Rekürans Ba¼ g¬nt¬lar¬:
k ve p reel sabitler olmak üzere J
k(x) Bessel fonksiyonu a¸ sa¼ g¬daki ba¼ g¬nt¬lar¬gerçekler.
a) d
dx x
kJ
k(px) = px
kJ
k 1(px) b) d
dx x
kJ
k(px) = px
kJ
k+1(px) c) d
dx [J
k(px)] = pJ
k 1(px) k
x J
k(px) d) d
dx [J
k(px)] = pJ
k+1(px) + k
x J
k(px) e) d
dx [J
k(px)] = p
2 [J
k 1(px) J
k+1(px)]
f ) J
k(px) = px
2k [J
k 1(px) + J
k+1(px)]
g) J
1=2(x) = r 2
x sin x ; J
1=2(x) = r 2
x cos x
Örnek 1.
Z
x0
t
nJ
k+1(pt)dt = k + n p
Z
x0
t
n 1J
k(pt)dt x
np J
k(px) (n > 0; k 0)oldu¼ gunu gös- teriniz.
Çözüm: b) e¸ sitli¼ gi düzenlenirse,
J
k+1(pt) = 1 p t
kd
dt t
kJ
k(pt)
elde edilir. E¸ sitli¼ gin her iki yan¬n¬t
nile çarp¬p 0 dan x e integre edersek, Z
x0
t
nJ
k+1(pt)dt = 1 p Z
x0
t
n+kd
dt t
kJ
k(pt) dt
bulunur. K¬smi integrasyon yap¬larak, Z
x0
t
nJ
k+1(pt)dt = 1 p
8 <
: t
nJ
k(pt) j
x0(n + k) Z
x0
t
n 1d
dt J
k(pt)dt 9 =
;
= k + n p
Z
x0
t
n 1J
k(pt)dt x
np J
k(px)
elde edilir.
1
Örnek 2. A¸ sa¼ g¬daki ba¼ g¬nt¬lar¬n do¼ gru oldu¼ gunu gösteriniz.
1) Z
x0
J
1(ax)dx =
1a[1 J
0(ax)]
2) Z
x0
J
2(ax)dx = Z
x0
J
0(ax)dx
2aJ
1(ax)
Çözüm:
1) Yukar¬da "b" ile verilen ¸ sekildeki ba¼ g¬nt¬da d
dx x
kJ
k(px) = px
kJ
k+1(px) k = 0 ve p = a al¬n¬rsa
d
dx [J
0(ax)] = aJ
1(ax) J
1(ax) = 1
a d
dx [J
0(ax)] (*)
elde edilir. (*) ifadesi 0 dan x e integre edilirse Z
x0
J
1(ax)dx = 1 a Z
x0
d
dx [J
0(ax)] = 1
a [J
0(ax) J
0(0)] = 1
a [1 J
0(ax)]
gösterilmi¸ s olur.
2) Yukar¬da "e" ile verilen ¸ sekildeki ba¼ g¬nt¬da d
dx [J
k(px)] = p
2 [J
k 1(px) J
k+1(px)]
k = 1 ve p = a al¬n¬rsa
d
dx [J
1(ax)] = a
2 [J
0(ax) J
2(ax)]
J
2(ax) = J
0(ax) 2 a
d
dx [J
1(ax)] (*)
2
elde edilir. (*) ifadesi 0 dan x e integre edilirse Z
x0
J
2(ax)dx = Z
x0
(J
0(ax) 2 a
d
dx [J
1(ax)])dx
= Z
x0
J
0(ax)dx 2
a (J
1(ax)) j
x0= Z
x0
J
0(ax)dx 2
a J
1(ax) + 2 a J
1(0)
= Z
x0
