1. GİRİŞ
1.1. Kaynak Özetleri
1.GİRİŞ
Uygulamalı matematiğin birçok alanında kesirli türev konusu önemli bir yer tutmaktadır. Bu konu birçok matematikçi tarafından çalışılmış ve günümüzde de çalışılmaya devam etmektedir.
Matematiğin en temel kavramlarından birisi türevdir. Bilindiği üzere bir 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonu bir [𝑎, 𝑏] kapalı aralığında sürekli ise ve her noktasından yalnızca bir tek teğet bulunuyorsa bu fonksiyon o noktada türevlenebilirdir denir. Bu ise 𝑦 = 𝑓′(𝑥) ile gösterilir. Burada türevin kuvveti 1 dir ve tüm pozitif tamsayılar için türev elde edilebilir. Burada şu soru akla gelmektedir. Bu türevin kuvveti her zaman pozitif tamsayı mı olmalıdır? Yani kesirli basamaktan türev var mıdır? Gamma fonksiyonu yardımıyla bu sorunun cevabı araştırılmıştır. Grünwald-Letnikov ve Riemann-Liouville verdikleri tanımlarla bu soruya cevap aramışlardır.
𝑓 , 𝑔 fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. Bilinmektedir ki türev operatörü temel bazı özellikleri sağlamaktadır. Bunlardan birkaçı lineerlik özelliği, toplanabilme özelliği, türevde zincir kuralı ve Leibniz formülüdür.
Bu çalışmada Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün Leibniz formülünü sağlayıp sağlamadığı araştırılmıştır.
1.1. Kaynak özetleri
Bu tez çalışmamızda temel kavramlar için Igor Podlubny nin “Fractional Differential Equations” ve Kai Dielthelm in ’’The analiysis of Fractional Differential equations‘’
adlı kitapları referanslarımız olmuştur [1,3]. Ayrıca bu alanda çıkmış pek çok kaynaktan faydalanılmıştır. [1-14]
2 1.2. Çalışmanın Amacı
Bu tez çalışmasında Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün Leibniz kuralını sağlayıp sağlamadığı detaylı bir şekilde incelenmiş olup ileriki çalışmalara iyi bir taban oluşturması amaçlanmıştır.
3
2. TEMEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR
Bu bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar verilecektir.
2.1.Gamma Fonksiyonu
Gamma fonksiyonunun integral tanımı
𝛤(𝑧) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1
∞
0
𝑑𝑡 (2.1)
dır. Gamma fonksiyonu 𝑅𝑒(𝑧) > 0 için yakınsaktır. Gerçekten,
𝛤(𝑥 + 𝑖𝑦) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑥+𝑖𝑦−1
∞
0
𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡
∞
0
𝑡𝑥−1𝑡𝑖𝑦𝑑𝑡
= ∫ 𝑒−𝑡
∞
0
𝑡𝑥−1𝑒𝑖𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑡)dt
= ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑥−1
∞
0
[𝑐𝑜𝑠(𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑡))) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑡))]𝑑𝑡 (2.2)
olup köşeli parantezin içindeki ifade her 𝑡 için sınırlıdır. 𝑒−𝑡 fonksiyonu [0, ∞) aralığında sınırlıdır. Ayrıca 𝑡𝑥−1 tanımından dolayı her ne kadar 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) > 1 olması gerektiği görünse de 𝑅𝑒(𝑧) > 0 içinde bu integral yakınsaktır.
4
2.1.1. Gamma Fonksiyonunun Bazı Özellikleri
Gamma fonksiyonunun en temel özelliklerinden birisi
𝛤(𝑧 + 1) = 𝑧𝛤(𝑧) (2.3)
dir. Bu ifade kısmi integrasyon yöntemi ile kolayca ispatlanabilir. Gerçekten
𝛤(𝑧) = ∫ 𝑒−𝑡
∞
0
𝑡𝑧−1𝑑𝑡
ifadesinde 𝑧 yerine 𝑧 + 1 alınırsa
𝛤(𝑧 + 1) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧+1−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧𝑑𝑡
∞
0
∞
0
dir. Yukarıdaki son integralde 𝑢 = 𝑡𝑧, 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑡𝑑𝑡 alınarak kısmi integrasyon uygulanırsa
𝛤(𝑧 + 1) = 𝑧𝛤(𝑧)
elde edilir. Buradan açıkça görülmektedir ki 𝛤(1) = 1 dir. (2.3) ü kullanarak 𝑧 = 1,2,3, … için
𝛤(2) = 1𝛤(1) = 1.1! = 1!
𝛤(3) = 2𝛤(2) = 2.1! = 2!
𝛤(4) = 3𝛤(3) = 3.2! = 3!
⁞
𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛𝛤(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 1)! = 𝑛!
5 dir.
Gamma fonksiyonunun bir diğer önemli özelliği ise Gamma fonksiyonu
𝑧 = −𝑛 , (𝑛 = 0,1,2, … )
noktalarında basit kutba sahip olmasıdır. Bunu göstermek için (2.1) ifadesini
𝛤(𝑧) = ∫ 𝑒−𝑡
formunda yazalım. (2.4) daki ilk integral, üstel fonksiyonun seri açılımı kullanılarak hesaplanabilir. Eğer 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥 > 0 ise 𝑅𝑒(𝑧 + 𝑘) = 𝑥 + 𝑘 > 0 için 𝑡𝑧+𝑘|𝑡=0 =0 dır.
İkinci integral, 𝑧 kompleks değişkeninin bir tam fonksiyonu olarak tanımlanabilir.
Gerçekten,
6
ifadesi 𝑧 nin bir tam fonksiyonudur.
Kompleks düzlemde keyfi, sınırlı ve kapalı bir 𝐷 bölgesini ele alalım.
𝑥0 = max
Bu demektir ki sınırlandırma 𝑧 den bağımsız olduğu için (2.5) integrali 𝐷 de düzgün yakınsaktır. Böylece 𝜑(𝑧), 𝐷 de düzgündür ve (2.5) deki integral altında türevlenebilmeye izin verir. 𝐷 bölgesi keyfi seçildiği için 𝜑(𝑧) fonksiyonunu tüm kompleks düzlemde yukarıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyon olarak seçebiliriz.
Dolayısıyla 𝜑(𝑧) integral işareti altında türevlenebilmeye izin veren bir tam fonksiyondur. Yukarıdaki hususları göz önüne alarak
𝛤(𝑧) = ∑ (−1)𝑘
7
olduğu görülebilir. Gerçekten de 𝛤(𝑧) fonksiyonu 𝑧 = −𝑘 (𝑘 = 0,1,2, … ) de basit kutup noktalarına sahiptir.
2.1.2. Gamma Fonksiyonunun Limit Gösterimi
Gamma fonksiyonu ayrıca
𝛤(𝑧) = lim
𝑛→∞
𝑛! 𝑛𝑧
𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑛) (2.7)
limiti ile de gösterilebilir. Burada başlangıçta 𝑅𝑒(𝑧) > 0 kabul edilecektir. (2.7) yi ispatlamak için ilk olarak
𝑓𝑛(𝑧) = ∫ (1 − 𝑡 𝑛)
𝑛
𝑡𝑧−1𝑑𝑡
𝑛
0
(2.8)
fonksiyonunu göz önüne alalım. (2.8) deki integrale 𝑡
𝑛= 𝜏 dönüşümü uygulanırsa,
𝑓𝑛(𝑧) = ∫(1 − 𝜏)𝑛
1
0
(𝜏𝑛)𝑧−1𝑛𝑑𝜏
= ∫(1 − 𝜏)𝑛𝜏𝑧−1𝑛𝑧−1𝑛𝑑𝜏
1
0
= 𝑛𝑧∫(1 − 𝜏)𝑛𝜏𝑧−1𝑑 𝜏
1
0
olur. Bu integrale bir kez kısmi integrasyon uygulanırsa,
8
elde edilir. Bu işlem n kez tekrarlanırsa
∫(1 − 𝜏)𝑛−1𝜏𝑧𝑑𝜏 = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 2.1
yazılabilir. Eğer yukarıdaki ifadede limitle integral yer değiştirebiliyorsa (2.7) deki Gamma fonksiyonunun limit gösterimi ispatlanmış olur. Yani
9 lim
𝑛→∞𝑓𝑛(𝑧) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 = 𝛤(𝑧) (2.10)
∞
0
dir. Bunu göstermek için ∆ farkını hesaplayalım.
∆= ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1
olacak şekilde bir 𝑁 sayısı vardır. 𝑛 > 𝑁 göz önüne alınırsa ∆ üç integralin toplamı şeklinde yazılabilir. Yani
10 dir. Son integralin mutlak değeri 𝜀
3 den küçük olup, ikinci integralde 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) için
(2.13) daki ilk integralin hesabı için
0 < 𝑒−𝑡− (1 −𝑡 𝑛)
𝑛
< 𝑡2
2𝑛 , (0 < 𝑡 < 𝑛) (2.15)
şeklinde yardımcı bir eşitsizlik kullanılmaktadır. Buradan
1 − 𝑒𝑡(1 − 𝑡
dir. (2.15) eşitsizliğini kullanarak yeterince büyük 𝑛 ler ve sabit 𝑁 ler için
|∫ [𝑒−𝑡− (1 − 𝑡
11
yazılabilir. (2.12), (2.14) ve (2.18) eşitsizlikleri göz önüne alınırsa keyfi 𝜀 için (2.10) daki limit ve integral yer değiştirebilir. Bu da 𝑅𝑒(𝑧) > 0 için Gamma fonksiyonunun limit gösterimi olan (2.7) deki formülünün ispatını tamamlar.
(2.3) yardımı ile 𝑅𝑒(𝑧) > 0 koşulu yerine 𝑧 ≠ 0, −1, −2, … alınabilir. Gerçekten de 𝑚 pozitif bir tamsayı olmak üzere −𝑚 < 𝑅𝑒(𝑧) < −𝑚 + 1 ise
𝛤(𝑧) = 𝛤(𝑧 + 𝑚)
𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1)
(2.7) eşitliğinde
𝛤(𝑧 + 𝑚) = lim
𝑛→∞
𝑛! 𝑛𝑧+𝑚
(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑚 + 𝑛)
nin yerine yazılmasıyla
𝛤(𝑧) =
𝑛→∞lim
𝑛! 𝑛𝑧+𝑚
(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑚 + 𝑛) 𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1)
= 1
𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1) lim
𝑛→∞
𝑛! 𝑛𝑧+𝑚
(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑚 + 𝑛)
= 1
𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1) lim
𝑛→∞
(𝑛 − 𝑚)𝑧+𝑚(𝑛 − 𝑚)!
(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑛)
= lim
𝑛→∞
𝑛𝑧𝑛!
𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑛)
elde edilir.
2.2. Beta Fonksiyonu
12
Bazı durumlarda Gamma fonksiyonunun belirli kombinasyonları yerine Beta fonksiyonu olarak adlandırılan bir bağıntı kullanmak daha uygun olur. Beta fonksiyonu genellikle,
𝐵(𝑧, 𝑤) = ∫ 𝜏𝑧−1(1 − 𝜏)𝑤−1𝑑𝜏
1
0
(2.19)
(𝑅𝑒(𝑧) > 0 , 𝑅𝑒(𝑤) > 0)
şeklinde tanımlanır.
(2.1) ile verilen Gamma fonksiyonu ile (2.19) daki Beta fonksiyonu arasında bir ilişki kurabilmek için Laplace dönüşümü kullanılabilir. Şimdi aşağıdaki
ℎ𝑧,𝑤(𝑡) = ∫ 𝜏𝑧−1(1 − 𝜏)𝑤−1𝑑𝜏 (2.20)
𝑡
0
integralini göz önüne alalım. Açıktır ki ℎ𝑧,𝑤(𝑡), 𝑡𝑧−1 ve 𝑡𝑤−1 fonksiyonunun konvolüsyonudur ve ℎ𝑧,𝑤(1) = 𝐵(𝑧, 𝑤) dır.
İki fonksiyonun konvolüsyonunun Laplace dönüşümü, onların Laplace dönüşümünün çarpımına eşit olduğundan,
𝐻𝑧,𝑤(𝑠) =𝛤(𝑧) 𝑠𝑧
𝛤(𝑤)
𝑠𝑤 = 𝛤(𝑧)𝛤(𝑤)
𝑠𝑧+𝑤 (2.21)
olur. Burada 𝐻𝑧,𝑤(𝑠) , ℎ𝑧,𝑤(𝑡) nin Laplace dönüşümüdür.
Diğer taraftan, 𝛤(𝑧)𝛤(𝑤) çarpımı sabit olduğundan (2.21) nin sağ tarafının Ters Laplace dönüşümü alınarak ℎ𝑧,𝑤(𝑡) orijinal fonksiyonu tekrar elde edilebilir. Laplace dönüşümünün tekliğinden
13 ℎ𝑧,𝑤(𝑡) =𝛤(𝑧)𝛤(𝑤)
𝛤(𝑧 + 𝑤) 𝑡𝑧+𝑤−1 (2.22)
olup, 𝑡 = 1 alınırsa Beta fonksiyonunun en bilinen özelliklerinden birisi olan 𝐵(𝑧, 𝑤) =𝛤(𝑧)𝛤(𝑤)
𝛤(𝑧 + 𝑤) (2.23)
elde edilir. Ayrıca, buradan
𝐵(𝑧, 𝑤) = 𝐵(𝑤, 𝑧) (2.24)
olduğu görülebilir.
Beta fonksiyonu yardımıyla Gamma fonksiyonu için aşağıdaki iki önemli eşitlik verilebilir. Bunlardan birincisi
𝐵(𝑧, 1 − 𝑧) = 𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = 𝜋
sin (𝜋𝑧) (2.25)
dir. Bu formül 0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1 ve 𝑧 ≠ 0, ±1, ±2, … koşulları altında geçerlidir.
Şimdi bunu gösterelim. (2.23) ve (2.19) eşitliklerini kullanarak
𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = 𝐵(𝑧, 1 − 𝑧) = ∫ ( 𝑡 1 − 𝑡)
𝑧−1 𝑑𝑡 1 − 𝑡
1
0
(2.26)
yazabiliriz. Bu integral 0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1 için yakınsaktır. (2.26) deki integralde 𝜏 =
𝑡
1−𝑡 değişken değişimi yapılırsa
𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = ∫ 𝜏𝑧−1 1 + 𝜏
∞
0
𝑑𝜏 (2.27)
elde edilir. Şimdi
14
∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 , 𝑓(𝑠) = 𝑠𝑧−1 1 + 𝑠
𝐿
(2.28)
integralini göz önüne alalım.
Şekil 1.1. C Çevresi
𝑓(𝑠) fonksiyonunun 𝑠 = 𝑒𝜋𝑖 de bir basit kutbu vardır. Bu nedenle şekildeki 𝑅 > 1 için
∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 = 2𝜋𝑖[𝑅𝑒𝑠𝑓(𝑠)]𝑠=𝑒𝜋𝑖 = −2𝜋𝑖𝑒𝜋𝑖𝑧 (2.29)
𝐶
dir. Öte yandan C çevresi boyunca eğrisel integral alınır ve Rezidü teoremi göz önünde bulundurulursa 𝜀 → 0 ve 𝑅 → ∞ için
∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 = 2𝜋𝑖[𝑅𝑒𝑠𝑓(𝑠)]𝑠=𝑒𝜋𝑖 𝐶
= −2𝜋𝑖𝑒𝑖𝜋𝑧 = 𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧)(1 − 𝑒2𝜋𝑖𝑧) (2.30)
15 olup, buradan
𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = 2𝜋𝑖𝑒𝑖𝜋𝑧
𝑒2𝜋𝑖𝑧− 1 = 𝜋
sin(𝜋𝑧) , (0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1) (2.31) bulunur.
Eğer 𝑚 < 𝑅𝑒(𝑧) < 𝑚 + 1 ise 𝑧 = 𝛼 + 𝑚 de alınabilir. Burada 𝛼, 0 < 𝑅𝑒(𝛼) < 1 özelliğini sağlayan bir reel sayıdır. (2.3) kullanılırsa
𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = (−1)𝑚𝛤(𝛼)𝛤(1 − 𝛼)
=(−1)𝑚𝜋
sin(𝜋𝛼) = 𝜋
sin(𝜋(𝛼 + 𝑚))= 𝜋
sin(𝜋𝑧) (2.32)
elde edilir ki bu bize (2.25) in 𝑧 ≠ 0, ∓1, ∓2, … için de geçerli olduğunu gösterir.
(2.25) de 𝑧 =1
2 alınarak Gamma fonksiyonunun iyi bilinen bir diğer özelliği olan
𝛤 (1
2) = √𝜋 (2.33)
elde edilir.
Gamma fonksiyonu için ikinci önemli eşitlik, Beta fonksiyonu yardımıyla kolayca elde edilebilen
√𝜋𝛤(2𝑧) = 22𝑧−1𝛤(𝑧)𝛤 (𝑧 +1
2) (2.34)
(2𝑧 ≠ 0, −1, −2, … . )
Legendre formülüdür. (2.34) ı ispatlamak için
16
dir. (2.36) da (2.23) kullanılırsa (2.34) Legenre formülü elde edilir.
(2.34) da 𝑧 = 𝑛 +1
2 alınarak Gamma fonksiyonunun
𝛤 (𝑛 +1
17
Gamma fonksiyonunun (2.7) tanımındaki 𝑡 değişkeni reeldir. Eğer 𝑡 kompleks değişken ise 𝑒(𝑧−1) log(𝑡)−𝑡 fonksiyonu için 𝑡 = 0 noktası bir dallanma noktası olur.
Kompleks 𝑡 düzleminin reel yarı ekseni 𝑡 = 0 dan 𝑡 = +∞ a kadar olan kısmı kompleks düzlemden çıkarılırsa fonksiyon geri kalan yerde tek değerli olur. Bu nedenle Cauchy teoremine göre
∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒(𝑧−1) ln(𝑡)−𝑡𝑑𝑡
𝐶 𝐶
integrali herhangi bir 𝐶 çevresi boyunca iki ucuda 𝑡 = 0 ile 𝑡 = +∞ boyunca her iki uçta aynı değere sahiptir. Şimdi 𝐶 çevresini Şekil 1.2 deki gibi alalım. Şekildeki kesitin üst kısmında yani (𝜀, +∞) aralığında ln 𝑡 reel olarak alınırsa
𝑡𝑧−1= 𝑒(𝑧−1)ln(𝑡)
olur. Alt kısımda ise ln (𝑡) yerine ln𝑡 + 2𝜋𝑖 alınarak
𝑡𝑧−1 = 𝑒(𝑧−1)[ln(𝑡)+2𝜋𝑖]= 𝑒(𝑧−1)ln(𝑡)𝑒(𝑧−1)2𝜋𝑖
= 𝑡𝑧−1𝑒2(𝑧−1)𝜋𝑖
bulunur.
18
Şekil 1.2. C Çevresi
Böylece
∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 + 𝑒2(𝑧−1)𝜋𝑖∫ 𝑒−𝑡
+∞
𝜀 𝐶𝜀
𝜀
+∞
𝐶
𝑡𝑧−1𝑑𝑡 (2.38)
dır.
Şimdi 𝜀 → 0 için 𝐶𝜀 boyunca integralin sıfıra gittiğini gösterelim. Aslında, 𝐶𝜀 da
|𝑡| = 𝜀 ve
𝑀 = max
𝑡𝜖𝐶𝜀
|𝑒−𝑦𝑎𝑟𝑔(𝑡)−𝑡| , (𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧))
dersek 𝑀, 𝑡 den bağımsız olur. (𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦)
| ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡
𝐶𝜀
| ≤ ∫|𝑒−𝑡𝑡𝑧−1|
𝐶𝜀
𝑑𝑡 = ∫|𝑡𝑥−1|
𝐶𝜀
|𝑒−𝑦𝑎𝑟𝑔(𝑡)−𝑡|𝑑𝑡
≤ 𝑀𝜀𝑥−1 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑀𝜀𝑥−1
𝐶𝜀
2𝜋𝜀 = 2𝜋𝑀𝜀𝑥
19 elde edilir ve buradan
lim
𝜖→0 ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 = 0 (2.39)
𝐶𝜀
ve
∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 + 𝑒2(𝑧−1)𝜋𝑖
0
+∞
𝐶
∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 (2.40)
+∞
0
dır. (2.1) kullanılırsa
𝛤(𝑧) = 1
𝑒2𝜋𝑖𝑧− 1∫ 𝑒−𝑡
𝐶
𝑡𝑧−1𝑑𝑡 (2.47)
bulunur. 𝑒2𝑧𝜋𝑖− 1 fonksiyonunun 𝑧 = 0, ±1, ±2, … noktalarında sıfır yeri vardır.
𝑧 = 1,2, … noktalarında 𝛤(𝑧) nin kutupları yoktur. Çünkü bu durumda 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1 analitik fonksiyonu tek değerlidir ve Cauchy teoremine göre
∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1𝑑𝑡 = 0
𝐶
dır.
Eğer 𝑧 = 0, −1, −2, … ise 𝑒−𝑡𝑡𝑧−1 fonksiyonu 𝑡 nin bir tam fonksiyonu değildir ve 𝐶 çevresi boyunca integrali 0’a eşit olmayabilir. Bu yüzden, 𝑧 = 0, −1, −2, … noktaları 𝛤(𝑧) nin kutup noktalarıdır.
20
3. KEYFİ BASAMAKTAN TÜREV VE ·İNTEGRALLER
Bu bölümde diferansiyel ve integral kavramlarının genelleştirilmiş halleri göz önüne alınacaktır.
3.1. Giriş
Keyfi basamaktan türevler ve integraller teorisinin ismi olan kesirli analiz 𝑛 −kez integrallenme ve tamsayı basamaktan diferansiyellenme notasyonlarının genelleştirilmesi ve birleştirilmesidir. Şimdi sırasıyla
… , ∫ 𝑑𝜏2
𝑡
𝑎
∫ 𝑓(𝜏1)𝑑𝜏1 , ∫ 𝑓(𝜏1)𝑑𝜏1 , 𝑓(𝑡)
𝑡
𝑎 𝜏2
𝑎
,𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 ,𝑑2𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 , …
𝑛 − kez integrallenme ve 𝑛 −kez türevlenme ifadelerini göz önüne alalım. Keyfi 𝛼 reel basamaktan türev almak yukarıdaki operatörlerin bir interpolasyonu olarak düşünülebilir. Biz bunu
21 𝐷𝑡𝛼
𝑎 𝑓(𝑡) notasyonu ile göstereceğiz.
Keyfi basamaktan türeve kısaca kesirli türev denilir. Kesirli integral ise kesirli türevde 𝛼 nın negatif değerlerine karşılık gelecektir. Böylece 𝛽 > 0 basamaktan bir kesirli integral 𝑎𝐷𝑡−𝛽𝑓(𝑡) ile gösterilir. Kesirli denklem kesirli türevleri içeren denklemdir. Kesirli integral ise kesirli integralleri içeren integral denklemdir. Kesirli basamaktan sistemler, kesirli diferansiyel denklem, kesirli integral denklem veya bu denklemlerin bir birleşimi olarak ifade edilen sistemdir.
3.2. Grünwald-Letnikov Kesirli Türevi
3.2.1. Tamsayı Basamaktan Türevlerin ve İntegrallerin Birleştirilmesi
Bu bölümde klasik analizde farklı olarak verilen iki notasyonun ortak ifadesine yaklaşımlar ele alınacaktır. Bunlar 𝑛 yinci basamaktan türev ve 𝑛 katlı integrallerdir.
Aşağıda göstereceğimiz gibi bu notasyonlar zannedilenin aksine birbirlerine daha yakındır.
Şimdi sürekli bir 𝑦 = 𝑓(𝑡) fonksiyonunu göz önüne alalım. Bilindiği gibi 𝑓(𝑡) fonksiyonunun birinci basamaktan türevi
𝑓′(𝑡) =𝑑𝑓 𝑑𝑡 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡 − ℎ)
ℎ (3.1) şeklinde tanımlanır. (3.1) in bir kez daha türevi alınırsa
𝑓′′(𝑡) =𝑑2𝑓 𝑑𝑡2 = lim
ℎ→0
𝑓′(𝑡) − 𝑓′(𝑡 − ℎ) ℎ
22
bulunur. Bu işlem 𝑛 kez tekrarlanırsa
𝑓(𝑛)(𝑡) =𝑑𝑛𝑓
şeklindeki genellemesini göz önüne alalım. Burada 𝑝 keyfi bir tamsayı ve 𝑛 de (3.4) deki gibi bir tamsayıdır.
Açık olarak (3.5) den (𝑝
𝑝) den sonraki tüm katsayıların sıfıra eşit olmasından dolayı, 𝑝 ≤ 𝑛 için
23 lim
ℎ→0𝑓ℎ(𝑝)(𝑡) = 𝑓(𝑝)(𝑡) =𝑑𝑝𝑓
𝑑𝑡𝑝 (3.7)
dir. Şimdi 𝑝 nin negatif değerlerini alalım. Uygunluk için
[𝑝
𝑟] =𝑝(𝑝 + 1)(𝑝 + 2) … (𝑝 + 𝑟 − 1)
𝑟! (3.8) şeklinde tanımlanırsa
(−𝑝
𝑟 ) =−𝑝(−𝑝 − 1) … (−𝑝 − 𝑟 + 1)
𝑟! = (−1)𝑟[𝑝
𝑟] (3.9)
bulunur. (3.6) da 𝑝 yerine −𝑝 alınırsa 𝑓ℎ(−𝑝)(𝑡) = 1
ℎ−𝑝∑ [𝑝
𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.10)
𝑛
𝑟=0
yazılabilir. Burada 𝑝 pozitif bir tam sayıdır.
Eğer 𝑛 sabit tutulursa, 𝑓ℎ(−𝑝)(𝑡) ifadesi ℎ → 0 için sıfır olur. Sıfırdan farklı bir limite ulaşmak için ℎ → 0 iken 𝑛 → ∞ kabul etmemiz gerekir. Böylece 𝑎 reel sabit olmak üzere ℎ =𝑡−𝑎
𝑛 alınabilir ve 𝑓ℎ(−𝑝)(𝑡) nın sonlu ya da sonsuz olan limit değerleri göz önüne alınırsa bu ifade
lim
𝑛ℎ=𝑡−𝑎ℎ→0
𝑓ℎ(−𝑝)(𝑡) = 𝐷𝑎 𝑡(−𝑝)𝑓(𝑡)
(3.11)
ile gösterilebilir.
Şimdi aşağıdaki birkaç özel durumu düşünelim: İlk olarak 𝑝 = 1 için
𝑓ℎ(−1)(𝑡) = ℎ ∑ [1 𝑟]
𝑛
𝑟=0
𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.12)
24
dir. 𝑡 − 𝑛ℎ = 𝑎 olduğu dikkate alınır ve 𝑓(𝑡) fonksiyonunun sürekli olduğu göz önüne alınırsa
lim
ℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎
𝑓ℎ(−1)(𝑡) = 𝐷𝑡−1𝑓(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.13)
𝑡
𝑎 𝑡−𝑎
0 𝑎
elde edilir.
Şimdi 𝑝 = 2 alalım. Bu durumda
[2
𝑟] =2.3 … (2 + 𝑟 − 1)
𝑟! = 𝑟 + 1
olup
𝑓ℎ(−2)(𝑡) = ℎ ∑(𝑟 + 1)ℎ𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.14)
𝑛
𝑟=0
elde edilir. 𝑡 + ℎ = 𝑦 alınırsa
𝑓ℎ(−2)(𝑡) = ℎ ∑ 𝑟ℎ𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) (3.15)
𝑛+1
𝑟=1
yazılabilir ve ℎ → 0 için
limℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎
𝑓ℎ(−2)(𝑡) = 𝐷𝑡−2𝑓(𝑡) = ∫ 𝑧𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = ∫(𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎 𝑡−𝑎
0 𝑎
(3.16)
elde edilir. Burada ℎ → 0 için 𝑦 → 𝑡 dir.
𝑝 = 3 durumu bize 𝐷𝑎 𝑡−𝑝 için genel ifadeyi gösterecektir.
25
(3.13) − (3.20) den genel gösterim
26
(3.21) formülü tümevarımla ispatlanabilir. 𝑝 için doğruluğunu kabul edip 𝑝 + 1 için doğruluğunu gösterelim. Açıktır ki
𝑓1(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.22)
𝑡
𝑎
fonksiyonu 𝑓1(𝑎) = 0 özelliğine sahiptir.
𝐷𝑡−𝑝−1𝑓(𝑡) = limℎ→0
eşitliğini göz önüne alalım. (3.8) i kullanarak
[𝑝 + 1
dır. (3.24) deki ilişki (3.23) deki ilk toplama uygulanırsa ve ikinci toplamda 𝑟 yerine (𝑟 − 1) yazılırsa
27
elde edilir ve (3.22) deki 𝑓1(𝑡) fonksiyonunun tanımından
𝑛→∞lim 𝑓1(𝑎 −𝑡 − 𝑎 𝑛 ) = 0
bulunur. (2.13) deki Gamma fonksiyonunun tanımından
𝑛→∞lim [𝑝 + 1
28 bulunur. Böylece (3.21) formülü ispatlanmış olur.
Şimdi (3.21) deki formülün 𝑝 −katlı integrali temsil ettiğini gösterelim.
𝑑
𝑑𝑡( 𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡)) = 1
(𝑝 − 2)!∫(𝑡 − 𝜏)𝑝−2𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 𝐷𝑎 𝑡−𝑝+1𝑓(𝑡)
𝑡
𝑎
ifadesinin 𝑎 dan 𝑡 ye integre edilmesiyle
𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡) = ∫ ( 𝐷𝑎 𝑡−𝑝+1𝑓(𝑡)) 𝑑𝑡
29
𝑓(𝑡) sürekli fonksiyonunun 𝑛 tamsayı basamaktan (3.4) türevinin ve 𝑝 −katlı (3.21) integralinin
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = lim
ℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎
ℎ−𝑝∑(−1)𝑟(𝑝
𝑟) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)
𝑛
𝑟=0
(3.27)
genel ifadesinin birer özel durumları olduğu görülebilir. Eğer 𝑝 = 𝑚 alınırsa 𝑚. basamaktan türevi ve 𝑝 = −𝑚 alırsak 𝑚 −katlı integrali elde edilir.
Bu gözlem doğal olarak (3.27) deki 𝑝 nin keyfi reel veya kompleks sayı olması durumunda diferensiyel ve integral gösteriminin genel düşüncesi hakkında yol göstermektedir. Biz dikkatimizi 𝑝 nin reel olması durumuna kısıtlayacağız.
3.2.2. Keyfi Basamaktan İntegraller
𝑝 < 0 olma durumunu göz önüne alalım. Uygunluk için (3.27) de 𝑝 yerine −𝑝 yazarsak
𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡) = limℎ→0
𝑛ℎ=𝑡−𝑎
ℎ𝑝∑ [𝑝
𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.28)
𝑛
𝑟=0
sonucuna ulaşırız. Burada, yukarıdaki gibi ℎ ve 𝑛 değerleri 𝑛ℎ = 𝑡 − 𝑎 ifadesi ile birbirine bağlıdır. (3.28) deki limitin varlığını ispatlamak ve bu limit değerini hesaplayabilmek için aşağıdaki teoreme ihtiyaç vardır:
Teorem 3.1. (3.29) − (3.32) özelliklerine sahip 𝛽𝑘, (𝑘 = 1,2, … ) serisini göz önüne alalım.
lim
𝑘→∞𝛽𝑘 = 1 (3.29)
30 lim
𝑛→∞𝛼𝑛,𝑘 = 0 , ℎ𝑒𝑟 𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 (3.30)
lim
𝑛→∞∑ 𝛼𝑛,𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝐴 , ℎ𝑒𝑟 𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 (3.31)
∑|𝛼𝑛,𝑘| < 𝐾 , ℎ𝑒𝑟 𝑛 𝑖ç𝑖𝑛 (3.32)
𝑛
𝑘=1
Bu durumda,
lim
𝑛→∞∑ 𝛼𝑛,𝑘𝛽𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝐴 (3.33)
dır.
İspat. (3.29) dan
𝛽𝑘= 1 − 𝛿𝑘 , lim
𝑘→∞𝛿𝑘= 0 (3.34) dır. (3.30) dan her sabit 𝑟 için (1 < 𝑟 < 𝑛)
lim
𝑛→∞∑ 𝛼𝑛,𝑘𝛽𝑘
𝑟−1
𝑘=1
= 0 (3.35)
ve
lim
𝑛→∞∑ 𝛼𝑛,𝑘
𝑟−1
𝑘=1
= 0 (3.36)
yazılabilir. (3.35), (3.34), (3.31) ve (3.36) yı kullanarak
31
elde edilir. Şimdi (3.36) ve (3.32) yi kullanarak,
|𝐴 − lim
olur. Buradan görülmektedir ki (3.33) sağlanmaktadır.
Teorem 3.1. basit bir sonuca sahiptir. Şöyle ki, eğer
32
özelliklerine sahip 𝛽̃ serisini göz önüne alalım. Son ifadeye Teorem 3.1. uygulanırsa 𝑘
𝑛→∞lim ∑ 𝛼𝑛,𝑘
olur. Bu da bize (3.37) ifadesini verir.
(3.28) deki limiti hesaplamak için Teorem 3.1. uygulanırsa
𝐷𝑡−𝑝𝑓(𝑡) = limℎ→0
33
Diğer taraftan, eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonu [𝑎, 𝑡] kapalı aralığında sürekli ise
lim
olur. (3.38) ve (3.39) dikkate alınır ve Teorem 3.1. uygulanırsa
34
şeklinde de yazılabilir. Eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonunun (𝑚 + 1). basamaktan türevi sürekli ise
𝑝 > 0 durumunu göz önüne alalım. Buradaki amacımız yukarıdaki gibi
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = limℎ→0
35
şeklindedir. (3.43) deki limiti hesaplamak için ilk olarak 𝑓ℎ(𝑝)(𝑡) nin ifadesi ve
(𝑝
36
elde edilir. (3.48) deki ilk toplamın 𝑘. terimin limitini hesaplayacak olursak
ℎ→0lim
37
𝑛→∞lim(−1)𝑛−𝑘(𝑝 − 𝑘 − 1
𝑛 − 𝑘 ) (𝑛 − 𝑘)𝑝−𝑘
= lim
𝑛→∞
(−𝑝 + 𝑘 + 1)(−𝑝 + 𝑘 + 2) … (−𝑝 + 𝑛) (𝑛 − 𝑘)−𝑝+𝑘(𝑛 − 𝑘)!
= 1
𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)
elde edileceği ve
𝑛→∞lim ( 𝑛 𝑛 − 𝑘)
𝑝−𝑘
= 1
limℎ→0
∆𝑘𝑓(𝑎 + 𝑘ℎ)
ℎ𝑘 = 𝑓(𝑘)(𝑎)
özellikleri kullanılmıştır. (3.49) daki limitin bilinmesiyle (3.48) deki ilk toplamın limitini kolayca yazılabilir. (3.48) deki ikinci toplamın limitini hesaplamak için bu toplam
1
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) ∑ (−1)𝑟𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) (𝑝 − 𝑚 − 1
𝑟 )
𝑛−𝑚−1
𝑟=0
× 𝑟−𝑚+𝑝ℎ(𝑟ℎ)𝑚−𝑝∆𝑚+1𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)
ℎ𝑚+1 (3.50) şeklinde yazılır. Teorem 3.1. i uygulayabilmek için
𝛽𝑟 = (−1)𝑟𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) (𝑝 − 𝑚 − 1
𝑟 ) 𝑟−𝑚+𝑝
𝛼𝑛,𝑟 = ℎ(𝑟ℎ)𝑚−𝑝∆𝑚+1𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)
ℎ𝑚+1 (ℎ =𝑡 − 𝑎 𝑛 )
38
dir. (3.51) ve (3.52) yi göz önüne alır ve Teorem 3.1. uygulanırsa
limℎ→0
elde edilir. Sonuç olarak (3.49) ve (3.53) eşitlikleri kullanılırsa (3.43) limiti
39 𝐷𝑡𝑃
𝑎 𝑓(𝑡) = lim
𝑛ℎ=𝑡−𝑎 ℎ→0
𝑓ℎ(𝑝)(𝑡) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝+𝑘 𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)
𝑚
𝑘=0
+ 1
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)𝑚−𝑝𝑓(𝑚+1)(𝜏)𝑑𝜏 (3.54)
𝑡
𝑎
dir. (3.54) formülü 𝑓(𝑘)(𝑡) , (𝑘 = 1,2, … , 𝑚 + 1) türevlerinin kapalı [𝑎, 𝑡] aralığında sürekli olması varsayımı altında ve 𝑚 lerin 𝑚 > 𝑝 − 1 i sağlayan tamsayı olması koşulunda elde edilir. 𝑚 ler için en küçük olası değer 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 eşitsizliği ile belirlenir.
3.2.4. (𝒕 − 𝒂)𝜷 nin Kesirli Türevi
Şimdi 𝑣 reel sayı olmak üzere
𝑓(𝑡) = (𝑡 − 𝑎)𝑣
kuvvet fonksiyonunun Grünwald-Letnikov kesirli türevini, yani 𝑎𝐷𝑡𝑝𝑓(𝑡) yi hesaplayalım.
İlk olarak 𝑝 nin negatif değerlerini ele alalım. Bu – 𝑝 yinci basamaktan kesirli integralin hesaplanması anlamına gelir. (3.39) daki formül kullanılarak
𝐷𝑎 𝑡𝑝(𝑡 − 𝑎)𝑣 = 1
𝛤(−𝑝)∫(𝑡 − 𝜏)−𝑝−1(𝜏 − 𝑎)𝑣𝑑𝜏 (3.55)
𝑡
𝑎
elde edilir. İntegralin yakınsaklığı için 𝑣 > −1 dir. (3.55) te
40
𝜏 = 𝑎 + 𝜉(𝑡 − 𝑎)
dönüşümü yapılır ve Beta fonksiyonunun (2.25) deki ifadesi kullanılırsa
𝐷𝑎 𝑡𝑝(𝑡 − 𝑎)𝑣 = 1
𝛤(−𝑝)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝∫ 𝜉𝑣
1
0
(1 − 𝜉)−𝑝−1𝑑𝜉
= 1
𝛤(−𝑝)𝐵(−𝑝, 𝑣 + 1)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝
= 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝 (𝑝 < 0 , 𝑣 > −1) (3.56)
elde edilir.
Şimdi 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑝 < 𝑚 + 1 olma durumunu ele alalım. (3.54) deki integralin yakınsaklığı için 𝑣 > 𝑚 olması gerekir. (3.54) den
𝐷𝑡𝑝(𝑡 − 𝑎)𝑣 = 1
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)
𝑎 ∫(𝑡 − 𝜏)𝑚−𝑝𝑑𝑚+1(𝜏 − 𝑎)𝑣
𝑑𝜏𝑚+1
𝑡
𝑎
𝑑𝜏 (3.57)
yazılabilir. 𝑣 > 𝑚 olduğundan (3.54) deki toplam sıfıra eşittir.
𝑑𝑚+1(𝜏 − 𝑎)𝑣
𝑑𝜏𝑚+1 = 𝑣(𝑣 − 1)(𝑣 − 2) … (𝑣 − 𝑚)(𝜏 − 𝑎)𝑣−𝑚−1
= 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑚)(𝜏 − 𝑎)𝑣−𝑚−1
olduğu göz önüne alınır ve 𝜏 = 𝑎 + 𝜉(𝑡 − 𝑎) değişken değiştirmesi yapılırsa
41 𝐷𝑡𝑝
𝑎 (𝑡 − 𝑎)𝑣 = 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)𝑚−𝑝
𝑡
𝑎
(𝜏 − 𝑎)𝑣−𝑚−1𝑑𝜏
= 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)
× (𝑡 − 𝑎)𝑚−𝑝+𝑣−𝑚−1+1∫(1 − 𝜉)𝑚−𝑝𝜉𝑣−𝑚−1
1
0
𝑑𝜉
= 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝∫(1 − 𝜉)𝑚−𝑝𝜉𝑣−𝑚−1𝑑𝜉
1
0
= 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)𝐵(−𝑝 + 𝑚 + 1, 𝑣 − 𝑚)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝
= 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑚)𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)𝛤(𝑣 − 𝑚)
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1 + 𝑣 − 𝑚)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝 = 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝 (3.58)
elde edilir. (3.58) deki ifade ile (3.56) daki ifade aynıdır. Böylece 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 𝑎)𝑣 kuvvet fonksiyonunun Grünwald-Letnikov kesirli türevi
𝐷𝑎 𝑡𝑝(𝑡 − 𝑎)𝑣 = 𝛤(𝑣 + 1)
𝛤(𝑣 − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎)𝑣−𝑝 (3.59)
formülü ile verilebilir. Burada 𝑝 < 0 , 𝑣 > −1 veya 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑝 < 𝑚 + 1 , 𝑣 > 𝑚 dir.
(3.56) ve (3.58) formülleri aynı olmasına rağmen 𝑝 ve 𝑣 nün sağlayacağı şartlar birbirinden farklıdır. Teorik açıdan, fonksiyonların kesirli türevinin Grünwald-Letnikov tanımı göz önüne alınarak sınıflandırılması çok kısıtlıdır. Çünkü (𝑚 + 1)-kez sürekli türevlenebilen fonksiyonlar gereklidir. Ancak uygulama problemlerinde
42
fiziksel, kimyasal ve diğer yöntemleri tanımlamada bu tür düzgün fonksiyonlarla her zaman karşılaşılmamaktadır.
3.2.5. Tamsayı Basamaktan Türevler ile Birleştirme
(3.54) deki formülde 𝑚 için 𝑚 > 𝑝 − 1 kısıtlaması mevcuttur. Şimdi 𝑚 yerine 𝑠 alarak (3.54) ü tekrar yazarsak
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝+𝑘
𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)
𝑠
𝑘=0
+ 1
𝛤(−𝑝 + 𝑠 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)𝑠−𝑝𝑓(𝑠+1)(𝜏)𝑑𝜏 (3.60)
𝑡
𝑎
elde ederiz. Burada 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 olduğunu varsayıyoruz.
(3.60) daki formülde 𝑝-yinci kesirli basamaktan türevinin 𝑛 tamsayı basamaktan türevini hesaplayalım. Burada 𝑠 ≥ 𝑚 + 𝑛 − 1 dir. Sonuç olarak
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝−𝑛+𝑘 𝛤(−𝑝 − 𝑛 + 𝑘 + 1)
𝑠
𝑘=0
+ 1
𝛤(−𝑝 − 𝑛 + 𝑠 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)𝑠−𝑝−𝑛𝑓(𝑠+1)
𝑡
𝑎
(𝜏)𝑑𝜏 (3.61)
= 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑛𝑓(𝑡) (3.62)
olur. 𝑠 ≥ 𝑚 + 𝑛 − 1 keyfi olduğundan 𝑠 = 𝑚 + 𝑛 − 1 alınırsa
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑛𝑓(𝑡)
43
44
(3.66) daki ilişki bize eğer 𝑡 = 𝑎 noktasında 𝑓(𝑘)(𝑎) = 0, (𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1) oluyorsa 𝑑
𝑛
𝑑𝑡𝑛 ve 𝑎𝐷𝑡𝑝 işlemlerinin yer değiştirebilen işlemler olduğunu gösterir, yani
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝(𝑑𝑛𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑛 ) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑛𝑓(𝑡) (3.67)
dir.
3.2.6. Kesirli Türevler İle Birleştirilmesi
Şimdi 𝑝-yinci basamaktan kesirli türevin 𝑞-yuncu basamaktan
𝐷𝑡𝑞
𝑎 ( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) kesirli türevini göz önüne alalım.
Burada iki durum ayrı ayrı göz önüne alınabilir. Bunlar 𝑝 < 0 ve 𝑝 > 0 olma durumlarıdır.
İlk durum, - q nun işaretine bağlı olarak - 𝑞 > 0 basamaktan diferensiyelin veya
−𝑞 > 0 basamaktan integralin −𝑝 > 0 basamaktan kesirli integrale uygulanması, ikinci durum, dış operatörün 𝑝 > 0 basamaktan kesirli türeve uygulanmasıdır. Her iki durumda da tamsayı basamaktan diferansiyelin bilinen
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛(𝑑𝑚𝑓
𝑑𝑡𝑚) = 𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚(𝑑𝑛𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑛 ) =𝑑𝑚+𝑛𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑚+𝑛
özelliğine benzer durum elde edilecektir.
𝒊) 𝒑 < 𝟎 olma durumu.
𝑞 < 0 olsun. Bu durumda
45 dir. Burada (3.69) da geçen integral aşağıdaki şekilde hesaplanır.
∫(𝑡 − 𝜏)−𝑞−1(𝜏 − 𝜉)−𝑝−1𝑑𝜏 = (𝑡 − 𝜉)−𝑝−𝑞−1∫(1 − 𝑧)−𝑞−1𝑧−𝑝−1𝑑𝑧
46 𝐷𝑎 𝑡𝑞( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝑑𝑛+1
𝑑𝑡𝑛+1{ 𝐷𝑎 𝑡𝑞−𝑛−1( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡))}
= 𝑑𝑛+1
𝑑𝑡𝑛+1{ 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞−𝑛−1𝑓(𝑡)}
= 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞𝑓(𝑡) (3.70)
elde edilir.
(3.69) ve (3.70) formülleri gözönüne alındığında 𝑝 < 0 değeri ve her bir reel 𝑞 sayısı için
𝐷𝑎 𝑡𝑞( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞𝑓(𝑡)
sonucuna ulaşılır.
ii) 𝒑 > 𝟎 olma durumu
Şimdi 0 ≤ 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 olduğunu varsayalım. (3.54) deki formülden
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = limℎ→0
𝑛ℎ=𝑡−𝑎
𝑓ℎ(𝑝)(𝑡) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝+𝑘 𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)
𝑚
𝑘=0
+ 1
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)𝑚−𝑝
𝑡
𝑎
𝑓(𝑚+1)(𝜏)𝑑𝜏 (3.71)
elde edilir.
Şimdi 𝑞 < 0 alıp, 𝐷𝑎 𝑡𝑞( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) yi hesaplayalım. (3.71) in sağ tarafı incelenirse görülür ki (𝑡 − 𝑎)(−𝑝+𝑘) fonksiyonları 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑚 − 1 için integrallenemeyen singülerliğe sahiptir. Bu yüzden, 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) nin 𝑞 reel basamaktan türevi yalnızca
47
𝑓(𝑘)(𝑎) = 0 , (𝑘 = 0,1,2, … , 𝑚 − 1) (3.72)
durumunda mevcuttur.
(3.71) in sağ tarafındaki integral 𝐷𝑎 𝑡𝑝−𝑚−1𝑓(𝑡) ye eşittir (𝑓(𝑡) fonksiyonunun −𝑝 + 𝑚 + 1 basamaktan kesirli integraline eşit). Böylece (3.72) koşulları altında 𝑓(𝑡) nin 𝑝 −yinci basamaktan türevinin (3.71) deki gösterimi
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑚)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝+𝑚
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1) + 𝐷𝑎 𝑡𝑝−𝑚−1𝑓(𝑚+1)(𝑡) (3.73)
dır.
Şimdi (3.73) de verilen 𝑝 −yinci basamaktan türevin 𝑞 < 0 basamaktan türevini (diğer bir deyişle −𝑞 > 0 basamaktan integralini) bulmalıyız. Yani
𝐷𝑎 𝑡𝑞( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) =𝑓(𝑚)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝+𝑚 𝛤(−𝑝 − 𝑞 + 𝑚 + 1)
+ 1
𝛤(−𝑝 − 𝑞 + 𝑚 + 1)∫ 𝑓(𝑚+1)(𝜏) (𝑡 − 𝜏)𝑝+𝑞−𝑚
𝑡
𝑎
𝑑𝜏 (3.74)
dir. Çünkü
𝐷𝑡𝑞
𝑎 ( 𝐷𝑎 𝑡𝑝−𝑚−1𝑓(𝑚+1)(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞−𝑚−1𝑓(𝑚+1)(𝑡)
= 1
𝛤(−𝑝 − 𝑞 + 𝑚 + 1)∫ 𝑓(𝑚+1)(𝜏) (𝑡 − 𝜏)𝑝+𝑞−𝑚
𝑡
𝑎
şeklindedir. (3.72) deki koşullar ve (3.71) formülü göz önüne alınırsa
48
𝐷𝑎 𝑡𝑞( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞𝑓(𝑡) (3.75)
sonucuna varılır.
Şimdi 0 ≤ 𝑛 < 𝑞 < 𝑛 + 1 olsun. Varsayalım ki 𝑓(𝑡), (3.72) koşullarını sağlasın ve 𝑞 − 𝑛 − 1 < 0 olma durumunu dikkate alalım. Böylece (3.75) formülü kullanılırsa
𝐷𝑡𝑞
𝑎 ( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝑑𝑛+1
𝑑𝑡𝑛+1{ 𝐷𝑎 𝑡𝑞−𝑛−1( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡))}
= 𝑑𝑛+1
𝑑𝑡𝑛+1{ 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞−𝑛−1𝑓(𝑡)}
= 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞𝑓(𝑡)
elde edilir ki bu da (3.75) ile aynıdır.
Böylece 𝑝 < 0 ise (3.75) ifadesi tüm keyfi reel 𝑞 lar için sağlandığı sonucuna varılır.
Eğer 0 ≤ 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 ise (3.75) deki ilişki tüm keyfi 𝑞 lar için sağlandığı sonucuna 𝑓(𝑡) nin (3.72) deki koşulları sağlaması durumunda varılır.
Bundan başka, eğer
0 ≤ 𝑚 < 𝑝 < 𝑚 + 1 𝑣𝑒 0 ≤ 𝑛 < 𝑞 < 𝑛 + 1
ve 𝑓(𝑡) fonksiyonu,
𝑓(𝑘)(𝑎) = 0 , (𝑘 = 0,1, … , 𝑟 − 1) (3.77)
koşulunu 𝑟 = 𝑚𝑎𝑥(𝑛, 𝑚) olmak üzere sağlıyorsa, 𝐷𝑎 𝑡𝑝 ve 𝑎𝐷𝑡𝑞 kesirli diferensiyel operatörleri yer değiştirilebilirdir. Yani.
49
𝐷𝑎 𝑡𝑞( 𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝( 𝐷𝑎 𝑡𝑞𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡𝑝+𝑞𝑓(𝑡) (3.78)
dir.
3.3. Riemann-Liouville Kesirli Türevi
Kesirli basamaktan geri farkın limiti olarak tanımlanan Grünwald-Letnikov kesirli türevinin uygulanması kullanışlı değildir. Elde edilen (3.54) ifadesi, integralin varlığından dolayı daha iyi görünmektedir. Ancak integral olmayan terim için ne yapmalıyız? sorusunun cevabı basittir. Belli bir integral-diferensiyel ifadesi olarak (3.54) ü göz önüne alırsak
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = (𝑑 𝑑𝑡)
𝑚+1
∫(𝑡 − 𝜏)(𝑚−𝑝)𝑓(𝜏)𝑑𝜏 , (𝑚 ≤ 𝑝 < 𝑚 + 1) (3.79)
𝑡
𝑎
olur.
(3.79) daki ifade kesirli türevin en yaygın olarak bilinen tanımıdır ve bu ifadeye Riemann-Liouville tanımı adı verilir.
Açık olarak 𝑓(𝑡) nin 𝑚 + 1 kere sürekli diferensiyellenebilir fonksiyon olması varsayımı altında Grünwald-Letnikov kesirli türevinden elde edilen (3.54) deki ifade, aynı varsayım altında (3.79) daki ifadeden de elde edilebilir. Bu bize tekrarlanan kısmi integrasyon ve diferansiyelle
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = (𝑑 𝑑𝑡)
𝑚+1
∫(𝑡 − 𝜏)𝑚−𝑝𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎
50
= ∑𝑓(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)−𝑝+𝑘 𝛤(−𝑝 + 𝑘 + 1)
𝑚
𝑘=0
+ 1
𝛤(−𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)𝑚−𝑝𝑓(𝑚+1)(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎
= 𝐷𝑎 𝑡𝑃𝑓(𝑡) , (𝑚 ≤ 𝑝 < 𝑚 + 1) (3.80)
eşitliğini verir.
Bu nedenle, eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonunu (𝑚 + 1)-kere sürekli türevlere sahip olacak şekilde göz önüne alırsak, 𝑡 ≥ 0 için (3.43) deki Grünwald-Letnikov tanımı (veya (3.54) deki integral formu) (3.79) daki Riemann-Liouville tanımına eşit olur.
Uygulamalı matematik açısından bu tür fonksiyonlar çok kısıtlıdır. Ancak bu tip fonksiyonlar uygulamalar için çok önemlidir. Bu gerçeği anlamak uygulamalarda kesirli analizin metotlarının düzgün kullanımı için önemlidir. Özellikle, (3.79) daki Riemann-Liouville tanımı, 𝑓(𝑡) fonksiyonuna zayıf koşullarda önemli fırsat sağladığı için, yani 𝑓(𝑡) nin 𝑡 > 𝑎 için integralinin varolması ve (𝑚 + 1)-kere diferensiyellenebilmesi için 𝑓(𝑡) nin integralini elde etmek yeterlidir. (3.79) daki 𝑓(𝑡) fonksiyonunun zayıf koşulları gereklidir. Örneğin; Abel integral denkleminin çözümlerini elde etmek için bu zayıf koşullar kullanılır.
Şimdi (3.79) da ki Riemann-Liouville tanımının nasıl tamsayı basamaktan integral ve diferansiyel kavramlarının birleştirilmesi sonucu elde edildiğini inceleyelim.
3.3.1. Tamsayı Basamaktan Türevlerin ve İntegrallerin Birleştirilmesi
Kabul edelim ki 𝑓(𝜏) fonksiyonu sürekli ve her sonlu (𝑎, 𝑡) aralığında integrallenebilir, ayrıca 𝑓(𝜏) fonksiyonu 𝜏 = 𝑎 noktasında 𝑟 < 1 basamaktan singülerliğe sahip olsun. Yani
𝜏→𝑎lim(𝜏 − 𝑎)𝑟𝑓(𝜏) = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 (≠ 0)
51 olsun. Bu taktirde
𝑓(−1)(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.81)
𝑡
𝑎
integrali mevcuttur ve sınırlı değere sahiptir. Ayrıca 𝑡 → 𝑎 için bu ifade sıfıra eşittir.
Aslında 𝜏 = 𝑎 + 𝑦(𝑡 − 𝑎) değişken değiştirmesi yapılırsa ve 𝜀 = 𝑡 − 𝑎 olarak gösterilirse
lim
𝑡→𝑎𝑓−1(𝑡) = lim
𝑡→𝑎∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎
= lim
𝑡→𝑎∫ 𝑓(𝑎 + 𝑦(𝑡 − 𝑎))(𝑡 − 𝑎)𝑑𝑦
1
0
= lim
𝑡→𝑎(𝑡 − 𝑎) ∫ 𝑓(𝑎 + 𝑦(𝑡 − 𝑎))𝑑𝑦
1
0
= lim
𝜀→0𝜀1−𝑟∫(𝜀𝑦)𝑟
1
0
𝑓(𝑎 + 𝑦𝜀)𝑦−𝑟𝑑𝑦 = 0 (3.82)
elde edilir. Çünkü 𝑟 < 1 dir. Bundan başka iki katlı integrali göz önüne alınırsa
𝑓(−2)(𝑡) = ∫ 𝑑𝜏1∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 ∫ 𝑑𝜏1
𝑡
𝜏 𝑡
𝑎 𝜏1
𝑎 𝑡
𝑎
= ∫(𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.83)
𝑡
𝑎
52
elde edilir ve (3.83) deki birleşme 𝑓(𝜏) nun aşağıdaki üç katlı integralini verir.
𝑓(−3)(𝑡) = ∫ 𝑑𝜏1
Şimdi 𝑛 ≥ 1 sabitlensin ve 𝑘 ≥ 0 tamsayı olduğunu kabul edelim. Açık olarak
𝑓(−𝑘−𝑛)(𝑡) = 1
53
olarak yazılabilir ve buradaki 𝐷𝑘 sembolü (𝑘 ≥ 0) 𝑘 −kez tekrarlanan diferensiyeli göstermektedir.
Buradan görülüyor ki, (3.86) ve (3.87) formülleri biri diğerinin özel bir durumu olarak göz önüne alınabilir. Öyle ki; (3.87) de 𝑛 (𝑛 ≥ 1) sabittir ve 𝐷𝑘 sembolü eğer 𝑘 ≤ 0 ise 𝑘 −kez integrasyon ve eğer 𝑘 > 0 ise 𝑘 −kez diferensiyel anlamına gelmektedir. (3.87) formülü eğer 𝑘 = 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, 𝑛 − 3, … ise 𝑓(𝑡) nin tekrarlanan integrallerini, eğer 𝑘 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, 𝑛 + 3, … ise 𝑓(𝑡) fonksiyonunun 𝑘 − 𝑛 = 1,2,3, … inci basamaktan türevlerini, eğer 𝑘 = 𝑛 ise 𝑓(𝑡) fonksiyonunun kendisini vermektedir.
3.3.2. Keyfi Basamaktan İntegraller
𝑛 katlı integrasyon kavramını, 𝑛 nin tamsayı olmayan değerlerine genişletmek için (3.85) deki Cauchy formülü ile başlanılmalı ve bu formüldeki 𝑛 tamsayısı yerine reel 𝑝 > 0 yazılmalıdır.
𝐷𝑡−𝑝𝑓(𝑡) = 1
𝑎 𝛤(𝑝)∫(𝑡 − 𝜏)𝑝−1
𝑡
𝑎
𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.88)
(3.85) deki 𝑛 tamsayısı, 𝑛 ≥ 1 olma durumunda ele alınmalıdır. Yani (3.88) deki integralin varolabilmesi için 𝑝 > 0 olarak alınmalıdır. Ayrıca makul varsayımlar altında
lim
𝑝→0𝑎𝐷𝑡−𝑝𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡) (3.89)
olur. Böylece
𝑎 𝐷𝑡0𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡) (3.90)
54 bulunur.
(3.89) daki ilişkinin ispatı, eğer 𝑓(𝑡), 𝑡 ≥ 0 için sürekli türevlere sahipse çok kolaydır. Bu durumda kısmi integrasyon ve (2.9) un kullanılmasıyla
𝐷𝑡−𝑝𝑓(𝑡) = − 1
55 +𝑓(𝑡)(𝑡 − 𝑎)𝑝
𝛤(𝑝 + 1) (3.93)
formunda yazılabilir.
(3.92) deki integrali göz önüne alalım. 𝑓(𝑡) sürekli olduğundan her 𝛿 > 0 için öyle bir 𝜀 > 0 vardır ki
|𝑓(𝜏) − 𝑓(𝑡)| < 𝜀
dur. (3.92) deki integral için yapılacak bir tahmin ile
|𝐼2| < 𝜀
𝛤(𝑝) ∫(𝑡 − 𝜏)𝑝−1
𝑡
𝑡−𝛿
𝑑𝜏 < 𝜀𝛿𝑝
𝛤(𝑝 + 1) (3.94) dir ve 𝛿 → 0 iken 𝜀 → 0 olma durumu göz önüne alınırsa tüm 𝑝 ≥ 0 için
lim
𝛿→0|𝐼2| = 0 (3.95) elde edilir.
Şimdi keyfi bir 𝜀 > 0 ve öyle bir 𝛿 seçelim ki tüm 𝑝 ≥ 0 lar için
|𝐼2| < 𝜀 (3.96)
geçerli olsun. Sabit 𝛿 lar için (3.91) integralinin bir tahmini
|𝐼1| < 𝑀
𝛤(𝑝)∫ (𝑡 − 𝜏)𝑝−1𝑑𝜏 ≤ 𝑀 𝛤(𝑝 + 1)
𝑡−𝛿
𝑎
(𝛿𝑝− (𝑡 − 𝑎)𝑝) (3.97)
şeklinde olsun. 𝛿 > 0 sabitleri için
lim
𝑝→0|𝐼1| = 0 (3.98)
56 elde edilir. Aşağıdaki eşitsizliği
| 𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡)| ≤ |𝐼1| + |𝐼2| + |𝑓(𝑡)| |(𝑡 − 𝑎)𝑝 𝛤(𝑝 + 1)− 1|
göz önüne alalım. Ayrıca (3.95) limitini ve (3.96) tahminini hesaba katarsak
𝑝→0lim𝑠𝑢𝑝| 𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡)| ≤ 𝜀
elde ederiz. Burada 𝜀 istenildiği kadar küçük seçilebilir. Dolayısıyla
𝑝→0lim𝑠𝑢𝑝| 𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡)| = 0
olur. Böylece 𝑓(𝑡), 𝑡 ≥ 𝑎 lar için sürekli ise (3.89) geçerli olur.
Eğer 𝑓(𝑡), 𝑡 ≥ 𝑎 lar için sürekli ise (3.88) tarafından tanımlanan keyfi reel basamaktan integrasyon
𝑎𝐷𝑡−𝑝( 𝐷𝑎 𝑡−𝑞𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡−𝑝−𝑞𝑓(𝑡) (3.99)
şeklinde önemli bir özelliğe sahiptir. Gerçekten
𝐷𝑡−𝑝
𝑎 ( 𝐷𝑎 𝑡−𝑞𝑓(𝑡)) = 1
𝛤(𝑞)∫(𝑡 − 𝜏)𝑞−1𝑎𝐷𝜏−𝑝
𝑡
𝑎
𝑓(𝜏)𝑑𝜏
= 1
𝛤(𝑝)𝛤(𝑞)∫(𝑡 − 𝜏)𝑞−1
𝑡
𝑎
𝑑𝜏 ∫(𝜏 − 𝜉)𝑝−1
𝜏
𝑎
𝑓(𝜉)𝑑𝜉
= 1
𝛤(𝑝)𝛤(𝑞)∫ 𝑓(𝜉)𝑑𝜉 ∫(𝑡 − 𝜏)𝑞−1(𝜏 − 𝜉)𝑝−1
𝑡
𝜉 𝑡
𝑎
𝑑𝜏
57
= 1
𝛤(𝑝 + 𝑞)∫(𝑡 − 𝜉)𝑝+𝑞−1𝑓(𝜉)𝑑𝜉
𝑡
𝑎
= 𝐷𝑎 𝑡−𝑝−𝑞𝑓(𝑡)
dir. (𝜉 dan 𝑡 ye olan integralin hesabı için 𝜏 = 𝜉 + 𝜍(𝑡 − 𝜉) değişken değiştirmesini kullanırız. Bu da bizi Beta fonksiyonuna götürür.)
Açık olarak 𝑝 ve 𝑞 yer değiştirilebilir. Yani
𝐷𝑎 𝑡−𝑝( 𝐷𝑎 𝑡−𝑞𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡−𝑞( 𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡)) = 𝐷𝑎 𝑡−𝑝−𝑞𝑓(𝑡) (3.100)
elde ederiz.
(3.100) deki kural tamsayı basamaktan türevlerin bilinen
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚(𝑑𝑛𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑛 ) = 𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛(𝑑𝑚𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑚 ) =𝑑𝑚+𝑛𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑚+𝑛 (3.101)
özelliği ile benzerdir
3.3.3. Keyfi Basamaktan Türevler
(𝑘 − 𝑛)-yinci tamsayı basamaktan türevler için olan (3.87) gösterimi, bu ifadeyi tamsayı olmayan farklı kavramların genişlemesine olanak sağlar. Öyle ki 𝑘 ve 𝑛 yi gerçek tamsayı olan 𝛼 ile ayırabiliriz. Bu da 𝑘 − 𝛼 > 0 için
𝐷𝑎 𝑡𝑘−𝛼𝑓(𝑡) = 1 𝛤(𝛼)
𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘∫(𝑡 − 𝜏)𝛼−1
𝑡
𝑎
𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (0 < 𝛼 ≤ 1) (3.102)
58
verir. Burada kısıtlama sadece 𝛼 içindir ve bu 𝛼 > 0 dır. Bu da (3.102) deki integralin yakınsaklığı için gereklidir. Ancak bu kısıtlama yerine genelliği bozmadan daha kısıtlı 0 < 𝛼 ≤ 1 durumu alınabilir. Bu durum (3.102) deki tanım ve keyfi reel basamaktan integrallerin (3.100) deki özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir.
𝑝 = 𝑘 − 𝛼 ile gösterilirse (3.102) yi
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = 1 𝛤(𝑘 − 𝑝)
𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘∫(𝑡 − 𝜏)𝑘−𝑝−1𝑓(𝜏)𝑑𝜏 , (𝑘 − 1 ≤ 𝑝 < 𝑘) (3.103)
𝑡
𝑎
veya
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡) = 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘( 𝐷𝑎 𝑡−(𝑘−𝑝)𝑓(𝑡)) , (𝑘 − 1 ≤ 𝑝 < 𝑘) (3.104) şeklinde yazabiliriz.
Eğer 𝑝 = 𝑘 − 1 ise (𝑘 − 1) inci basamaktan bilinen tamsayı basamaktan 𝐷𝑡𝑘−1
𝑎 𝑓(𝑡) = 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘( 𝐷𝑎 𝑡−(𝑘−(𝑘−1))𝑓(𝑡))
= 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘( 𝐷𝑎 𝑡−1𝑓(𝑡)) = 𝑓(𝑘−1)(𝑡)
türevini elde ederiz.
Ayrıca (3.90) ı kullanınca 𝑝 = 𝑘 ≥ 1 ve 𝑡 > 𝑎 için
𝐷𝑎 𝑡𝑝𝑓(𝑡)= 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘( 𝐷𝑎 𝑡0𝑓(𝑡)) =𝑑𝑘𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑘 = 𝑓(𝑘)(𝑡) (3.105)
olduğunu görürüz. Bu da 𝑡 > 𝑎 için 𝑝 = 𝑘 > 1 basamaktan Riemann-Liouville kesirli türevi (3.103), bilinen 𝑘 −yıncı basamaktan türeve denk gelmektedir.
59
Şimdi Riemann-Liouville kesirli türevinin bazı özelliklerini göz önüne alalım. İlk olarak - belki de en önemlisi olarak- Riemann-Liouville kesirli türevinin 𝑝 > 0 ve 𝑡 > 𝑎 için özelliği
𝐷𝑡𝑝( 𝐷𝑎 𝑡−𝑝𝑓(𝑡)) = 𝑓(𝑡) (3.106)
𝑎
olur ki bu da Riemann-Liouville kesirli diferansiyel operatörün aynı 𝑝 −yinci basamaktan Riemann-Liouville kesirli integral operatörünün sol tersi anlamına gelmektedir.
(3.106) daki özelliği ispatlamak için, şimdi 𝑝 = 𝑛 ≥ 1 tamsayı olma durumunu göz
(3.106) daki özelliği ispatlamak için, şimdi 𝑝 = 𝑛 ≥ 1 tamsayı olma durumunu göz