˙Iki De˘gi¸skenli Ba˘glanım Modeli Tahmin Sorunu Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA

(1)

˙Iki De˘gi¸skenli Ba˘glanım Modeli

Tahmin Sorunu

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları

Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

(2)

Açık Lisans Bilgisi

˙I¸sbu belge, “Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported” (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur.

Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması ko¸sulu ile özgürce kullanılabilir, ço ˘galtılabilir ve de ˘gi¸stirilebilir.

Creative Commons örgütü ve “CC-BY-NC-SA” lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz.

A. Talha Yalta

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

(3)

Ders Planı

1 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi SEK Tahmincilerinin Türetilmesi

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri SEK Yönteminin Ardındaki Varsayımlar

2 SEK Yönteminin Güvenilirli ˘gi

SEK Tahmincilerinin Ölçünlü Hataları Belirleme Katsayısı r²

Monte Carlo Yöntemi

3 Sayısal Bir Örnek

(4)

Ders Planı

(5)

Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi

Ba ˘glanım çözümlemesinde amaç, örneklem ba ˘glanım i¸slevi (ÖB˙I) temel alınarak anakütle ba ˘glanım i¸slevinin (AB˙I) olabildi ˘gince do ˘gru biçimde tahmin edilmesidir.

Bunun için kullanılan en yaygın yol“sıradan en küçük kareler”(ordinary least squares), kısaca“SEK”(OLS) yöntemidir.

SEK yönteminin 1794 yılında Alman matematikçi Carl Fredrich Gauss tarafından bulundu ˘gu kabul edilir.

(6)

Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi

SEK yöntemini anlamak için iki de ˘gi¸skenli AB˙I’yi anımsayalım:

Y_i = β₁+ β₂X_i+u_i

AB˙I gözlenemedi ˘ginden ÖB˙I kullanılarak tahmin edilir:

Y_i = ˆβ₁+ ˆβ₂X_i+ ˆu_i

= ˆY_i+ ˆu_i

ÖB˙I’nin kendisini bulmak için ise“kalıntılar”(residuals), di ˘ger bir deyi¸sle hata terimi kullanılır:

uˆ_i =Y_i− ˆY_i

=Y_i− ˆβ1− ˆβ2X_i

(7)

Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi

Elimizde n tane X ve Y varken, ÖB˙I’yi gözlenen Y ’lere olabildi ˘gince yakın biçimde belirlemek istiyoruz.

Bunun için ¸su ölçüt benimsenebilir:

min (P ˆu_i) =min

P(Y_i− ˆY_i)

Ancak bu durumda artı ve eksi de ˘gerli hatalar büyük ölçüde birbirlerini etkisiz hale getirecektir.

Ayrıca burada ÖB˙I’ye ne kadar yakın ya da uzak olursa olsun tüm kalıntılar e¸sit önem ta¸sımaktadır.

Öyleyse, ÖB˙I’yi kalıntılar toplamı en küçük olacak ¸sekilde seçmek iyi bir ölçüt de ˘gildir.

(8)

Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi

Herhangi bir veri seti için farklı ˆβ1ve ˆβ2de ˘gerleri farklı ˆu_i ve dolayısıyla da farklıP ˆu_i²toplamları verir.

Ancak hatalar toplamıP ˆu_i her zaman sıfır çıkar.

Örnek olarak, varsayımsal bir veri seti için a¸sa ˘gıdaki iki ÖB˙I’yi ele alalım:

Yˆ_1i =1,572 + 1,357X_i Yˆ_2i =3,000 + 1,000X_i

Y_i X_i Yˆ_1i uˆ_1i uˆ_1i² Yˆ_2i ˆu_2i ˆu_2i²

4 1 2,929 1,071 1,147 4 0 0

5 4 7,000 -2,000 4,000 7 -2 4

7 5 8,357 -1,357 1,841 8 -1 1

12 6 9,714 2,286 5,226 9 3 9

Toplam 28 16 0 12,214 0 14

(9)

Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi

0 2 4 6 8 10 12 14

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X VARSAYIMSAL ÖRNEK Y = 1,57 + 1,36X

(10)

Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi

Artı ve eksi de ˘gerler alabilen kalıntıların toplamının küçük çıkma sorunundan kurtulmak için en küçük kareler ölçütü kullanılır:

En Küçük Kareler Ölçütü min

P ˆu_i²

=min

P(Y_i− ˆY_i)²

=min

P(Y_i− ˆβ1− ˆβ2X_i)²

Yukarıdaki gösterimin ˆβ₁ve ˆβ₂tahmincilerine dayanan bir matematiksel i¸slev oldu ˘guna dikkat ediniz.

(11)

Normal Denklemler

SEK, kalıntı kareleri toplamını“enazlamak”(minimize) için, ÖB˙I de ˘gi¸stirgelerini hesaplamada basit bir“eniyileme”

(optimization) yönteminden yararlanır.

P(Y_i− ˆβ₁− ˆβ₂X_i)²teriminin ˆβ₁ve ˆβ₂’ya göre kısmi türevlerini alalım:

P Y_i =n ˆβ1+ ˆβ2P X_i P Y_iX_i = ˆβ1P X_i + ˆβ2P X_i²

Burada n örneklem büyüklü ˘güdür.

Yukarıdaki denklemler“normal denklemler”(normal equations) olarak adlandırılırlar.

(12)

Normal Denklemler

βˆ₁ve ˆβ₂de ˘gi¸stirgeleri, normal denklemlerin e¸sanlı olarak çözülmesi ile bulunur:

βˆ2= ⁿ^{P X}_n_{P X}ⁱ^Yⁱ2^{−P X}ⁱ^{P Y}ⁱ i−(P Xi)²

= ^{P x}_{P x}ⁱ^y2ⁱ i

βˆ1= ^{P X}

2

i P Y_i−P X_iP X_iY_i nP X_i²−(P Xi)²

= ¯Y − ˆβ₂X¯ X ve ¯¯ Y terimleri X ile Y ’nin örneklem ortalamalarıdır.

Küçük harfler ise“ortalamadan sapma”(deviation from the mean) olarak kullanılmı¸stır:

x_i = (X_i− ¯X ) y_i = (Y_i− ¯Y )

(13)

SEK Ba ˘glanım Do ˘grusunun Özellikleri

˙Ikili ba˘glanım SEK tahmincileri ˆβ₁ve ˆβ₂’nın ¸su özelliklerine dikkat edelim:

Bunlar birer nokta tahmincisidirler.

Gözlemlenebilen örneklem de ˘gerleri (X_i ve Y_i) cinsinden gösterilir ve dolayısıyla kolayca hesaplanabilirler.

Örneklem verileri kullanılarak ˆβ₁ve ˆβ₂hesaplandıktan sonra, örneklem ba ˘glanım do ˘grusu da kolayca çizilebilir.

(14)

SEK Ba ˘glanım Do ˘grusunun Özellikleri

SEK yöntemi ile bulunan örneklem ba ˘glanım do ˘grusu a¸sa ˘gıda verilen özellikleri ta¸sır:

1 Örneklem ba ˘glanım do ˘grusu, X ve Y ’nin örneklem ortalamalarından geçer. ( ¯Y_i = ˆβ₁+ ˆβ₂X¯_i)

2 uˆ_i kalıntılarının ortalaması sıfırdır. ( ¯uˆ_i =0)

3 uˆ_i kalıntıları tahmin edilen Y_i’lerle ili¸skisizdir. (P ˆu_iYˆ_i =0)

4 uˆ_i kalıntıları X_i’lerle ili¸skisizdir. (P ˆu_iX_i =0)

5 Tahmin edilen ˆY_i’ların ortalaması, gözlemlenen Y_i de ˘gerlerinin ortalamasına e¸sittir. Bu ÖB˙I’den görülebilir:

Yˆ_i = ˆβ1+ ˆβ2X_i

= ( ¯Y − ˆβ₂X ) + ˆ¯ β₂X_i

= ¯Y + ˆβ2(X_i − ¯X )

Son satırın her iki yanı örneklem üzerinden toplanıp n’ye bölünürse,Y = ¯¯ˆ Y olarak bulunabilir.

(15)

ÖB˙I’nin Sapma Biçiminde Gösterimi

ÖB˙I’nin“sapma biçimi”(deviation form) gösterimini bulmak için Y_i = ˆβ₁+ ˆβ₂X_i+ ˆu_i i¸slevinin her iki yanını toplayalım:

P Y_i =n ˆβ₁+ ˆβ₂P X_i+P ˆu_i

=n ˆβ1+ ˆβ2P X_i (P ˆu_i =0 oldu ˘gu için) Daha sonra bu denklemin her iki yanını n’ye bölelim:

Y = ˆ¯ β₁+ ˆβ₂X¯

Yukarıdaki e¸sitlik, örneklem ba ˘glanımı do ˘grusunun X ve Y ’nin örneklem ortalamalarından geçti ˘gini göstermektedir.

Son olarak yukarıdaki e¸sitli ˘gi ilk e¸sitlikten çıkaralım:

Y_i− ¯Y = ˆβ₂(X_i− ¯X ) + ˆu_i y_i = ˆβ₂x_i+ ˆu_i

Sapma gösteriminde ˆβ₁’nın bulunmadı ˘gına dikkat ediniz.

(16)

Gauss - Markov Kanıtsavı

Klasik Do ˘grusal Ba ˘glanım Modeli (KDBM) varsayımları geçerli iken, en küçük kareler yöntemi ile elde edilen tahminler arzulanan bazı özellikler ta¸sırlar.

Gauss - Markov kanıtsavına göre ˆβ SEK tahmincilerine

“En iyi Do ˘grusal Yansız Tahminci”(Best Linear Unbiased Estimator), kısaca“EDYT”(BLUE) adı verilir.

(17)

Gauss - Markov Kanıtsavı

EDYT olan ˆβ ¸su üç arzulanan özelli ˘gi ta¸sır:

1 Do ˘grusaldır. Di ˘ger bir deyi¸sle ba ˘glanım modelindeki Y ba ˘gımlı de ˘gi¸skeninin do ˘grusal bir i¸slevidir.

2 Yansızdır. Beklenen de ˘geri E ( ˆβ), anakütleye ait gerçek β de ˘gerine e¸sittir.

3 Tüm do ˘grusal ve yansız tahminciler içinde enaz varyanslı olandır. Kısaca en iyi ya da“etkin”(efficient) tahmincidir.

Gauss - Markov kanıtsavı hem kuramsal olarak hem de uygulamada önemlidir.

(18)

SEK Tahmincilerinin Do ˘grusallık Özelli ˘gi

SEK tahmincilerinin“do ˘grusallık”(linearity) arzulanan özelli ˘gini gösterebilmek için ˆβ₂formülünü ¸söyle yazalım:

βˆ₂=P xiyi

P x_i² = P xi(Yi − ¯Y )

P x_i² = P xiYi − ¯YP xi

P x_i² =P xiYi

P x_i²

Bu basitçe ¸su ¸sekilde de gösterilebilir:

P x_iYi

P x_i² =X

kiYi, ki = xi

(P x_i²)

x_i de ˘gerleri olasılıksal olmadı ˘gına göre k_i’ler de gerçekte Y_i’lerin önüne gelen birer“a ˘gırlık”(weight) katsayısıdırlar.

βˆ₂bu durumda Y_i’lerin do ˘grusal bir i¸slevidir. Basitçe ˆβ₂’nın Y_i’lerin bir a ˘gırlıklı ortalaması oldu ˘gu da söylenebilir.

βˆ1’nın do ˘grusal oldu ˘gu da benzer biçimde kanıtlanabilir.

(19)

SEK Tahmincilerinin Yansızlık Özelli ˘gi

SEK tahmincilerinin“yansızlık”(unbiasedness) arzulanan özelli ˘gini gösterebilmek için a ˘gırlık terimi k ’nin ¸su be¸s özelli ˘gi önemlidir:

1 X_i’ler olasılıksal olmadı ˘gından k_i’ler de olasılıksal de ˘gildir.

2 P k_i =0’dır. (P x_i =0 oldu ˘gu için)

3 P k_i²=P x_i²/P(x_i²)²=1/P x_i²olur.

4 P k_ix_i =P x_i²/P x_i²=1’dir.

5 P k_ix_i =P k_iX_i olur.

(P k_ix_i =P k_i(X_i− ¯X ) =P k_iX_i− ¯XP k_i oldu ˘gu için) Dikkat:Tüm bu özellikler k_i’nin tanımından türetilebilmektedir.

(20)

SEK Tahmincilerinin Yansızlık Özelli ˘gi

βˆ₂’nın yansız oldu ˘gunu kanıtlamak için Y_i = β₁+ β₂X_i+u_i biçimindeki AB˙I’yi ˆβ2formülünde yerine koyalım:

βˆ₂=P k_iY_i

=P k_i(β₁+ β₂X_i+u_i)

= β₁P k_i+ β₂P k_iX_i+P k_iu_i

= β₂+P k_iu_i

Yukarıdaki son adımda k_i’nin az önce sözü edilen ikinci, dördüncü ve be¸sinci özelliklerinden yararlanılmı¸stır.

β2ve k_i’nin olasılıksal olmadı ˘gını ve E (u_i) =0 varsayımını anımsayalım ve her iki yanın beklenen de ˘gerini alalım:

E ( ˆβ2) =E (β₂) +P k_iE (u_i)

= β₂

E ( ˆβ₂) = β₂oldu ˘guna göre ˆβ₂yansız bir tahmincidir.

(21)

SEK Tahmincilerinin Enaz Varyanslılık Özelli ˘gi

SEK tahmincilerinin“enaz varyans”(minimum variance) arzulanan özelli ˘gini gösterebilmek için ise β₂’nin en küçük kareler tahmincisinden yola çıkalım:

βˆ₂=P k_iY_i

¸

Simdi β₂için ba¸ska bir do ˘grusal tahminci tanımlayalım:

β˜2=P w_iY_i

Buradaki (˜) i¸sareti“dalga”(tilde) diye okunur.

w_i’ler de birer a ˘gırlıktır ama w_i =k_i olmak zorunda de ˘gildir:

β˜₂’nın yansız olabilmesi için gerekli ko¸sullara bir bakalım:

E ( ˜β₂) =P w_iE (Y_i)

=P w_i(β1+ β2X_i)

= β₁P w_i+ β₂P w_iX_i

Buna göre, ˜β2’nın yansız olabilmesi için ¸sunlar gereklidir:

P w_i =0, P w_ix_i =P w_iX_i =1

(. . . devam)

(22)

SEK Tahmincilerinin Enaz Varyanslılık Özelli ˘gi

var( ˆβ2) ≤var( ˜β2)savını kanıtlamak istiyoruz. Bunun için

¸simdi ˜β₂’nın varyansını ele alalım:

var( ˜β2) = var(X wiYi)

= X

w_i²var(Yi) [Dikkat: var(Yi) =var(ui) = σ²]

= σ²X

w_i² [Dikkat: cov(Yi,Yj) =0, (i 6= j)]

= σ²X

w_i− xi

P x_i² + xi

P x_i²

!2

= σ²X

wi− x_i P x_i²

!2

+ σ²X x_i P x_i²

!2

+2σ²X

wi− x_i P x_i²

! x_i P x_i²

!

= σ²X

w_i− xi

P x_i²

!2

+ σ² 1 P x_i²

!

(. . . devam)

(23)

SEK Tahmincilerinin Enaz Varyans Özelli ˘gi

Son satırda bulmu¸s oldu ˘gumuz ¸sey ¸sudur:

var( ˜β2) = σ²P

w_i− ^xⁱ

P x_i²

2

+ σ²

1 P x_i²

Yukarıda en sa ˘gdaki terim w_i’den ba ˘gımsızdır.

Öyleyse var( ˜β₂)’yı enazlayabilmek ilk terime ba ˘glıdır ve ilk terimi sıfırlayan w_i de ˘geri de ¸sudur:

w_i = _{P x}^xⁱ2 i

=k_i Bu durumda a¸sa ˘gıdaki e¸sitlik geçerlidir:

var( ˜β₂) = _{P x}^σ²2 i

=var( ˆβ₂)

Demek ki w_i a ˘gırlıkları k_i a ˘gırlıklarına e¸sit oldu ˘gunda ˜β₂’nın varyansı enazlanarak ˆβ2’nın varyansına e¸sitlenmektedir.

Sonuç olarak, en küçük kareler tahmincisi ˆβ₂tüm yansız ve do ˘grusal tahminciler içinde enaz varyanslı tahmincidir.

(24)

SEK Yönteminin Ardındaki Varsayımlar

Ekonometrik çözümlemenin amacı yalnızca β₁ve β₂gibi de ˘gi¸stirgeleri tahmin etmek de ˘gildir. Bu de ˘gerlere ili¸skin çıkarsamalar yapmak da istenir.

Örnek olarak, ˆY_i’ların gerçek E (Y |X_i)de ˘gerlerine ne kadar yakın olduklarını bilmek önemlidir.

Anakütle ba ˘glanım i¸slevini anımsayalım:

Görülüyor ki Y_i hem X_i’ye hem de u_i’ye ba ˘glıdır.

Öyleyse Y_i, β₁ve β₂’ye ili¸skin istatistiksel çıkarım yapmak için X_i ve u_i’nin nasıl olu¸sturuldu ˘gunu bilmek gereklidir.

Bu noktada Gaussçu“Klasik Do ˘grusal Ba ˘glanım Modeli”

(Gaussian Classical Linear Regression Model), kısaca

“KDBM”(CLRM) 10 temel varsayım yapar.

(25)

Varsayım 1

Ba ˘glanım modeli de ˘gi¸stirgelerde do ˘grusaldır:

Ancak de ˘gi¸skenlerde do ˘grusallık zorunlu de ˘gildir.

De ˘gi¸stirgelerde do ˘grusallık varsayımı KDBM’nin ba¸slangıç noktasıdır.

(26)

Varsayım 2

X de ˘gerleri tekrarlı örneklemelerde de ˘gi¸smez.

Bu varsayım X ’in olasılıksal olmadı ˘gını söyler.

Buna göre X ve Y de ˘gerlerinin rastsal {X ,Y } çiftleri

¸seklinde elde edilmemi¸s oldu ˘gu kabul edilir.

Di ˘ger bir deyi¸sle, gelir düzeyi ba¸sta örne ˘gin 80 olarak belirlendikten sonra rastsal bir aile seçildi ˘gini varsayıyoruz.

Buna göre elimizdeki çözümleme açıklayıcı X de ˘gi¸skenine göre bir ko¸sullu ba ˘glanım çözümlemesidir.

X ve Y de ˘gerlerinin birlikte örneklenebilmesi, bazı ek ko¸sulların sa ˘glanması ile geçerli olur. Bu duruma ise

“Neo-Klasik Do ˘grusal Ba ˘glanım Modeli”(NKDBM) denir.

(27)

Varsayım 3

u_i hata teriminin ortalaması sıfırdır:

E (u_i|Xi) =0

Buna göre, modelde açıkça yer almayan ve dolayısıyla u_i içine katılmı¸s olan etmenlerin Y ’yi kurallı bir ¸sekilde etkilemedi ˘gi varsayılmaktadır.

Artı de ˘gerli u_i’ler eksi de ˘gerli u_i’leri götürmeli ve böylece bunların Y üzerindeki ortalama etkileri sıfır olmalıdır.

(28)

Varsayım 4

u_i hata teriminin varyansı tüm gözlemler için sabittir:

var(u_i|Xi) = σ²

“Aynıserpilimsellik”(homoscedasticity) varsayımına göre farklı X de ˘gerlerine kar¸sılık gelen tüm Y ’ler e¸sit önemdedir.

Tersi durum ise“farklıserpilimsellik”(heteroscedasticity) durumudur:

var(u_i|X₁) 6=var(u₂|X₂) 6= · · · 6=var(u_n|X_n).

Farklıserpilimsellik durumunda çe¸sitli X de ˘gerlerine kar¸sılık gelen Y de ˘gerlerinin güvenilirlikleri aynı olmaz.

Bu yüzden kendi ortalaması etrafında farklı sıklıkta yayılan Y ’leri farklı a ˘gırlıklar vererek de ˘gerlendirmek gereklidir.

(29)

Aynıserpilimsel Veriler

800 900 1000 1100 1200 1300 1400

0 20 40 60 80 100

Y

X AYNISERPİLİMSELLİK Y = 906, + 1,96X

(30)

Farklıserpilimsel Veriler

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0 20 40 60 80 100

Y

X FARKLISERPİLİMSELLİK Y = 118, + 7,39X

(31)

Varsayım 5

Hatalar arasında“özilinti”(autocorrelation) yoktur.

E ˘ger“bozukluklar”(disturbances) birbirlerini kurallı biçimde izlerlerse özilinti ortaya çıkar.

AB˙I’yi Y_t = β₁+ β₂X_t+u_t olarak kabul edelim ve u_t ile u_t−1 de aynı yönde ili¸skili olsun.

Bu durumda, Y_t yalnızca X_t’ye de ˘gil u_t’ye de ba ˘glı olur ve bu nedenle u_t’yi bir ölçüde u_t−1belirler.

Bu sorunla kar¸sıla¸smamak için hatalar arasında“serisel ilinti”(serial correlation) olmadı ˘gı varsayılır.

(32)

Özilintili Hatalar

-10 -5 0 5 10 15

1990 1995 2000 2005 2010

Y

ÖZİLİNTİLİ VE ÖZİLİNTİSİZ SERİ ÖRNEĞİ Özilintisiz

Özilintili

(33)

Hatalar Arası Aynı Yönlü Özilinti

-100 -50 0 50 100

u(t)

u(t-1)

HATALAR ARASI AYNI YÖNLÜ SERİSEL İLİNTİ

(34)

Hatalar Arası Ters Yönlü Özilinti

-100 -50 0 50 100

u(t)

u(t-1)

HATALAR ARASI TERS YÖNLÜ SERİSEL İLİNTİ

(35)

Hatalar Arası Özilintisizlik

-150 -100 -50 0 50 100 150

u(t)

u(t-1)

HATALAR ARASI SERİSEL İLİNTİSİZLİK

(36)

Varsayım 6

Hata terimi u_iile X_i’nin kovaryansı sıfırdır:

cov(u_i,X_i) =0

E ˘ger X ve u ili¸skiliyse, ikisinin de Y üzerindeki tekil etkilerini bulmak olanaksızla¸sır.

Ayrıca, e ˘ger X ile u aynı yönde ili¸skiliyse, X arttıkça u da artarak farklıserpilimsellik sorununa yol açar.

E ˘ger 2. varsayım (X ’in rastsal olmaması) ve 3. varsayım (E (u_i|X_i) =0) geçerliyse, 6. varsayım da kendili ˘ginden gerçekle¸smi¸s olur.

(37)

Varsayım 7

Gözlem sayısı n, tahmin edilecek anakütle katsayısından fazla olmalıdır.

˙Iki bilinmeyeni (β₁ve β₂) bulmak için en az iki noktaya gereksinim vardır.

Bu ko¸sul çözümlemenin matematiksel olarak yapılabilmesi için gereklidir.

Di ˘ger yandan n serbestlik derecesi açısından önemlidir. Bu nedenle sa ˘glıklı sonuçlar için örneklemin yeterince büyük olmasının ayrıca gerekli oldu ˘gu unutulmamalıdır.

(38)

Varsayım 8

Belli bir örneklemdeki X de ˘gerlerinin hepsi aynı olamaz:

var(X ) 6= 0 E ˘ger bütün X de ˘gerleri aynı olursa:

X_i = ¯X ,

x_i =X_i− ¯X oldu ˘gundan βˆ2= ^{P x}_{P x}ⁱ^y2ⁱ

i

formülünün paydası sıfır çıkar.

Kısaca de ˘gi¸skenler de ˘gi¸smelidir.

(39)

Varsayım 9

Ba ˘glanım modeli do ˘gru biçimde belirtilmi¸s olmalıdır.

Ba ˘glanım çözümlemesi sonuçlarının güvenilirli ˘gi, seçilen modele ba ˘glıdır.

Özellikle de bir iktisadi olguyu açıklayan birden fazla kuram bulunuyor ise ekonometrici çok dikkatli olmalıdır.

Her durumda modelin i¸slev biçiminin ne oldu ˘gu, de ˘gi¸sken ve de ˘gi¸stirgelerde do ˘grusal olup olmadı ˘gı konuları iyice sorgulanmalıdır.

Ba ˘glanım modeli yanlı¸s oldu ˘gu zaman“model belirtim hatası”(model specification error) ortaya çıkar.

(40)

Model Belirtim Yanlılı ˘gı

0 20 40 60 80 100

Y

X

MODEL BELİRTİM YANLILIĞI Y = 6,20 + 0,777X

(41)

Varsayım 10

“Tam çoklue¸sdo ˘grusallık”(exact multicollinearity) yoktur.

Tam çoklue¸sdo ˘grusallık durumunda ba ˘glanım katsayıları belirsiz ve bu katsayıların ölçünlü hataları da sonsuz olur.

(42)

KDBM Varsayımlarının Gerçekçili ˘gi

Ünlü ekonomist Milton Friedman’ın “varsayımların yersizli ˘gi”

tezine göre gerçek dı¸sılık bir üstünlüktür:

“Önemli olabilmek için . . . bir önsav,

varsayımlarında betimsel olarak gerçek dı¸sı olmalıdır.”

Ekonometrideki KDBM’nin, fiyat kuramındaki tam rekabet modelinin kar¸sılı ˘gı oldu ˘gu söylenebilir.

Di ˘ger bir deyi¸sle öne sürmü¸s oldu ˘gumuz bu 10 varsayım gerçekleri tümüyle yansıtmak için de ˘gil, konuyu yava¸s yava¸s geli¸stirebilmeyi kolayla¸stırmak amacıyla önemlidir.

Bu varsayımların gerçekle¸smemesi durumunda do ˘gacak sonuçları ise ilerideki bölümlerde inceleyece ˘giz.

(43)

Ders Planı

(44)

SEK Tahmincilerinin Ölçünlü Hataları

Sıradan en küçük kareler tahmincilerinin örneklem verilerinin birer i¸slevi oldu ˘gunu anımsayalım:

βˆ2= ⁿ^{P X}_n_{P X}ⁱ^Yⁱ2^{−P X}ⁱ^{P Y}ⁱ i−(P Xi)²

= ^{P x}_{P x}ⁱ^y2ⁱ i

βˆ1= ^{P X}

2

i P Y_i−P X_iP X_iY_i nP X_i²−(P Xi)²

= ¯Y − ˆβ₂X¯

Veriler örneklemden örnekleme de ˘gi¸sece ˘gi için tahminler de buna ba ˘glı olarak de ˘gi¸secektir.

Öyleyse ˆβ1ve ˆβ2tahmincilerinin güvenilirli ˘gi için bir ölçüte gereksinim vardır.

(45)

SEK Tahmincilerinin Ölçünlü Hataları

˙Istatistikte rastsal bir de˘gi¸skenin do˘gruluk derecesi“ölçünlü hata”(standard error), kısaca“öh”(se) ile ölçülür:

Ölçünlü Hata

Ölçünlü hata, bir tahminciye ait örneklem da ˘gılımının kendi ortalamasından ortalama olarak ne kadar saptı ˘gını gösterir.

Örneklem da ˘gılımı varyansının artı de ˘gerli kare köküdür.

(46)

SEK Tahmincilerinin Ölçünlü Hataları

Ba¸sta sözü edilmi¸s olan Gaussçu varsayımlar geçerli iken SEK tahmincilerinin ölçünlü hataları a¸sa ˘gıdaki gibidir:

var( ˆβ₂) = ^σ²

P x_i²

öh( ˆβ2) = √^σ

P x_i²

var( ˆβ₁) = ^{P X}ⁱ²

nP x_i²σ² öh( ˆβ1) =

r P X_i² nP x_i²σ Burada

var de ˘gi¸sirlik ya da varyansı, öh ölçünlü hatayı,

σ² ise ba ˘glanımın sabit varyansını göstermektedir.

(47)

SEK Tahmincilerinin Ölçünlü Hataları

u_i’nin sabit varyansını veren σ² ¸söyle tahmin edilir:

ˆ

σ²= P ˆu_i² n − 2

Buradaki ˆσ², bilinmeyen σ²’nin SEK tahmincisidir.

P ˆu_i²terimine“kalıntı kareleri toplamı”(residual sum of squares), kısaca“KKT”(RSS) denir ve ¸söyle bulunur:

P ˆu_i²=P y_i²− ˆβ₂²P x_i²

n − 2 de ˘geri ise iki de ˘gi¸skenli çözümleme için geçerli serbestlik derecesidir.

(48)

Serbestlik Derecesi Kavramı

Serbestlik Derecesi

“Serbestlik derecesi”(degree of freedom), örneklemdeki toplam gözlem sayısı (n) eksi bunlar üzerine konulmu¸s olan ba ˘gımsız ve do ˘grusal sınırlama sayısıdır.

Örnek olarak, KKT’nin hesaplanabilmesi için önce ˆβ1ve ˆβ2

de ˘gerlerinin bulunmu¸s olması gereklidir:

X ˆu_i²=X

(Y_i− ˆβ₁− ˆβ₂X_i)²

Dolayısıyla bu iki tahminci KKT üzerine iki sınırlama getirir.

Bu durumda, KKT’yi ve dolayısıyla da ölçünlü hatayı do ˘gru hesaplayabilmek için aslında elde n de ˘gil n − 2 sayıda ba ˘gımsız gözlem vardır.

(49)

SEK Tahmincilerinin Ölçünlü Hatalarının Özellikleri

SEK tahmincileri ˆβ1ve ˆβ2’nın varyans formüllerini anımsayalım:

var( ˆβ₂) = _{P x}^σ²2 i

var( ˆβ₁) = ^{P X}

2 i

nP x_i²σ²

βˆ₁ile ˆβ₂tahmincilerinin varyanslarının ve dolayısıyla bunların ölçünlü hatalarının ¸su özellikleri önemlidir:

1 Örneklem büyüklü ˘gü n arttıkçaP x_i²toplamındaki terim sayısı da artar. Böylece n büyüdükçe ˆβ₁ve ˆβ₂’nın do ˘gruluk dereceleri de artar.

2 βˆ₁ve ˆβ₂, verili bir örneklemde birbirleri ile ili¸skili olabilirler.

Bu ba ˘gımlılık aralarındaki kovaryans ile ölçülür:

cov( ˆβ₁, ˆβ₂) = − ¯X var( ˆβ₂)

3 E ˘ger ¯X artı de ˘gerli ise kovaryans da eksi de ˘gerli olur. Bu durumda e ˘ger β₂katsayısı oldu ˘gundan büyük tahmin edilir ise β₁de oldu ˘gundan küçük tahmin edilmi¸s olur.

(50)

Belirleme Katsayısı r

²

Eldeki gözlemler ço ˘gunlukla ba ˘glanım do ˘grusu üzerinde yer almazlar.

Artı ya da eksi i¸saretli ˆu_i hataları ile kar¸sıla¸sıldı ˘gına göre örneklem ba ˘glanım do ˘grusunun eldeki verilerle ne ölçüde örtü¸stü ˘günü gösteren bir ölçüte gereksinim vardır:

Belirleme Katsayısı

“Belirleme katsayısı”(coefficient of determination) ya da r² (çoklu ba ˘glanımda R²), örneklem ba ˘glanım i¸slevinin verilere ne kadar iyi yakı¸stı ˘gını gösteren özet bir ölçüttür.

(51)

Belirleme Katsayısının Hesaplanması

Belirleme katsayısını hesaplamak için, y_i = ˆy_i+ ˆu_i e¸sitli ˘ginin iki yanının karesi alınır ve örneklem boyunca toplanır:

P y_i²= P ˆy_i² +P ˆu_i²+2P ˆy_iuˆ_i

= P ˆy_i² +P ˆu_i²

= ˆβ₂²P x_i²+P ˆu_i² TKT = BKT + KKT Burada

TKT “Toplam Kareleri Toplamı”(Total Sum of Squares),

BKT “Ba ˘glanım Kareleri Toplamı”(Regression Sum of Squares), KKT “Kalıntı Kareleri Toplamı”(Residual Sum of Squares) anlamına gelmektedir.

YukarıdakiP ˆy_iuˆ_i teriminin SEK ba ˘glanım do ˘grusunun 3.

özelli ˘ginden dolayı sıfıra e¸sit oldu ˘guna dikkat ediniz.

(52)

Belirleme Katsayısının Hesaplanması

P y_i² = βˆ₂²P x_i² + P ˆu_i²

TKT = BKT + KKT

Yukarıdaki e¸sitli ˘gin her iki yanını TKT’ye bölelim:

1 = ^BKT_TKT + ^KKT_TKT Buna göre r²a¸sa ˘gıdaki gibi tanımlanır:

Belirleme Katsayısı r²= P ˆy_i²

P y_i² = P( ˆY_i− ¯Y )²

P(Y_i− ¯Y )² = BKT

TKT =1 − KKT TKT

(53)

Belirleme Katsayısının Özellikleri

r²’nin iki temel özelli ˘ginden söz edilebilir:

1 r²eksi de ˘ger almayan bir büyüklüktür.

2 Sınırları 0 ≤ r²≤ 1’dir.

Buna göre:

E ˘ger r²=1 olursa bu kusursuz bir yakı¸sma demektir. Bu durumda rastsal hata yoktur ve tüm gözlemler bire bir ba ˘glanım do ˘grusu üzerinde yer almaktadır.

Sıfıra e¸sit bir r²ise ba ˘gımlı de ˘gi¸skenle açıklayıcı de ˘gi¸sken arasında hiçbir ili¸skinin olmadı ˘gı ( ˆβ₂=0) anlamına gelir.

(54)

˙Ilinti Katsayısı

r²ile yakın ili¸skili ama kavramsal olarak çok uzak bir büyüklük

“ilinti katsayısı”(coefficient of correlation), kısaca r ’dir:

˙Ilinti Katsayısı

r = ±

√ r²

r de ˘geri, ba ˘gımlı ve açıklayıcı de ˘gi¸skenler arasındaki do ˘grusal ba ˘gımlılı ˘gın bir ölçüsüdür.

−1 ve +1 arasında yer alır: −1 ≤ r ≤ 1.

Bakı¸sımlıdır: r_XY =r_YX.

Sıfır noktasından ve ölçekten ba ˘gımsızdır.

Herhangi bir neden-sonuç ili¸skisi içermez.

˙Iki de˘gi¸sken arasında sıfır ilinti (r = 0) mutlaka ba˘gımsızlık göstermez çünkü r yalnızca do ˘grusal ili¸skiyi ölçer.

(55)

Monte Carlo Yöntemi

KDBM varsayımları altında SEK tahmincilerinin EDYT (En iyi Do ˘grusal Yansız Tahminci) olmalarını sa ˘glayan bazı arzulanan özellikler ta¸sıdıklarını anımsayalım.

EDYT özelliklerinin geçerlili ˘gi, bir“benzetim”(simulation) yöntemi olan Monte Carlo deneyleri ile do ˘grulanabilir.

Bu yöntem, anakütle katsayılarını tahmin eden süreçlerin istatistiksel özelliklerini incelemede sıkça kullanılmaktadır.

Monte Carlo aynı zamanda istatistiksel çıkarsamanın temeli sayılan“tekrarlı örnekleme”(repeated sampling) kavramının anla¸sılması için de yararlı bir araçtır.

(56)

Monte Carlo Yönteminin Adımları

Bir Monte Carlo deneyi a¸sa ˘gıdaki gibi yapılır:

1 Anakütle katsayıları seçilir. Örnek: β₁=20 ve β₂=0,6.

2 Bir örneklem büyüklü ˘gü seçilir. Örnek: n = 25.

3 Her gözlem için bir X de ˘geri belirlenir.

4 Bir rastsal sayı olu¸sturucu kullanılarak u_i kalıntıları üretilir.

5 β₁, β₂, X_i’ler ve u_i’ler kullanılarak Y_i de ˘gerleri bulunur.

6 Bu ¸sekilde üretilen Y_i de ˘gerleri X_i’ler ile ba ˘glanıma sokulur ve ˆβ₁ve ˆβ₂SEK tahmincileri hesaplanır.

7 ˙I¸slem tekrarlanır (örne˘gin 1000 kez) ve rastsallıktan dolayı her seferde de ˘gi¸sen tahminlerin ortalamaları (β¯ˆ₁,β¯ˆ₂) alınır.

8 E ˘gerβ¯ˆ₁veβ¯ˆ₂de ˘gerleri β₁ve β₂’ye a¸sa ˘gı yukarı e¸sit ise, deney SEK tahmincilerinin yansızlı ˘gını, di ˘ger bir deyi¸sle E ( ˆβ1) = β1ve E ( ˆβ2) = β2oldu ˘gunu saptamı¸s sayılır.

(57)

Ders Planı

(58)

Sayısal Bir Örnek

Ele almı¸s oldu ˘gumuz bazı kavramları sayısal bir örnek yardımı ile gözden geçirelim. Türkiye’de 1987–2006 arası toplam tüketim harcamaları ve GSYH verileri ¸söyledir:

Çizelge:Türkiye’de Tüketim ve GSYH (1987–2006)

Yıl C Y Yıl C Y

1987 51.019 74.416 1997 77.620 112.892 1988 51.638 76.143 1998 78.113 116.541 1989 51.105 76.364 1999 76.077 111.083 1990 57.803 83.371 2000 80.774 119.147 1991 59.366 84.271 2001 73.356 110.267 1992 61.282 88.893 2002 74.894 118.923 1993 66.545 96.391 2003 79.862 125.778 1994 62.962 91.600 2004 87.897 137.110 1995 66.011 97.729 2005 95.594 147.200 1996 71.614 104.940 2006 100.584 156.249

Toplu özel nihai tüketim harcamalarını (Y ), gayri safi yurtiçi hasıla (X ) ile ili¸skilendirmek istiyor olalım.

(59)

Sayısal Bir Örnek

50 60 70 80 90 100

80 90 100 110 120 130 140 150 160

Toplu Özel Nihai Tüketim Harcamaları

Gayri Safi Yurtiçi Hasıla

TÜRKİYE 1987-2006 YILLARI ARASI MİLLİ GELİR VE TÜKETİM HARCAMALARI İLİŞKİSİ Y = 8,03 + 0,593X

(60)

SEK Ba ˘glanımı gretl Çıktısı

(61)

SEK Ba ˘glanım Çıktısının Yorumlanması

Gretl çıktısına göre marjinal tüketim e ˘gilimi (MTE) 0,59’dur.

Buna göre gelir 1 lira arttı ˘gında tüketimin de 59 kuru¸s artması beklenmektedir.

Sabit terim, toplam gelir sıfır oldu ˘gunda toplam tüketimin yakla¸sık 8 milyon lira olaca ˘gını göstermektedir.

Sıfır gelirin gözlem aralı ˘gı dı¸sında kalan ve gerçek hayatta olanaksız bir de ˘ger olmasından dolayı, sabit terimin böylesi bir mekanik yorumu iktisadi anlam içermemektedir.

Gretl ˆβ₁, ˆβ₂ve ˆu_i için ölçünlü hataları sırasıyla 1,85509 ve 0,0170331 ve 1,748114 olarak hesaplamı¸stır.

Yukarıdaki de ˘gerlerin karesi alınarak var( ˆβ1) =3,44136 ve var( ˆβ₂) =0,000290126 ve ˆσ²=3,05590 varyansları da kolayca bulunabilir.

r²=0,985 de ˘geri ise ba ˘glanım modelinin verilere gerçekçi kabul edilemeyecek kadar iyi yakı¸stı ˘gını göstermektedir.

(62)

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

KitaptanBölüm 3“Two-Variable Regression Model: The Problem of Estimation” okunacak.

Önümüzdeki Ders

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi