Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Mekânsal veri oluflturma ve entegrasyonu; fotogrametrinin geometrik temel- lerini aç›klayabilecek,
Mekânsal veri oluflturma ve entegrasyonu; fotogrametrinin matematik temel- lerini ifade edebilecek,
Haritac›l›k; fotogrametride kullan›lan koordinat sistemlerini tan›mlayabilecek ve koordinat dönüflümlerini gerçeklefltirebilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.
‹çindekiler
• Merkezsel ‹zdüflüm
• Koordinat Sistemleri
• Koordinat Dönüflümü
• Benzerlik Dönüflümü
• Affin Dönüflümü
• Ortogonal Matris
Anahtar Kavramlar Amaçlar›m›z
N N N
Fotogrametri
• TANIMLAR
• GEOMETR‹K
TEMELLER/FOTO⁄RAF GEOMETR‹S‹
• MATEMAT‹K TEMELLER
2 FOTOGRAMETR‹
Fotogrametrinin Geometrik ve Matematik Temelleri
TANIMLAR
Çerçeve ‹flaretleri: Fotogrametrik kameralarla çekilmifl foto¤raflar›n köflelerinde veya kenar ortalar›nda bulunan özel iflaretlerdir. ‹ç yöneltmede kullan›lan bu ifla- retlere çerçeve iflaretleri ya da foto¤raf orta nokta bulucular› denir (fiekil 2.1).
Foto¤raf Orta Noktas› (Orta Nokta): Çerçeve iflaretlerinin karfl›l›kl› olarak birlefltirilmesi ile elde edilen kesim noktas›na denir.
‹zdüflüm Merkezi (O): Kamera optik sisteminin merkezine izdüflüm merkezi denir (fiekil 2.2).
‹zdüflüm Ifl›n› (POP′):Nesne uzay›ndaki bir noktadan gelen ve izdüflüm mer- kezinden geçerek P′ foto¤raf noktas›n› oluflturan do¤ru parças›d›r (fiekil 2.2).
Kamera Ekseni: Kamera optik sisteminin eksenine kamera ekseni veya asal eksen denir (fiekil 2.2).
Asal Nokta:‹zdüflüm merkezinden foto¤raf düzlemine indirilen dikin aya¤›d›r.
Bu nokta foto¤raf orta noktas›n›n çok yak›n›ndad›r (fiekil 2.3). Bu nokta ayn› za- manda kamera ekseninin foto¤raf düzlemini ve nesne yüzeyini deldi¤i H ve H′
noktas›d›r (fiekil 2.4).
Fotogrametrinin Geometrik ve Matematik Temelleri
fiekil 2.1 Çerçeve iflaretleri
Asal Uzakl›k (c):Foto¤raf düzlemi ile izdüflüm merkezi aras›ndaki uzakl›kt›r.
Bu uzakl›k net görüntünün olufltu¤u foto¤raf düzlemi ile mercek aras›ndaki uzak- l›kt›r. Yani fizik derslerinde adland›r›ld›¤› flekliyle görüntü uzakl›¤›d›r (fiekil 2.4).
Ayakucu (Nadir) Noktas› (N-N′):‹zdüflüm merkezinden geçen çekül do¤ru- su foto¤raf ve araziyi ayakucu noktas›nda keser (fiekil 2.4).
P P
H
O
Kamera Ekseni
Optik Sistem
Foto¤raf Düzlemi fiekil 2.2
‹zdüflüm ›fl›n› ve izdüflüm merkezi
fiekil 2.3 Foto¤raf orta noktas› ve asal nokta
Düfley Foto¤raf:Kamera ekseni düfley konumda iken çekilen foto¤rafa denir (γ=00). Pratikte tam düfley foto¤raf çekilemez. Bu nedenle γ ≤50olan foto¤raflara da düfley foto¤raf denir.
Yatay Foto¤raf: Kamera ekseni yatay konumda iken çekilen foto¤rafa denir (γ= 900).
E¤ik Foto¤raf:Kamera ekseninin herhangi bir konumunda iken çekilen fo- to¤raft›r.
Ifl›n Destesi: ‹zdüflüm merkezinden geçen tüm izdüflüm ›fl›nlar› kümesine denir.
Ifl›n Demeti:‹zdüflüm merkezinden geçen ve bir düzlem içinde bulunan izdü- flüm ›fl›nlar› kümesi.
‹ç Yöneltme Elemanlar›:Fotogrametrik kameralar›n asal uzakl›¤› ile asal nok- tas›n›n konumuna iç yöneltme elemanlar› denir. Asal noktan›n konumu, çerçeve iflaretlerinin oluflturdu¤u koordinat sistemine göre tan›mlan›r. Bu üç eleman, yani c ve x0, y0›fl›n destesinin yeniden oluflturulmas›nda ya da tan›mlanmas›nda gerek- li olmaktad›r.
Orta nokta, asal nokta ve ayakucu noktas›n› tan›mlay›n›z.
GEOMETR‹K TEMELLER/FOTO⁄RAF GEOMETR‹S‹
Üç boyutlu uzaydaki noktalar iki boyutlu bir uzaya, yani bir düzleme geometrik bir yöntemle aktar›labilir. Üç boyutlu uzaydaki noktalar›n bir düzleme geometrik bir yöntemle aktar›lmas›nda üç tür izdüflüm söz konusudur.
1. Paralel izdüflüm: Bir d do¤rusuna paralel izdüflüm do¤rular› çizerek izdü- flüm düzlemini deldi¤i noktalar bulunur (fiekil 2.5).
fiekil 2.4
Foto¤raf Düzlemi
C
O γ γ
Kamera Ekseni Çekül Do¤rusu
N H H
N
Asal nokta ve ayakucu noktas›
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
1
2. Dik (Ortogonal) izdüflüm:Noktalardan izdüflüm düzlemine dikler inilir.
Bu noktalar nesnenin izdüflüm noktas›d›r (fiekil 2.6). Harita, dik bir izdüflümdür.
‹zdüflüm düzlemi olarak yeryüzünün belirli bir noktas›na te¤et olan bir düzlem al›- n›r. Genellikle bu düzey deniz yüzeyine paralel bir düzlemdir ve dik izdüflüm kü- çültülerek k⤛da aktar›l›r.
3. Merkezsel izdüflüm:Uzay noktalar› izdüflüm düzlemi d›fl›ndaki bir O nok- tas› ile birlefltirilir. Bu do¤rular›n düzlemi deldi¤i noktalar ilgili noktalar›n merkez- sel izdüflümüdür. O noktas› izdüflüm merkezidir (fiekil 2.7). O izdüflüm merkezi fiekil 2.8 deki gibi, nesne noktalar› ile izdüflüm düzlemi aras›nda da olabilir.
fiekil 2.5 Paralel izdüflüm
fiekil 2.6 Dik izdüflüm
Foto¤raf, merkezsel bir izdüflümdür. O izdüflüm merkezi, kamera optik sistemi- nin merkezidir. Tüm izdüflüm ›fl›nlar› bu noktadan geçer. Geometrik olarak bir ha- rita ile düfley bir hava foto¤raf› aras›nda en önemli fark, farkl› izdüflüm sonucu oluflmalar›d›r.
Foto¤raf nas›l bir izdüflümdür? Geometrik aç›dan harita ile düfley bir hava foto¤raf›n› kar- fl›laflt›r›n›z.
Merkezsel ‹zdüflümün Özellikleri
Foto¤raf merkezsel bir izdüflüm oldu¤una göre, merkezsel izdüflümün bütün özel- likleri ayn› zamanda foto¤raf›n geometrik özellikleridir. Bu özelliklerin baz›lar›n›
afla¤›daki gibi ifade edebiliriz.
fiekil 2.7 Merkezsel izdüflüm pozitif konum
fiekil 2.8 Merkezsel izdüflüm negatif konum
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
2
1. Üç boyutlu bir uzaydaki bir P noktas›na karfl›l›k izdüflüm düzleminde tek bir P' noktas› vard›r. ‹zdüflüm düzlemindeki bir P' noktas›na OP izdüflüm ›fl›n›
üzerinde, sonsuz say›da nokta karfl›l›k gelir.
2. Üç boyutlu uzaydaki bir d do¤rusuna karfl›l›k izdüflüm düzleminde bir tek d' do¤rusu vard›r. ‹zdüflüm düzlemindeki bir d' do¤rusuna d do¤rusu ve O izdüflüm merkezinin belirledi¤i düzlem üzerinde sonsuz say›da do¤ru par- ças› karfl›l›k gelir.
3. Uzayda birbirine paralel olan fakat izdüflüm düzlemine paralel olmayan do¤rular›n izdüflümleri kesiflir (fiekil 2.9). ‹zdüflüm düzlemine paralel olan birbirine paralel do¤rular izdüflüm düzleminde de birbirine paralel kal›r. Pa- ralel do¤rular›n izdüflüm düzlemindeki kesiflme noktas›na kaç›fl noktas› de- nir. Kesiflen do¤rular izdüflümde de kesiflir. Kesiflme noktalar› birbirine kar- fl›l›k gelir.
Merkezsel izdüflümün, özellikle paralel do¤rularla ilgili kurallar›, resim sana-
t›nda perspektif kurallar› olarak bilinir. Tek gözümüzde oluflan görüntü as- l›nda merkezsel izdüflümdür ve çevremizdeki nesneleri gözlememizde her zaman perspektif kurallar geçerlidir.
4. Bir do¤ru üzerinde bulunan dört nokta için yaz›lacak bir çifte oran, merkez- sel izdüflümde de¤iflmez kal›r. Buna çifte oran özelli¤i denir (fiekil 2.10).
Merkezsel izdüflümde, bu özellik yard›m› ile do¤ru demetleri aras›nda da bir iliflki kurulabilir. Bilinen üç do¤rultu yard›m› ile foto¤rafta bulunan dördün- cü bir do¤rultunun nesne uzay›ndaki ya da haritadaki karfl›l›¤› bulunabilir.
Merkezsel izdüflümün ilk iki özelli¤i, tek bir merkezsel izdüflümle üç boyutlu BCAC / AD
BD= sabit
K K
Ufuk
fiekil 2.9 Merkezsel
izdüflümde paralel do¤rular
fiekil 2.10 Çifte oran
bir uzay›n noktalar›n›n bulunamayaca¤› anlam›na gelir. Ancak iki boyutlu bir uza- y›n (bir düzlemin) merkezsel izdüflümü söz konusu ise yukar›daki iki özelli¤in tersleri de geçerlidir. Yani izdüflüm düzlemindeki bir noktaya karfl›l›k bir nokta, bir do¤ru parças›na karfl›l›k da bir do¤ru parças› gelir. Bu irdelemeler sonucu, fotog- rametri için önemli olan flu sonuçlar ç›kmaktad›r:
• Tek bir foto¤raftan ölçme uzay›ndaki noktalar›n X,Y,Z koordinatlar› elde edilemez.
• Ölçme uzay›ndaki noktalar bir düzlemde bulunuyorsa, ölçüm için bir tek fo- to¤raf yeterlidir.
• Ölçüm uzay›ndaki noktalar›n konumlar›n›n, yani X,Y,Z koordinatlar›n›n bu- lunmas› için baflka bir noktadan çekilmifl ikinci bir foto¤raf gereklidir. Böy- lece ayn› noktaya ait iki izdüflüm ›fl›n› nesne noktas›nda kesifltirilebilecektir.
MATEMAT‹K TEMELLER
Fotogrametride Kullan›lan Koordinat Sistemleri
Uluslararas› Fotogrametri Birli¤i (International Society for Photogrammetry) 1960 y›l›nda Londra’da yapt›¤› kabulle fotogrametrik çal›flmalarda kullan›lacak koordi- nat sistemleri hakk›nda bir standart oluflturmufltur. Bu aç›klamaya göre, fotogra- metride kullan›lan formül ve türetmeler afla¤›da tan›mlanan koordinat sistemlerine göre yap›lmal›d›r.
Foto¤raf Koordinat Sistemi
Foto¤raf koordinat sistemi eksenleri cisim koordinat sistemiyle ayn› yönde olan ve sa¤ el koordinat sistemine uyan xyz koordinat sistemidir. Bafllang›ç noktas› O iz- düflüm merkezidir. xy düzlemi foto¤raf düzlemine paralel, z ekseni de kamera ek- seni ile çak›fl›kt›r. x ekseni komflu foto¤raf›n izdüflüm merkezi do¤rultusundad›r.
Bu yön hava fotogrametrisinde, yaklafl›k olarak uçufl çizgisi do¤rultusudur. Nokta- lar›n z koordinat› sabit ve asal uzakl›¤a eflittir.
fiekil 2.11
O
c
Foto¤raf koordinat sistemi
Bu nedenle, bu koordinat sistemi foto¤raf düzleminde ve iki boyutlu olarak dü- flünülürse, bu koordinat sisteminin de bafllang›ç noktas› asal noktad›r. Üçüncü koor- dinat fiekil 2.11’de gösterildi¤i gibi pozitif konumlu foto¤raf için -c, negatif konumlu foto¤raf için de +c’dir. fiekil 2.11’deki P noktas›n›n foto¤raf koordinatlar› (x, y, -c) dir.
Uzay Koordinat Sistemi
Fotogrametride nesne uzay›ndaki noktalar uzay koordinatlar› ile tan›mlan›r. Uzay koordinat sistemi, X ekseni pozitif yönü uçufl yönü do¤rultusunda (hava fotogra- metrisi için), Z ekseni XY düzlemine dik ve sa¤ el koordinat sistemine uyan dik bir XYZ koordinat sistemidir. Bafllang›ç noktas›n›n seçimi serbesttir. Ancak Z (H) ekse- ni her durumda düfley do¤rultuda, XY düzlemi de her zaman yatay bir düzlemdir (fiekil 2.12).
Koordinat Dönüflümü
‹ki ayr› koordinat sistemindeki nokta küme- lerinin, bir sistemdeki koordinatlar›n›n di-
¤er sisteme dönüfltürülmesi ifllemine “Koor- dinat Dönüflümü (Transformasyon)” denil- mektedir. Bu ifllemi gerçeklefltiren formülle- re de dönüflüm formülleri denir. Dönüflüm formüllerinde geçen parametreler biliniyor- sa, bir sistemde koordinatlar› verilen bir nok- tan›n di¤er bir sistemdeki koordinatlar›
kolayca bulunur. Genellikle dönüflüm para- metreleri bilinmez, her iki sistemde de ko- ordinatlar› bilinen ortak noktalar yard›m›yla parametreler hesaplan›r.
Bafllang›çlar› ayn›, aralar›nda α kadar dönüklük bulunan iki kartezyen koor- dinat sistemi aras›nda fiekil 2.13 yard›m›yla dönüflüm iliflkisi afla¤›daki gibi yaz›- labilir.
X=x.cosα−y sinα Y=x.sinα+y.cosα (2.1)
fiekil 2.12 Uzay koordinat sistemi
fiekil 2.13
‹ki boyutlu koordinat dönüflümü
Bu koordinat dönüflümleri matris gösterimi ile de yaz›labilir.
(2.2) (2.3)
biçiminde tan›mlanan A matrisi dönüflüm matrisidir.
‹ki Boyutlu Benzerlik Dönüflümü
Benzerlik dönüflümünde geometrik flekillerin benzerli¤i korunur. Düzgün geomet- rik flekillerin kenarlar› ayn› oranda küçülür ya da büyür. Aç›lar›n mutlak de¤erleri de¤iflmez kal›r. fiekiller dönüflümden sonra esas flekle benzerler. ‹ki koordinat sis- temi aras›nda bir λ ölçek katsay›s› söz konusu ise ve bafllang›çlar› da farkl› ise afla-
¤›daki gibi genel bir dönüflüm formülü yaz›labilir.
(2.4)
x,y: 1. sistemin koordinatlar›
X,Y: 2. sistemin koordinatlar›
α : koordinat sistemleri aras›ndaki dönüklük aç›s›
λ : ölçek faktörü
X0,Y0: öteleme elemanlar›
Bu dönüflüm formüllerine iki boyutlu benzerlik dönüflümü formülleri denir.
X= λ . (x.cosα − y.sinα) + X0
(2.5) Y= λ . (x.sinα + y.cosα) + Y0
Eflitlik düzenlenerek dört parametreli benzerlik dönüflümü formülleri afla¤›daki biçimde yaz›labilir.
λ cosα = a, λ.sinα = b, X0 = c, γY0 = d
X x
y X
Yoo
Y
=λA +
A = Cos -SinSin Cosα α
α α
YX
= Cos -SinSin Cos x
α α y α α
−
=
=
A xy xy Cos Sin
Siα α nn Cos X
Y x
y
α α
=A-1
fiekil 2.14 Ötelemeli dönüflüm
X=αx - by + c
(2.6) Y=bx + αy + d
Buna göre benzerlik dönüflümünde 1 ölçek, 1 dönüklük ve 2 öteleme olmak üzere toplam 4 parametre vard›r. Çözüm için her iki sistemde koordinatlar› bilinen iki nokta gereklidir. ‹kiden fazla ortak nokta olmas› durumunda dönüflüm para- metreleri en küçük kareler yöntemine göre dengeleme ile hesaplan›r.
‹ki koordinat sistemi aras›ndaki dönüflüm parametrelerinin bulunmas› için, her iki sistemde de koordinatlar› bilinen, ortak noktaya ihtiyaç duyulur. P1ve P2nok- talar›n›n 1. koordinat sistemindeki koordinatlar› s›ras›yla (x1, y1) ve (x2, y2), 2. ko- ordinat sistemindeki koordinatlar› (X1, Y1) ve (X2, Y2) olsun. P1ve P2noktalar› için dönüflüm denklemleri afla¤›daki gibi yaz›l›r.
(2.7)
4 bilinmeyenli 4 denklemin çözümü ile dönüflüm parametreleri hesaplan›r. Bu- nun için; 1. ve 3. denklemler ve 2. ve 4. denklemler birbirinden ç›kar›l›rsa afla¤›da- ki eflitlikler elde edilir.
(2.8)
Bu eflitlikleri matris gösterimi ile afla¤›daki gibi yazar›z.
(2.9)
(2.10)
a, b parametreleri afla¤›daki eflitliklerden elde edilir.
(2.11) a = x - x X - X + y - y Y - Y
x - x + y - y
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2
1 2
( )( ) ( )( )
( ) (( )
( )( )
2 2 2
1 2 1 2
= x. X + y. Y x + y b =- y - y X - X
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
++ x - x Y - Y
x - x + y - y1 2 1 2 = x. Y - 1 2 2
1 2 2
( )( )
( ) ( )
∆ ∆ ∆yy. X x + y2 2
∆
∆ ∆
ab = 1
x - x + y - y
x - x y - y
1 2 2
1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
-- y - y x - x
X - X Y - Y
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( )
( )
x - x - y - y
y - y x - x
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
a
b
( )
( )
=
ab
X - X Y - Y
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
= x - x - y - y y - y x - x
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( )
-1 X - X Y - Y
1 2
1 2
X - X = a x - x - b y - y Y - Y = b x - x + a y - y
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ))
X = ax - by +c (1) Y = bx + ay + d (2)
X = ax - by +c (3) Y
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2== bx + ay + d (4)2 2
c, d parametreleri ise dönüflüm formüllerinden elde edilir.
(2.12)
Benzerlik dönüflümünün parametreleri a = 2.0, b = 1.0, c = 3.0, d = 4.0 olarak bi- lindi¤ine göre xA= 1.1, yA= 1.2, xB= 2.5, yB= 2.2 olan A ve B noktas›n›n (XA, YA ve XB,YB) koordinatlar›n› hesaplay›n›z.
Benzerlik dönüflümü formülleri
A noktas›n›n koordinat dönüflümü:
B noktas›n›n koordinat dönüflümü:
P1ve P2noktalar›n›n her iki sistemdeki koordinatlar› yukar›daki tabloda veril- di¤ine göre a, b, c, d benzerlik dönüflüm parametrelerini hesaplay›n›z.
a = -1.4 -1.8 + -1.0 -3.4 -1.4 + -1.02 2 = 2
( )( ) ( )( )
( ) ( )
..0b= -1.4 -3.4 - -1.0 -1.8 -1.4 + -1.02 2
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
== 1.0c = 4.0 - 2 1.1 + 1 1.2 = 3.× × 00 d = 7.5 - 1 1.1 - 2 1.2 = 4.0× ×
X
Y = 2 -1 1 2 2.5
2.2
B B
+ 34 = 5.8 10.9 X
Y = 2 -1 1 2 1.1
1.2
A A
+ 34 = 4.0 7.5 XY = a -b
b a xy + c d
c = X - ax +by = X - ax +by d = Y - bx - ay = Y - bx - ay11 11 11 2 2 2 2 2 2
Nokta No x y X Y
P1 1.1 1.2 4.0 7.5
P2 2.5 2.2 5.8 10.9
∆ -1.4 -1.0 -1.8 -3.4
Nokta No x y X Y
P1 1.1 1.2 4.0 7.5
P2 2.5 2.2 5.8 10.9
Ö R N E K
Ö R N E K
A ve B noktalar›n›n her iki sistemdeki koordinatlar› ile P noktas›n›n (x,y) koordinatlar›
afla¤›da verilmifltir. ‹ki koordinat sistemi aras›ndaki benzerlik dönüflümü parametrelerini ve p noktas›n›n (X,Y) koordinatlar›n› hesaplay›n›z.
‹ki Boyutlu Affin Dönüflümü
Jeodezide genellikle benzerlik dönüflümü kullan›lmas›na ra¤men fotogrametri ve karto¤rafyada durum farkl›d›r. Film, k⤛t vb. maddeler deformasyona u¤rad›klar›
zaman her iki eksen boyunca bozulmalar ayn› olmaz. Bu durumda Affin dönüflümü tercih edilir. Bu dönüflümde koordinat eksenleri yönündeki ölçekler ayn› de¤ildir.
Uzunluklar yöne ba¤l› olarak de¤iflir. Belirli bir yönde ölçek de¤iflmez kal›r. Aç›lar dönüflümden sonra de¤iflir. Aç›lar›n de¤iflimi aç› kollar›n›n do¤rultusuna ba¤l›d›r.
Aç› koruyan bir dönüflüm de¤ildir. Herhangi bir do¤ru dönüflümden sonra yine bir do¤rudur. Paralel do¤rular dönüflümden sonra da paraleldir. Alanlar dönüflümden sonra sabit bir miktar kadar de¤iflir. Bu sabit miktar dönüflüm matrisinin determi- nant›na eflittir. Bir kare, Affin dönüflümü sonucu paralel kenara dönüflmektedir. Fo- togrametride baz› problemlerin çözümünde dört parametreli benzerlik dönüflümü yerine alt› parametreli bir dönüflüm uygulan›r. Affin dönüflümü ad› verilen bu dö- nüflümde alt› parametre, x ve y eksenleri yönünde 2 ölçek faktörü, 2 dönüklük ve 2 ölçektir (fiekil 2.15). Bu alt› parametrenin çözümü için her iki sistemde koordi- natlar› bilinen en az üç noktaya ihtiyaç vard›r. Ortak nokta say›s›n›n üçten fazla ol- mas› durumunda dönüflüm parametreleri en küçük kareler yöntemine göre denge- leme ile hesaplan›r. Affin dönüflümünün benzerlik dönüflümünden temel fark› her iki eksen yönündeki ölçek faktörlerinin farkl› olmas›d›r. Affin dönüflümünde iki koordinat sistemi aras›ndaki iliflki 2.13 eflitli¤i ile ifade edilir.
(2.13) YX = cos sin
sin cos
x x
λ α λ β
λ α λ β
y
y
xy + Xo
Yo
Nokta No x y X Y
A 10 10 50 30
B 20 20 70 70
P 15 10 ? ?
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
3
fiekil 2.15
‹ki boyutlu Affin dönüflümü
x,y: 1. sistemin koordinatlar›
X,Y: 2. sistemin koordinatlar›
λx, λy : x ve y yönündeki ölçek faktörü α,β : x ve y eksenleri etraf›ndaki dönüklük X0,Y0: öteleme elemanlar›
Eflitlik düzenlenerek affin dönüflümü formülleri düzenlenerek eflitlik 2.14’de görüldü¤ü gibi matris formunda yaz›labilir.
λxcos α = α, −λysinβ = b, Xo= c λxsin α = d −λycosβ = e, Yo = f X = ax + by + c
Y = dx + ey + f
(2.14)
Affin dönüflümünün parametreleri a = 0.29, b =-0.95, c =35587.39, d = 0.96, e = 0.29, f = 313.20 olarak bilindi¤ine göre xA=18080.66, yA=20764.98, xB=19138.13, yB= 22007.61 olan A ve B noktalar›n›n (XA,YA) ve (XB,YB) koordinatlar›n› hesaplay›n›z.
Üç Boyutlu Koordinat Dönüflümü
Bafllang›çlar› ayn› olan iki üç boyutlu dik koordinat sistemi (kartezyen koordi- nat sistemi) aras›ndaki dönüflüm formülleri afla¤›daki gibi yaz›labilir.
(2.15) X
Y Z
= x
y z x
y z
A
= X Y Z A-1 XY = a b
d e x
y + cf
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
4
fiekil 2.16 Üç boyutlu dönüflüm
Bu iki koordinat sistemi aras›nda bir ölçek katsay›s› ve öteleme varsa, genel bir üç boyutlu benzerlik dönüflümü formülü afla¤›daki gibi yaz›labilir.
(2.16)
Buradaki A matrisi 3x3 boyutlu bir matristir ve afla¤›daki biçimde gösterilebilir.
A= (2.17)
Dönüflüm Matrisi (Ortogonal Matris)
Dönüflüm formüllerindeki λA dönüflüm matrisi uzunluklar›, λ katsay›s› oran›nda de¤ifltirilir. Ancak bu durumda fleklin benzerli¤i de¤iflmez, aç›lar ayn› kal›r. Bu ne- denle bu dönüflüme benzerlik dönüflümü denir. λ = 1 durumunda dönüflüm özel bir dönüflümdür ki buna ortogonal dönüflüm denir. Ortogonal dönüflümde aç›lar ile birlikte uzunluklar da korunur. Fotogrametride sembolik olarak tan›mlanan A dönüflüm matrisi ortogonal bir matristir. Ortogonal bir matrisin özelliklerini afla¤›- daki gibi ifade edebiliriz.
• Ortogonal matrisin tersi transpozesine eflittir.
A-1= AT (2.18)
• Matrisin kendisiyle çarp›m› 1’e eflittir.
Α2= 1 (2.19)
• Her sat›rdaki ve sütundaki elemanlar›n karelerinin toplam› 1’e eflittir.
‹kinci sat›r için bu özellik yaz›l›rsa;
a212 + a222 + a232 = 1 (2.20)
• ‹ki sat›r, ya da iki sütundaki elemanlar›n karfl›l›kl› olarak çarp›mlar›n›n top- lam› s›f›ra eflittir. Örne¤in ikinci ve birinci sütun elemanlar› için yaz›l›rsa;
a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0 (2.21)
• Her eleman kendisinin kofaktörüne eflit ya da ters iflaretlisidir. a11için bu ba¤›nt›lar yaz›l›rsa;
a11 = ±(a22a33-a23a32) (2.22)
Bu üç özellikten toplam 21 eflitlik yaz›labilir. Bu eflitlikler incelenirse, bunlar›n yaln›z 6 tanesinin ba¤›ms›z oldu¤u, geriye kalan 15 denklemden de 6 tanesinin eflit- liklerden ç›kar›labilece¤i görülür. Ortogonal matrisin 9 eleman› bulundu¤u ve bu 9 parametre aras›nda birbirinden ba¤›ms›z 6 ba¤›nt› yaz›labilece¤ine göre bu matris uygun seçilecek 3 ba¤›ms›z paremetre ile ifade edilebilir. Fotogrametride, bu üç ba-
¤›ms›z parametre olarak üç eksen çevresindeki dönüklük aç›lar› al›n›r.
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
X
Y Z =
x y z +
X Y Z
0 0
0
λA
‹ki boyutlu benzerlik dönüflümü ile iki boyutlu affin dönüflümünü karfl›laflt›r›p, temel farklar›n› belirtiniz.
Dönüklük Aç›lar› ve D›fl Yöneltme Elemanlar›
Ortogonal matrisin üç ba¤›ms›z parametresi için, fotogrametride üç eksen çevre- sindeki dönüklük aç›lar›n›n kullan›ld›¤› ifade edilmiflti. O izdüflüm merkezinden, XYZ uzay koordinat sisteminin eksenine paraleller çizilsin, böylece elde edilen xyz koordinat sistemi ve bu eksenler etraf›nda dönüklük aç›lar› fiekil 2.17’de gösteril- mifltir. Bu dönüklük aç›lar› yard›m› ile XYZ foto¤raf koordinat sistemi, sanal uvw eksen sistemine göre tan›mlanabilir. Sanal uvw eksen sisteminin yerine bu dönük- lüklerin XYZ uzay koordinatlar› sisteminin eksenleri çevresindeki dönüklükleri gi- bi düflünmek daha uygundur. Buna göre, pozitif yönleri fiekil 2.18’de gösterilen dönüklük aç›lar› afla¤›daki gibi ifade edilir.
X-ekseni çevresindeki dönüklük ω (omega ) Y-ekseni çevresindeki dönüklük φ ( fi ) Z-ekseni çevresindeki dönüklük κ ( kappa )
Ifl›n destelerinin tan›mlanabilmesi, ya da yeniden oluflturulabilmesi için iç yö- neltme elemanlar›n›n bilinmesi gerekir. ‹zdüflüm ›fl›nlar›n›nda do¤ru olarak ko- numland›r›labilmesi için izdüflüm merkezinin koordinatlar› ile foto¤raf koordinat sisteminin, uzay koordinat sistemine göre dönüklüklerinin bilinmesi gereklidir. Üç öteleme ve üç dönüklükten oluflan alt› elemana bir foto¤raf›n d›fl yöneltme ele- manlar› denir. Baflka bir deyiflle, bir foto¤raf›n alt› d›fl yöneltme eleman›, izdüflüm merkezinin üç koordinat› (Xo,Yo,Zo) ve foto¤raf koordinat sisteminin üç dönüklü-
¤ü (ω, φ, κ)’dür.
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
5
fiekil 2.17 Dönüklük aç›lar›
Ortogonal Matrisin Dönüklük Aç›lar› ‹le ‹fadesi
Foto¤raf koordinat sisteminin arazi koordinat sistemine göre dönüklü¤ünü ifade eden A matrisi, her biri ortogonal olan ve düzlem dönüklükten elde edilen üç mat- risin arka arkaya çarp›lmalar› ile elde edilen bir matristir. Aω, Aφ, Aκ’ya k›smi dö- nüklük matrisleri denir. Matris çarp›mlar›nda s›ra önemlidir. Benzer flekilde, uzay- da üç eksen çevresinde dönüklüklerin mekanik olarak gerçeklefltirilmesinde de bir s›ralama gereklidir. Aω, Aφ, Aκ’yak›smi dönüklük matrislerinin arka arkaya çarp›l- malar› ile afla¤›daki dönüklük matrisi elde edilir.
(2.23)
‹zdüflüm Denklemleri
‹zdüflüm denklemlerini ç›karmak için fiekil 2.19 da görüldü¤ü gibi, foto¤raf›n tam dü- fley olarak çekildi¤ini ve ayn› zamanda X ve x eksenlerinin paralel oldu¤unu kabul edelim. Bu durumda benzer üçgenlerden yararlanarak afla¤›daki eflitli¤i yazabiliriz.
(2.24)
(2.25)
Bu eflitliklerin birinci ve ikinci sat›rlar›, üçüncü sat›ra bölünürse eflitlik 2.26 el- de edilir.
(2.26) x = -cX - X
Z - Z y = -cY - Y
Z - Z
0 0 0
0
X - X
x =Y -Y
y =Z - Z
-c = X - X = x
Y - Y
0 0 0
0 0
λ λ
== y
Z - Z = - c 0 λ
λ Aω ϕ κ
ϕ κ ϕ ϕ
ω κ ω ϕ
=
cos cos - cos sin x sin
cos sin + sin sin ccos cos cos - sin sin sin - sin cos sin sin - cos
κ ω κ ω ϕ κ ω ϕ
ω κ ωωsin cosϕ κ sin cos + cos sin sinω κ ω ϕ κ cos cosω ϕ
fiekil 2.18 Uça¤›n hareketinden kaynaklanan eksenler etraf›ndaki dönüklükler
Bu eflitlikler Eflitlik 2.27’deki gibi ifade edilebilir.
(2.27)
Tam düfley hava foto¤raf› için elde edilen denklemlere izdüflüm denklemleri denir. Bu özel durum yerine genel durum göz önünde bulundurulursa, yani bu iki koordinat sistemi aras›ndaki ölçek fark›, dönüklük ve öteleme dikkate al›n›rsa, ge- nel bir üç boyutlu benzerlik dönüflümü denklemini yazabiliriz (fiekil 2.19).
(2.28)
(2.29)
Eflitlik 2.29’da s›ras›yla 1. ve 2. sat›r 3. sat›ra bölünürse eflitlik 2.30 elde edilir.
X - X Y -Y Z - Z
=
a a a
a a a
a
0 0
0
11 12 13 21 22 23
λ
331 a32 a33
x y -c
X
Y = x y -c +
X0
0
Z Y0
Z
λA
X - X
Z - Z = - x c Y - Y
Z - Z = - yc
0 0 0 0
fiekil 2.19 Tam düfley hava foto¤raf›
(2.30)
Eflitlik 2.29’un her iki taraf› ile çarp›l›p düzenlenirse eflitlik 2.31 elde edilir.
(2.31)
Eflitlik 2.31’da s›ras›yla 1. ve 2. sat›r 3.sat›ra bölünürse eflitlik 2.32 elde edilir.
(2.32)
Eflitlik 2.30 ve eflitlik 2.32 izdüflüm denklemlerinin genel durumunu göster- mektedir.
Tam düfley foto¤raf durumunda, dönüklük elemanlar› φ=ω=κ=0 izdüflüm merke- zinin koordinatlar›, X0 = 1000, Y0=1000, Z0=4000, c = 150 mm olarak bilinmek- tedir. Koordinatlar› X = 2000, Y = 2000, Z = 1000 olan bir P noktas›n›n x ve y ko- ordinatlar›n› bulunuz.
Verilenler ( 2.26 ) eflitli¤inde yerine yaz›l›rsa;
Not: Pratik anlam› olmayan bu örnek, Geometrik Temeller bölümünde verilen her P(X, Y, Z) noktas›na karfl› bir tek P (x, y) foto¤raf noktas› vard›r ifadesini do¤- rulamaktad›r.
x = -cX - X
Z - Z = -150mm 2000 -1000 m 1000 - 4000 m= 50
0 0
( )
( )
mmmy = -cY - Y
Z - Z = -150mm 2000 - 1000 m 1000 - 4000 m
0 0
( )
( )
== 50mmx = -ca (X - X )+a (Y -Y )+a (Z - Z ) a (X - X )+a (1311 00 2123 YY -Y )+a (Z - Z )0 31 0
= -ca (X - X )+a (Y -Y )+a (Z - Z
0 33 0
12 0 0 32
y 22 00
13 0 23 0 33 0
) a (X - X )+a (Y -Y )+a (Z - Z ) x
y -c
=
a a a
a a a
a a
11 21 31
12 22 32
13 23
1
λ aa
X - X Y -Y Z - Z
33
0 0
0
1 A-1
λ X - X
Z - Z =a x+a y - a c a x+a y - a c Y -Y
Z - Z =a 0 0
11 12
31 32 33
0 0
13
221 22 23
31 32 33
x+a y - a c a x+a y - a c
Ö R N E K
Fotogrametrinin geometrik temellerini aç›kla- mak,
Fotogrametrinin geometrik temeli merkezsel iz- düflümdür. Fotogrametri, foto¤raflar yard›m›yla nesne ve yak›n çevresi hakk›nda güvenilir bilgi- ler toplar. Fotogrametri nesne ve yak›n çevresi hakk›nda bilgi toplamak için foto¤raflar› kulla- n›r. Foto¤raf ise merkezsel bir izdüflümdür. Nes- ne uzay›ndaki noktalar›n merkezsel izdüflümleri, bu noktalardan gelen ›fl›nlar›n, izdüflüm merke- zinden geçerek izdüflüm düzlemini deldi¤i nok- talard›r. ‹zdüflüm merkezinin izdüflüm düzlemi- nin konumuna göre pozitif ve negatif görüntü oluflur. ‹zdüflüm merkezi kamera optik sistemi- nin merkezidir. Merkezsel izdüflümün özellikle- rinden tek foto¤raftan derinlik bilgisi elde edile- mez. Ancak ayn› nesnenin farkl› noktalardan çe- kilmifl foto¤raflar› yard›m›yla nesnenin üç boyut- lu koordinatlar› elde edilebilir.
Fotogrametrinin matematiksel temellerini ifade etmek,
Fotogrametrinin matematiksel temeli merkezsel izdüflüm denklemleri ile tan›mlan›r. ‹ki boyutlu foto¤raf koordinatlar› ile üç boyutlu obje koordi- natlar› aras›ndaki iliflki merkezsel izdüflüm denk- lemleri ile kurulur. Fotogrametride, özellikle de hava fotogrametrisinde iç yöneltme elemanlar›
bilinirken d›fl yöneltme elemanlar› bilinmez. Fo- togrametrik problemin çözülebilmesi için d›fl yö- neltme elemanlar›n›n belirlenmesi gerekir. ‹ç yö- neltme elemanlar› asal noktan›n konumu ve asal uzakl›kt›r. D›fl yöneltme elemanlar› ise izdüflüm merkezinin arazi koordinat sistemindeki üç bo- yutlu koordinatlar› (X0, Y0, Z0) ve üç eksendeki dönüklük (φ, ω, κ) olmak üzere her foto¤raf için 6 parametreden oluflur. D›fl yöneltme elemanlar›
XYZ koordinatlar› bilinen noktalar yard›m›yla çö- zülür. Üç boyutlu ya da uzay geriden kestirme ad› verilen bu problemin çözümünde her iki ko- ordinat sisteminde koordinat› bilinen 3’ ten fazla noktaya ihtiyaç duyulur.
Fotogrametride kullan›lan koordinat sistemlerini ve koordinat dönüflümlerini gerçeklefltirmek, Foto¤raflar yard›m›yla nesne ve yak›n çevresinin metrik bilgilerini elde etmek için foto¤raf ve ara- zi koordinat sistemindeki iliflkilerin tan›mlanma- s› gerekir. ‹ki ayr› koordinat sisteminde, bir sis- temdeki koordinatlar›n di¤er sisteme dönüfltü- rülmesi ifllemine koordinat dönüflümü, bu ifllemi gerçeklefltiren formüllere de dönüflüm formülle- ri denir. Genellikle dönüflüm parametreleri, her iki sistemde de koordinatlar› bilinen ortak nokta- lar yard›m›yla hesaplan›r. Benzerlik dönüflümün- de geometrik flekillerin benzerli¤i korunur. Her iki eksen boyunca bozulmalar söz konusu ise af- fin dönüflümü tercih edilir. Ortogonal dönüflüm- de aç›lar ile birlikte uzunluklar da korunur. Orto- gonal bir matrisin tersi transpozesine eflittir. Fo- togrametride kullan›lan dönüflüm matrisi ortogo- nal bir matristir.
Özet
N
A M A Ç1N
A M A Ç2N
A M A Ç31. Fotogrametrik kameralarla çekilmifl foto¤raflar›n kö- flelerinde veya kenar ortalar›nda bulunan, iç yöneltme- de kullan›lan özel iflaretler afla¤›dakilerden hangisidir?
a. Nadir nokta b. ‹zdüflüm merkezi c. Kamera ekseni d. Asal nokta e. Çerçeve iflaretleri
2. ‹zdüflüm merkezinden geçen çekül do¤rusu, foto¤- raf ve araziyi afla¤›daki noktalardan hangisinde keser?
a. Asal nokta b. Nadir nokta c. Orta nokta d. ‹zdüflüm merkezi e. Foto¤raf düzlemi
3. Üç boyutlu uzaydaki noktalar›n bir düzleme geo- metrik bir yöntemle aktar›lmas› afla¤›dakilerden hangi- sidir?
a. ‹ç yöneltme b. ‹zdüflüm c. Perspektif d. K›r›lma e. Dönüflüm
4. Benzerlik dönüflümünün parametreleri a = 2.0, b = 1.0, c = 3.0, d = 4.0 olarak bilindi¤ine göre xA= 1.1 , yA
= 1.2 olan A noktas›n›n (XAYA) koordinatlar› afla¤›da- kilerden hangisidir?
a. XA= 3 , YA= 6 b. XA=2 , YA=5 c. XA= 4 , YA= 8 d. XA=4 , YA=7.5 e. XA=3 , YA=7.5
5. Affin dönüflümünün parametreleri a = 2.5, b = 1.2, c
= 3.0, d = 1.0, e=2.4, f=4 olarak bilindi¤ine göre xA= 10.1, yA= 11.5 olan A noktas›n›n (XA, YA) koordinatla- r› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. XA= 30 , YA= 60 b. XA=25 , YA=35 c. XA= 43 , YA= 48 d. XA=41 , YA=47.5 e. XA=42.5 , YA=41.7
6. Benzerlik dönüflümünün temel özellikleri afla¤›daki- lerden hangisidir?
a. Uzunluklar yöne ba¤l› olarak de¤iflir.
b. Aç›lar dönüflümden sonra de¤iflir.
c. Aç› koruyan bir dönüflümdür.
d. Paralel do¤rular dönüflümden sonra da para- leldir.
e. Her iki eksen yönündeki ölçek faktörleri farkl›d›r.
7. Film, k⤛t vb. deformasyona u¤rayan maddeler için affin dönüflümünün tercih edilmesinin sebebi afla¤›da- kilerden hangisidir?
a. Aç› koruyan bir dönüflümdür.
b. Uzunluklar yöne ba¤l› olarak de¤iflir.
c. Her iki eksen boyunca bozulmalar farkl›d›r.
d. Aç› koruyan bir dönüflüm de¤ildir.
e. Alanlar dönüflümden sonra sabit bir miktar ka- dar de¤iflir.
8. Afla¤›dakilerden hangisi ortogonal matrisin özellik- lerinden biri de¤ildir?
a. Transpozesi tersine eflittir.
b. Matrisin kendisiyle çarp›m›n›n determinant› 1’e eflittir.
c. Sat›r ve sütun elemanlar›n›n karelerinin toplam›
1’e eflittir.
d. ‹ki sat›r veya iki sütundaki elemanlar›n›n karfl›- l›kl› çarp›mlar›n›n toplam› 0’a eflittir.
e. Matrisin sat›r ve sütun say›lar› eflit de¤ildir.
9. Afla¤›dakilerden seçeneklerin hangisinde fotogra- metrideki dönüklük aç›lar› verilmifltir?
a. α, β, κ b. φ, ω, κ c. ω, φ, λ d. α, β, κ e. α, φ, κ
10.D›fl yöneltme elemanlar› afla¤›dakilerden hangisi- dir?
a. Xo,Yo, Zo, ϕ, ω, κ b. X, Y, Z, φ, ω, κ c. X,Y, Z, φ, ω, λ d. Xo,Yo, Zo, ϕ, ω, λ e. Xo,Yo, Zo, ϕ, ω, γ
Kendimizi S›nayal›m
1. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tan›mlar “ konusunu yeni- den gözden geçiriniz.
2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tan›mlar” konusunu yeni- den gözden geçiriniz
3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “ Geometrik Temeller “ ko- nusunu yeniden gözden geçiriniz
4. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Koordinat Dönüflümü” ko- nusunu yeniden gözden geçiriniz
5. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Koordinat Dönüflümü” ko- nusunu yeniden gözden geçiriniz
6. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Koordinat Dönüflümü” ko- nusunu yeniden gözden geçiriniz
7. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “ Affin Dönüflümü “ konusu- nu yeniden gözden geçiriniz
8. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “ Dönüflüm matrisi(Orto- gonal matris) “ konusunu yeniden gözden ge- çiriniz
9. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Dönüklük aç›lar› ve D›fl yö- neltme elemanlar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz
10. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Dönüklük aç›lar› ve D›fl yö- neltme elemanlar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz
S›ra Sizde 1
Çerçeve iflaretlerinin karfl›l›kl› olarak birlefltirilmesi ile elde edilen, foto¤raf çerçeve iflaretlerinin geometrik or- tas› ve foto¤raf koordinat sisteminin (x,y) merkezine orta nokta denir.
Kamera ekseninin foto¤raf düzlemini kesti¤i, ayn› za- man da kamera ekseninin foto¤raf düzlemini ve nesne yüzeyini deldi¤i noktaya asal nokta denir
‹zdüflüm merkezinden geçen çekül do¤rusunun foto¤- raf ve araziyi kesti¤i noktaya ayakucu (Nadir) noktas›
denir.
S›ra Sizde 2
Foto¤raf, merkezsel bir izdüflümdür. O izdüflüm merke- zi kamera optik sisteminin merkezidir. Tüm izdüflüm
›fl›nlar› bu noktadan geçer. Harita, dik bir izdüflümdür.
‹zdüflüm düzlemi olarak yeryüzünün belirli bir noktas›- na te¤et olan bir yüzey al›n›r. Genellikle bu yüzey de- niz yüzeyine paralel olur ve dik izdüflüm küçültülerek k⤛da akt›r›l›r. Geometrik olarak bir harita ile düfley bir hava foto¤raf› aras›nda en önemli fark, farkl› izdüflüm sonucunda oluflmas›d›r.
S›ra Sizde 3
4 bilinmeyenli 4 denklem
1. ve 3. denklemler 2. ve 4. denklemler birbirinden ç›kar›l›rsa
elde edilir. Matris gösterimi ile
x - x - y - y y - y x - x a
b
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
= -
Y - Y ve ya ab
1 2
1 2
X X
( ) ( )
( ) ( )
= x - x - y - y y - y x - x
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( )
-1
1 2
1 2
- Y - Y X X X - X = a x - x - b y - y
Y -Y = b x - x + a y - y
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ))
X ax by c
Y bx ay d
X ax by c
Y bx ay
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
= − +
= + +
= − +
= + +dd
