ba¼ g¬nt¬s¬ile hesaplanabilece¼ gi tespit edilmi¸ stir. Buna göre,

BEL· IRL· I · INTEGRAL· IN UYGULANMASI · ILE · ILG· IL· I PROBLEMLER

Belirli integral kavram¬ …zik ve mühendislik dallar¬nda alan, hacim ve moment hesaplar¬ gibi çe¸ sitli komplike problemlerin analizinde kullan¬r. Belirli integralin, yat¬r¬m ve maliyet analizleri, ö¼ grenme e¼ grisi gibi önemli i¸ sletme problemlerinde de uygulama olana¼ g¬vard¬r. Bu bölümde, belirli integralin i¸ sletme problemlerine uygu- lanmas¬yla ilgili birkaç örnekten bahsedilecektir.

Örnek: Bir fabrikan¬n kal¬p atölyesinde kullan¬lmak üzere …yat¬ 37500 lira olan yar¬ otomatik bir torna tezgah¬n¬n sat¬n al¬nmas¬ planlanmaktad¬r. Tezgah al¬n¬p kullan¬lmaya ba¸ sland¬ktan bir süre sonra artan üretim miktar¬sebebiyle sa¼ glanacak tasarrufun, x y¬l olarak zaman¬göstermek ve 0 x 7 ¸ sart¬sa¼ glanmak üzere,

y = 2500x

ba¼ g¬nt¬s¬ile hesaplanabilece¼ gi tespit edilmi¸ stir. Buna göre,

a) 3. y¬l sonunda tornan¬n maliyetinin ne kadar¬n¬ç¬karaca¼ g¬n¬,

b) Maliyetin tamam¬n¬n ç¬kar¬labilmesi için kaç y¬l geçmesi gerekece¼ gini bulunuz.

Çözüm: y = 2500x denklemi ile verilen (zaman-tasarruf) fonksiyonunun gra…¼ gi or- jinden geçen bir do¼ gru parças¬d¬r. Herhangi bir andaki tasarrufun de¼ geri bu denklem ile hesaplanabilir. Böyle bir x an¬ndan itibaren dx kadar zaman geçmi¸ sse, bu zaman içinde sa¼ glanan tasarruf, y:dx ile verilir. Bu tasarru‡ar¬n 0 x 3 aral¬¼ g¬ndaki toplam¬n¬bulmak için y:dx diferansiyelinin bu aral¬kta integralini almak gerekir. Bu durumda 3. y¬l¬n sonundaki tasarruf,

Z

0

ydx = Z

0

2500xdx = 1250x

= 11250

lira elde edilir.

1

Maliyetin tamam¬n¬n ç¬kar¬lmas¬için geçmesi gereken süreyi t ile gösterelim. Fonksiy- onun 0 x t aral¬¼ g¬nda integrali al¬nd¬¼ g¬nda bulunacak sonucun 37500 liraya e¸ sit olmas¬gerekir. O halde,

Z

0

ydx = Z

0

2500xdx = 1250x

= 1250t

= 37500

e¸ sitli¼ ginden t çözülürse t = 5:5 y¬l elde edilir.

Örnek: Q birim ürünü t süre stokta bulundurman¬n i¸ sletmeye yükleyece¼ gi elde bulundurma maliyetleri toplam¬, Q ve t de¼ gerlerine ba¼ gl¬ olarak de¼ gi¸ sir. Kabul edelim ki, bir birim ürünü bir y¬l stokta bulundurman¬n maliyeti I ve stoktaki ürün miktar¬n¬n zamana göre de¼ gi¸ simini veren fonksiyon Q = f (t) olsun. Buna göre, 0 t T süresi içindeki elde bulundurma maliyetleri toplam¬n¬hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Aranan toplam maliyeti C ile gösterelim. E¼ ger Q; 0 t T aral¬¼ g¬nda sabit olsayd¬, do¼ grudan

C = I:T:Q

¸ seklinde hesap yap¬labilirdi. Ancak Q zamanla de¼ gi¸ sti¼ ginden, bir t an¬ndan itibaren dt kadar zaman geçmi¸ sse bu zaman aral¬¼ g¬ndaki maliyet,

dC = I:f (t)dt (1)

¸ seklinde hesaplan¬r. (1) e¸ sitli¼ ginin her iki taraf¬n¬n 0 t T aral¬¼ g¬nda integrali al¬n¬rsa,

C = I:

Z

0

f (t)dt (2)

bulunur. O halde, stoktaki ürün miktar¬zamana göre Q = f (t) ¸ seklinde de¼ gi¸ siyorsa, t = 0 an¬ndan t = T an¬na kadar yap¬lan elde bulundurma masra‡ar¬toplam¬f (t) e¼ grisinin alt¬nda kalan alan¬n I kat¬olup (2) formülü ile hesaplan¬r.

Al¬¸ st¬rma: Bir üretim sisteminde, input miktar¬ndaki bir de¼ gi¸ sme sonucu out-

2

put (üretilen mal) miktar¬nda meydana gelen de¼ gi¸ sime marjinal prodüktivite denir.

Kabul edelim ki, bir in¸ saat …rmas¬belirli bir yolun asfaltla kaplanmas¬i¸ sini belirli bir süre sonunda tamamlamak üzere taahhüt etsin. Yaln¬z bir asfalt makinesi kul- lan¬ld¬¼ g¬nda her gün yolun belirli uzunluktaki bir k¬sm¬kaplanabilmektedir. Sisteme yeni makineler eklendi¼ ginde, i¸ slerin belirli bir s¬rayla yap¬lmas¬zorunlulu¼ gu yüzün- den, her eklenen makine için makine ba¸ s¬na verim belirli bir oranda dü¸ smektedir.

Marjinal prodüktivite ile makine say¬s¬aras¬ndaki ba¼ g¬nt¬

f (x) = 3 (0; 2)x

denklemi ile verilmi¸ stir. Burada x kullan¬lan makine say¬s¬n¬ gösterdi¼ ginden eklenen her yeni makinenin %20 daha az prodüktif oldu¼ gu anla¸ s¬lmaktad¬r. Buna göre, prodüktivitenin maksimum olmas¬için kaç makine kullan¬lmas¬gerekti¼ gini bulunuz.

3