𝑎, 𝑡] kapalı aralığında sürekli ise

lim

olur. (3.38) ve (3.39) dikkate alınır ve Teorem 3.1. uygulanırsa

34

şeklinde de yazılabilir. Eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonunun (𝑚 + 1). basamaktan türevi sürekli ise

𝑝 > 0 durumunu göz önüne alalım. Buradaki amacımız yukarıdaki gibi

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

35

şeklindedir. (3.43) deki limiti hesaplamak için ilk olarak 𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) nin ifadesi ve

(𝑝

36

elde edilir. (3.48) deki ilk toplamın 𝑘. terimin limitini hesaplayacak olursak

ℎ→0lim

37

𝑛→∞lim(−1)^𝑛−𝑘(𝑝 − 𝑘 − 1

𝑛 − 𝑘 ) (𝑛 − 𝑘)^𝑝−𝑘

= lim

𝑛→∞

(−𝑝 + 𝑘 + 1)(−𝑝 + 𝑘 + 2) … (−𝑝 + 𝑛) (𝑛 − 𝑘)^−𝑝+𝑘(𝑛 − 𝑘)!

= 1

𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)

elde edileceği ve

𝑛→∞lim ( 𝑛 𝑛 − 𝑘)

𝑝−𝑘

= 1

limℎ→0

∆^𝑘𝑓(𝑎 + 𝑘ℎ)

ℎ^𝑘 = 𝑓^(𝑘)(𝑎)

özellikleri kullanılmıştır. (3.49) daki limitin bilinmesiyle (3.48) deki ilk toplamın limitini kolayca yazılabilir. (3.48) deki ikinci toplamın limitini hesaplamak için bu toplam

1

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) ∑ (−1)^𝑟𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) (𝑝 − 𝑚 − 1

𝑟 )

𝑛−𝑚−1

𝑟=0

× 𝑟^−𝑚+𝑝ℎ(𝑟ℎ)^𝑚−𝑝∆^𝑚+1𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

ℎ^𝑚+1 (3.50) şeklinde yazılır. Teorem 3.1. i uygulayabilmek için

𝛽_𝑟 = (−1)^𝑟𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) (𝑝 − 𝑚 − 1

𝑟 ) 𝑟^−𝑚+𝑝

𝛼_𝑛,𝑟 = ℎ(𝑟ℎ)^𝑚−𝑝∆^𝑚+1𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

ℎ^𝑚+1 (ℎ =𝑡 − 𝑎 𝑛 )

38

dir. (3.51) ve (3.52) yi göz önüne alır ve Teorem 3.1. uygulanırsa

lim_ℎ→0

elde edilir. Sonuç olarak (3.49) ve (3.53) eşitlikleri kullanılırsa (3.43) limiti

39 𝐷_𝑡^𝑃

𝑎 𝑓(𝑡) = lim

𝑛ℎ=𝑡−𝑎 ℎ→0

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = ∑𝑓^(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^−𝑝+𝑘 𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)

𝑚

𝑘=0

+ 1

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑚−𝑝𝑓^(𝑚+1)(𝜏)𝑑𝜏 (3.54)

𝑡

𝑎

dir. (3.54) formülü 𝑓^(𝑘)(𝑡) , (𝑘 = 1,2, … , 𝑚 + 1) türevlerinin kapalı [𝑎, 𝑡] aralığında sürekli olması varsayımı altında ve 𝑚 lerin 𝑚 > 𝑝 − 1 i sağlayan tamsayı olması koşulunda elde edilir. 𝑚 ler için en küçük olası değer 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 eşitsizliği ile belirlenir.

3.2.4. (𝒕 − 𝒂)^𝜷 nin Kesirli Türevi

Şimdi 𝑣 reel sayı olmak üzere

𝑓(𝑡) = (𝑡 − 𝑎)^𝑣

kuvvet fonksiyonunun Grünwald-Letnikov kesirli türevini, yani _𝑎𝐷_𝑡^𝑝𝑓(𝑡) yi hesaplayalım.

İlk olarak 𝑝 nin negatif değerlerini ele alalım. Bu – 𝑝 yinci basamaktan kesirli integralin hesaplanması anlamına gelir. (3.39) daki formül kullanılarak

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝(𝑡 − 𝑎)^𝑣 = 1

𝛤(−𝑝)∫(𝑡 − 𝜏)^−𝑝−1(𝜏 − 𝑎)^𝑣𝑑𝜏 (3.55)

𝑡

𝑎

elde edilir. İntegralin yakınsaklığı için 𝑣 > −1 dir. (3.55) te

40

𝜏 = 𝑎 + 𝜉(𝑡 − 𝑎)

dönüşümü yapılır ve Beta fonksiyonunun (2.25) deki ifadesi kullanılırsa

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝(𝑡 − 𝑎)^𝑣 = 1

𝛤(−𝑝)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝∫ 𝜉^𝑣

1

0

(1 − 𝜉)^−𝑝−1𝑑𝜉

= 1

𝛤(−𝑝)𝐵(−𝑝, 𝑣 + 1)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝

= 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝 (𝑝 < 0 , 𝑣 > −1) (3.56)

elde edilir.

Şimdi 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑝 < 𝑚 + 1 olma durumunu ele alalım. (3.54) deki integralin yakınsaklığı için 𝑣 > 𝑚 olması gerekir. (3.54) den

𝐷_𝑡^𝑝(𝑡 − 𝑎)^𝑣 = 1

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)

𝑎 ∫(𝑡 − 𝜏)^𝑚−𝑝𝑑^𝑚+1(𝜏 − 𝑎)^𝑣

𝑑𝜏^𝑚+1

𝑡

𝑎

𝑑𝜏 (3.57)

yazılabilir. 𝑣 > 𝑚 olduğundan (3.54) deki toplam sıfıra eşittir.

𝑑^𝑚+1(𝜏 − 𝑎)^𝑣

𝑑𝜏^𝑚+1 = 𝑣(𝑣 − 1)(𝑣 − 2) … (𝑣 − 𝑚)(𝜏 − 𝑎)^{𝑣−𝑚−1}

= 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑚)(𝜏 − 𝑎)^{𝑣−𝑚−1}

olduğu göz önüne alınır ve 𝜏 = 𝑎 + 𝜉(𝑡 − 𝑎) değişken değiştirmesi yapılırsa

41 𝐷_𝑡^𝑝

𝑎 (𝑡 − 𝑎)^𝑣 = 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑚−𝑝

𝑡

𝑎

(𝜏 − 𝑎)^{𝑣−𝑚−1}𝑑𝜏

= 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)

× (𝑡 − 𝑎)𝑚−𝑝+𝑣−𝑚−1+1∫(1 − 𝜉)^𝑚−𝑝𝜉^{𝑣−𝑚−1}

1

0

𝑑𝜉

= 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝∫(1 − 𝜉)^𝑚−𝑝𝜉^{𝑣−𝑚−1}𝑑𝜉

1

0

= 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)𝐵(−𝑝 + 𝑚 + 1, 𝑣 − 𝑚)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝

= 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)𝛤(𝑣 − 𝑚)

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1 + 𝑣 − 𝑚)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝 = 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝 (3.58)

elde edilir. (3.58) deki ifade ile (3.56) daki ifade aynıdır. Böylece 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 𝑎)^𝑣 kuvvet fonksiyonunun Grünwald-Letnikov kesirli türevi

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝(𝑡 − 𝑎)^𝑣 = 𝛤(𝑣 + 1)

𝛤(𝑣 − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎)^𝑣−𝑝 (3.59)

formülü ile verilebilir. Burada 𝑝 < 0 , 𝑣 > −1 veya 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑝 < 𝑚 + 1 , 𝑣 > 𝑚 dir.

(3.56) ve (3.58) formülleri aynı olmasına rağmen 𝑝 ve 𝑣 nün sağlayacağı şartlar birbirinden farklıdır. Teorik açıdan, fonksiyonların kesirli türevinin Grünwald-Letnikov tanımı göz önüne alınarak sınıflandırılması çok kısıtlıdır. Çünkü (𝑚 + 1)-kez sürekli türevlenebilen fonksiyonlar gereklidir. Ancak uygulama problemlerinde

42

fiziksel, kimyasal ve diğer yöntemleri tanımlamada bu tür düzgün fonksiyonlarla her zaman karşılaşılmamaktadır.

3.2.5. Tamsayı Basamaktan Türevler ile Birleştirme

(3.54) deki formülde 𝑚 için 𝑚 > 𝑝 − 1 kısıtlaması mevcuttur. Şimdi 𝑚 yerine 𝑠 alarak (3.54) ü tekrar yazarsak

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡) = ∑𝑓^(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^−𝑝+𝑘

𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)

𝑠

𝑘=0

+ 1

𝛤(−𝑝 + 𝑠 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑠−𝑝𝑓^(𝑠+1)(𝜏)𝑑𝜏 (3.60)

𝑡

𝑎

elde ederiz. Burada 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 olduğunu varsayıyoruz.

(3.60) daki formülde 𝑝-yinci kesirli basamaktan türevinin 𝑛 tamsayı basamaktan türevini hesaplayalım. Burada 𝑠 ≥ 𝑚 + 𝑛 − 1 dir. Sonuç olarak

𝑑^𝑛

𝑑𝑡^𝑛( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = ∑𝑓^(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^{−𝑝−𝑛+𝑘} 𝛤(−𝑝 − 𝑛 + 𝑘 + 1)

𝑠

𝑘=0

+ 1

𝛤(−𝑝 − 𝑛 + 𝑠 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^{𝑠−𝑝−𝑛}𝑓^(𝑠+1)

𝑡

𝑎

(𝜏)𝑑𝜏 (3.61)

= 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑛𝑓(𝑡) (3.62)

olur. 𝑠 ≥ 𝑚 + 𝑛 − 1 keyfi olduğundan 𝑠 = 𝑚 + 𝑛 − 1 alınırsa

𝑑^𝑛

𝑑𝑡^𝑛( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑛𝑓(𝑡)

43

44

(3.66) daki ilişki bize eğer 𝑡 = 𝑎 noktasında 𝑓^(𝑘)(𝑎) = 0, (𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1) oluyorsa ^𝑑

𝑛

𝑑𝑡^𝑛 ve _𝑎𝐷_𝑡^𝑝 işlemlerinin yer değiştirebilen işlemler olduğunu gösterir, yani

𝑑^𝑛

𝑑𝑡^𝑛( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝(𝑑^𝑛𝑓(𝑡)

𝑑𝑡^𝑛 ) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑛𝑓(𝑡) (3.67)

dir.

3.2.6. Kesirli Türevler İle Birleştirilmesi

Şimdi 𝑝-yinci basamaktan kesirli türevin 𝑞-yuncu basamaktan

𝐷_𝑡^𝑞

𝑎 ( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) kesirli türevini göz önüne alalım.

Burada iki durum ayrı ayrı göz önüne alınabilir. Bunlar 𝑝 < 0 ve 𝑝 > 0 olma durumlarıdır.

İlk durum, - q nun işaretine bağlı olarak - 𝑞 > 0 basamaktan diferensiyelin veya

−𝑞 > 0 basamaktan integralin −𝑝 > 0 basamaktan kesirli integrale uygulanması, ikinci durum, dış operatörün 𝑝 > 0 basamaktan kesirli türeve uygulanmasıdır. Her iki durumda da tamsayı basamaktan diferansiyelin bilinen

𝑑^𝑛

𝑑𝑡^𝑛(𝑑^𝑚𝑓

𝑑𝑡^𝑚) = 𝑑^𝑚

𝑑𝑡^𝑚(𝑑^𝑛𝑓(𝑡)

𝑑𝑡^𝑛 ) =𝑑^𝑚+𝑛𝑓(𝑡) 𝑑𝑡^𝑚+𝑛

özelliğine benzer durum elde edilecektir.

𝒊) 𝒑 < 𝟎 olma durumu.

𝑞 < 0 olsun. Bu durumda

45 dir. Burada (3.69) da geçen integral aşağıdaki şekilde hesaplanır.

∫(𝑡 − 𝜏)^−𝑞−1(𝜏 − 𝜉)^−𝑝−1𝑑𝜏 = (𝑡 − 𝜉)^{−𝑝−𝑞−1}∫(1 − 𝑧)^−𝑞−1𝑧^−𝑝−1𝑑𝑧

46 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝑑^𝑛+1

𝑑𝑡^𝑛+1{ 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑞−𝑛−1}( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡))}

= 𝑑^𝑛+1

𝑑𝑡^𝑛+1{ 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑝+𝑞−𝑛−1}𝑓(𝑡)}

= 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑞𝑓(𝑡) (3.70)

elde edilir.

(3.69) ve (3.70) formülleri gözönüne alındığında 𝑝 < 0 değeri ve her bir reel 𝑞 sayısı için

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑞𝑓(𝑡)

sonucuna ulaşılır.

ii) 𝒑 > 𝟎 olma durumu

Şimdi 0 ≤ 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 olduğunu varsayalım. (3.54) deki formülden

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = ∑𝑓^(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^−𝑝+𝑘 𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)

𝑚

𝑘=0

+ 1

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑚−𝑝

𝑡

𝑎

𝑓^(𝑚+1)(𝜏)𝑑𝜏 (3.71)

elde edilir.

Şimdi 𝑞 < 0 alıp, 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) yi hesaplayalım. (3.71) in sağ tarafı incelenirse görülür ki (𝑡 − 𝑎)^{(−𝑝+𝑘)} fonksiyonları 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑚 − 1 için integrallenemeyen singülerliğe sahiptir. Bu yüzden, 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡) nin 𝑞 reel basamaktan türevi yalnızca

47

𝑓^(𝑘)(𝑎) = 0 , (𝑘 = 0,1,2, … , 𝑚 − 1) (3.72)

durumunda mevcuttur.

(3.71) in sağ tarafındaki integral 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑝−𝑚−1}𝑓(𝑡) ye eşittir (𝑓(𝑡) fonksiyonunun −𝑝 + 𝑚 + 1 basamaktan kesirli integraline eşit). Böylece (3.72) koşulları altında 𝑓(𝑡) nin 𝑝 −yinci basamaktan türevinin (3.71) deki gösterimi

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡) = 𝑓^(𝑚)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^−𝑝+𝑚

𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) + 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑝−𝑚−1}𝑓^(𝑚+1)(𝑡) (3.73)

dır.

Şimdi (3.73) de verilen 𝑝 −yinci basamaktan türevin 𝑞 < 0 basamaktan türevini (diğer bir deyişle −𝑞 > 0 basamaktan integralini) bulmalıyız. Yani

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) =𝑓^(𝑚)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^−𝑝+𝑚 𝛤(−𝑝 − 𝑞 + 𝑚 + 1)

+ 1

𝛤(−𝑝 − 𝑞 + 𝑚 + 1)∫ 𝑓^(𝑚+1)(𝜏) (𝑡 − 𝜏)^{𝑝+𝑞−𝑚}

𝑡

𝑎

𝑑𝜏 (3.74)

dir. Çünkü

𝐷_𝑡^𝑞

𝑎 ( 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑝−𝑚−1}𝑓^(𝑚+1)(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑝+𝑞−𝑚−1}𝑓^(𝑚+1)(𝑡)

= 1

𝛤(−𝑝 − 𝑞 + 𝑚 + 1)∫ 𝑓^(𝑚+1)(𝜏) (𝑡 − 𝜏)^{𝑝+𝑞−𝑚}

𝑡

𝑎

şeklindedir. (3.72) deki koşullar ve (3.71) formülü göz önüne alınırsa

48

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑞𝑓(𝑡) (3.75)

sonucuna varılır.

Şimdi 0 ≤ 𝑛 < 𝑞 < 𝑛 + 1 olsun. Varsayalım ki 𝑓(𝑡), (3.72) koşullarını sağlasın ve 𝑞 − 𝑛 − 1 < 0 olma durumunu dikkate alalım. Böylece (3.75) formülü kullanılırsa

𝐷_𝑡^𝑞

𝑎 ( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝑑^𝑛+1

𝑑𝑡^𝑛+1{ 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑞−𝑛−1}( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡))}

= 𝑑^𝑛+1

𝑑𝑡^𝑛+1{ 𝐷_{𝑎 𝑡}^{𝑝+𝑞−𝑛−1}𝑓(𝑡)}

= 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑞𝑓(𝑡)

elde edilir ki bu da (3.75) ile aynıdır.

Böylece 𝑝 < 0 ise (3.75) ifadesi tüm keyfi reel 𝑞 lar için sağlandığı sonucuna varılır.

Eğer 0 ≤ 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 ise (3.75) deki ilişki tüm keyfi 𝑞 lar için sağlandığı sonucuna 𝑓(𝑡) nin (3.72) deki koşulları sağlaması durumunda varılır.

Bundan başka, eğer

0 ≤ 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 𝑣𝑒 0 ≤ 𝑛 < 𝑞 < 𝑛 + 1

ve 𝑓(𝑡) fonksiyonu,

𝑓^(𝑘)(𝑎) = 0 , (𝑘 = 0,1, … , 𝑟 − 1) (3.77)

koşulunu 𝑟 = 𝑚𝑎𝑥(𝑛, 𝑚) olmak üzere sağlıyorsa, 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝 ve _𝑎𝐷_𝑡^𝑞 kesirli diferensiyel operatörleri yer değiştirilebilirdir. Yani.

49

𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝( 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑞𝑓(𝑡)) = 𝐷_{𝑎 𝑡}^𝑝+𝑞𝑓(𝑡) (3.78)

dir.

Belgede Riemann-liouville kesirli türevi için leibniz kuralı (sayfa 29-57)